Šta znači rješavati aritmetički? Jednostavni tekstualni aritmetički zadaci (njihova klasifikacija, primjeri i rješenja)

Riješite matematički zadatak- to znači pronaći takav niz opštih principa matematike, primjenom kojih na uslove problema dobijamo ono što treba da nađemo - odgovor.

Glavne metode za rješavanje riječnih zadataka su aritmetičke i algebarske metode, kao i kombinovane.

Riješi problem aritmetička metoda - znači pronalaženje odgovora na zahtjev zadatka izvođenjem aritmetičkih operacija nad brojevima navedenim u zadatku. Isti problem se može riješiti na različite aritmetičke načine. Oni se međusobno razlikuju po logici zaključivanja u procesu rješavanja problema.

Riješi problem algebarska metoda - znači pronalaženje odgovora na zahtjeve problema sastavljanjem i rješavanjem jednačine ili sistema jednačina.

Riješite algebarskom metodom prema sljedećoj shemi:

1) identifikovati količine o kojima se govori u tekstu problema i uspostaviti odnos između njih;

2) uvesti varijable (nepoznate veličine označiti slovima);

3) korišćenjem unetih varijabli i podataka zadaci kreiraju jednačinu ili sistem jednačina;

4) rešiti dobijenu jednačinu ili sistem;

5) provjerite pronađene vrijednosti prema uslovima zadatka i zapišite odgovor.

Kombinovano metoda rješenja uključuje i aritmetičke i algebarske metode rješenja.

U osnovnoj školi zadaci su podijeljeni po broju radnji pri rješavanju jednostavnih i složenih. Zovu se zadaci u kojima se mora izvršiti samo jedna radnja da bi se odgovorilo na pitanje jednostavno. Ako da biste odgovorili na pitanje zadatka, trebate izvršiti dvije ili više radnji, tada se takvi zadaci nazivaju spoj.

Složeni problem, baš kao i jednostavan, može se riješiti različitim metodama.

Zadatak. Ribar je ulovio 10 riba. Od toga su 3 deverike, 4 smuđa, a ostalo su štuke. Koliko je štuka ulovio ribar?

Praktičan način.

Označimo svaku ribu krugom. Hajde da crtamo 10 kružići i označiti ulovljene ribe.

L L O O O O

Da biste odgovorili na pitanje zadatka, ne morate izvoditi aritmetičke operacije, jer broj ulovljenih štuka odgovara neoznačenim krugovima - postoje tri .

Aritmetička metoda.

1) 3+4=7(p) - ulovljena riba;

2) 10 - 7 = 3(p) - ulovljene štuke.

Algebarska metoda.

Neka su x ulovljene štuke. Tada se broj svih riba može zapisati kao: 3 + 4 + x. Prema uslovima problema, poznato je da je ribar ulovio samo 10 riba. To znači: 3 + 4 + x = 10. Nakon što smo riješili ovu jednačinu, dobijamo x = 3 i time odgovaramo na pitanje zadatka.

Grafička metoda.

štuka smuđ deverika

Ova metoda, kao i ona praktična, omogućit će vam da odgovorite na pitanje problema bez izvođenja aritmetičkih operacija.

U matematici je općenito prihvaćeno sljedeće podjela procesa rješavanja problema :

1) analiza teksta problema, šematski prikaz problema, istraživanje problema;

2) pronalaženje načina za rješavanje problema i izrada plana rješenja;

3) sprovođenje utvrđenog plana;

4) analiza pronađenog rješenja problema, provjera.

Metode za pronalaženje rješenja problema mogu se nazvati sljedećim:

1) Analiza: a) kada se rasuđivanje kreće od traženog ka podacima problema; b) kada se cjelina podijeli na dijelove;

2) Sinteza: a) pri prelasku sa podataka zadatka na tražene;
b) kada se elementi kombinuju u celinu;

3) Reformulisanje problema (jasno formulisati međuzadatke koji se javljaju tokom traženja rešenja);

4) Induktivna metoda rešavanja zadatka: na osnovu tačnog crteža odrediti svojstva figure, izvesti zaključke i dokazati ih;

5) Primena analogije (zapamtite sličan zadatak);

6) Predviđanje - predviđanje rezultata do kojih pretraga može dovesti.

Pogledajmo izbliza proces rješavanja problema:

Zadatak kretanja. Brod je put rijeke između dva mola prešao za 6 sati, a nazad za 8 sati. Koliko će dugo biti potrebno splavu postavljenom uz rijeku da pređe udaljenost između pristaništa?

Analiza zadatka. Problem se odnosi na dva objekta: čamac i splav. Čamac ima svoju brzinu, a splav i rijeka po kojoj plutaju čamac i splav imaju određenu brzinu toka. Zbog toga čamac putuje rijekom za kraće vrijeme (6h) nego protiv struje (8h). Ali ove brzine nisu date u zadatku, kao što je i udaljenost između stubova nepoznata. Međutim, ne treba pronaći te nepoznanice, već vrijeme za koje će splav preći ovu udaljenost.

Šematski zapis:

Brod 6 sati

čamac na splavu

8

Pronalaženje načina za rješavanje problema. Moramo pronaći vrijeme koje je potrebno splavu da pređe udaljenost između stubova A i B. Da biste pronašli ovo vrijeme, morate znati udaljenost AB i brzinu toka rijeke. Oba su nepoznata, pa slovom označimo udaljenost AB S (km), i trenutnu brzinu i km/h. Da biste povezali ove nepoznanice s podacima o problemu, morate znati brzinu čamca. Takođe je nepoznato, pretpostavimo da je jednako V km/h. Otuda nastaje plan rješenja koji se sastoji u konstruisanju sistema jednačina za uvedene nepoznanice.

Implementacija rješavanja problema. Neka udaljenost bude S (km), brzina toka rijeke km/h, vlastitu brzinu čamca V km/h, a potrebno vrijeme kretanja splava je jednako x h.

Tada je brzina čamca duž rijeke (V+a) km/h. Iza 6hčamac je, krećući se ovom brzinom, prešao udaljenost od S (km). Stoga, 6( V + a) =S(1). Ovaj čamac ide protiv struje brzinom od ( V - a)km/h i ona prolazi ovim putem 8 sati, dakle 8( V - a) =S(2). Splav pluta brzinom rijeke km/h, preplivao udaljenost S (km) iza x h, dakle, Oh =S (3).

Rezultirajuće jednačine čine sistem jednačina za nepoznate a, x, S, V. Pošto samo treba da nađete X, tada ćemo pokušati isključiti preostale nepoznanice.

Da bismo to učinili, iz jednačina (1) i (2) nalazimo: V + a = , V - a = . Oduzimanjem druge od prve jednačine dobijamo: 2 A= - . Odavde a = . Zamenimo pronađeni izraz u jednačinu (3): x = . Gdje x= 48 .

Provjera rješenja. Utvrdili smo da će splav preći razdaljinu između stubova za 48 sati, pa je njegova brzina jednaka brzini toka rijeke . Brzina čamca duž rijeke je jednaka km/h, i protiv struje km/h Da bi se provjerila ispravnost rješenja, dovoljno je provjeriti jesu li vlastite brzine čamca, pronađene na dva načina, jednake: + I
- . Nakon što smo izvršili proračune, dobijamo tačnu jednakost: = . To znači da je problem ispravno riješen.

odgovor: Splav će preći udaljenost između pristaništa za 48 sati.

Analiza rješenja. Rešenje ovog problema sveli smo na rešavanje sistema od tri jednačine u četiri nepoznanice. Međutim, trebalo je pronaći jednu nepoznatu. Stoga se nameće misao da ovo rješenje nije najuspješnije, iako je jednostavno. Možete ponuditi drugo rješenje.

Znajući da je čamac prešao put AB duž rijeke za 6 sati, a protiv struje za 8 sati, nalazimo da za 1 sat čamac, idući riječnim tokom, pređe dio tog puta i protiv struje. Tada je razlika između njih - = dvostruka udaljenost AB koju pređe splav za 1 sat. Sredstva. Splav će preći dio udaljenosti AB za 1 sat, dakle, cijeli put AB će preći za 48 sati.

Sa ovim rješenjem nije bilo potrebno kreirati sistem jednačina. Međutim, ovo rješenje je složenije od gore navedenog (ne može svatko shvatiti razliku u brzini čamca nizvodno i u odnosu na tok rijeke).

Vježbe za samostalan rad

1. Turista, koji je plovio uz rijeku na splavu 12 km, vratio se čamcem čija je brzina u mirnoj vodi 5 km/h, provodeći 10 sati na cijelom putu.

2. Jedna radionica mora sašiti 810 odijela, druga - 900 odijela u istom periodu. Prvi je izvršio narudžbe 3 dana, a drugi 6 dana prije roka. Koliko je odijela dnevno sašila svaka radionica, ako je druga sašila 4 odijela više dnevno od prve?

3. Dva voza krenula su jedan prema drugom sa dvije stanice, razmak između kojih je 400 km. Nakon 4 sata udaljenost između njih smanjena je na 40 km. Ako bi jedan od vozova krenuo 1 sat ranije od drugog, tada bi se sreli usred putovanja. Odredite brzinu vozova.

4. U jednom skladištu ima 500 tona uglja, au drugom - 600 tona. Prvo skladište dnevno isporučuje 9 tona, a drugo - 11 tona uglja. Za koliko dana će biti jednaka količina uglja u skladištima?

5. Deponent je uzeo 25% svog novca iz štedionice, a zatim 64.000 rubalja. Nakon toga 35% novca je ostalo na računu. Kakav je bio doprinos?

6. Umnožak dvocifrenog broja i njegovog zbira cifara je 144. Nađite ovaj broj ako je njegova druga cifra 2 veća od prve.

7. Riješite sljedeće probleme koristeći aritmetičku metodu:

a) Motorni čamac je putovao niz rijeku 6 sati, a u povratku 10 sati. Brzina čamca u mirnoj vodi je 16 km/h. Kolika je brzina toka rijeke?

c) Dužina pravougaone njive je 1536 m, a širina 625 m. Jedan traktorist može ovu njivu preorati za 16 dana, a drugi za 12 dana. Koliku će površinu oba traktorista orati dok rade 5 dana?

• uvesti različite načine rješavanja problema;
• dati ideje o algebarskoj metodi rješavanja,
• naučiti djecu da biraju različita rješenja i stvaraju inverzne probleme.

• razvijati logičko razmišljanje,
• razvoj mentalnih operacija kao što su analiza, sinteza.

Tokom nastave

1. Zagrijte se

(Učenici stoje na svojim mjestima, nastavnik postavlja pitanje, ako je učenik tačno odgovorio, onda sjeda).

• Šta je jednačina?
• Šta znači pronaći korijen jednačine?
• Kako pronaći nepoznati množitelj? Razdjelnik?
• Minuend?
  Nastavite s definicijama: Brzina je...
  Da biste pronašli udaljenost koja vam je potrebna...

Da nađete vremena, potrebno vam je...

2. Provjera domaćeg zadatka , (Kod kuće su djeca tražila definicije u priručniku: algebra

aritmetika, geometrija).

• Šta proučava algebra? aritmetika? geometrija? – Algebra
• nauka koja proučava pitanja jednačina i nejednačina. Geometrija
• - jedan od najstarijih dijelova matematike koji proučava prostorne odnose i oblike tijela.– nauka o brojevima i operacijama nad njima.

(Ovi pojmovi će nam trebati kasnije u lekciji.)

3. Slušajte problem

Svaka od četiri ćelije sadrži 1 životinju. Na svakoj ćeliji postoje natpisi, ali nijedan od njih ne odgovara stvarnosti. Navedite ko je u svakoj ćeliji. Postavite životinje u njihove ćelije (svako dijete ima set platna i kartica sa slikama životinja).

• Pokaži šta imaš. Kako ste zaključili? (provjeri na tabli).
• Kako ste riješili ovaj problem? (Razmišljanje, logično razmišljanje).
• Šta je ovo zadatak? (Logično).

Ali uglavnom na časovima matematike rješavamo zadatke u kojima je potrebno izvršiti matematičke transformacije.

4. Pročitajte probleme

1. Od dvije deve ostriženo je 12 kg vune. Drugi je sjekao 3 puta više od prvog. Koliko je kilograma vune ostriženo sa svake deve?
2. Leopard je težak 340 kg, žirafa je 3 puta teža od leoparda, a lav je 790 kg lakši od žirafe. Koliko je kilograma leopard teži od lava?
3. Dvije žirafe su trčale jedna prema drugoj. Jedna je trčala brzinom od 12 m/s, druga je bila 15 m/s. Nakon koliko sekundi će se sresti ako je udaljenost između njih 135 metara?

Uporedite zadatke. Šta zajedničko? Koje su njihove razlike?

• Pročitajte problem koji treba riješiti pisanjem jednačine.
• Pročitajte problem koji treba riješiti djelovanjem?
• Koji se problem može riješiti na dva načina?
• Formulirajte temu naše lekcije.

Različiti načini rješavanja problema

5. Bilo koji problem riješite tako što ćete napraviti kratku bilješku (u obliku tabele, crteža)

Za odborom rade dvije osobe.

Ispitivanje

• Kako ste riješili prvi problem? (jednačina).
• Kako se zove grana matematike koja proučava jednačine? (Algebra).
• (Algebarski).
• Kako su riješeni drugi i treći problem? (Po akcijama).
• Koja grana matematike ovo proučava? (Aritmetika).
• Kako će se zvati ovo rješenje? (Aritmetika).

(Okači na tablu):

6. Sastaviti inverzne probleme prema podacima i riješiti ih koristeći algebarske i aritmetičke metode

7. Produktivni zadaci za reprodukciju novog znanja

Postavljajte pitanja razredu o temi koju ste proučavali.

• Koja metoda rješavanja problema se naziva algebarska?
• Koja aritmetika?
• Kako se zove metoda rješavanja zadataka pomoću jednačina?

8. Domaći

Napišite problem o životinji koji se može riješiti algebarski.

Učenje rješavanja riječnih zadataka igra važnu ulogu u razvoju matematičkog znanja. Riječni zadaci pružaju mnogo prostora za razvoj mišljenja učenika. Učenje rješavanja problema ne podrazumijeva samo podučavanje tehnike dobivanja tačnih odgovora u nekim tipičnim situacijama, već i učenje kreativnog pristupa pronalaženju rješenja, sticanje iskustva u mentalnoj aktivnosti i demonstriranje učenicima sposobnosti matematike u rješavanju različitih problema. Međutim, kod rješavanja riječnih zadataka u 5-6 razredima najčešće se koristi jednačina. Ali razmišljanje učenika petog razreda još nije spremno za formalne procedure koje su uključene u rješavanje jednačina. Aritmetička metoda rješavanja zadataka ima niz prednosti u odnosu na algebarsku jer je rezultat svakog koraka radnji jasniji i konkretniji, te ne nadilazi iskustvo učenika petog razreda. Učenici rješavaju probleme koristeći radnje bolje i brže nego koristeći jednačine. Dječje mišljenje je konkretno i mora se razvijati na određenim objektima i količinama, a zatim se postepeno preći na rad sa apstraktnim slikama.

Rad na zadatku uključuje pažljivo čitanje teksta uvjeta, razumijevanje značenja svake riječi. Navest ću primjere problema koji se lako i jednostavno mogu riješiti pomoću aritmetike.

Zadatak 1. Za pripremu džema uzmite dva dijela malina i tri dijela šećera. Koliko kilograma šećera treba uzeti za 2 kg 600 g malina?

Kada rješavate problem na “dijelove”, morate naučiti vizualizirati uslove problema, tj. Bolje je osloniti se na crtež.

1. 2600:2=1300 (g) - čini jedan dio džema;
2. 1300*3= 3900 (g) - potrebno je uzeti šećer.

Zadatak 2. Na prvoj polici bilo je 3 puta više knjiga nego na drugoj. Na dvije police zajedno je bilo 120 knjiga. Koliko je knjiga bilo na svakoj polici?

1) 1+3=4 (dijelovi) - računi za sve knjige;

2) 120:4=30 (knjige) - računi za jedan dio (knjige na drugoj polici);

3) 30*3=90 (knjige) - stajale su na prvoj polici.

Zadatak 3. Fazani i zečevi sjede u kavezu. Ukupno ima 27 glava i 74 noge. Saznaj broj fazana i broj zečeva u kavezu.

Zamislimo da na poklopac kaveza u kojem sjede fazani i zečevi stavimo šargarepu. Tada će svi zečevi stati na stražnje noge kako bi ga dosegli. onda:

1. 27*2=54 (noge) - stajaće na podu;
2. 74-54=20 (noge) - biće na vrhu;
3. 20:2=10 (zečevi);
4. 27-10=17 (fazani).

Zadatak 4. U našem razredu ima 30 učenika. Na ekskurziju u muzej išlo je 23 osobe, a u kino 21, a 5 osoba nije išlo ni na ekskurziju ni u kino. Koliko je ljudi išlo i na ekskurziju i u bioskop?

„Eulerovi krugovi“ se mogu koristiti za analizu stanja i odabir plana rješenja.

1. 30-5=25 (osoba) – išli ili u kino ili na ekskurziju,
2. 25-23=2 (osoba) – išli samo u bioskop;
3. 21-2=19 (osoba) – išli u bioskop i na ekskurziju.

Zadatak 5. Tri pačeta i četiri gusaka su teški 2 kg 500 g, a četiri pačeta i tri guščića 2 kg 400 g. Koliko teži jedan guščić?

1. 2500+2400=2900 (g) – težina sedam pačića i sedam gusaka;
2. 4900:7=700 (g) – težina jednog pačeta i jednog guščara;
3. 700*3=2100 (g) – težina 3 pačića i 3 guščara;
4. 2500-2100=400 (g) – težina gusjenice.

Zadatak 6. Kupili smo 20 piramida za vrtić: velike i male - po 7 i 5 prstenova. Sve piramide imaju 128 prstenova. Koliko je bilo velikih piramida?

Zamislimo da smo uklonili dva prstena sa svih velikih piramida. onda:

1) 20*5=100 (prstenovi) – lijevo;

2) 128-100-28 (prstenovi) – skinuli smo;

3) 28:2=14 (velike piramide).

Zadatak 7. Lubenica teška 20 kg sadržavala je 99% vode. Kako se malo osušio, sadržaj vode je pao na 98%. Odredite masu lubenice.

Radi praktičnosti, rješenje će biti popraćeno ilustracijom pravokutnika.

U ovom slučaju, preporučljivo je da pravokutnike „suhe tvari“ nacrtate jednake, jer masa „suhe tvari“ u lubenici ostaje nepromijenjena.

1) 20:100=0,2 (kg) – masa „suve materije“;

2) 0,2:2=0,1 (kg) – čini 1% sušene lubenice;

3) 0,1*100=10 (kg) – masa lubenice.

Zadatak 8. Gosti su pitali: koliko godina ima svaka od tri sestre? Vera je odgovorila da ona i Nađa imaju zajedno 28 godina, Nađa i Ljuba 23 godine zajedno, a sve tri 38 godina. Koliko godina ima svaka od sestara?

1. 38-28=10 (godine) – Lyuba;
2. 23-10=13 (godine) – Nadya;
3. 28-13=15 (godina) – Vera.

Aritmetička metoda rješavanja riječnih zadataka uči dijete da djeluje svjesno, logički ispravno, jer se pri rješavanju na ovaj način povećava pažnja na pitanje „zašto“ i postoji veliki razvojni potencijal. To doprinosi razvoju učenika, formiranju njihovog interesovanja za rješavanje problema i za samu nauku matematike.

Da bi učenje bilo izvodljivo, uzbudljivo i poučno, potrebno je biti vrlo oprezan pri odabiru tekstualnih zadataka, razmotriti različite načine njihovog rješavanja, birajući one najbolje, te razvijati logičko mišljenje, koje je neophodno u budućnosti prilikom rješavanja geometrijskih zadataka.

Učenici mogu naučiti rješavati probleme samo rješavajući ih. „Ako želiš da naučiš da plivaš, onda hrabro uđi u vodu, a ako želiš da naučiš da rešavaš probleme, onda ih rešavaj“, piše D. Polja u knjizi „Matematičko otkriće“.

„...dok pokušavamo da povežemo nastavu matematike sa životom, biće nam teško bez problema sa rečima – tradicionalnog načina podučavanja matematike za rusku metodiku.”

A.V.Shevkin

Sposobnost rješavanja riječnih zadataka jedan je od glavnih pokazatelja matematičkog razvoja učenika, dubine njihovog usvajanja nastavnog materijala, jasnoće u zaključivanju i razumijevanja logičkih aspekata različitih pitanja.

Za većinu školaraca, zadaci sa riječima su teški i stoga neomiljeni obrazovni materijal. Međutim, u školskom predmetu matematike tome se pridaje veliki značaj, jer zadaci prvenstveno doprinose razvoju logičkog mišljenja, prostorne mašte i praktičnoj primjeni matematičkih znanja u ljudskoj djelatnosti.

U procesu rješavanja zadataka učenici stiču iskustvo u radu s veličinama, shvataju međusobne odnose i stiču iskustvo u primjeni matematike u rješavanju stvarnih problema.Rješavanje riječnih zadataka razvija logičku kulturu, pobuđuje interes prvo za proces pronalaženja rješenja problema, a zatim i za predmet koji se proučava.

Tradicionalna ruska škola je oduvijek poklanjala posebnu pažnjupodučavanje djece rješavanju riječnih zadataka. Istorijski gledano, prilično dugo se matematičko znanje prenosilo s generacije na generaciju u obliku riječnih zadataka s rješenjima. Njihov značaj je bio i u njihovom primijenjenom značaju, budući da su to po svom sadržaju bili praktični zadaci (bankarstvo, trgovina, zemljišni proračuni itd.). U Rusiji se obrazovanom osobom smatralo neko ko zna kako da reši ove tipične probleme, koji su veoma važni u svakodnevnom životu.

Treba napomenuti da učenje rješavanja praktičnih problema nije bilo lako. Često je uočeno pamćenje metode rješenja bez svjesnog razumijevanja stanja. Glavno je odrediti vrstu problema i pronaći pravilo za njegovo rješavanje nije bilo važno.

Prema srediniXXveka, razvijena je dobra metoda za nastavno rešavanje problema. Ali, nažalost, nastavnici su često opaženi kako obučavaju učenike da rješavaju standardne probleme i pamte standardne tehnike. Ali nemoguće je naučiti rješavati probleme koristeći memoriran obrazac.

Kasnih 1960-ih reforma školskog matematičkog obrazovanja uključivala je rano uvođenje jednačina kako bi se na novi način organiziralo rješavanje nastavnih problema. Međutim, uloga algebarske metode rješavanja riječnih zadataka u 5-6 razredima bila je preuveličana upravo zato što su aritmetičke metode izbačene iz školskog programa. A praksa je pokazala da je bez dovoljne pripreme mišljenja učenika rješavanje problema pomoću jednačina nepraktično. Učenik mora biti sposoban da zaključi i zamisli radnje koje se dešavaju sa predmetima.

U razredima 5-6 potrebno je posvetiti dovoljno pažnje aritmetičkoj metodi rješavanja riječnih zadataka i ne žuriti s prelaskom na algebarsku metodu - rješavanje zadataka pomoću jednadžbe. Jednom kada učenik nauči algebarsku metodu, gotovo ga je nemoguće vratiti na “rješenje djelovanjem”. Nakon što ste sastavili jednadžbu, glavna stvar je da je ispravno riješite i izbjegnete računsku grešku. I ne morate uopće razmišljati o tome koje se aritmetičke operacije izvode tokom rješenja i do čega vode. A ako slijedimo rješenje jednadžbe korak po korak, vidjet ćemo iste radnje kao u aritmetičkoj metodi. Samo student o ovome jedva razmišlja.

Vrlo često primjećujemo da dijete nije spremno da algebarski riješi problem kada uvedemo apstraktnu varijablu i pojavi se fraza „neka x...”. Odakle dolazi ovo "X" i koje riječi treba napisati pored njega, učeniku u ovoj fazi nije jasno. A to se događa jer je potrebno uzeti u obzir dobne karakteristike djece koja su u ovom trenutku razvila vizualno-figurativno mišljenje. Oni još nisu sposobni za apstraktne modele.

Šta podrazumijevamo pod zahtjevom - riješiti problem. To znači pronalaženje niza radnji koje će, kao rezultat analize stanja, dovesti do odgovora na pitanje postavljeno u problemu. Da biste došli do odgovora, morate ići dug put, počevši od trenutka kada razumete tekst, biti u stanju da istaknete glavnu stvar, „prevedete“ problem na jezik matematike, zamenjujući reči „brže“, „ sporije“ sa „manje“ ili „više“, nacrtajte grafički model ili tabelu koja olakšava razumevanje uslova problema, uporedite vrednosti, utvrditelogičke veze između podataka prema uslovu i traženih. A to je vrlo teško za djecu.

Važno je napomenuti da tekst zadataka mora biti sastavljen na način da dijete razumije i zamisli o čemu se govori. Često se, prije nego što se počne rješavati problem, dosta vremena potroši na analizu stanja, kada učenici treba da objasne šta je liveno gvožđe, po čemu se razlikuje od dela, kao i armirano-betonski nosač, automatska mašina, životni prostor itd. Tekst zadatka mora odgovarati nivou njegove percepcije. Naravno, tekst problema se mora približiti stvarnom životu kako bi se sagledala praktična primjena ovog modela.

Prilikom počinjanja rješavanja problema potrebno je ne samo zamisliti situaciju o kojoj je riječ, već je i prikazati u crtežu, dijagramu ili tabeli. Nemoguće je kvalitativno riješiti problem bez sastavljanja kratkog zapisa stanja. To je šematski prikaz stanja koji omogućava, kada se raspravlja o rješenju, da se identifikuju sve radnje koje je potrebno izvršiti da bi se odgovorilo na pitanje problema.

Pogledajmo nekoliko primjera rješavanja riječnih zadataka

Zadaci kretanja

Ova vrsta problema je široko rasprostranjena u školskim predmetima matematike. Razmatraju različite vrste kretanja: prema, u suprotnim smjerovima, u istom smjeru (jedno sustiže drugo).

Da biste razumjeli ove zadatke, zgodno je nacrtati dijagram. Ali, ako učenik pravi tabelu, nema potrebe da ga ubeđujete da ovaj metod kratkog beleženja stanja nije baš dobar. Informaciju doživljavamo drugačije. Možda dijete na ovom prikazu bolje "vidi" zadatak.

Primer 1. Dva biciklista su istovremeno vozili jedan prema drugom iz dva sela i sreli su se 3 sata kasnije. Prvi biciklista se kretao brzinom od 12 km/h, a drugi 14 km/h. Koliko su udaljena sela?

Napravimo dijagram za problem koji dovoljno u potpunosti odražava stanje (naznačeni su pravci kretanja, brzine biciklista, vrijeme putovanja do sastanka, pitanje je jasno):

Razmotrimo dva načina da riješimo ovaj problem:

1 način:

Tradicionalno, mi volimo rješavati ove probleme uvođenjem koncepta „brzine zatvaranja“ i pronalaženja je kao sume (ili razlike) brzina učesnika u kretanju. Kada se krećemo jedno prema drugom, zbrajamo brzine:

1)12 + 14 = 26 (km/h) – brzina prilaza

Znajući da je vrijeme kretanja isto, druga radnja omogućava korištenje formule putanje (S = vt) izračunati potrebnu udaljenost i odgovoriti na pitanje postavljeno u zadatku.

2) 26 3 = 78 (km)

Hajde da napravimo izraz:

3(12 + 14) = 78(km)

Odgovori : 78 km.

Ali ne razumiju sva djeca koja je to apstraktna veličina - brzina pristupa. Zašto je moguće sabirati, a u drugim slučajevima oduzimati brzine dva različita učesnika u saobraćaju, objedinjujući ih pod zajedničkim imenom? Ako vaši učenici riješe ovaj problem na drugačiji način, ne pokušavajte ih pridobiti na svoju stranu. Za neke još nije došlo vrijeme da to shvate, a za druge prva metoda uopće neće biti dostupna.

Metoda 2:

1)12 3 = 36 (km) – put prvog bicikliste do susreta

2)14 3 = 42 (km) – udaljenost drugog bicikliste do susreta

3)36 + 42 = 78 (km) – udaljenost između sela

Hajde da napravimo izraz:

12 3 + 14 3 = 78 (km)

Odgovori : 78 km.

Postepeno, kada dijete nauči da razumije takve probleme, upoređivanjem numeričkih izraza moguće je pokazati da su obje metode međusobno povezane, a istovremeno zapamtiti distributivno svojstvo množenja:

12 3 + 14 3 = 3(12 + 14) = 78

Primjer 2. Bilo je 54 sveske u dva pakovanja. Kada je iz prvog paketa uklonjeno 10, a iz drugog 14 sveska, u oba pakovanja je bio jednak broj sveska. Koliko je bilježnica bilo u svakom pakiranju na početku?

Kako mogu prikazati stanje?

1. Napravite tabelu:

Uklonjeno

Postalo je

1 pakovanje - ? 54 tet.

2 pakovanja – ?

10 tet.

14 tet.

jednako

2. Napravite crtež

Uzeli su 14 komada.

Uzeli su 10 komada.

Jednako

Ukupno 54 kom.

Analizirajmo rješenje problema, obraćajući pažnju na pitanja koja odgovaramo prilikom izvođenja svake aritmetičke operacije:

1) Koliko je sveska uklonjeno iz oba pakovanja?

10 + 14 = 24 (kom.);

2) Koliko sveska ima u dva pakovanja?

– 24 = 30 (komada);

3) Koliko ih ima u svakom pakovanju bilježnica?

30: 2 = 15 (kom);

4) Koliko je sveska bilo u prvom pakovanju na početku?

10 = 25 (komada);

5) Koliko je sveska bilo u drugom pakovanju na početku?

54 – 25 = 29 (kom.).

U 5. razredu će učenik najvjerovatnije izabrati upravo ovaj način rješavanja zadatka. Pozovite ga da riješi ovaj problem u 6. ili 7. razredu. Možda će se situacija promijeniti i učenik će je riješiti pomoću jednačine. Izvođenjem istih radnji neće razmišljati o brojnim pitanjima. Odabirom jednačine kao sredstva za rješavanje problema, vrlo brzo ćete doći do istog odgovora.

Kako bi onda izgledalo rješenje?

Neka u svakom pakovanju bude po x bilježnica nakon prestrojavanja,

zatim (x + 10) sveske su u početku bile u prvom pakovanju, i

(x + 14) sveske su prvobitno bile u drugom pakovanju.

Znajući da su bile 54 sveske u dva paketa, možemo napraviti jednačinu:

x + 10 + x + 14 = 54

Jednačina prati sve iste radnje koje se izvode u aritmetičkoj metodi rješavanja problema.

x + x + (10 + 14) = 54; (1 radnja aritmetičke metode)

2x = 54 – 24; (akcija 2)

x = 30:2; (akcija 3)

15 + 10 = 25 (kom.) (4 akcije)

15 + 14 = 29 (kom.) (5 akcija)

Odgovor: 25 sveska, 29 sveska.

Ali niko ne postavlja nikakva pitanja o tome šta pronađemo dok završavamo svaki korak.

Svojim učenicima uvijek pokazujem da je tekst zadataka za 5. ili 9. razred često istog značenja. A praksa pokazuje da učenici petog razreda umeju da odgonetnu uslove iz zadataka za 9. razred, pa čak i da naprave jednačinu. Naravno, još uvijek nema dovoljno znanja za rješavanje takve jednačine. Ali u isto vrijeme, ne uspijeva svaki učenik devetog razreda riješiti zadatak za 5. razred pomoću aritmetičke metode.

Školarci obično biraju algebarsku metodu rješavanja riječnih zadataka, a aritmetiku se gotovo nikada ne vraćaju. Oni jednostavno prestaju da vide ovu metodu, zanoseći se uvođenjem varijabli i sastavljanjem jednačina.

Zašto cijenimo aritmetičku metodu rješavanja riječnih zadataka? Prva i najvažnija stvar je da prilikom izvođenja svake aritmetičke operacije učenik razmišlja o pitanju: „Šta sam našao kao rezultat?“ On zamišlja u čemu je problem, budući da svaka akcija ima jasnu i specifičnu interpretaciju. Kao rezultat toga, logičko razmišljanje se aktivno razvija. U procesu proračuna, mjerenja i traženja rješenja problema učenik razvija kognitivne univerzalne obrazovne radnje čije je formiranjenajvažniji zadatak savremenog sistema osnovnog opšteg obrazovanja.

Riječni zadaci se izučavaju tokom školskog kursa matematike. Ali potrebno je u 5-6 razredima podučavati razumijevanju problema, analizi uslova, zaključivanju i pronalaženju racionalnih rješenja, dok je njihov nivo složenosti nizak, a sam problem je jedna od najvažnijih kategorija. Teško se može shvatiti lakim.

Upotreba aritmetičkih metoda za rješavanje zadataka razvija domišljatost i inteligenciju, sposobnost postavljanja pitanja i odgovaranja na njih, odnosno razvija prirodni jezik i priprema školarce za dalje školovanje.

Aritmetičke metode za rješavanje riječnih zadataka omogućavaju vam da napravite plan rješenja uzimajući u obzir odnose između poznatih i nepoznatih veličina (uzimajući u obzir vrstu problema), interpretirate rezultat svake radnje u okviru uslova problema, provjerite ispravnost rješenja sastavljanjem i rješavanjem inverznog zadatka, odnosno formirati i razvijati važne općeobrazovne vještine.

Ako se učenik nosi sa zadacima iz riječi na časovima matematike, odnosno može pratiti i objasniti logički lanac svog rješenja, okarakterisati sve veličine, tada može uspješno rješavati i zadatke iz fizike i hemije, može upoređivati ​​i analizirati, transformirati informacije u svim školskim predmetima.

Veliki D. Polya je rekao: "Ako želiš naučiti plivati, onda hrabro uđi u vodu, a ako želiš naučiti rješavati probleme, onda ih rješavaj."Ako djecu učimo rješavanju zadataka, ne samo da ćemo povećati interes za sam predmet, već ćemo imati značajan utjecaj na formiranje njihovog matematičkog mišljenja, što doprinosi uspješnom razvoju novih znanja u drugim oblastima.

§ 1 Načini rješavanja riječnih zadataka

Postoji nekoliko načina za rješavanje riječnih problema:

· aritmetička metoda je metoda rješavanja riječnog zadatka korištenjem brojeva i znakova računskih operacija sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja, odnosno korištenjem više operacija nad brojevima koji su međusobno povezani;

· algebarska metoda je metoda rješavanja riječnog problema uvođenjem varijabli i sastavljanjem odgovarajuće jednačine ili nejednakosti, ili sistema jednačina ili nejednačina;

· geometrijska metoda je način rješavanja riječnog problema korištenjem geometrijskog znanja;

· shematski metod je način rješavanja riječnog problema pomoću dijagrama;

· grafička metoda je način rješavanja tekstualnog problema korištenjem grafova u pravokutnom koordinatnom sistemu.

Svaka od ovih metoda uključuje prevođenje uslova problema na jezik matematike. Ova akcija matematike naziva se matematičko modeliranje. Rezultat ove akcije naziva se matematički model. Korištenjem različitih metoda rješenja dobivaju se različiti matematički modeli. U aritmetičkoj metodi matematički model je numerički izraz, odnosno numerički primjer sa nekoliko radnji, a konačni rezultat proračuna će biti rješenje problema. U algebarskoj metodi, matematički model je najčešće jednačina, a rješavanje jednačine daje rješenje problema. U geometrijskoj metodi, matematički model može biti geometrijska figura, a rješenje problema može biti, na primjer, jedan od pronađenih elemenata ove figure. U shematskoj metodi, matematički model je dijagram uz pomoć kojeg se pronalazi rješenje problema. U grafičkoj metodi, matematički model je graf konstruisan prema uslovima problema. Ovom metodom rješenje problema mogu biti koordinate određenih tačaka na grafovima.

§ 2 Primjer rješavanja riječnog problema pomoću aritmetičke metode

U ovoj lekciji pobliže ćemo pogledati aritmetičku metodu rješavanja problema.

Rješavanje problema aritmetičkom metodom znači pronalaženje odgovora na glavno pitanje problema izvođenjem aritmetičkih operacija nad numeričkim podacima iz uslova problema. Isti problem se može riješiti na različite aritmetičke načine. One se međusobno razlikuju po broju radnji i redoslijedu u kojem se te radnje izvode u procesu rješavanja problema.

Na primjer. Hajde da razmotrimo sledeći problem. Tri prijatelja Saša, Kolja i Vitja brali su pečurke u šumi. Kolya je sakupio 2 puta manje gljiva od Saše, Vitya je sakupio 6 gljiva više od Kolje. Koliko su gljiva zajedno sakupila tri prijatelja ako je Saša sakupio 22 pečurke?

Pomaže da se odredi ispravan tok logičkog zaključivanja kratkim zapisivanjem uslova problema u obliku tabele.

Rešimo ovaj problem akcijama ili takozvanim metodom rešavanja problema pitanjima. Prvo, odgovorimo na prvo pitanje: "Koliko je gljiva Kolya sakupio?"

Prema uslovima problema, "Kolya je sakupio 2 puta manje gljiva od Saše", to znači da da biste odgovorili na pitanje, morate podijeliti 22 sa 2. Kao rezultat toga, ispostavilo se da je Kolya sakupio 11 gljiva. (22:2=11 (pečurke) - Kolja sakupio).

Sljedeći korak je odgovor na drugo pitanje zadatka: "Koliko je gljiva Vitya sakupio?" Prema uslovima problema, „Vitya je sakupio 6 gljiva više od Kolje“, to znači da za odgovor na pitanje morate dodati 6 na 11. Kao rezultat toga, ispostavilo se da je Vitya sakupio 17 gljiva.

22+22:2+(22:2+6)=50 gljiva skupila su tri prijatelja zajedno.

Sposobnost rješavanja zadataka na aritmetički način korištenjem numeričkih izraza ukazuje na viši nivo matematičke pripremljenosti u odnosu na sposobnost rješavanja riječnih zadataka pomoću radnji.

Spisak korišćene literature:

1. G.N. Timofejev Matematika za one koji ulaze na univerzitete. Tutorial. Problemi s tekstom – Joškar-Ola: mar. stanje Univerzitet, 2006
2. V. Bulynin Primjena grafičkih metoda u rješavanju tekstualnih zadataka. – Nedeljni obrazovno-metodički list „Matematika“, br. 14, 2005.
3. N.I. Popov, A.N. Marasanov Zadaci za sastavljanje jednačina. Tutorial. Joškar-Ola: mar. stanje Univerzitet, 2003
4. NA. Zaripova Izborni program "Tekstualni problemi". http://festival.1september.ru/articles/310281/
5. NA. Zaripova Metodologija za rešavanje problema vts grupe. Materijali za izborni predmet "Rješavanje riječnih zadataka" http://festival.1september.ru/articles/415044/

Korištene slike: