Trädgård

Ekonomiska och matematiska metoder och modeller. Deras klassificering

Egenskaper för de viktigaste ekonomiska och matematiska metoderna för ACD

Tillämpning av linjära programmeringsmetoder för att lösa specifika analytiska problem.

Tillämpning av dynamiska programmeringsmetoder för att lösa specifika analytiska problem.

1. Ekonomiska och matematiska metoder - dessa är matematiska metoder som används för att analysera ekonomiska fenomen och processer. Användningen av matematiska metoder i ekonomisk analys tillåter öka dess effektivitet genom att minska den tid som krävs för analys, mer omfattande täckning av faktorers inverkan på resultaten av kommersiell verksamhet, ersätta ungefärliga eller förenklade beräkningar med exakta beräkningar, ställa in och lösa nya flerdimensionella analysproblem som är praktiskt taget omöjliga att utföra manuellt eller med traditionella metoder .

Användningen av matematiska metoder i ekonomisk analys kräver efterlevnad av ett antal villkor, inklusive:

Ett systematiskt tillvägagångssätt för studiet av företagens ekonomi, med hänsyn till hela uppsättningen av betydande samband mellan olika aspekter av företagsverksamhet;

Utveckling av en uppsättning ekonomiska och matematiska modeller som återspeglar de kvantitativa egenskaperna hos ekonomiska processer och problem lösta med hjälp av ekonomisk analys;

Förbättra systemet för ekonomisk information om företagens arbete;

Tillgänglighet av tekniska medel (datorer etc.) som lagrar, bearbetar och överför ekonomisk information för ekonomisk analys;

Organisation av ett särskilt team av analytiker, bestående av industriella ekonomer, specialister på ekonomisk och matematisk modellering, matematiker, datoroperatörer, programmerare, operatörer, etc.

Det nuvarande tillståndet för utvecklingen av principer och specifika former för att använda matematik och andra exakta vetenskaper för att lösa ekonomiska problem återspeglas av ett ungefärligt diagram över de viktigaste matematiska metoderna som används i analysen av företagens ekonomiska verksamhet.

Ovanstående schema är ännu inte en klassificering av ekonomiska och matematiska metoder, eftersom det är sammanställt utan hänsyn till något klassificeringskriterium. Det är nödvändigt för inventering och karakterisering av de grundläggande matematiska metoderna som används vid analys av företags ekonomiska verksamhet. Låt oss överväga det

Ekonomiska och matematiska metoder i analys

Metoder för elementär matematik

Heuristiska metoder

Operationsforskningsmetoder

Matematisk teori om optimala processer

Metoder för ekonomisk cybernetik

Klassiska metoder för matematisk analys

Metoder för matematisk statistik

Ekonometriska metoder

Matematisk programmeringsmetoder

Ekonomiska och matematiska metoder för att analysera ekonomisk aktivitet.

Metoder för elementär matematik används i vanliga traditionella ekonomiska kalkyler vid motivering av resursbehov, redovisning av produktionskostnader, utveckling av planer, projekt, i balansräkningsberäkningar etc. Isolering metoder för klassisk högre matematik i diagrammet beror på att de används inte bara inom ramen för andra metoder, till exempel metoder för matematisk statistik och matematisk programmering, utan även separat. Således kan faktoranalys av förändringar i många ekonomiska indikatorer utföras med hjälp av differentiering och integration.

Metoder för matematisk statistik används ofta i ekonomisk analys. De används i de fall förändringen i de analyserade indikatorerna kan representeras som en slumpmässig process. Statistiska metoder, som är det huvudsakliga sättet att studera massa, återkommande fenomen spela en viktig roll att förutsäga beteendet hos ekonomiska indikatorer. När förhållandet mellan de analyserade egenskaperna inte är deterministiskt, utan stokastiskt, så är statistiska och probabilistiska metoder praktiskt taget det enda forskningsverktyget. De mest använda matematiska och statistiska metoderna inom ekonomisk analys är metoder för multipel- och parkorrelationsanalys.

För studier univariata statistiska aggregat används: variationsserier, distributionslagar, urvalsmetod. För studier multivariata statistiska aggregat De använder korrelationer, regressioner, spridning, kovarians, spektral-, komponent- och faktoranalystyper, studerade i kurser i statistikteori.

Nästa grupp av ekonomiska och matematiska metoder är ekonometriska metoder.Ekonometri- en vetenskaplig disciplin som studerar de kvantitativa aspekterna av ekonomiska fenomen och processer med hjälp av matematisk och statistisk analys baserad på modellering av ekonomiska processer. Följaktligen är ekonometriska metoder baserade på syntesen av tre kunskapsområden: ekonomi, matematik och statistik. Grunden för ekonometri är ekonomisk modell, som förstås som en schematisk representation av ett ekonomiskt fenomen eller en process med hjälp av vetenskaplig abstraktion, som återspeglar deras karakteristiska drag. Av de ekometriska metoderna är den mest använda metoden inom modern ekonomi analysmetoden "input-output". För sin utveckling fick den framstående ekonomen V. Leontiev Nobelpriset 1973. Input-output analysmetodär en ekonometrisk analysmetod som består i att konstruera matrismodeller (balansräkningsmodeller) med hjälp av ett schackbrädemönster och låta förhållandet mellan kostnader och produktionsresultat presenteras i den mest kompakta formen. Bekvämlighet med beräkningar och tydlighet i ekonomisk tolkning är de främsta fördelarna med att använda matrismodeller. Detta är viktigt när man skapar mekaniserade databehandlingssystem och när man planerar produktion av produkter med hjälp av en dator.

Metoder för matematisk programmering i ekonomi- Dessa är många metoder för att lösa problem med att optimera produktionen, ekonomiska och framför allt planerade aktiviteter för en ekonomisk enhet. Dessa metoder är i sin kärna ett medel för planerade beräkningar. Deras värde för ekonomisk analys av genomförandet av affärsplaner ligger i det faktum att de tillåter en att bedöma intensiteten av planerade mål, bestämma begränsande grupper av utrustning, typer av råvaror och material, få uppskattningar av bristen på produktionsresurser etc. .

Under Operations Research förstår metoden för riktade åtgärder (operationer), kvantitativ bedömning av erhållna lösningar och val av den bästa. Ämnet för verksamhetsforskning är ekonomiska system, inklusive företagens produktion och ekonomiska verksamhet. Målet är en kombination av strukturella sammanlänkade delar av system som bäst passar uppgiften att erhålla den bästa ekonomiska indikatorn från ett antal möjliga.

Som en gren av verksamhetsforskning spel teoriär teorin om att konstruera matematiska modeller för att fatta optimala beslut under förhållanden av osäkerhet eller konflikt mellan flera parter med olika intressen.

Köteori -är en teori som utvecklar matematiska metoder för kvantitativ bedömning av köprocesser utifrån sannolikhetsteori. Således kan vilken som helst av de strukturella divisionerna i ett industriföretag representeras som ett objekt för ett servicesystem.

Ett gemensamt drag för alla problem som är förknippade med köande är den slumpmässiga karaktären hos de fenomen som studeras. Antalet serviceförfrågningar och tidsintervallen mellan deras ankomst är slumpmässiga och kan inte förutsägas med entydig säkerhet. Men i sin helhet är många sådana krav föremål för vissa statistiska lagar, vars kvantitativa studie är föremål för köteori.

Metoder för ekonomisk cybernetik håller på att utvecklas ekonomisk cybernetik - en vetenskaplig disciplin som analyserar ekonomiska fenomen och processer som mycket komplexa system, utifrån lagar och mekanismer för att hantera och flöda information i dem. Av metoderna för ekonomisk kybernetik är de mest använda i ekonomisk analys

31 metoder modellering och systemanalys.

Under senare år har intresset inom ekonomin ökat för metoder för att empiriskt söka efter optimala förutsättningar för processen med hjälp av mänsklig erfarenhet och intuition. Detta återspeglas i ansökan heuristiska metoder (beslut), som är informella metoder för att lösa ekonomiska problem relaterade till den nuvarande ekonomiska situationen, baserade på intuition, tidigare erfarenheter, expertbedömningar av specialister, etc.

För analys av produktion, ekonomisk och kommersiell verksamhet har många av metoderna från det givna ungefärliga diagrammet inte funnit praktisk tillämpning och utvecklas endast inom teorin om ekonomisk analys. Samtidigt återspeglar detta schema inte några ekonomiska och matematiska metoder som beaktas i den specialiserade litteraturen om ekonomisk analys: fuzzy mängdteori, katastrofteori etc. I denna lärobok fokuseras uppmärksamheten på de grundläggande ekonomiska och matematiska metoder som redan har använts i stor utsträckning i praktiken av ekonomisk analys.

Tillämpningen av en viss matematisk metod i ekonomisk analys bygger på metodik för ekonomisk och matematisk modellering av ekonomiska processer och vetenskapligt baserad klassificering av analysmetoder och uppgifter.

Enligt klassificeringskriteriet för optimalitet delas alla ekonomiska och matematiska metoder (problem) in i två grupper: optimering och icke-optimering. Optimeringsmetoder- en grupp ekonomiska och matematiska analysmetoder som gör det möjligt att söka en lösning på ett problem enligt ett givet optimalitetskriterium. Icke-optimeringsmetoder- en grupp ekonomiska och matematiska analysmetoder som används för att lösa problem utan ett optimalitetskriterium.

På basis av att få en exakt lösning delas alla ekonomiska och matematiska metoder in i exakta och ungefärliga. TILL exakta metoder inkludera en grupp ekonomiska och matematiska metoder, vars algoritm gör det möjligt att endast få en lösning baserat på ett givet optimalitetskriterium eller utan det. TILL ungefärliga metoder inkludera en grupp ekonomiska och matematiska metoder som används i de fall då stokastisk information används när man söker efter en lösning och lösningen på problemet kan erhållas med vilken grad av noggrannhet som helst, såväl som de vars användning inte garanterar erhållande av en unik lösning enligt ett givet optimalitetskriterium eller utan det.

Alltså, baserat på användningen av endast två klassificeringskriterier, är alla ekonomiska och matematiska metoder indelade i fyra grupper:

1) optimering exakta metoder;

2) optimering ungefärliga metoder;

3) exakta metoder för icke-optimering;

4) ungefärliga metoder för icke-optimering.

Så, till optimering exakta metoder Dessa inkluderar metoder för teorin om optimala processer, vissa metoder för matematisk programmering och metoder för operationsforskning. TILL optimering ungefärliga metoder inkluderar: individuella metoder för matematisk programmering; metoder för operationsforskning, metoder för ekonomisk cybernetik; metoder för matematisk teori för att planera extrema experiment; heuristiska metoder. TILL icke-optimeringsexakta metoder inkluderar: metoder för elementär matematik och klassiska metoder för matematisk analys, ekonometriska metoder. TILL ungefärliga metoder för icke-optimering inkluderar: statistisk testmetod och andra metoder för matematisk statistik.

Av de utökade grupper av ekonomiska och matematiska metoder vi har presenterat används några metoder från dessa grupper för att lösa olika problem – både optimering och icke-optimering; både exakt och ungefärlig.

2 . Linjära programmeringsmetoder. Alla ekonomiska problem lösta med linjära programmeringsmetoder kännetecknas av alternativa lösningar och vissa begränsande villkor. Att lösa ett sådant problem innebär att välja det bästa, optimala bland ett betydande antal av alla möjliga alternativ. Detta är vikten och värdet av att använda linjära programmeringsmetoder inom ekonomi. Det är nästan omöjligt att lösa sådana problem med andra metoder.

Linjär programmering bygger på att lösa ett system av linjära ekvationer (med transformation till ekvationer och ojämlikheter), när förhållandet mellan de fenomen som studeras är strikt funktionellt. Det kännetecknas av: matematiskt uttryck av variabler, en viss ordning, sekvens av beräkningar (algoritm), logisk analys. Den kan endast användas i de fall där variablerna och faktorerna som studeras har matematisk säkerhet och kvantitativa begränsningar, när faktorerna, som ett resultat av en känd sekvens av beräkningar, är utbytbara, när logiken i beräkningarna, matematisk logik kombineras med en logisk förståelse av essensen av det fenomen som studeras.

Med hjälp av linjära programmeringsmetoder i industriell produktion, till exempel, beräknas den optimala totala produktiviteten för maskiner, enheter, produktionslinjer (för ett givet produktsortiment och andra givna värden), och problemet med rationell skärning av material löses (med optimal utbyte av arbetsstycken). Inom jordbruket används de för att bestämma minimikostnaden för foderransoner för en given mängd foder (efter typ och näringsämnen som finns i dem). Blandningsproblemet kan även finna tillämpning i gjuteriproduktion (sammansättning av metallurgisk laddning). Samma metoder löser transportproblemet, problemet med att rationellt knyta konsumentföretag till producerande företag.

3. Dynamiska programmeringsmetoder. Dynamiska programmeringsmetoder används för att lösa optimeringsproblem där den objektiva funktionen och/eller begränsningarna kännetecknas av olinjära beroenden.

Tecken på olinjäritet är i synnerhet närvaron av variabler vars exponent skiljer sig från enhet, samt närvaron av en variabel i exponenten, under roten, under logaritmens tecken.

Inom ekonomi i allmänhet och inom företagsekonomi i synnerhet finns det många exempel på olinjära beroenden. Således ökar eller minskar produktionens ekonomiska effektivitet oproportionerligt till förändringar i produktionens omfattning; Kostnaden för att producera en sats av delar ökar med ökningen av satsstorleken, men inte i proportion till den. Ett olinjärt förhållande kännetecknar förändringen i mängden slitage av produktionsutrustning beroende på tidpunkten för dess drift, den specifika förbrukningen av bensin (per 1 km spår) - på hastigheten på fordonens rörelse och många andra ekonomiska situationer.

RYSKA FEDERATIONENS UTBILDNINGSMINISTERIET OCH VETENSKAP

FEDERAL UTBILDNINGSMYNDIGHET

Statens läroanstalt för högre yrkesutbildning

RYSKA STATLIGA HANDEL OCH EKONOMI UNIVERSITET

TULA GREEN

(TF GOU VPO RGTEU)

Sammanfattning i matematik om ämnet:

"Ekonomiska och matematiska modeller"

Avslutad:

2:a årselever

"Finans och kredit"

dagavdelning

Maximova Kristina

Vitka Natalya

Kontrollerade:

doktor i tekniska vetenskaper,

Professor S.V. Yudin ____________

Introduktion

1. Ekonomisk och matematisk modellering

1.1 Grundbegrepp och typer av modeller. Deras klassificering

1.2 Ekonomiska och matematiska metoder

Utveckling och tillämpning av ekonomiska och matematiska modeller

2.1 Stadier av ekonomisk och matematisk modellering

2.2 Tillämpning av stokastiska modeller inom ekonomi

Slutsats

Bibliografi

Introduktion

Relevans.Modellering inom vetenskaplig forskning började användas i antiken och fångade gradvis nya områden av vetenskaplig kunskap: teknisk design, konstruktion och arkitektur, astronomi, fysik, kemi, biologi och slutligen samhällsvetenskap. Modelleringsmetoden på 1900-talet gav stor framgång och erkännande inom nästan alla grenar av modern vetenskap. Modelleringsmetodik har dock utvecklats oberoende av enskilda vetenskaper under lång tid. Det fanns inget enhetligt system av begrepp, ingen enhetlig terminologi. Först gradvis började modellens roll som en universell metod för vetenskaplig kunskap förverkligas.

Termen "modell" används ofta inom olika områden av mänsklig aktivitet och har många semantiska betydelser. Låt oss bara betrakta sådana "modeller" som är verktyg för att få kunskap.

En modell är ett materiellt eller mentalt föreställt föremål som i forskningsprocessen ersätter det ursprungliga föremålet så att dess direkta studie ger ny kunskap om det ursprungliga föremålet.

Modellering avser processen att konstruera, studera och tillämpa modeller. Det är nära besläktat med sådana kategorier som abstraktion, analogi, hypotes, etc. Modelleringsprocessen inkluderar med nödvändighet konstruktion av abstraktioner, slutsatser genom analogi och konstruktion av vetenskapliga hypoteser.

Ekonomisk och matematisk modellering är en integrerad del av all forskning inom ekonomiområdet. Den snabba utvecklingen av matematisk analys, operationsforskning, sannolikhetsteori och matematisk statistik bidrog till bildandet av olika typer av ekonomiska modeller.

Målet med matematisk modellering av ekonomiska system är att använda matematiska metoder för att mest effektivt lösa problem som uppstår inom ekonomiområdet, med som regel modern datorteknik.

Varför kan vi prata om effektiviteten av att använda modelleringsmetoder inom detta område? För det första kan ekonomiska objekt på olika nivåer (som börjar från nivån för ett enkelt företag och slutar på makronivån - den nationella ekonomin eller till och med världsekonomin) betraktas ur ett systemperspektiv. För det andra, sådana egenskaper hos beteendet hos ekonomiska system som:

-variabilitet (dynamik);

-inkonsekvent beteende;

-tendens att försämra prestanda;

-miljöexponering

förutbestämmer valet av metod för sin forskning.

Matematikens penetration i ekonomin innebär att man övervinner betydande svårigheter. Matematiken, som utvecklades under flera århundraden främst i samband med fysikens och teknikens behov, var delvis skyldig till detta. Men huvudorsakerna ligger fortfarande i de ekonomiska processernas natur, i den ekonomiska vetenskapens särdrag.

Ekonomins komplexitet sågs ibland som en motivering till omöjligheten att modellera den och studera den med matematik. Men denna synpunkt är i grunden felaktig. Du kan modellera ett objekt av vilken karaktär och vilken komplexitet som helst. Och det är just komplexa objekt som är av störst intresse för modellering; Det är här modellering kan ge resultat som inte kan erhållas med andra forskningsmetoder.

Syftet med detta arbete- avslöja begreppet ekonomiska och matematiska modeller och studera deras klassificering och de metoder som de bygger på, samt överväga deras tillämpning inom ekonomi.

Mål med detta arbete:systematisering, ackumulering och konsolidering av kunskap om ekonomiska och matematiska modeller.

1. Ekonomisk och matematisk modellering

1.1 Grundläggande koncept och typer av modeller. Deras klassificering

I processen med att undersöka ett objekt är det ofta opraktiskt eller till och med omöjligt att ta itu med detta objekt direkt. Det kan vara bekvämare att ersätta det med ett annat objekt som liknar detta i de aspekter som är viktiga i denna studie. I allmänhet modellkan definieras som en konventionell bild av ett verkligt objekt (processer), som skapas för en djupare studie av verkligheten. En forskningsmetod baserad på utveckling och användning av modeller kallas modellering. Behovet av modellering beror på komplexiteten och ibland omöjligheten att direkt studera ett verkligt objekt (processer). Det är mycket mer tillgängligt att skapa och studera prototyper av verkliga objekt (processer), d.v.s. modeller. Vi kan säga att teoretisk kunskap om något som regel är en kombination av olika modeller. Dessa modeller återspeglar de väsentliga egenskaperna hos ett verkligt objekt (processer), även om verkligheten i verkligheten är mycket mer meningsfull och rikare.

Modell- detta är ett mentalt representerat eller materiellt realiserat system som, genom att visa eller reproducera ett studieobjekt, kan ersätta det så att dess studie ger ny information om detta objekt.

Hittills finns det ingen allmänt accepterad enhetlig klassificering av modeller. Men från en mängd olika modeller kan verbala, grafiska, fysiska, ekonomisk-matematiska och några andra typer av modeller urskiljas.

Ekonomiska och matematiska modeller- dessa är modeller av ekonomiska objekt eller processer, vars beskrivning använder matematiska medel. Syften med deras skapande är varierande: de är byggda för att analysera vissa förutsättningar och bestämmelser i ekonomisk teori, logisk motivering av ekonomiska mönster, bearbetning och föra in empiriska data i systemet. Rent praktiskt används ekonomiska och matematiska modeller som ett verktyg för att prognostisera, planera, hantera och förbättra olika aspekter av samhällets ekonomiska aktivitet.

Ekonomiska och matematiska modeller återspeglar de mest väsentliga egenskaperna hos ett verkligt objekt eller en process med hjälp av ett ekvationssystem. Det finns ingen enhetlig klassificering av ekonomiska och matematiska modeller, även om deras viktigaste grupper kan identifieras beroende på klassificeringsattributet.

Av syftemodellerna är indelade i:

· Teoretisk-analytisk (används vid studiet av allmänna egenskaper och mönster för ekonomiska processer);

· Tillämpad (används för att lösa specifika ekonomiska problem, såsom problem med ekonomisk analys, prognoser, förvaltning).

Med hänsyn till tidsfaktornmodellerna är indelade i:

· Dynamisk (beskriv ett ekonomiskt system under utveckling);

· Statistiskt (ett ekonomiskt system beskrivs i statistik i relation till en specifik tidpunkt; det är som en ögonblicksbild, skiva, fragment av ett dynamiskt system vid någon tidpunkt).

Enligt längden på den aktuella tidsperiodenmodeller särskiljs:

· Kortsiktiga prognoser eller planering (upp till ett år);

· Medellång sikt prognoser eller planering (upp till 5 år);

· Långsiktig prognos eller planering (mer än 5 år).

Enligt syftet med skapande och användningmodeller särskiljs:

· Balansräkning;

· Ekonometrisk;

· Optimering;

·Nätverk;

· Kösystem;

· Simulering (expert).

I balansräkningmodeller speglar kravet på att matcha tillgången på resurser och deras användning.

alternativ ekonometriskmodeller bedöms med matematiska statistiska metoder. De vanligaste modellerna är system av regressionsekvationer. Dessa ekvationer återspeglar endogena (beroende) variablers beroende av exogena (oberoende) variabler. Detta beroende uttrycks huvudsakligen genom trenden (långsiktig trend) för huvudindikatorerna för det modellerade ekonomiska systemet. Ekonometriska modeller används för att analysera och prognostisera specifika ekonomiska processer med hjälp av verklig statistisk information.

Optimeringmodeller låter dig hitta det bästa alternativet för produktion, distribution eller konsumtion från en mängd möjliga (alternativa) alternativ. Begränsade resurser kommer att användas på bästa möjliga sätt för att nå målet.

Nätverkmodeller används mest i projektledning. Nätverksmodellen visar en uppsättning verk (operationer) och händelser, och deras relation över tid. Vanligtvis är nätverksmodellen utformad för att utföra arbete i en sådan sekvens att projektets slutförandetid är minimal. I det här fallet är uppgiften att hitta den kritiska vägen. Men det finns också nätverksmodeller som inte fokuserar på tidskriteriet, utan till exempel på att minimera kostnaderna för arbetet.

Modeller kösystemskapas för att minimera den tid som ägnas åt att vänta i köer och stilleståndstid för servicekanaler.

ImitationModellen, tillsammans med maskinbeslut, innehåller block där beslut fattas av en människa (expert). Istället för direkt mänskligt deltagande i beslutsfattandet kan en kunskapsbas agera. I det här fallet bildar en persondator, specialiserad programvara, en databas och en kunskapsbas ett expertsystem. Expertsystemet är designat för att lösa ett eller flera problem genom att simulera handlingar av en person, en expert inom ett givet område.

Med hänsyn till osäkerhetsfaktornmodellerna är indelade i:

· Deterministisk (med unikt definierade resultat);

· Stokastisk (probabilistisk; med olika, sannolikhetsmässiga resultat).

Efter typ av matematisk apparatmodeller särskiljs:

· Linjär programmering (den optimala planen uppnås vid den extrema punkten av intervallet av förändringar i variablerna i begränsningssystemet);

· Icke-linjär programmering (det kan finnas flera optimala värden för objektivfunktionen);

· Korrelation-regression;

·Matris;

·Nätverk;

·Spelteorier;

· Köteorier osv.

Med utvecklingen av ekonomisk och matematisk forskning blir problemet med att klassificera de använda modellerna mer komplicerat. Tillsammans med uppkomsten av nya typer av modeller och nya funktioner i deras klassificering, pågår processen att integrera modeller av olika typer i mer komplexa modellstrukturer.

modellering av matematisk stokastik

1.2 Ekonomiska och matematiska metoder

Liksom all modellering bygger ekonomisk-matematisk modellering på principen om analogi, d.v.s. möjligheten att studera ett föremål genom konstruktion och övervägande av ett annat, liknande det, men enklare och mer tillgängligt föremål, dess modell.

De praktiska uppgifterna för ekonomisk och matematisk modellering är för det första analysen av ekonomiska objekt, för det andra ekonomiska prognoser, förutse utvecklingen av ekonomiska processer och beteendet hos enskilda indikatorer, och för det tredje utvecklingen av ledningsbeslut på alla nivåer av ledning.

Kärnan i ekonomisk-matematisk modellering är att beskriva socioekonomiska system och processer i form av ekonomisk-matematiska modeller, vilka ska förstås som en produkt av den ekonomisk-matematiska modelleringsprocessen, och ekonomisk-matematiska metoder som ett verktyg.

Låt oss överväga frågorna om klassificering av ekonomiska och matematiska metoder. Dessa metoder representerar ett komplex av ekonomiska och matematiska discipliner, som är en legering av ekonomi, matematik och cybernetik. Därför kommer klassificeringen av ekonomiska och matematiska metoder ner till klassificeringen av de vetenskapliga discipliner som utgör dem.

Med en viss grad av konvention kan klassificeringen av dessa metoder presenteras enligt följande.

· Ekonomisk kybernetik: systemanalys av ekonomi, teori om ekonomisk information och teori om styrsystem.

· Matematisk statistik: ekonomiska tillämpningar av denna disciplin - urvalsmetod, variansanalys, korrelationsanalys, regressionsanalys, multivariat statistisk analys, indexteori, etc.

· Matematisk ekonomi och ekonometri, som studerar samma frågeställningar från den kvantitativa sidan: teori om ekonomisk tillväxt, teori om produktionsfunktioner, insatsbalanser, nationalräkenskaper, analys av efterfrågan och konsumtion, regional och rumslig analys, global modellering.

· Metoder för att fatta optimala beslut, inklusive operationsforskning inom ekonomi. Detta är det mest omfattande avsnittet, inklusive följande discipliner och metoder: optimal (matematisk) programmering, nätverksmetoder för planering och förvaltning, teori och metoder för lagerhantering, köteori, spelteori, teori och metoder för beslutsfattande.

Optimal programmering inkluderar i sin tur linjär och olinjär programmering, dynamisk programmering, diskret (heltals) programmering, stokastisk programmering, etc.

· Metoder och discipliner specifika separat för både en centralt planerad ekonomi och en marknadsekonomi (konkurrens). Den första inkluderar teorin om optimal prissättning av ekonomins funktion, optimal planering, teorin om optimal prissättning, modeller för material och teknisk tillgång, etc. Den andra inkluderar metoder som tillåter oss att utveckla modeller för fri konkurrens, modeller för kapitalistiska cykeln, modeller för monopol, modeller för företagets teori, etc. . Många av de metoder som utvecklats för en centralt planerad ekonomi kan också vara användbara vid ekonomisk och matematisk modellering i en marknadsekonomi.

· Metoder för experimentell studie av ekonomiska fenomen. Dessa inkluderar vanligtvis matematiska metoder för analys och planering av ekonomiska experiment, metoder för maskinimitation (simuleringsmodellering) och affärsspel. Detta inkluderar även metoder för expertbedömningar utvecklade för att bedöma fenomen som inte kan mätas direkt.

Ekonomiska-matematiska metoder använder olika grenar av matematik, matematisk statistik och matematisk logik. Beräkningsmatematik, teori om algoritmer och andra discipliner spelar en stor roll för att lösa ekonomiska och matematiska problem. Användningen av matematiska apparater har gett påtagliga resultat för att lösa problem med att analysera utökade produktionsprocesser, bestämma den optimala tillväxttakten för kapitalinvesteringar, optimal placering, specialisering och koncentration av produktionen, problem med att välja optimala produktionsmetoder, bestämma den optimala sekvensen av lansering i produktion, problem med att förbereda produktion med hjälp av nätverksplaneringsmetoder och många andra.

Att lösa standardproblem kännetecknas av tydlighet i syfte, förmåga att utveckla rutiner och regler för att genomföra beräkningar i förväg.

Det finns följande förutsättningar för att använda metoder för ekonomisk och matematisk modellering, av vilka de viktigaste är en hög kunskapsnivå om ekonomisk teori, ekonomiska processer och fenomen, metodiken för deras kvalitativa analys, samt en hög nivå av matematisk träning och behärskning av ekonomiska och matematiska metoder.

Innan man börjar utveckla modeller är det nödvändigt att noggrant analysera situationen, identifiera mål och relationer, problem som ska lösas och initiala data för att lösa dem, underhålla ett notationssystem och först därefter beskriva situationen i form av matematiska samband .

2. Utveckling och tillämpning av ekonomiska och matematiska modeller

2.1 Stadier av ekonomisk och matematisk modellering

Processen för ekonomisk och matematisk modellering är en beskrivning av ekonomiska och sociala system och processer i form av ekonomiska och matematiska modeller. Denna typ av modellering har ett antal betydelsefulla egenskaper associerade både med modelleringsobjektet och med den apparat och de modelleringsverktyg som används. Därför är det tillrådligt att analysera mer detaljerat sekvensen och innehållet i stadierna av ekonomisk och matematisk modellering, och belysa följande sex steg:

.Redogörelse för det ekonomiska problemet och dess kvalitativa analys;

2.Konstruktion av en matematisk modell;

.Matematisk analys av modellen;

.Utarbetande av bakgrundsinformation;

.Numerisk lösning;

Låt oss titta på vart och ett av stegen mer i detalj.

1.Redogörelse för det ekonomiska problemet och dess kvalitativa analys. Det viktigaste här är att tydligt formulera kärnan i problemet, de antaganden som gjorts och de frågor som krävs svar på. Detta steg inkluderar att identifiera de viktigaste egenskaperna och egenskaperna hos det modellerade objektet och abstrahera från mindre; studera ett objekts struktur och de grundläggande beroenden som förbinder dess element; formulera hypoteser (åtminstone preliminära) som förklarar objektets beteende och utveckling.

2.Att bygga en matematisk modell. Detta är stadiet för att formalisera ett ekonomiskt problem, uttrycka det i form av specifika matematiska beroenden och samband (funktioner, ekvationer, ojämlikheter, etc.). Vanligtvis bestäms först huvuddesignen (typen) av en matematisk modell, och sedan specificeras detaljerna i denna design (en specifik lista över variabler och parametrar, formen av anslutningar). Således är konstruktionen av modellen i sin tur uppdelad i flera steg.

Det är fel att tro att ju mer fakta en modell tar hänsyn till, desto bättre ”fungerar” den och ger bättre resultat. Detsamma kan sägas om sådana egenskaper hos modellens komplexitet som de former av matematiska beroenden som används (linjära och olinjära), med hänsyn till slumpmässighetsfaktorer och osäkerhet, etc.

Överdriven komplexitet och krånglighet i modellen komplicerar forskningsprocessen. Det är nödvändigt att inte bara ta hänsyn till den verkliga förmågan hos information och matematiskt stöd, utan också att jämföra kostnaderna för modellering med den resulterande effekten.

En av de viktiga egenskaperna hos matematiska modeller är potentialen för deras användning för att lösa problem med olika kvaliteter. Därför, även när man står inför ett nytt ekonomiskt problem, finns det inget behov av att sträva efter att "uppfinna" modellen; först måste du försöka använda redan kända modeller för att lösa detta problem.

.Matematisk analys av modellen.Syftet med detta steg är att klargöra modellens allmänna egenskaper. Här används rent matematiska forskningsmetoder. Den viktigaste punkten är beviset på att det finns lösningar i den formulerade modellen. Om det är möjligt att bevisa att det matematiska problemet inte har någon lösning, försvinner behovet av efterföljande arbete med den ursprungliga versionen av modellen och antingen formuleringen av det ekonomiska problemet eller metoderna för dess matematiska formalisering bör justeras. Under den analytiska studien av modellen klargörs frågor, som till exempel om lösningen är unik, vilka variabler (okända) som kan ingå i lösningen, vad som blir sambanden mellan dem, inom vilka gränser och beroende på de initiala förutsättningarna de förändras, vilka trender är deras förändring, etc. d. En analytisk studie av en modell, jämfört med en empirisk (numerisk), har fördelen att de erhållna slutsatserna förblir giltiga för olika specifika värden av modellens externa och interna parametrar.

4.Förberedelse av initial information.Modellering ställer höga krav på informationssystemet. Samtidigt begränsar de verkliga möjligheterna att få information valet av modeller avsedda för praktiskt bruk. I detta fall beaktas inte bara den grundläggande möjligheten att förbereda information (inom en viss tidsram), utan även kostnaderna för att förbereda motsvarande informationsmatriser.

Dessa kostnader bör inte överstiga effekten av att använda ytterligare information.

I processen för att förbereda information används metoder för sannolikhetsteori, teoretisk och matematisk statistik i stor utsträckning. I systemekonomisk och matematisk modellering är den initiala informationen som används i vissa modeller resultatet av hur andra modeller fungerar.

5.Numerisk lösning.Detta steg inkluderar utveckling av algoritmer för numerisk lösning av problemet, sammanställning av datorprogram och direkta beräkningar. Svårigheterna i detta skede beror först och främst på den stora dimensionen av ekonomiska problem och behovet av att bearbeta betydande mängder information.

Forskning utförd med numeriska metoder kan avsevärt komplettera resultaten av analytisk forskning, och för många modeller är det den enda genomförbara. Klassen av ekonomiska problem som kan lösas med numeriska metoder är mycket bredare än den klass av problem som är tillgängliga för analytisk forskning.

6.Analys av numeriska resultat och deras tillämpning.I detta slutskede av cykeln uppstår frågan om riktigheten och fullständigheten av modelleringsresultaten, om graden av praktisk tillämpbarhet av de senare.

Matematiska verifieringsmetoder kan identifiera felaktiga modellkonstruktioner och därigenom begränsa klassen av potentiellt korrekta modeller. Informell analys av teoretiska slutsatser och numeriska resultat som erhållits genom modellen, jämför dem med befintlig kunskap och fakta om verkligheten gör det också möjligt att upptäcka brister i formuleringen av det ekonomiska problemet, den konstruerade matematiska modellen och dess information och matematiska stöd.

2.2 Tillämpning av stokastiska modeller inom ekonomi

Grunden för effektiviteten av bankförvaltningen är systematisk kontroll över optimaliteten, balansen och hållbarheten i att fungera inom ramen för alla element som utgör resurspotentialen och bestämmer utsikterna för den dynamiska utvecklingen av ett kreditinstitut. Dess metoder och verktyg kräver modernisering för att ta hänsyn till förändrade ekonomiska förhållanden. Samtidigt avgör behovet av att förbättra mekanismen för att implementera ny bankteknik möjligheten för vetenskaplig forskning.

De integrerade koefficienterna för finansiell stabilitet (IFS) för affärsbanker som används i befintliga metoder karaktäriserar ofta balansen i deras tillstånd, men tillåter dem inte att ge en fullständig beskrivning av utvecklingstrenden. Man bör ta hänsyn till att resultatet (CFU) beror på många slumpmässiga orsaker (endogena och exogena), som inte fullt ut kan beaktas i förväg.

I detta avseende är det motiverat att betrakta de möjliga resultaten av en studie av bankernas stabila tillstånd som slumpvariabler med samma sannolikhetsfördelning, eftersom studierna utförs med samma metodik med samma tillvägagångssätt. Dessutom är de ömsesidigt oberoende, d.v.s. resultatet av varje enskild koefficient beror inte på de andras värden.

Med hänsyn till att i ett försök den slumpmässiga variabeln tar ett och endast ett möjligt värde, drar vi slutsatsen att händelserna x1 , x2 , …, xnbildar en komplett grupp, därför kommer summan av deras sannolikheter att vara lika med 1: sid1 +s2 +…+sn=1 .

Diskret slumpvariabel X- koefficient för finansiell stabilitet för bank "A", Y- bank "B", Z- bank "C" för en given period. För att få ett resultat som ger anledning att dra en slutsats om hållbarheten i bankernas utveckling har bedömningen gjorts utifrån en 12-årig retrospektiv period (tabell 1).

bord 1

Årets serienummer Bank "A" Bank "B" Bank "C"11,3141,2011,09820,8150,9050,81131,0430,9940,83941,2111,0051,01351,1101,0901,00961,0981,1541,111,1317,1317,1317,1317,1317,1311,117,1317,112 281.06591, 2451 ,1911,145101,5701,2041,296111,3001,1261,084121,1431,1511,028Min0,8150,9050,811Max1,5701,3281,2042500,0475500,0475500,0475500

För varje prov för en specifik bank är värdena uppdelade i Nintervall definieras minimi- och maximivärdena. Förfarandet för att bestämma det optimala antalet grupper baseras på tillämpningen av Sturgess-formeln:

N=1+3,322 * log N;

N=1+3,322 * ln12=9,525?10,

Var n- antal grupper;

N- befolkningens antal.

h=(KFUmax– KFUmin) / 10.

Tabell 2

Gränser för intervall av värden för diskreta slumpvariabler X, Y, Z (finansiella stabilitetskoefficienter) och frekvensen av förekomsten av dessa värden inom de angivna gränserna

Intervallnummer Intervallgränser Förekomstfrekvens (n )XYZXYZ10,815-0,8910,905-0,9470,811-0,86011220,891-0,9660,947-0,9900,860-0,90800030,966-1,0420,990-1,0320,908-0,95702041,042-1,1171,032-1,0740,957-1,00540051,117-1,1931,074-1,1171,005-1,05412561,193-1,2681,117-1,1591,054-1,10223371,268-1,3441,159-1,2011,102-1,15131181,344-1,4191,201-1,2431,151-1,19902091,419-1,4951,243-1,2861,199-1,248000101,495-1,5701,286-1,3281,248-1,296111

Baserat på det hittade intervallsteget, beräknades gränserna för intervallen genom att addera det hittade steget till minimivärdet. Det resulterande värdet är gränsen för det första intervallet (den vänstra gränsen är LG). För att hitta det andra värdet (den högra gränsen för PG), läggs steget igen till den hittade första gränsen, etc. Den sista intervallgränsen sammanfaller med maxvärdet:

LG1 =KFUmin;

PG1 =KFUmin+h;

LG2 =PG1;

PG2 =LG2 +h;

PG10 =KFUmax.

Data om frekvensen av förekomsten av finansiella stabilitetskoefficienter (diskreta slumpvariabler X, Y, Z) grupperas i intervall, och sannolikheten för att deras värden faller inom de angivna gränserna bestäms. I det här fallet ingår det vänstra värdet på gränsen i intervallet, men det högra inte (tabell 3).

Tabell 3

Fördelning av diskreta slumpvariabler X, Y, Z

IndikatorIndikatorvärdenBank “A”X0,8530,9291,0041,0791,1551,2311,3061,3821,4571,532P(X)0,083000,3330,0830,1670,250000,083Bank "B"Y0,9260,9691,0111,0531,0961,1381,1801,2221,2651,307P(Y)0,08300,16700,1670,2500,0830,16700,083Bank "C"Z0,8350,8840,9330,9811,0301,0781,1271,1751,2241,272P(Z)0,1670000,4170,2500,083000,083

Efter frekvens av förekomst av värden nderas sannolikheter hittades (frekvensen av förekomsten delas med 12, baserat på antalet enheter i populationen), och mittpunkterna i intervallen användes som värden för diskreta slumpvariabler. Lagar för deras distribution:

Pi= ni /12;

Xi= (LGi+PGi)/2.

Baserat på fördelningen kan man bedöma sannolikheten för en ohållbar utveckling av varje bank:

P(X<1) = P(X=0,853) = 0,083

P(Y<1) = P(Y=0,926) = 0,083

P(Z<1) = P(Z=0,835) = 0,167.

Så, med en sannolikhet på 0,083, kan bank "A" uppnå ett finansiellt stabilitetskoefficientvärde på 0,853. Det finns med andra ord en 8,3 % chans att dess utgifter överstiger inkomsten. För Bank "B" var sannolikheten för att förhållandet skulle falla under ett också 0,083, men med hänsyn till organisationens dynamiska utveckling kommer denna minskning fortfarande att vara obetydlig - till 0,926. Slutligen finns det en stor sannolikhet (16,7%) att verksamheten i Bank "C", allt annat lika, kännetecknas av ett finansiellt stabilitetsvärde på 0,835.

Samtidigt kan man från fördelningstabellerna se sannolikheten för en hållbar utveckling av banker, d.v.s. summan av sannolikheter, där koefficientalternativen har ett värde större än 1:

P(X>1) = 1 - P(X<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Y>1) = 1 - P(Y<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Z>1) = 1 - P(Z<1) = 1 - 0,167 = 0,833.

Det kan observeras att den minst hållbara utvecklingen förväntas i bank "C".

Generellt anger fördelningslagen en stokastisk variabel, men oftare är det lämpligare att använda tal som beskriver stokastisk variabel totalt. De kallas de numeriska egenskaperna hos en slumpvariabel, och de inkluderar den matematiska förväntan. Den matematiska förväntan är ungefär lika med medelvärdet av den slumpmässiga variabeln, och ju fler tester som utförs, desto mer närmar sig medelvärdet.

Den matematiska förväntan av en diskret slumpvariabel är summan av produkterna av alla möjliga värden och dess sannolikhet:

M(X) = x1 sid1 +x2 sid2 +…+xnsidn

Resultaten av att beräkna värdena för matematiska förväntningar på slumpvariabler presenteras i tabell 4.

Tabell 4

Numeriska egenskaper för diskreta slumpvariabler X, Y, Z

BankExpectationDispersion Mean square deviation"A"M(X) = 1,187D(X) =0,027 ?(x) = 0,164"V"M(Y) = 1,124D(Y) = 0,010 ?(y) = 0,101 "С" M(Z) = 1,037D(Z) = 0,012? (z) = 0,112

De erhållna matematiska förväntningarna tillåter oss att uppskatta medelvärdena för de förväntade sannolika värdena för den finansiella stabilitetskoefficienten i framtiden.

Så, enligt beräkningar, kan vi bedöma att den matematiska förväntningen på hållbar utveckling av bank "A" är 1,187. Den matematiska förväntningen för bankerna "B" och "C" är 1,124 respektive 1,037, vilket återspeglar den förväntade lönsamheten för deras arbete.

Men genom att bara känna till den matematiska förväntningen, som visar "centrum" för de förväntade möjliga värdena för den slumpmässiga variabeln - CFU, är det fortfarande omöjligt att bedöma vare sig dess möjliga nivåer eller graden av deras spridning runt den erhållna matematiska förväntningen.

Med andra ord, den matematiska förväntningen, på grund av sin natur, karaktäriserar inte fullt ut hållbarheten i bankens utveckling. Av denna anledning blir det nödvändigt att beräkna andra numeriska egenskaper: spridning och standardavvikelse. Vilket gör att vi kan bedöma graden av spridning av möjliga värden för den finansiella stabilitetskoefficienten. Matematiska förväntningar och standardavvikelser gör det möjligt för oss att uppskatta det intervall inom vilket de möjliga värdena för kreditinstitutens finansiella stabilitetskoefficienter kommer att ligga.

Med ett relativt högt karakteristiskt värde på den matematiska stabilitetsförväntningen för bank "A" var standardavvikelsen 0,164, vilket indikerar att bankens stabilitet antingen kan öka med detta belopp eller minska. I händelse av en negativ förändring i stabilitet (vilket fortfarande är osannolikt, givet den erhållna sannolikheten för olönsam aktivitet lika med 0,083), kommer bankens finansiella stabilitetskoefficient att förbli positiv - 1,023 (se tabell 3)

Aktiviteten för Bank "B" med en matematisk förväntan på 1,124 kännetecknas av ett mindre intervall av koefficientvärden. Således, även under ogynnsamma omständigheter, kommer banken att förbli stabil, eftersom standardavvikelsen från det förutsagda värdet var 0,101, vilket gör att den kan förbli i den positiva lönsamhetszonen. Därför kan vi dra slutsatsen att utvecklingen av denna bank är hållbar.

Bank "C", tvärtom, med en låg matematisk förväntan på dess tillförlitlighet (1,037), ceteris paribus, kommer att stöta på en oacceptabel avvikelse lika med 0,112. I en ogynnsam situation, och även med hänsyn till den höga sannolikheten för olönsamma aktiviteter (16,7%), kommer detta kreditinstitut med största sannolikhet att minska sin finansiella stabilitet till 0,925.

Det är viktigt att notera att efter att ha gjort slutsatser om hållbarheten i utvecklingen av banker är det omöjligt att i förväg med säkerhet förutsäga vilka av de möjliga värdena som den finansiella stabilitetskoefficienten kommer att ta som ett resultat av testet; det beror på många orsaker, som inte kan tas med i beräkningen. Från denna position har vi mycket blygsam information om varje slumpvariabel. I detta sammanhang är det knappast möjligt att fastställa beteendemönster och summan av ett tillräckligt stort antal stokastiska variabler.

Det visar sig dock att under vissa relativt breda förhållanden det övergripande beteendet hos ett tillräckligt stort antal slumpvariabler nästan förlorar sin slumpmässiga karaktär och blir naturligt.

När man bedömer hållbarheten i bankernas utveckling återstår att uppskatta sannolikheten för att en slumpvariabels avvikelse från dess matematiska förväntan inte överstiger ett positivt tal i absolut värde ?.Ojämlikheten i P.L. Chebysheva. Sannolikheten att avvikelsen för en slumpvariabel X från dess matematiska förväntan i absolut värde är mindre än ett positivt tal ? inte mindre än :

eller vid omvänd sannolikhet:

Med hänsyn till risken förknippad med förlust av stabilitet, kommer vi att utvärdera sannolikheten för att en diskret slumpvariabel avviker från den matematiska förväntan nedåt och, med tanke på att avvikelser från det centrala värdet både nedåt och uppåt är lika sannolika, kommer vi att skriva om ojämlikheten igen :

Därefter, baserat på uppgiften, är det nödvändigt att uppskatta sannolikheten att det framtida värdet av den finansiella stabilitetskoefficienten inte kommer att vara lägre än 1 från den föreslagna matematiska förväntan (för bank "A" värdet ?låt oss ta det lika med 0,187, för bank "B" - 0,124, för "C" - 0,037) och beräkna denna sannolikhet:

burk":

Bank "C":

Enligt ojämlikheten hos P.L. Chebyshev, den mest stabila i dess utveckling är Bank "B", eftersom sannolikheten för avvikelse av de förväntade värdena för en slumpvariabel från dess matematiska förväntan är låg (0,325), medan den är jämförelsevis mindre än för andra banker. Bank A ligger på andra plats när det gäller jämförande hållbar utveckling, där koefficienten för denna avvikelse är något högre än i det första fallet (0,386). I den tredje banken är sannolikheten att värdet på den finansiella stabilitetskoefficienten avviker till vänster om den matematiska förväntan med mer än 0,037 en nästan säker händelse. Dessutom, om vi tar hänsyn till att sannolikheten inte kan vara mer än 1, överskrider värdena enligt beviset för L.P. Chebyshev måste tas som 1. Med andra ord är det faktum att bankens utveckling kan flytta in i en instabil zon, kännetecknad av en finansiell stabilitetskoefficient på mindre än 1, en tillförlitlig händelse.

Sålunda, genom att karakterisera affärsbankernas finansiella utveckling, kan vi dra följande slutsatser: den matematiska förväntningen på en diskret slumpvariabel (det genomsnittliga förväntade värdet av den finansiella stabilitetskoefficienten) för bank "A" är lika med 1,187. Standardavvikelsen för detta diskreta värde är 0,164, vilket objektivt karakteriserar den lilla spridningen av koefficientvärden från medeltalet. Graden av instabilitet för denna serie bekräftas dock av den ganska höga sannolikheten för en negativ avvikelse av den finansiella stabilitetskoefficienten från 1, lika med 0,386.

Analys av den andra bankens aktiviteter visade att den matematiska förväntan av CFU är lika med 1,124 med en standardavvikelse på 0,101. Ett kreditinstituts verksamhet kännetecknas således av en liten spridning i värdena på den finansiella stabilitetskoefficienten, dvs. är mer koncentrerad och stabil, vilket bekräftas av den relativt låga sannolikheten (0,325) för att banken flyttar in i den olönsamma zonen.

Stabiliteten för bank "C" kännetecknas av ett lågt värde på den matematiska förväntan (1,037) och även en liten spridning av värden (standardavvikelsen är 0,112). L.P. ojämlikhet Chebyshev bevisar det faktum att sannolikheten för att få ett negativt värde på den finansiella stabilitetskoefficienten är lika med 1, dvs. förväntan på positiv dynamik i dess utveckling, allt annat lika, kommer att se väldigt orimligt ut. Således tillåter den föreslagna modellen, baserad på att bestämma den befintliga fördelningen av diskreta slumpvariabler (värden av finansiella stabilitetskoefficienter för affärsbanker) och bekräftad genom att bedöma deras lika sannolika positiva eller negativa avvikelse från den erhållna matematiska förväntningen, oss att bestämma dess nuvarande och framtida nivå.

Slutsats

Användningen av matematik i ekonomisk vetenskap gav impulser till utvecklingen av både ekonomisk vetenskap i sig och tillämpad matematik, i termer av metoder för ekonomiska och matematiska modeller. Ordspråket säger: "Mät två gånger - Klipp en gång." Att använda modeller kräver tid, ansträngning och materiella resurser. Dessutom är beräkningar baserade på modeller i motsats till frivilliga beslut, eftersom de tillåter oss att i förväg bedöma konsekvenserna av varje beslut, förkasta oacceptabla alternativ och rekommendera de mest framgångsrika. Ekonomisk och matematisk modellering bygger på analogiprincipen, d.v.s. möjligheten att studera ett föremål genom konstruktion och övervägande av ett annat, liknande det, men enklare och mer tillgängligt föremål, dess modell.

De praktiska uppgifterna för ekonomisk och matematisk modellering är för det första analysen av ekonomiska objekt; för det andra ekonomiska prognoser, prognoser för utvecklingen av ekonomiska processer och beteendet hos enskilda indikatorer; för det tredje utvecklingen av ledningsbeslut på alla ledningsnivåer.

Arbetet visade att ekonomiska och matematiska modeller kan delas in enligt följande kriterier:

· avsedda ändamål;

· med hänsyn till tidsfaktorn;

· längden på den berörda perioden;

· syften med skapande och användning;

· med hänsyn till osäkerhetsfaktorn;

· typ av matematisk apparat;

Beskrivningen av ekonomiska processer och fenomen i form av ekonomiska och matematiska modeller bygger på användningen av en av de ekonomiska och matematiska metoder som används på alla nivåer i ledningen.

Ekonomiska och matematiska metoder blir särskilt viktiga eftersom informationsteknik introduceras inom alla praktikområden. De viktigaste stegen i modelleringsprocessen övervägdes också, nämligen:

· formulering av ett ekonomiskt problem och dess kvalitativa analys;

· bygga en matematisk modell;

· matematisk analys av modellen;

· utarbetande av bakgrundsinformation;

· numerisk lösning;

· analys av numeriska resultat och deras tillämpning.

Arbetet presenterade en artikel av Candidate of Economic Sciences, docent vid institutionen för finans och kredit S.V. Boyko, som noterar att inhemska kreditinstitut som är utsatta för påverkan av den yttre miljön står inför uppgiften att hitta ledningsverktyg som involverar genomförandet av rationella anti-krisåtgärder som syftar till att stabilisera tillväxttakten för de grundläggande indikatorerna för deras verksamhet. I detta avseende ökar vikten av att adekvat bestämma finansiell stabilitet med hjälp av olika metoder och modeller, varav en av varianterna är stokastiska (probabilistiska) modeller, som inte bara gör det möjligt att identifiera de förväntade faktorerna för tillväxt eller nedgång i stabilitet, utan också att formulera en uppsättning förebyggande åtgärder för att bevara den.

Den potentiella möjligheten till matematisk modellering av ekonomiska objekt och processer betyder naturligtvis inte dess framgångsrika genomförbarhet med en given nivå av ekonomisk och matematisk kunskap, tillgänglig specifik information och datorteknik. Och även om det är omöjligt att ange de absoluta gränserna för den matematiska formaliserbarheten av ekonomiska problem, kommer det alltid att finnas fortfarande oformaliserade problem, såväl som situationer där matematisk modellering inte är tillräckligt effektiv.

Bibliografi

1)Krass M.S. Matematik för ekonomiska specialiteter: Lärobok. -4:e uppl., rev. - M.: Delo, 2003.

)Ivanilov Yu.P., Lotov A.V. Matematiska modeller i ekonomi. - M.: Nauka, 2007.

)Ashmanov S.A. Introduktion till matematisk ekonomi. - M.: Nauka, 1984.

)Gataulin A.M., Gavrilov G.V., Sorokina T.M. och andra matematisk modellering av ekonomiska processer. - M.: Agropromizdat, 1990.

)Ed. Fedoseeva V.V. Ekonomisk-matematiska metoder och tillämpade modeller: Lärobok för universitet. - M.: UNITY, 2001.

)Savitskaya G.V. Ekonomisk analys: Lärobok. - 10:e upplagan, rev. - M.: Ny kunskap, 2004.

)Gmurman V.E. Sannolikhetsteori och matematisk statistik. M.: Högre skola, 2002

)Operationsforskning. Mål, principer, metodik: lärobok. manual för universitet / E.S. Wentzel. - 4:e upplagan, stereotyp. - M.: Bustard, 2006. - 206, sid. : sjuk.

)Matematik i ekonomi: lärobok / S.V. - M.: Förlaget RGTEU, 2009.-228 sid.

)Kochetygov A.A. Sannolikhetsteori och matematisk statistik: Lärobok. Manual / Verktyg. stat Univ. Tula, 1998. 200 sid.

)Boyko S.V., Probabilistiska modeller vid bedömning av kreditinstitutens finansiella stabilitet /S.V. Boyko // Finansiering och kredit. - 2011. N 39. -

Handledning

Behöver du hjälp med att studera ett ämne?

Våra specialister kommer att ge råd eller tillhandahålla handledningstjänster i ämnen som intresserar dig.
Skicka in din ansökan anger ämnet just nu för att ta reda på möjligheten att få en konsultation.

Ekonomisk-matematisk modellering är studiet av ekonomi och dess system med hjälp av ekonomiska och matematiska discipliner. EMM studerar kvantitativa samband och mönster med hjälp av vetenskapliga metoder. Således kan du modellera ett objekt av vilken komplexitet som helst och få ett resultat som inte kan uppnås på andra sätt.

Enstegs- och tvåstegsplaner;

Beräkningar utförs med hjälp av spelteori;

Teorin om lagerhantering används för beräkningar;

Beräkningar utförs med hjälp av nätverksplanering;

Köteori används för beräkningar.

För att lösa problemet behöver du också:

1. Kunskap om ekonomisk teori, det vill säga lagar, utvecklingsmönster för det ekonomiska samhället.

2. Kunskap om problemets kärna.

3. Kunskaper om forskningstekniker och -metoder studerade inom statistik, ekonometri, ekonomi m.m.

4. Datorkunskap och behärskning av programvarupaket.

Introduktion

Kapitel 1. Modellering som metod för vetenskaplig kunskap

1.2 Simuleringsprocess

Kapitel 2. Ekonomisk och matematisk modellering

2.1 Klassificering av ekonomiska och matematiska modeller

2.2 Stadier av ekonomisk och matematisk modellering

Slutsats

Bibliografi

Introduktion

Varför kan vi prata om effektiviteten av att använda modelleringsmetoder inom detta område? För det första kan ekonomiska objekt på olika nivåer (som börjar från nivån för ett enkelt företag och slutar på makronivån - den nationella ekonomin eller till och med världsekonomin) betraktas ur ett systemperspektiv. För det andra, följande egenskaper hos beteendet hos ekonomiska system:

Variabilitet (dynamik)

Motsägelsefullt beteende

Försämringstrend

Miljöexponering

Förutbestäm valet av metod för sin forskning.

Under de senaste 30-40 åren har ekonomiska modelleringsmetoder utvecklats mycket intensivt. De byggdes för teoretiska ändamål för ekonomisk analys och för praktiska ändamål med planering, förvaltning och prognoser. Innehållsmässigt kombinerar ekonomiska modeller följande grundläggande processer: produktion, planering, ledning, ekonomi, etc. Men i motsvarande modeller läggs tyngdpunkten alltid på en process (till exempel planprocessen), medan alla andra presenteras i en förenklad form.

I litteraturen som ägnas åt frågorna om ekonomisk och matematisk modellering, beroende på hänsyn till olika faktorer (tid, sätt att representera den i modeller, slumpmässiga faktorer, etc.), särskiljs till exempel följande klasser av modeller:

1.statistisk och dynamisk

2. diskret och kontinuerlig

3. deterministisk och stokastisk.

Om vi överväger typen av metod på grundval av vilken den ekonomisk-matematiska modellen är byggd, kan vi särskilja två huvudtyper av modeller:

Matematisk

Imitation.

De flesta föremål som studeras av ekonomisk vetenskap kan karakteriseras av det cybernetiska konceptet om ett komplext system.

Den vanligaste förståelsen av ett system är som en uppsättning element som samverkar och bildar en viss integritet, enhet. En viktig kvalitet hos alla system är uppkomsten - närvaron av egenskaper som inte är inneboende i någon av elementen som ingår i systemet. När man studerar system är det därför inte tillräckligt att använda metoden att dela upp dem i element och sedan studera dessa element separat. En av svårigheterna med ekonomisk forskning är att det nästan inte finns några ekonomiska objekt som skulle kunna betraktas som separata (icke-systemiska) element.

Komplexiteten hos ett system bestäms av antalet element som ingår i det, sambanden mellan dessa element, samt förhållandet mellan systemet och miljön. Landets ekonomi har alla kännetecken för ett mycket komplext system. Den kombinerar ett stort antal element och kännetecknas av en mängd olika interna kopplingar och förbindelser med andra system (naturlig miljö, ekonomier i andra länder, etc.). I samhällsekonomin samverkar naturliga, teknologiska, sociala processer, objektiva och subjektiva faktorer.

Alla dessa frågor kräver ytterligare överväganden och studier, vilket är syftet med detta arbete, vars uppgifter innefattar systematisering, ackumulering och konsolidering av kunskap om ekonomiska och matematiska modeller.

Kapitel1. Modellering som metod för vetenskaplig kunskap

1.1 Modellering i vetenskaplig forskning

Modellering inom vetenskaplig forskning började användas i antiken och fångade gradvis nya områden av vetenskaplig kunskap: teknisk design, konstruktion och arkitektur, astronomi, fysik, kemi, biologi och slutligen samhällsvetenskap. Modelleringsmetoden på 1900-talet gav stor framgång och erkännande inom nästan alla grenar av modern vetenskap. Modelleringsmetodik har dock utvecklats oberoende av enskilda vetenskaper under lång tid. Det fanns inget enhetligt system av begrepp, ingen enhetlig terminologi. Först gradvis började modellens roll som en universell metod för vetenskaplig kunskap förverkligas.

Termen "modell" används ofta inom olika områden av mänsklig aktivitet och har många semantiska betydelser. Låt oss bara betrakta sådana "modeller" som är verktyg för att få kunskap.

Huvuddragen i modellering är att det är en metod för indirekt kognition med hjälp av proxyobjekt. Modellen fungerar som ett slags kognitionsverktyg som forskaren sätter mellan sig själv och föremålet och med hjälp av vilket han studerar föremålet av intresse för honom. Det är denna egenskap hos modelleringsmetoden som bestämmer de specifika formerna för användning av abstraktioner, analogier, hypoteser och andra kategorier och metoder för kognition.

Behovet av att använda modelleringsmetoden bestäms av det faktum att många objekt (eller problem relaterade till dessa objekt) antingen är omöjliga att direkt studera, eller så kräver denna forskning mycket tid och pengar.

1.2 Simuleringsprocess

Modelleringsprocessen innehåller tre delar:

Ämne (forskare),

Studieobjekt,

En modell som förmedlar relationen mellan det erkännande subjektet och det igenkännbara objektet.

Låt det finnas eller behöva skapa något objekt A. Vi konstruerar (materiellt eller mentalt) eller hittar i den verkliga världen ett annat objekt B - en modell av objekt A. Stadiet för att konstruera en modell förutsätter närvaron av viss kunskap om det ursprungliga objektet . Modellens kognitiva förmågor bestäms av det faktum att modellen återspeglar alla väsentliga egenskaper hos det ursprungliga objektet. Frågan om nödvändigheten och tillräcklig grad av likhet mellan originalet och modellen kräver specifik analys. Uppenbarligen förlorar modellen sin mening både vid identitet med originalet (då upphör den att vara ett original), och vid alltför stor skillnad från originalet i alla väsentliga avseenden.

Således utförs studien av vissa sidor av det modellerade objektet till priset av att vägra att reflektera andra sidor. Därför ersätter varje modell originalet endast i en strikt begränsad mening. Av detta följer att för ett objekt kan flera ”specialiserade” modeller byggas, som koncentrerar uppmärksamheten på vissa aspekter av objektet som studeras eller karaktäriserar objektet med varierande detaljeringsgrad.

I det andra steget av modelleringsprocessen fungerar modellen som ett självständigt studieobjekt. En av formerna för sådan forskning är att genomföra "modellexperiment", där modellens driftsförhållanden medvetet ändras och data om dess "beteende" systematiseras. Slutresultatet av detta steg är en mängd kunskap om R-modellen.

I det tredje steget överförs kunskap från modellen till originalet - bildandet av en uppsättning kunskap S om objektet. Denna process för kunskapsöverföring utförs enligt vissa regler. Kunskapen om modellen måste anpassas med hänsyn till de egenskaper hos det ursprungliga objektet som inte reflekterades eller ändrades under konstruktionen av modellen. Vi kan med tillräcklig anledning överföra vilket resultat som helst från en modell till originalet om detta resultat nödvändigtvis förknippas med tecken på likhet mellan originalet och modellen. Om ett visst resultat av en modellstudie är förknippat med skillnaden mellan modellen och originalet, är det olagligt att överföra detta resultat.

Det fjärde steget är den praktiska verifieringen av den kunskap som erhållits med hjälp av modeller och deras användning för att bygga en allmän teori om objektet, dess transformation eller kontroll.

För att förstå essensen av modellering är det viktigt att inte tappa bort det faktum att modellering inte är den enda källan till kunskap om ett objekt. Modelleringsprocessen är "nedsänkt" i en mer allmän kognitionsprocess. Denna omständighet beaktas inte bara vid konstruktionsstadiet av modellen, utan också i slutskedet, när kombinationen och generaliseringen av forskningsresultat som erhålls på basis av olika kognitionsmetoder inträffar.

Modellering är en cyklisk process. Detta innebär att den första fyrstegscykeln kan följas av en andra, tredje osv. Samtidigt utökas och förfinas kunskapen om det föremål som studeras och den initiala modellen förbättras successivt. Brister som upptäckts efter den första modelleringscykeln, på grund av dålig kunskap om objektet och fel i modellkonstruktionen, kan korrigeras i efterföljande cykler. Modelleringsmetodiken innehåller alltså stora möjligheter till självutveckling.

Kapitel2. Ekonomisk och matematisk modellering

2.1 Klassificering av ekonomiska och matematiska modeller

Matematiska modeller av ekonomiska processer och fenomen kan mer kortfattat kallas ekonomisk-matematiska modeller. Olika baser används för att klassificera dessa modeller.

Enligt deras avsedda syfte är ekonomiska och matematiska modeller uppdelade i teoretiska och analytiska, används i studier av allmänna egenskaper och mönster för ekonomiska processer, och tillämpas, används för att lösa specifika ekonomiska problem (modeller för ekonomisk analys, prognoser, förvaltning).

Ekonomiska och matematiska modeller kan vara avsedda att studera olika aspekter av den nationella ekonomin (i synnerhet dess produktion, tekniska, sociala, territoriella strukturer) och dess enskilda delar. När man klassificerar modeller enligt de ekonomiska processer och materiella frågor som studeras, kan man särskilja modeller för den nationella ekonomin som helhet och dess delsystem - industrier, regioner etc., komplex av modeller för produktion, konsumtion, generering och fördelning av inkomst, arbetsresurser, prissättning, ekonomiska relationer etc. .P.

Låt oss uppehålla oss mer i detalj vid egenskaperna hos sådana klasser av ekonomiska och matematiska modeller, som är förknippade med de största egenskaperna hos metodiken och modelleringsteknikerna.

I enlighet med den allmänna klassificeringen av matematiska modeller är de indelade i funktionella och strukturella, och inkluderar även mellanformer (strukturell-funktionell). I studier på nationell ekonomisk nivå används oftare strukturella modeller, eftersom sammankopplingar av delsystem är av stor betydelse för planering och förvaltning.

Typiska strukturella modeller är modeller av intersektoriella kopplingar. Funktionella modeller används i stor utsträckning inom ekonomisk reglering, när ett objekts beteende ("output") påverkas genom att ändra "input". Ett exempel är modellen för konsumentbeteende i förhållandet mellan varor och pengar.

Samma objekt kan beskrivas samtidigt av både en struktur och en funktionell modell. För att till exempel planera ett separat branschsystem används en strukturell modell och på nationell ekonomisk nivå kan varje bransch representeras av en funktionell modell.

Skillnaderna mellan deskriptiva och normativa modeller har redan visats ovan. Beskrivande modeller svarar på frågan: hur går det till? eller hur kan detta med största sannolikhet utvecklas vidare? de där. de förklarar bara observerade fakta eller ger en rimlig förutsägelse. Normativa modeller svarar på frågan: hur ska detta vara? de där. innebära målmedveten verksamhet. Ett typiskt exempel på normativa modeller är optimala planeringsmodeller, som på ett eller annat sätt formaliserar målen för ekonomisk utveckling, möjligheter och medel för att uppnå dem.

Användningen av ett beskrivande tillvägagångssätt i ekonomisk modellering förklaras av behovet av att empiriskt identifiera olika beroenden i ekonomin, upprätta statistiska mönster för sociala gruppers ekonomiska beteende och studera de sannolika utvecklingsvägarna för alla processer under konstanta förhållanden eller som sker utan externa influenser.

Exempel på beskrivande modeller är produktionsfunktioner och konsumentefterfrågefunktioner byggda på basis av statistisk databehandling.

Huruvida en ekonomisk-matematisk modell är beskrivande eller normativ beror inte bara på dess matematiska struktur, utan på typen av användning av denna modell. Till exempel är input-output-modellen beskrivande om den används för att analysera den senaste periodens proportioner. Men samma matematiska modell blir normativ när den används för att beräkna balanserade alternativ för utvecklingen av samhällsekonomin som tillfredsställer samhällets slutliga behov till planerade produktionskostnadsstandarder.

Många ekonomiska och matematiska modeller kombinerar egenskaper hos deskriptiva och normativa modeller. En typisk situation är när en normativ modell av en komplex struktur kombinerar enskilda block, som är privata deskriptiva modeller. Till exempel kan en branschöverskridande modell inkludera funktioner för konsumentefterfrågan som beskriver konsumentbeteende som inkomstförändringar. Sådana exempel kännetecknar tendensen att effektivt kombinera deskriptiva och normativa metoder för att modellera ekonomiska processer. Det deskriptiva tillvägagångssättet används ofta i simuleringsmodellering.

Utifrån arten av reflektionen av orsak-verkan-samband skiljer man mellan strikt deterministiska modeller och modeller som tar hänsyn till slumpmässighet och osäkerhet. Det är nödvändigt att skilja mellan osäkerhet som beskrivs av probabilistiska lagar och osäkerhet för vilka sannolikhetsteorin inte är tillämpliga. Den andra typen av osäkerhet är mycket svårare att modellera.

Enligt metoderna för att reflektera tidsfaktorn delas ekonomiska och matematiska modeller in i statiska och dynamiska. I statiska modeller relaterar alla beroenden till ett ögonblick eller tidsperiod. Dynamiska modeller kännetecknar förändringar i ekonomiska processer över tid. Baserat på längden på den aktuella tidsperioden skiljer sig modellerna för kortsiktig (upp till ett år), medellång sikt (upp till 5 år), lång sikt (10-15 eller fler år) prognoser och planering. Tiden själv i ekonomiska och matematiska modeller kan förändras antingen kontinuerligt eller diskret.

Modeller av ekonomiska processer är extremt olika i form av matematiska beroenden. Det är särskilt viktigt att lyfta fram den klass av linjära modeller som är mest lämpliga för analys och beräkningar och som ett resultat har blivit utbredda.

Skillnaderna mellan linjära och olinjära modeller är betydande inte bara ur en matematisk synvinkel, utan också ur en teoretisk och ekonomisk synvinkel, eftersom många beroenden i ekonomin i grunden är olinjära till sin natur: effektivitet i resursanvändning med ökad produktion, förändringar i efterfrågan och konsumtion av befolkningen med ökad produktion, förändringar i efterfrågan och konsumtion av befolkningen med stigande inkomster m.m. Teorin om "linjär ekonomi" skiljer sig väsentligt från teorin om "icke-linjär ekonomi". Slutsatser om möjligheten att kombinera centraliserad planering och ekonomiskt oberoende av ekonomiska delsystem beror väsentligt på om uppsättningarna av produktionsmöjligheter för delsystem (industrier, företag) antas vara konvexa eller icke-konvexa.

Beroende på förhållandet mellan exogena och endogena variabler som ingår i modellen kan de delas in i öppna och slutna. Det finns inga helt öppna modeller; modellen måste innehålla minst en endogen variabel. Helt slutna ekonomiska och matematiska modeller, d.v.s. exogena variabler är extremt sällsynta; deras konstruktion kräver fullständig abstraktion från ”miljön”, d.v.s. allvarliga förgrovningar av realekonomiska system som alltid har externa kopplingar. De allra flesta ekonomiska och matematiska modeller intar en mellanposition och skiljer sig åt i graden av öppenhet (stängdhet).

För modeller på nationell ekonomisk nivå är uppdelningen i aggregerade och detaljerade viktig.

Beroende på om nationalekonomiska modeller inkluderar rumsliga faktorer och förhållanden eller inte, skiljer man mellan rumsliga och punktmodeller.

Således innehåller den allmänna klassificeringen av ekonomiska och matematiska modeller mer än tio huvuddrag. Med utvecklingen av ekonomisk och matematisk forskning blir problemet med att klassificera de använda modellerna mer komplicerat. Tillsammans med uppkomsten av nya typer av modeller (särskilt blandade typer) och nya funktioner i deras klassificering, pågår processen att integrera modeller av olika typer i mer komplexa modellstrukturer.

2.2 Stadier av ekonomisk och matematisk modellering

Huvudstadierna i modelleringsprocessen har redan diskuterats ovan. Inom olika kunskapsgrenar, inklusive ekonomi, får de sina egna specifika egenskaper. Låt oss analysera sekvensen och innehållet i stadierna i en cykel av ekonomisk och matematisk modellering.

1. Redogörelse för det ekonomiska problemet och dess kvalitativa analys. Det viktigaste här är att tydligt formulera kärnan i problemet, de antaganden som gjorts och de frågor som krävs svar på. Detta steg inkluderar att identifiera de viktigaste egenskaperna och egenskaperna hos det modellerade objektet och abstrahera från mindre; studera ett objekts struktur och de grundläggande beroenden som förbinder dess element; formulera hypoteser (åtminstone preliminära) som förklarar objektets beteende och utveckling.

2. Konstruktion av en matematisk modell. Detta är stadiet för att formalisera ett ekonomiskt problem, uttrycka det i form av specifika matematiska beroenden och samband (funktioner, ekvationer, ojämlikheter, etc.). Vanligtvis bestäms först huvuddesignen (typen) av en matematisk modell, och sedan specificeras detaljerna i denna design (en specifik lista över variabler och parametrar, formen av anslutningar). Således är konstruktionen av modellen i sin tur uppdelad i flera steg.

En av de viktiga egenskaperna hos matematiska modeller är potentialen för deras användning för att lösa problem med olika kvaliteter. Därför, även när man står inför ett nytt ekonomiskt problem, finns det inget behov av att sträva efter att "uppfinna" modellen; Först måste du försöka använda redan kända modeller för att lösa detta problem.

I processen att bygga en modell görs en jämförelse mellan två system av vetenskaplig kunskap - ekonomiskt och matematiskt. Det är naturligt att sträva efter att få fram en modell som tillhör en väl studerad klass av matematiska problem. Ofta kan detta göras genom att något förenkla modellens initiala antaganden, utan att förvränga de väsentliga egenskaperna hos det modellerade objektet. Men en situation är också möjlig när formaliseringen av ett ekonomiskt problem leder till en tidigare okänd matematisk struktur. Behoven av ekonomisk vetenskap och praktik i mitten av nittonhundratalet. bidragit till utvecklingen av matematisk programmering, spelteori, funktionsanalys och beräkningsmatematik. Det är troligt att utvecklingen av ekonomisk vetenskap i framtiden kommer att bli en viktig stimulans för skapandet av nya grenar av matematiken.

3. Matematisk analys av modellen. Syftet med detta steg är att klargöra modellens allmänna egenskaper. Här används rent matematiska forskningsmetoder. Den viktigaste punkten är beviset på att det finns lösningar i den formulerade modellen (existenssatsen). Om det kan bevisas att det matematiska problemet inte har någon lösning, försvinner behovet av efterföljande arbete med den ursprungliga versionen av modellen och antingen formuleringen av det ekonomiska problemet eller metoderna för dess matematiska formalisering bör justeras. Under den analytiska studien av modellen förtydligas frågor, som till exempel finns det en unik lösning, vilka variabler (okända) som kan ingå i lösningen, vad blir sambanden mellan dem, i vilken utsträckning och beroende på vilka initiala förutsättningar de ändrar, vilka trender är deras förändring och etc. En analytisk studie av en modell, jämfört med en empirisk (numerisk), har fördelen att de erhållna slutsatserna förblir giltiga för olika specifika värden av modellens externa och interna parametrar.

Att känna till en modells allmänna egenskaper är så viktigt, ofta för att bevisa sådana egenskaper idealiserar forskare medvetet den ursprungliga modellen. Och ändå är modeller av komplexa ekonomiska objekt mycket svåra att studera analytiskt. I de fall där analytiska metoder misslyckas med att fastställa modellens allmänna egenskaper, och förenklingar av modellen leder till oacceptabla resultat, går man vidare till numeriska forskningsmetoder.

4. Utarbetande av bakgrundsinformation. Modellering ställer höga krav på informationssystemet. Samtidigt begränsar de verkliga möjligheterna att få information valet av modeller avsedda för praktiskt bruk. I detta fall beaktas inte bara den grundläggande möjligheten att förbereda information (inom en viss tidsram), utan även kostnaderna för att förbereda motsvarande informationsmatriser.

Dessa kostnader bör inte överstiga effekten av att använda ytterligare information.

5. Numerisk lösning. Detta steg inkluderar utveckling av algoritmer för numerisk lösning av problemet, sammanställning av datorprogram och direkta beräkningar. Svårigheterna i detta skede beror först och främst på den stora dimensionen av ekonomiska problem och behovet av att bearbeta betydande mängder information.

Vanligtvis är beräkningar med en ekonomisk-matematisk modell multivariat till sin natur. Tack vare den höga hastigheten hos moderna datorer är det möjligt att utföra många "modellexperiment" och studera modellens "beteende" under olika förändringar under vissa förhållanden. Forskning utförd med numeriska metoder kan avsevärt komplettera resultaten av analytisk forskning, och för många modeller är det den enda genomförbara. Klassen av ekonomiska problem som kan lösas med numeriska metoder är mycket bredare än den klass av problem som är tillgängliga för analytisk forskning.

6. Analys av numeriska resultat och deras tillämpning. I detta slutskede av cykeln uppstår frågan om riktigheten och fullständigheten av modelleringsresultaten, om graden av praktisk tillämpbarhet av de senare.

Slutsats

Vi kan urskilja minst fyra aspekter av användningen av matematiska metoder för att lösa praktiska problem.

1. Förbättring av det ekonomiska informationssystemet. Matematiska metoder gör det möjligt att organisera systemet för ekonomisk information, identifiera brister i befintlig information och utveckla krav på utarbetande av ny information eller rättelse av den. Utvecklingen och tillämpningen av ekonomiska och matematiska modeller indikerar sätt att förbättra ekonomisk information som syftar till att lösa ett specifikt system för planering och ledningsproblem. Framsteg inom informationsstöd för planering och ledning bygger på snabbt utvecklande tekniska och mjukvaruverktyg inom datavetenskap.

2. Intensifiering och förbättring av noggrannheten i ekonomiska beräkningar. Formaliseringen av ekonomiska problem och användningen av datorer påskyndar avsevärt standard-, massberäkningar, ökar noggrannheten och minskar arbetsintensiteten, och gör det möjligt att utföra multivariate ekonomiska motiveringar för komplexa aktiviteter som är otillgängliga under dominansen av "manuell" teknik.

3. Fördjupning av den kvantitativa analysen av ekonomiska problem. Tack vare användningen av modelleringsmetoden förbättras kapaciteten för specifik kvantitativ analys, studiet av många faktorer som påverkar ekonomiska processer, kvantitativ bedömning av konsekvenserna av förändringar i villkoren för utvecklingen av ekonomiska objekt etc. avsevärt.

4. Lösa i grunden nya ekonomiska problem. Genom matematisk modellering är det möjligt att lösa ekonomiska problem som är praktiskt taget omöjliga att lösa på andra sätt, till exempel: hitta den optimala versionen av den nationella ekonomiska planen, simulera nationella ekonomiska aktiviteter, automatisera kontroll över hur komplexa ekonomiska objekt fungerar.

Omfattningen av den praktiska tillämpningen av modelleringsmetoden begränsas av förmågan och effektiviteten i att formalisera ekonomiska problem och situationer, såväl som informationsläget, matematiskt och tekniskt stöd för de använda modellerna. Önskan att tillämpa en matematisk modell till varje pris kanske inte ger bra resultat på grund av avsaknaden av åtminstone några nödvändiga villkor.

I enlighet med moderna vetenskapliga idéer bör system för att utveckla och fatta affärsbeslut kombinera formella och informella metoder, ömsesidigt förstärkande och kompletterande till varandra. Formella metoder är för det första ett medel för vetenskapligt baserad beredning av material för mänskliga handlingar i ledningsprocesser. Detta gör det möjligt att produktivt använda en persons erfarenhet och intuition, hans förmåga att lösa dåligt formaliserade problem.

Bibliografi

1. Ashmanov S.A. Introduktion till matematisk ekonomi. M.: Nauka, 1984.

2. Ekonomikurs: Lärobok / Ed. B.A. Reisberg. - INFRA-M, 1997.

3. Lotov A.V. Introduktion till ekonomisk och matematisk modellering. M.: Nauka, 1984.

4. Jantsch E. Prognostisering av vetenskapliga och tekniska framsteg. / Per. från engelska - M.: Framsteg, 1974.

1. Ekonomiska och matematiska metoder som används vid analys av ekonomisk verksamhet

Lista över använda källor

1. Ekonomiska och matematiska metoder som används vid analys av ekonomisk aktivitet

En av riktningarna för att förbättra analysen av ekonomisk aktivitet är införandet av ekonomiska och matematiska metoder och moderna datorer. Deras användning ökar effektiviteten av ekonomisk analys genom att utöka de studerade faktorerna, motivera förvaltningsbeslut, välja det optimala alternativet för att använda ekonomiska resurser, identifiera och mobilisera reserver för att öka produktionseffektiviteten.

Matematiska metoder bygger på metodiken för ekonomisk-matematisk modellering och vetenskapligt baserad klassificering av problem vid analys av ekonomisk aktivitet. Beroende på målen för ekonomisk analys särskiljs följande ekonomiska och matematiska modeller: i deterministiska modeller - logaritm, aktieandel, differentiering; i stokastiska modeller - korrelations-regressionsmetod, linjär programmering, köteori, grafteori m.m.

Stokastisk analys är en metod för att lösa en bred klass av statistiska uppskattningsproblem. Det innebär att studera massempirisk data genom att konstruera modeller av förändringar i indikatorer på grund av faktorer som inte står i direkta samband, i direkt ömsesidigt beroende och ömsesidigt beroende. Ett stokastiskt samband finns mellan slumpvariabler och manifesteras i det faktum att när en av dem ändras ändras distributionslagen för den andra.

I ekonomisk analys särskiljs följande mest typiska uppgifter för stokastisk analys:

Studera närvaron och närheten av sambandet mellan funktion och faktorer, såväl som mellan faktorer;

Rangordning och klassificering av faktorer för ekonomiska fenomen;

Identifiering av den analytiska formen av samband mellan de fenomen som studeras;

Jämna ut dynamiken i förändringar i nivån på indikatorer;

Identifiering av parametrar för regelbundna periodiska fluktuationer i nivån på indikatorer;

Studie av dimensionen (komplexitet, mångsidighet) av ekonomiska fenomen;

Kvantitativ förändring av informativa indikatorer;

Kvantitativ förändring av faktorers inverkan på förändringen av de analyserade indikatorerna (ekonomisk tolkning av de resulterande ekvationerna).

Stokastisk modellering och analys av samband mellan de studerade indikatorerna börjar med korrelationsanalys. Korrelationen är att medelvärdet för en av egenskaperna ändras beroende på värdet på den andra. En egenskap som en annan egenskap beror på brukar kallas faktoriell. Den beroende egenskapen kallas effektiv. I varje specifikt fall, för att fastställa faktoriella och resulterande egenskaper i ojämlika populationer, är en analys av kopplingens natur nödvändig. Sålunda, när man analyserar olika egenskaper i en uppsättning, fungerar arbetarnas löner i samband med deras produktionserfarenhet som en effektiv egenskap, och i samband med indikatorer på levnadsstandard eller kulturella behov - som en faktor ett. Ofta betraktas beroenden inte av en faktorkaraktär utan av flera. För att göra detta används en uppsättning metoder och tekniker för att identifiera och kvantifiera sambanden och ömsesidiga beroenden mellan egenskaper.

När man studerar socioekonomiska massfenomen uppstår ett korrelationssamband mellan faktoregenskaper, där värdet av den resulterande egenskapen påverkas, förutom faktorkaraktäristiken, av att många andra egenskaper verkar i olika riktningar samtidigt eller sekventiellt. Ofta kallas ett korrelationssamband ofullständigt statistiskt eller partiellt, till skillnad från ett funktionellt, vilket uttrycks i det faktum att vid ett visst värde av en variabel (oberoende variabel - argument) tar en annan (beroende variabel - funktion) en strikt värde.

En korrelation kan endast avslöjas i form av en generell trend genom en massiv jämförelse av fakta. Varje värde på en faktorkaraktär kommer inte att motsvara ett värde av den resulterande egenskapen, utan mot deras kombination. I det här fallet, för att avslöja förhållandet, är det nödvändigt att hitta medelvärdet för den resulterande egenskapen för varje faktorvärde.

Om förhållandet är linjärt:

Värdena på koefficienterna a och b hittas från ett ekvationssystem erhållet med minsta kvadratmetoden med formeln:

N är antalet observationer.

I fallet med ett linjärt samband mellan de studerade indikatorerna beräknas korrelationskoefficienten med hjälp av formeln:

Om korrelationskoefficienten kvadreras får vi bestämningskoefficienten.

Diskontering är processen att omvandla det framtida värdet av kapital, kassaflöden eller nettoinkomst till nutid. Den kurs med vilken diskontering sker kallas diskonteringsränta (diskonteringsränta). Grundförutsättningen bakom konceptet med diskonterat flöde av riktiga pengar är att pengar har ett tidspris, det vill säga en summa pengar som finns tillgänglig idag är värd mer än samma summa i framtiden. Denna skillnad kan uttryckas som en räntesats som representerar den relativa förändringen över en viss period (vanligtvis ett år).

Många av de uppgifter som en ekonom måste möta i den dagliga praktiken när han analyserar företagens ekonomiska verksamhet är multivariat. Eftersom inte alla alternativ är lika bra måste du hitta det optimala bland de många möjliga. En betydande del av sådana problem har lösts under lång tid baserat på sunt förnuft och erfarenhet. Samtidigt fanns det ingen säkerhet att det hittade alternativet var det bästa.

I moderna förhållanden kan även mindre misstag leda till enorma förluster. I detta avseende uppstod behovet av att involvera optimering av ekonomisk-matematiska metoder och datorer i analys och syntes av ekonomiska system, vilket skapar underlag för att fatta vetenskapligt grundade beslut. Sådana metoder kombineras till en grupp under det allmänna namnet "optimeringsmetoder för beslutsfattande inom ekonomi." För att lösa ett ekonomiskt problem med matematiska metoder är det först och främst nödvändigt att bygga en matematisk modell som är lämplig för det, det vill säga att formalisera målet och villkoren för problemet i form av matematiska funktioner, ekvationer och (eller) ojämlikheter .

I det allmänna fallet har den matematiska modellen för optimeringsproblemet formen:

max (min): Z = Z(x),

under restriktioner

f i (x) Rbi , i = ,

där R är förhållandet jämlikhet, mindre eller mer.

Om objektivfunktionen och funktionerna som ingår i systemet av begränsningar är linjära med avseende på de okända som ingår i problemet, kallas ett sådant problem ett linjärt programmeringsproblem. Om målfunktionen eller systemet med begränsningar inte är linjärt kallas ett sådant problem ett icke-linjärt programmeringsproblem.

I princip reduceras i praktiken icke-linjära programmeringsproblem genom linjärisering till ett linjärt programmeringsproblem. Av särskilt praktiskt intresse bland icke-linjära programmeringsproblem är dynamiska programmeringsproblem, som på grund av sin flerstegskaraktär inte kan linjäriseras. Därför kommer vi endast att överväga dessa två typer av optimeringsmodeller, för vilka bra matematik och mjukvara finns tillgänglig idag.

Den dynamiska programmeringsmetoden är en speciell matematisk teknik för att optimera olinjära matematiska programmeringsproblem, som är speciellt anpassad för flerstegsprocesser. En flerstegsprocess brukar anses vara en process som utvecklas över tid och bryts ner i ett antal ”steg” eller ”steg”. Samtidigt används den dynamiska programmeringsmetoden också för att lösa problem där tiden inte förekommer. Vissa processer delas upp i steg naturligt (till exempel processen att planera ett företags ekonomiska verksamhet under en tidsperiod som består av flera år). Många processer kan delas in i steg på konstgjord väg.

Kärnan i den dynamiska programmeringsmetoden är att istället för att söka efter en optimal lösning för hela det komplexa problemet på en gång, föredrar de att hitta optimala lösningar för flera enklare problem med liknande innehåll, i vilka det ursprungliga problemet är uppdelat.

Den dynamiska programmeringsmetoden kännetecknas också av att valet av den optimala lösningen vid varje steg måste göras med hänsyn till konsekvenserna i framtiden. Detta innebär att samtidigt som vi optimerar processen vid varje enskilt steg, bör vi inte i något fall glömma alla efterföljande steg. Dynamisk programmering är alltså en framåtblickande planering med ett perspektiv i åtanke.

Principen för val av lösning inom dynamisk programmering är avgörande och kallas för Bellmans optimalitetsprincip. Låt oss formulera det så här: en optimal strategi har egenskapen att, oavsett initialtillstånd och beslut som fattas i det initiala ögonblicket, efterföljande beslut bör leda till en förbättring av situationen i förhållande till den tillstånd som är ett resultat av det initiala beslutet.

Sålunda, när man löser ett optimeringsproblem med den dynamiska programmeringsmetoden, är det nödvändigt att vid varje steg ta hänsyn till de konsekvenser som det beslut som fattas för tillfället kommer att leda till i framtiden. Undantaget är det sista steget, som avslutar processen. Här kan du ta ett sådant beslut för att säkerställa maximal effekt. Efter att ha planerat det sista steget optimalt kan du "fästa" det näst sista steget så att resultatet av dessa två steg blir optimalt, etc. Det är på detta sätt - från början till början - som beslutsförfarandet kan utvecklas. Den optimala lösningen som hittas under förutsättning att föregående steg avslutades på ett visst sätt kallas en villkorligt optimal lösning.

Statistisk spelteori är en integrerad del av allmän spelteori, som är en gren av modern tillämpad matematik som studerar metoder för att motivera optimala beslut i konfliktsituationer. I teorin om statistiska spel särskiljs begrepp som det ursprungliga strategiska spelet och det statistiska spelet i sig. I denna teori kallas den första spelaren "natur", vilket förstås som helheten av omständigheter under vilka den andra spelaren - "statistik" - måste fatta beslut. I ett strategispel agerar båda spelarna aktivt, förutsatt att motståndaren är en "rimlig" spelare. Ett strategiskt spel kännetecknas av fullständig osäkerhet i valet av strategi av varje spelare, det vill säga spelarna vet ingenting om varandras strategier. I ett strategispel agerar båda spelarna baserat på deterministisk information som definieras av en förlustmatris.

I ett egentligt statistiskt spel är naturen inte en aktiv spelare i den meningen att den inte är "intelligent" och försöker inte motverka den maximala utdelningen för den andra spelaren. Statistikern (den andra spelaren) i ett statistiskt spel strävar efter att vinna spelet mot en imaginär motståndare - naturen. Om spelare i ett strategiskt spel agerar under förhållanden av fullständig osäkerhet, kännetecknas ett statistiskt spel av partiell osäkerhet. Faktum är att naturen utvecklas och "agerar" i enlighet med sina objektivt existerande lagar. Statistikern har möjlighet att studera dessa lagar successivt, till exempel genom ett statistiskt experiment.

Köteori är ett tillämpat område av teorin om slumpmässiga processer. Ämnet för hennes forskning är probabilistiska modeller av verkliga tjänstesystem, där tjänsteförfrågningar uppstår vid slumpmässiga (eller inte slumpmässiga) tidpunkter och det finns enheter (kanaler) för att exekvera förfrågningar. Köteorin utforskar matematiska metoder för kvantitativ bedömning av köprocesser och kvaliteten på systemens funktion, där både ögonblicken för uppkomsten av krav (applikationer) och tiden som läggs på deras utförande kan vara slumpmässigt.

Kösystemet används för att lösa följande problem: till exempel när ansökningar (krav) för service tas emot i massor med efterföljande tillfredsställelse. I praktiken kan detta vara mottagandet av råvaror, material, halvfabrikat, produkter till lagret och deras utfärdande från lagret; bearbeta ett brett utbud av delar med samma tekniska utrustning; organisation av justering och reparation av utrustning; transportverksamhet; planering av reserv- och försäkringsreserver av resurser; bestämma det optimala antalet avdelningar och tjänster i företaget; handläggning av planerings- och redovisningsunderlag m.m.

Balansmodellen är ett system av ekvationer som kännetecknar tillgången på resurser (produkter) i natura eller monetära termer och riktningarna för deras användning. Samtidigt sammanfaller tillgången på resurser (produkter) och behovet av dem kvantitativt. Lösningen på sådana modeller är baserad på linjär vektor-matris algebrametoder. Därför kallas balansmetoder och modeller för matrisanalysmetoder. Tydligheten i bilder av olika ekonomiska processer i matrismodeller och de elementära metoderna för att lösa upp ekvationssystem gör att de kan användas i olika produktions- och ekonomiska situationer.

Den matematiska teorin om fuzzy sets, utvecklad på 60-talet av 1900-talet, används idag allt mer i den finansiella analysen av företagsaktiviteter, inklusive analys och prognoser av företagets finansiella ställning, analys av förändringar i rörelsekapitalet, gratis kontanter flöden, ekonomisk risk, bedömning av kostnaders inverkan på vinsten , beräkning av kapitalkostnad. Denna teori är baserad på begreppen "fuzzy set" och "medlemsfunktioner".

I det allmänna fallet är det ganska besvärligt att lösa problem av denna typ, eftersom det är en stor mängd information inblandad. Den praktiska användningen av teorin om luddiga uppsättningar gör det möjligt att utveckla traditionella metoder för finansiell och ekonomisk aktivitet och anpassa dem till de nya behoven av att ta hänsyn till osäkerheten i framtiden för företagens viktigaste resultatindikatorer.

Uppgift 1

Baserat på de givna uppgifterna om antalet anställda i ett industriföretag, beräkna omsättningskvoten för anställning och avgång av arbetstagare och omsättningshastigheten. Dra slutsatser.

Lösning:

Låt oss definiera:

1) acceptanskoefficient (K pr):

Förra året: Kpr = 610 / (2490 + 3500) = 0,102

Redovisningsår: Kpr. = 650 / (2539 + 4200) = 0,096

Under rapporteringsåret minskade koefficienten för extern omsättning för acceptans med 0,006 (0,096 - 0,102).

2) koefficient för uppsägning (pensionering) av anställda (K uv):

Förra året: Kvyb. = 690 / (2490 + 3500) = 0,115

Redovisningsår: Kvyb. = 725 / (2539 + 4200) = 0,108

Under rapporteringsåret minskade också koefficienten för extern omsättning vid avyttring med 0,007 (0,108 - 0,115).

3) personalomsättningshastighet(Till teknik):

Förra året: Ktek. = (110 + 30) / (2490 + 3500) = 0,023

Redovisningsår: Ktek. = (192 + 25) / (2539 + 4200) = 0,032

Under rapporteringsåret ökade också personalomsättningshastigheten med 0,009 (0,032 - 0,023), vilket är en negativ trend för personalrörelser.

4) koefficient för total arbetsomsättning(Till om):

Förra året: Kob = (610 + 690) / (2490 + 3500) = 0,217

Redovisningsår: Kob. = (650 + 725) / (2539 + 4200) = 0,204

Koefficienten för den totala arbetsomsättningen minskade med 0,013 (0,204 - 0,217).

Uppgift 2

Skapa en initial modell för produktionsvolym. Bestäm typen av faktormodell. Beräkna faktorers inverkan på förändringar i produktionsvolym med hjälp av alla kända tekniker.

Lösning:

Den effektiva indikatorn är kapitalproduktivitet.

Inledande matematisk modell:

FO = VP / OF.

Modelltyp - flera. Det totala antalet prestationsindikatorer som används för att beräkna är 3, eftersom påverkan av 2 faktorer beräknas (2 + 1 = 3). Antalet villkorade prestationsindikatorer är 1, eftersom det är lika med antalet faktorer minus 1.

Följande tekniker är tillämpliga för denna modell: kedjesubstitution, index och integral.

1. Låt oss beräkna graden av påverkan av faktorer som ändrar prestationsindikatorn med hjälp av metoden för kedjesubstitution.

Lösningsalgoritm:

FO pl = VP pl / OF pl = 20433 / 2593 = 7,88 rub.

FO conv1 = VP f /OF pl =20193 / 2593 = 7,786 gnid.

FO f = VP f /OF f =20193 / 2577 = 7,836 gnugga.

Beräkningen av de faktorer som påverkat förändringen av kapitalproduktiviteten kommer att presenteras i tabellen.

Antal faktorer	Namn på faktorer	Beräkning av graden av påverkan av faktorer	Nivå av påverkan av faktorer som förändrar den totala vinstens storlek
	Ändra kapitalproduktiviteten genom att ändra produktionsvolymen	7,786-7,88 =-0,094
	Förändra kapitalproduktiviteten genom att ändra anläggningstillgångar	7,836-7,786 = 0,05
	TOTAL (balansräkningskoppling)

2. Låt oss beräkna graden av påverkan av faktorer som ändrar prestationsindikatorn med hjälp av en integralmetod.

VP = VP f - VP pl = 20193 - 20433 = -240;

OF = AV f - AV pl = 2577 - 2593 = -16.

FO pl = 20433 / 2593 = 7,88 gnugga.

FO f = 20193 / 2577 = 7,836 gnugga.

FO ch = = 15 ln|0,99| = -0,09284

FO av = ?FO totalt - ?FO VP = (7,836-7,88) - (-0,09284) = 0,04884

3. Låt oss beräkna graden av påverkan av faktorer som ändrar prestationsindikatorn med hjälp av indexmetoden.

I FO = I VP I OF.

I FO = (VP f / OF f): (VP pl / OF pl) = 7,836/7,88 = 0,99

I VP = (VP f / OF pl): (VP pl / OF pl) = 7,786 / 7,88 = 0,988

I OF = (VP f / OF f): (VP f / OF pl) = 7,836/7,786 = 1,006

I FO = I VP I OF = 0,988 1,006 = 0,99.

Om vi subtraherar nämnaren från täljaren i formlerna ovan får vi absoluta ökningar av kapitalproduktiviteten i allmänhet och på grund av varje faktor för sig, det vill säga samma resultat som att använda kedjesubstitutionsmetoden.

Problem 3

Bestäm vad den genomsnittliga skördenivån blir om mängden gödselmedel som appliceras är 20 c. Bestäm hur nära kopplingen är mellan indikatorn "y" och faktorn "x".

Givet: Regressionsekvation

där y är den genomsnittliga förändringen i avkastning, c/ha

x är mängden tillfört gödselmedel, c.

Bestämningskoefficienten är 0,92.

Lösning:

Den genomsnittliga skördenivån är 62 c/ha.

Regressionsanalys syftar till att härleda, definiera (identifiera) regressionsekvationen, inklusive statistisk bedömning av dess parametrar. Regressionsekvationen låter dig hitta värdet på den beroende variabeln om värdet på de oberoende eller oberoende variablerna är känt.

Korrelationskoefficienten beräknas med formeln:

Det har bevisats att korrelationskoefficienten ligger i intervallet från minus ett till plus ett (-1< R x, y <1). Коэффициент корреляции в квадрате () называется коэффициентом детерминации. Коэффициент корреляции R för detta prov är lika med 0,9592 (). Ju närmare den är en, desto närmare kopplingen mellan egenskaperna. I det här fallet är sambandet mycket nära, nästan absolut korrelation. Bestämningskoefficient R 2 är lika med 0,92. Detta innebär att regressionsekvationen bestäms av 92 % av variansen för det effektiva attributet, och andelen tredjepartsfaktorer står för 8 %.

Bestämningskoefficienten visar andelen av spridningen som beaktats av regression i den totala spridningen av den resulterande egenskapen. Denna indikator, lika med förhållandet mellan faktorvariationen och den totala variationen av egenskapen, låter en bedöma hur "framgångsrikt" typen av funktion valdes. Ju större R2, desto mer förklarar förändringen i faktorattributet förändringen i det resulterande attributet och därför, ju bättre regressionsekvationen är, desto bättre val av funktion.

Lista över använda källor

Analys av ett företags ekonomiska verksamhet: Lärobok. ersättning/Under allmänt. ed. L. L. Ermolovich. - Mn.: Interpressservice; Ecoperspective, 2001. - 576 sid.

Savitskaya G.V. Analys av den ekonomiska verksamheten i ett företag, 7:e upplagan, reviderad. - Mn.: Ny kunskap, 2002. - 704 sid.

Savitskaya G.V. Teori för ekonomisk aktivitetsanalys. - M.: Infra-M, 2007.

Savitskaya G.V. Ekonomisk analys: Lärobok. - 10:e upplagan, rev. - M.: Ny kunskap, 2004. - 640 sid.

Skamai L. G., Trubochkina M. I. Ekonomisk analys av företagsverksamhet. - M.: Infra-M, 2007.