Mycket ofta, när du löser geometriska problem, måste du utföra åtgärder med hjälpfigurer. Till exempel att hitta radien för en inskriven eller omskriven cirkel, etc. Den här artikeln kommer att visa dig hur du hittar radien för en cirkel som omges av en triangel. Eller, med andra ord, radien för cirkeln där triangeln är inskriven.

Hur man hittar radien för en cirkel omskriven om en triangel - allmän formel

Den allmänna formeln är följande: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), där R är radien för den omskrivna cirkeln, p är omkretsen av triangeln dividerat med 2 (halvperimeter). a, b, c – triangelns sidor.

Hitta omkretsradien för triangeln om a = 3, b = 6, c = 7.

Således, baserat på ovanstående formel, beräknar vi halvomkretsen:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Vi ersätter värdena i formeln och får:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Svar: R = 126/16√5

Hur man hittar radien för en cirkel som omger en liksidig triangel

För att hitta radien på en cirkel omskriven kring en liksidig triangel finns det en ganska enkel formel: R = a/√3, där a är storleken på dess sida.

Exempel: Sidan på en liksidig triangel är 5. Hitta radien för den omskrivna cirkeln.

Eftersom alla sidor av en liksidig triangel är lika, för att lösa problemet behöver du bara ange dess värde i formeln. Vi får: R = 5/√3.

Svar: R = 5/√3.

Hur man hittar radien på en cirkel som omger en rätvinklig triangel

Formeln är följande: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, där a och b är benen och c är hypotenusan. Lägger man till kvadraterna på benen i en rätvinklig triangel får man kvadraten på hypotenusan. Som framgår av formeln ligger detta uttryck under roten. Genom att beräkna roten av kvadraten av hypotenusan får vi själva längden. Att multiplicera det resulterande uttrycket med 1/2 leder oss till slut till uttrycket 1/2 × c = c/2.

Exempel: Beräkna radien för den omskrivna cirkeln om triangelns ben är 3 och 4. Byt ut värdena i formeln. Vi får: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

I detta uttryck är 5 längden på hypotenusan.

Svar: R = 2,5.

Hur man hittar radien för en cirkel som omger en likbent triangel

Formeln är följande: R = a²/√(4a² – b²), där a är längden på triangelns lår och b är längden på basen.

Exempel: Beräkna radien för en cirkel om dess höft = 7 och bas = 8.

Lösning: Ersätt dessa värden i formeln och få: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).

R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Svaret kan skrivas direkt så här.

Svar: R = 49/√132

Onlineresurser för att beräkna radien för en cirkel

Det kan vara väldigt lätt att bli förvirrad i alla dessa formler. Därför kan du vid behov använda onlineräknare som hjälper dig att lösa problem med att hitta radien. Funktionsprincipen för sådana miniprogram är mycket enkel. Ersätt sidovärdet i lämpligt fält och få ett färdigt svar. Du kan välja flera alternativ för att avrunda ditt svar: till decimaler, hundradelar, tusendelar osv.

En cirkel är en geometrisk figur, förtrogenhet med vilken förekommer i förskoleåldern. Senare kommer du att lära dig dess egenskaper och egenskaper. Om hörnen på en godtycklig polygon ligger på en cirkel, och själva figuren är belägen inuti den, har du en geometrisk figur inskriven i cirkeln.

Begreppet radie kännetecknar avståndet från valfri punkt på en cirkel till dess centrum. Den senare är belägen i skärningspunkten mellan vinkelräta sidor på varje sida av polygonen. Efter att ha bestämt oss för terminologin, låt oss överväga uttryck som hjälper till att hitta radien för alla typer av polygon.

Hur man hittar radien för en omskriven cirkel - vanlig polygon

Denna figur kan ha hur många hörn som helst, men alla dess sidor är lika. För att hitta radien på en cirkel där en vanlig polygon är placerad räcker det att veta antalet sidor i figuren och deras längd.
R = b/2sin(180°/n),
b – sidolängd,
n är antalet hörn (eller sidor) i figuren.
Det givna förhållandet för fallet med en hexagon kommer att ha följande form:
R = b/2sin(180°/6) = b/2sin30°,
R = b.

Hur man hittar omkretsradien för en rektangel

När en fyrhörning är placerad i en cirkel, med 2 par parallella sidor och inre vinklar på 90°, kommer skärningspunkten för polygonens diagonaler att vara dess centrum. Genom att använda den pytagoreiska relationen, såväl som egenskaperna hos en rektangel, får vi de uttryck som krävs för att hitta radien:
R = (√m 2 + l 2)/2,
R = d/2,
m, l – rektangelns sidor,
d är dess diagonal.

Hur man hittar radien för en omskriven cirkel - kvadrat

Placera en kvadrat i cirkeln. Den senare är en vanlig polygon med 4 sidor. Därför att Eftersom en kvadrat är ett specialfall av en rektangel, delas dess diagonaler också på mitten vid deras skärningspunkt.
R = (√m 2 + l 2)/2 = (√m 2 + m 2)/2 = m√2/2 = m/√2,
R = d/2,
m – sidan av kvadraten,
d är dess diagonal.

Hur man hittar radien för en omskriven cirkel - en likbent trapets

Om en trapets är placerad i en cirkel, måste du veta längden på dess sidor och diagonalen för att bestämma radien.
R = m*l*d/4√p(p – m)*(p – l)*(p – d),
p = (m + l + d)/2,
m, l – sidorna av trapetsen,
d är dess diagonal.

Hur man hittar radien för en omskriven cirkel - en triangel

Gratis triangel

• För att bestämma radien på en cirkel som beskriver en triangel räcker det att veta storleken på dess sidor.
  R = m*l*k/4√p(p – m)*(p – l)*(p – k),
  p = (m + l + k)/2,
  m, l, k – triangelns sidor.
• Om längden på sidan och gradmåttet för vinkeln mittemot den är kända, bestäms radien enligt följande:
  För triangel MLK
  R = m/2sinM = l/2sinL = k/2sinK,
  
  M, L, K – dess vinklar (hörn).
• Med tanke på arean av en figur kan du också beräkna radien för cirkeln där den är placerad:
  R = m*l*k/4S,
  m, l, k - triangelns sidor,
  S är dess område.

Likbent triangel

Om en triangel är likbent är dess två sidor lika med varandra. När man beskriver en sådan figur kan radien hittas med hjälp av följande förhållande:
R = m*l*k/4√p(p – m)*(p – l)*(p – k), men m = l
R = m 2 /√(4m 2 – k 2),
m, k – triangelns sidor.

Rätt triangel

Om en av triangelns vinklar är rät, och en cirkel är omskriven runt figuren, kommer det att krävas närvaro av kända sidor av triangeln för att bestämma längden på den senares radie.
R = (√m 2 + l 2)/2 = k/2,
m, l – ben,
k – hypotenusa.

Definition 2

En polygon som uppfyller villkoret för definition 1 kallas omskriven kring en cirkel.

Figur 1. Inskriven cirkel

Sats 1 (om en cirkel inskriven i en triangel)

Sats 1

Du kan skriva in en cirkel i vilken triangel som helst, och bara en.

Bevis.

Tänk på triangeln $ABC$. Låt oss rita bisektrar i den som skär varandra vid punkten $O$ och rita vinkelräta från den till triangelns sidor (fig. 2)

Figur 2. Illustration av sats 1

Existens: Låt oss rita en cirkel med mitten i punkten $O$ och radien $OK.\ $Eftersom punkten $O$ ligger på tre bisektrar är den på samma avstånd från sidorna i triangeln $ABC$. Det vill säga $OM=OK=OL$. Följaktligen går den konstruerade cirkeln också genom punkterna $M\ och\ L$. Eftersom $OM,OK\ och\ OL$ är vinkelräta mot triangelns sidor, vidrör cirkeltangenssatsen den konstruerade cirkeln alla tre sidorna av triangeln. Därför, på grund av godtyckligheten i en triangel, kan en cirkel inskrivas i vilken triangel som helst.

Unikhet: Antag att en annan cirkel med centrum i punkten $O"$ kan skrivas in i triangeln $ABC$. Dess centrum är lika långt från triangelns sidor och sammanfaller därför med punkten $O$ och har en radie lika med längd $OK$ Men då kommer denna cirkel att sammanfalla med den första.

Teoremet har bevisats.

Resultat 1: Mitten av en cirkel inskriven i en triangel ligger i skärningspunkten för dess bisektrar.

Här är några fler fakta relaterade till konceptet med en inskriven cirkel:

Inte varje fyrhörning kan passa en cirkel.

I varje omskriven fyrhörning är summan av motsatta sidor lika.

Om summan av de motsatta sidorna av en konvex fyrhörning är lika, kan en cirkel inskrivas i den.

Definition 3

Om alla hörn i en polygon ligger på en cirkel, så kallas cirkeln omskriven kring polygonen (fig. 3).

Definition 4

En polygon som uppfyller definition 2 sägs vara inskriven i en cirkel.

Figur 3. Omskriven cirkel

Sats 2 (om cirkeln av en triangel)

Sats 2

Runt vilken triangel som helst kan du beskriva en cirkel, och bara en.

Bevis.

Tänk på triangeln $ABC$. Låt oss rita vinkelräta bisektrar i den, skärande punkten $O$, och förbinda den med triangelns hörn (fig. 4)

Figur 4. Illustration av sats 2

Existens: Låt oss konstruera en cirkel med centrum i punkten $O$ och radien $OC$. Punkten $O$ är lika långt från triangelns hörn, det vill säga $OA=OB=OC$. Följaktligen passerar den konstruerade cirkeln genom alla hörn i en given triangel, vilket betyder att den är omskriven kring denna triangel.

Unikhet: Antag att en annan cirkel kan beskrivas runt triangeln $ABC$ med dess centrum i punkten $O"$. Dess centrum är lika långt från triangelns hörn och sammanfaller därför med punkten $O$ och har en radie lika med längden $OC $ Men då kommer denna cirkel att sammanfalla med den första.

Teoremet har bevisats.

Resultat 1: Mitten av cirkeln omskriven kring triangeln sammanfaller med skärningspunkten för dess bisektorala perpendicularer.

Här är några fler fakta relaterade till begreppet en omringad cirkel:

Det är inte alltid möjligt att beskriva en cirkel runt en fyrhörning.

I varje cyklisk fyrhörning är summan av motsatta vinklar $(180)^0$.

Om summan av de motsatta vinklarna på en fyrhörning är $(180)^0$, kan en cirkel ritas runt den.

Ett exempel på ett problem om begreppen inskrivna och omskrivna cirklar

Exempel 1

I en likbent triangel är basen 8 cm och sidan är 5 cm. Hitta radien på den inskrivna cirkeln.

Lösning.

Tänk på triangeln $ABC$. Genom konsekvens 1 vet vi att incirkelns centrum ligger i skärningspunkten mellan halvledarna. Låt oss rita halvledarna $AK$ och $BM$, som skär varandra i punkten $O$. Låt oss rita en vinkelrät $OH$ från punkt $O$ till sidan $BC$. Låt oss rita en bild:

Figur 5.

Eftersom triangeln är likbent, så är $BM$ både medianen och höjden. Enligt Pythagoras sats $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=3$. $OM=OH=r$ -- den erforderliga radien för den inskrivna cirkeln. Eftersom $MC$ och $CH$ är segment av skärande tangenter, så har vi genom satsen om skärande tangenter $CH=MC=4\cm$. Därför är $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. Från triangeln $OHB$, enligt Pythagoras sats, får vi:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Svar:$\frac(4)(3)$.

Det kan ses att varje sida triangel, en vinkelrät ritad från dess mitt och segmenten som förbinder vinkelrätarnas skärningspunkt med hörnen bildar två lika rektangulära triangel. Segmenten MA, MB, MC är lika.

Du får en triangel. Hitta mitten på varje sida - ta en linjal och mät dess sidor. Dela de resulterande dimensionerna på mitten. Lägg åt sidan halva storleken från toppen av varje. Markera resultaten med prickar.

Från varje punkt, rita en vinkelrät mot sidan. Skärningspunkten för dessa perpendicularer kommer att vara centrum för den omskrivna cirkeln. För att hitta mitten av en cirkel räcker det med två vinkelräta. Den tredje är byggd för självtest.

Lägg märke till att i en triangel där alla vinklar är spetsiga är skärningarna inuti triangel. I en rätvinklig triangel ligger den på hypotenusan. B – är utanför det. Dessutom är vinkelrät mot sidan motsatt den trubbiga vinkeln inte mot mitten triangel, och ut.

notera

Det finns en sinussats som fastställer förhållandet mellan sidorna i en triangel, dess vinklar och radierna för den omskrivna cirkeln. Detta beroende uttrycks med formeln: a/sina = b/sinb = с/sinc = 2R, där a, b, c är triangelns sidor; sina, sinb, sinc – sinus av vinklar motsatta dessa sidor; R är radien på cirkeln som kan beskrivas runt triangeln.

Källor:

• hur man beskriver omkretsen av en fyrhörning

Enligt definitionen, beskrivs cirkel måste passera genom alla hörnen i en given polygon. I det här fallet spelar det ingen roll vilken typ av polygon det är - en triangel, kvadrat, rektangel, trapets eller något annat. Det spelar heller ingen roll om polygonen är regelbunden eller oregelbunden. Du behöver bara ta hänsyn till att det finns polygoner runt vilka cirkel går inte att beskriva. Du kan alltid beskriva cirkel runt triangeln. När det gäller fyrhörningar alltså cirkel kan beskrivas kring en kvadrat eller rektangel eller en likbent trapets.

Du kommer behöva

• Specificerad polygon
• Linjal
• Fyrkant
• Penna
• Kompass
• Gradskiva
• Sinus- och cosinusbord
• Matematiska begrepp och formler
• Pythagoras sats
• Sinussats
• Cosinussatsen
• Tecken på likhet av trianglar

Instruktioner

Konstruera en polygon med givna parametrar och om det är möjligt att beskriva runt den cirkel. Om du får en fyrhörning, beräkna summan av dess motsatta vinklar. Var och en av dem ska vara lika med 180°.

Att beskriva cirkel, måste du beräkna dess radie. Kom ihåg var mitten av cirkeln ligger i olika polygoner. I en triangel är den i skärningspunkten för alla höjder i en given triangel. I en kvadrat och rektanglar - vid skärningspunkten för diagonalerna, för en trapets - vid skärningspunkten för symmetriaxeln till linjen som förbinder sidornas mittpunkter, och för alla andra konvexa polygoner - vid punkten för skärningspunkten mellan medianperpendicularerna till sidorna.

Beräkna diametern på en cirkel omskriven runt en kvadrat och en rektangel med hjälp av Pythagoras sats. Det blir lika med kvadratroten av summan av kvadraterna på rektangelns sidor. För en kvadrat med alla sidor lika är diagonalen lika med kvadratroten av två gånger kvadraten på sidan. Att dividera diametern med 2 ger dig radien.

Beräkna triangelns omkrets. Eftersom triangelns parametrar anges i villkoren, beräkna radien med formeln R = a/(2·sinA), där a är en av triangelns sidor, ? - vinkeln motsatt den. Istället för denna sida kan du ta sidan och vinkeln motsatt den.

Beräkna radien för cirkeln omskriven runt trapetsen. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) I denna formel är a och b baserna för trapetsen kända från villkoren, h är höjden, d är diagonalen, p = 1/2*(a+d+c) . Beräkna saknade värden. Höjden kan beräknas med hjälp av sinus- eller cosinussatsen längden på sidorna av trapetsen och vinklarna anges i förhållandena. Genom att känna till höjden och ta hänsyn till likheterna mellan trianglarna, beräkna diagonalen. Efter detta återstår att beräkna radien med ovanstående formel.

Video om ämnet

Användbara råd

För att beräkna radien för en cirkel som är omskriven runt en annan polygon, utför ett antal ytterligare konstruktioner. Få enklare figurer vars parametrar du känner till.

Tips 3: Hur man ritar en rätvinklig triangel med en spetsig vinkel och hypotenusa

En triangel kallas en rätvinklig triangel om vinkeln vid en av dess hörn är 90°. Sidan mitt emot denna vinkel kallas hypotenusan, och sidorna mitt emot triangelns två spetsiga vinklar kallas benen. Om längden på hypotenusan och storleken på en av de spetsiga vinklarna är kända, är dessa data tillräckligt för att konstruera en triangel på minst två sätt.

Ämnet "Inskrivna och omskrivna cirklar i trianglar" är ett av de svåraste i geometrikursen. Hon tillbringar väldigt lite tid i klassen.

Geometriska problem om detta ämne ingår i den andra delen av Unified State Examination för gymnasiekursen. Ett framgångsrikt genomförande av dessa uppgifter kräver gedigna kunskaper om grundläggande geometriska fakta och viss erfarenhet av att lösa geometriska problem.
För varje triangel finns det bara en omsluten cirkel. Detta är en cirkel på vilken alla tre hörnen i en triangel med givna parametrar ligger. Att hitta dess radie kan behövas inte bara i en geometrilektion. Designers, fräsar, mekaniker och representanter för många andra yrken måste ständigt ta itu med detta. För att hitta dess radie måste du känna till triangelns parametrar och dess egenskaper. Mitten av den omslutna cirkeln är i skärningspunkten för triangelns vinkelräta bisektrar.
Jag uppmärksammar dig på alla formlerna för att hitta radien för en omskriven cirkel och inte bara en triangel. Formler för den inskrivna cirkeln kan ses.

a, b. med - sidorna av triangeln

α - motsatt vinkelen,
S-arean av en triangel,

p- semi-perimeter

För att sedan hitta radien ( R) av den omslutna cirkeln med formlerna:

I sin tur kan arean av triangeln beräknas med en av följande formler:

Här är några fler formler.

1. Radien för den omskrivna cirkeln runt en liksidig triangel. Om a sidan av triangeln då

2. Radien för den omskrivna cirkeln kring en likbent triangel. Låta a, b- sidorna av triangeln, alltså