Definition. Vilken rät linje som helst på planet kan specificeras med en första ordningens ekvation

Axe + Wu + C = 0,

Dessutom är konstanterna A och B inte lika med noll samtidigt. Denna första ordningens ekvation kallas generell ekvation för en rät linje. Beroende på värdena för konstanterna A, B och C är följande specialfall möjliga:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – den räta linjen går genom origo

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - rät linje parallell med Ox-axeln

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – rät linje parallell med Oy-axeln

B = C = 0, A ≠0 – den räta linjen sammanfaller med Oy-axeln

A = C = 0, B ≠0 – den räta linjen sammanfaller med Ox-axeln

Ekvationen för en rät linje kan presenteras i olika former beroende på vilka initiala förutsättningar som helst.

Ekvation för en rät linje från en punkt och normalvektor

Definition. I det kartesiska rektangulära koordinatsystemet är en vektor med komponenter (A, B) vinkelrät mot den räta linjen som ges av ekvationen Ax + By + C = 0.

Exempel. Hitta ekvationen för linjen som går genom punkten A(1, 2) vinkelrät mot (3, -1).

Lösning. Med A = 3 och B = -1, låt oss komponera ekvationen för den räta linjen: 3x – y + C = 0. För att hitta koefficienten C, ersätter vi koordinaterna för den givna punkten A i det resulterande uttrycket. 3 – 2 + C = 0, därför C = -1 . Totalt: den obligatoriska ekvationen: 3x – y – 1 = 0.

Ekvation för en linje som går genom två punkter

Låt två punkter M 1 (x 1, y 1, z 1) och M 2 (x 2, y 2, z 2) ges i rymden, då är ekvationen för linjen som går genom dessa punkter:

Om någon av nämnarna är lika med noll, bör motsvarande täljare vara lika med noll På planet förenklas ekvationen för raden som skrivits ovan:

om x 1 ≠ x 2 och x = x 1, om x 1 = x 2.

Bråket = k kallas backe hetero.

Exempel. Hitta ekvationen för linjen som går genom punkterna A(1, 2) och B(3, 4).

Lösning. Genom att tillämpa formeln som skrivits ovan får vi:

Ekvation för en rät linje från en punkt och lutning

Om det totala antalet Ax + Bu + C = 0, leder till formen:

och utse , sedan anropas den resulterande ekvationen ekvation för en rät linje med lutningk.

Ekvation för en rät linje från en punkt och en riktningsvektor

I analogi med punkten med tanke på ekvationen för en rät linje genom en normalvektor, kan du ange definitionen av en rät linje genom en punkt och den räta linjens riktningsvektor.

Definition. Varje vektor som inte är noll (α 1, α 2), vars komponenter uppfyller villkoret A α 1 + B α 2 = 0 kallas en riktningsvektor för linjen

Axe + Wu + C = 0.

Exempel. Hitta ekvationen för en rät linje med en riktningsvektor (1, -1) och passerar genom punkten A(1, 2).

Lösning. Vi kommer att leta efter ekvationen för den önskade linjen i formen: Ax + By + C = 0. I enlighet med definitionen måste koefficienterna uppfylla villkoren:

1 * A + (-1) * B = 0, dvs. A = B.

Då har den räta linjens ekvation formen: Ax + Ay + C = 0, eller x + y + C / A = 0. för x = 1, y = 2 får vi C/ A = -3, d.v.s. obligatorisk ekvation:

Ekvation för en linje i segment

Om i den allmänna ekvationen för den räta linjen Ах + Ву + С = 0 С≠0, då, dividerat med –С, får vi: eller

Den geometriska betydelsen av koefficienterna är att koefficienten Aär koordinaten för skärningspunkten för linjen med Ox-axeln, och b– koordinaten för skärningspunkten mellan den räta linjen och Oy-axeln.

Exempel. Den allmänna ekvationen för linjen x – y + 1 = 0 ges. Hitta ekvationen för denna linje i segment.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normal ekvation för en linje

Om båda sidor av ekvationen Ax + By + C = 0 multipliceras med talet som kallas normaliserande faktor, då får vi

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

normal ekvation för en linje. Tecknet ± för den normaliserande faktorn måste väljas så att μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Exempel. Den allmänna ekvationen för linjen 12x – 5y – 65 = 0 Det krävs att man skriver olika typer av ekvationer för denna linje.

ekvationen för denna linje i segment:

ekvation för denna linje med lutning: (diva med 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Det bör noteras att inte varje rät linje kan representeras av en ekvation i segment, till exempel räta linjer som är parallella med axlar eller som går genom koordinaternas ursprung.

Exempel. Den räta linjen skär av lika positiva segment på koordinataxlarna. Skriv en ekvation för en rät linje om arean av triangeln som bildas av dessa segment är 8 cm 2.

Lösning. Ekvationen för den räta linjen har formen: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Exempel. Skriv en ekvation för en rät linje som går genom punkt A(-2, -3) och origo.

Lösning. Ekvationen för den räta linjen är: där xl = yi = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Vinkel mellan raka linjer på ett plan

Definition. Om två linjer ges y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, kommer den spetsiga vinkeln mellan dessa linjer att definieras som

.

Två linjer är parallella om k 1 = k 2. Två linjer är vinkelräta om k 1 = -1/ k 2.

Sats. Linjerna Ax + Bу + C = 0 och A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 är parallella när koefficienterna A 1 = λA, B 1 = λB är proportionella. Om också C 1 = λC, så sammanfaller linjerna. Koordinaterna för skärningspunkten för två linjer finns som en lösning på ekvationssystemet för dessa linjer.

Ekvation för en linje som går genom en given punkt vinkelrät mot en given linje

Definition. En rät linje som går genom punkten M 1 (x 1, y 1) och vinkelrät mot den räta linjen y = kx + b representeras av ekvationen:

Avstånd från punkt till linje

Sats. Om en punkt M(x 0, y 0) ges, så bestäms avståndet till linjen Ax + Bу + C = 0 som

.

Bevis. Låt punkten M 1 (x 1, y 1) vara basen för den vinkelräta som faller från punkt M till en given rät linje. Då är avståndet mellan punkterna M och M 1:

(1)

Koordinaterna x 1 och y 1 kan hittas genom att lösa ekvationssystemet:

Systemets andra ekvation är ekvationen för en linje som går genom en given punkt M 0 vinkelrätt mot en given linje. Om vi ​​transformerar den första ekvationen i systemet till formen:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sedan, när vi löser, får vi:

Genom att ersätta dessa uttryck i ekvation (1) finner vi:

Teoremet har bevisats.

Exempel. Bestäm vinkeln mellan linjerna: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k^ = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Exempel. Visa att linjerna 3x – 5y + 7 = 0 och 10x + 6y – 3 = 0 är vinkelräta.

Lösning. Vi finner: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, därför är linjerna vinkelräta.

Exempel. Angivna är hörnen på triangeln A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Hitta ekvationen för höjden från vertex C.

Lösning. Vi hittar ekvationen för sidan AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Den nödvändiga höjdekvationen har formen: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b. k = . Då y = . Därför att höjden passerar genom punkt C, då uppfyller dess koordinater denna ekvation: där b = 17. Totalt: .

Svar: 3 x + 2 år – 34 = 0.

Allmän ekvation för en rät linje:

Specialfall av den allmänna ekvationen för en rät linje:

och om C= 0, ekvation (2) kommer att ha formen

Yxa + Förbi = 0,

och den räta linjen som definieras av denna ekvation passerar genom origo, eftersom koordinaterna för origo är x = 0, y= 0 uppfyller denna ekvation.

b) Om i den allmänna ekvationen för den räta linjen (2) B= 0, då tar ekvationen formen

Yxa + MED= 0, eller .

Ekvationen innehåller ingen variabel y, och den räta linjen som definieras av denna ekvation är parallell med axeln Oj.

c) Om i den allmänna ekvationen för den räta linjen (2) A= 0, då kommer denna ekvation att ta formen

Förbi + MED= 0, eller ;

ekvationen innehåller ingen variabel x, och den räta linjen den definierar är parallell med axeln Oxe.

Man bör komma ihåg: om en rät linje är parallell med någon koordinataxel, så finns det i dess ekvation ingen term som innehåller en koordinat med samma namn som denna axel.

d) När C= 0 och A= 0 ekvation (2) tar formen Förbi= 0, eller y = 0.

Detta är ekvationen för axeln Oxe.

d) När C= 0 och B= 0 ekvation (2) kommer att skrivas i formen Yxa= 0 eller x = 0.

Detta är ekvationen för axeln Oj.

Den relativa positionen för linjer på ett plan. Vinkeln mellan raka linjer på ett plan. Villkor för parallella linjer. Villkor för vinkelräta linjer.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Vektorerna S 1 och S 2 kallas guider för sina linjer.

Vinkeln mellan räta linjer l 1 och l 2 bestäms av vinkeln mellan riktningsvektorerna.
Sats 1: cos för vinkeln mellan l 1 och l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

Sats 2: För att två rader ska vara lika är det nödvändigt och tillräckligt:

Sats 3: För att två raka linjer ska vara vinkelräta är det nödvändigt och tillräckligt:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Allmän planekvation och dess specialfall. Ekvation för ett plan i segment.

Allmän planekvation:

Axe + By + Cz + D = 0

Speciella fall:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – planet passerar genom origo

2. С=0 Ax+By+D = 0 – plan || UNS

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – plan || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – plan || OXE

5. A=0 och D=0 By+Cz = 0 – planet passerar genom OX

6. B=0 och D=0 Ax+Cz = 0 – planet passerar genom OY

7. C=0 och D=0 Ax+By = 0 – planet passerar genom OZ

Den relativa positionen för plan och räta linjer i rymden:

1. Vinkeln mellan räta linjer i rymden är vinkeln mellan deras riktningsvektorer.

Cos (l 1 ; 1 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Vinkeln mellan planen bestäms genom vinkeln mellan deras normalvektorer.

Cos (l 1 ; 1 2) = cos (N 1 ; N 2) = =

3. Cosinus för vinkeln mellan linjen och planet kan hittas genom sin för vinkeln mellan linjens riktningsvektor och planets normalvektor.

4. 2 raka || i rymden när deras || vektor guider

5. 2 plan || när || normala vektorer

6. Begreppen vinkelräthet hos linjer och plan introduceras på liknande sätt.

Fråga nr 14

Olika typer av ekvationer för en rät linje på ett plan (ekvation för en rät linje i segment, med en vinkelkoefficient, etc.)

Ekvation för en rät linje i segment:
Låt oss anta att i den allmänna ekvationen för den räta linjen:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 – den räta linjen går genom origo.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

Ekvation för en rät linje med en lutning:

Varje rät linje som inte är lika med op-amp-axeln (B not = 0) kan skrivas ner på nästa rad. form:

k = tanα α – vinkel mellan rät linje och positivt riktad linje OX

b – skärningspunkten för den räta linjen med op-förstärkarens axel

Dokumentera:

Axe+By+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

Ekvation för en rät linje baserad på två punkter:

Fråga nr 16

Finit gräns för en funktion vid en punkt och för x→∞

Slutgräns vid x0:

Talet A kallas gränsen för funktionen y = f(x) för x→x 0 om det för någon E > 0 finns b > 0 så att för x ≠x 0 uppfyller olikheten |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Gränsen indikeras av: = A

Slutgräns vid punkten +∞:

Talet A kallas gränsen för funktionen y = f(x) vid x → + ∞ , om det för någon E > 0 finns C > 0 så att för x > C olikheten |f(x) - A|< Е

Gränsen indikeras av: = A

Slutgräns vid punkt -∞:

Talet A kallas gränsen för funktionen y = f(x) för x→-∞, om för någon E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Ekvation för en rät linje på ett plan.
Riktningsvektorn är rak. Normal vektor

En rak linje på ett plan är en av de enklaste geometriska figurerna, bekanta för dig från grundskolan, och idag kommer vi att lära oss hur man hanterar det med metoderna för analytisk geometri. För att behärska materialet måste du kunna bygga en rak linje; vet vilken ekvation som definierar en rät linje, i synnerhet en rät linje som går genom origo för koordinater och räta linjer parallella med koordinataxlarna. Denna information finns i manualen Grafer och egenskaper hos elementära funktioner, jag skapade den för Matan, men avsnittet om den linjära funktionen visade sig vara mycket framgångsrikt och detaljerat. Därför, kära tekannor, värm upp där först. Dessutom behöver du ha grundläggande kunskaper om vektorer, annars kommer förståelsen av materialet att vara ofullständig.

I den här lektionen kommer vi att titta på hur du kan skapa en ekvation för en rät linje på ett plan. Jag rekommenderar att du inte försummar praktiska exempel (även om det verkar väldigt enkelt), eftersom jag kommer att förse dem med elementära och viktiga fakta och tekniker som kommer att krävas i framtiden, inklusive i andra avsnitt av högre matematik.

• Hur man skriver en ekvation för en rät linje med en vinkelkoefficient?
• Hur ?
• Hur hittar man en riktningsvektor med den allmänna ekvationen för en rät linje?
• Hur man skriver en ekvation för en rät linje givet en punkt och en normalvektor?

och vi börjar:

Ekvation för en rät linje med lutning

Den välkända "skolformen" av en rät linjeekvation kallas ekvation för en rät linje med lutning. Till exempel, om en rät linje ges av ekvationen, är dess lutning: . Låt oss överväga den geometriska betydelsen av denna koefficient och hur dess värde påverkar linjens placering:

I en geometrikurs är det bevisat att lutningen på den räta linjen är lika med tangens av vinkeln mellan positiv axelriktningoch den här raden: , och vinkeln "skruvas av" moturs.

För att inte belamra ritningen ritade jag bara vinklar för två raka linjer. Låt oss överväga den "röda" linjen och dess lutning. Enligt ovanstående: (”alfa”-vinkeln indikeras av en grön båge). För den "blå" räta linjen med vinkelkoefficienten är likheten sann ("beta"-vinkeln indikeras av en brun båge). Och om vinkelns tangent är känd, är den vid behov lätt att hitta och själva hörnet använder den inversa funktionen - arctangens. Som de säger, en trigonometrisk tabell eller en mikroräknare i dina händer. Således, vinkelkoefficienten kännetecknar graden av lutning av den räta linjen till abskissaxeln.

Följande fall är möjliga:

1) Om lutningen är negativ: så går linjen, grovt sett, uppifrån och ner. Exempel är de "blå" och "hallon" raka linjerna i ritningen.

2) Om lutningen är positiv: , går linjen från botten till toppen. Exempel - "svarta" och "röda" raka linjer i ritningen.

3) Om lutningen är noll: , så tar ekvationen formen , och den motsvarande räta linjen är parallell med axeln. Ett exempel är den "gula" räta linjen.

4) För en familj av linjer parallella med en axel (det finns inget exempel på ritningen, förutom själva axeln), vinkelkoefficienten existerar inte (tangens på 90 grader är inte definierad).

Ju större lutningskoefficienten är i absolut värde, desto brantare blir linjediagrammet..

Tänk till exempel på två raka linjer. Här har därför den raka linjen en brantare lutning. Låt mig påminna dig om att modulen låter dig ignorera skylten, vi är bara intresserade av absoluta värden vinkelkoefficienter.

I sin tur är en rak linje brantare än raka linjer .

Omvänt: ju mindre lutningskoefficienten är i absolut värde, desto plattare är den räta linjen.

För raka linjer ojämlikheten är sann, så den räta linjen är plattare. Barnrutschkana, för att inte ge dig själv blåmärken och stötar.

Varför är detta nödvändigt?

Förläng din plåga Kunskap om ovanstående fakta gör att du omedelbart kan se dina misstag, i synnerhet fel när du konstruerar grafer - om ritningen visar sig vara "uppenbarligen något fel." Det är tillrådligt att du direkt det var tydligt att till exempel den räta linjen är väldigt brant och går från botten till toppen, och den räta linjen är väldigt platt, pressad nära axeln och går från topp till botten.

I geometriska problem visas ofta flera raka linjer, så det är bekvämt att beteckna dem på något sätt.

Beteckningar: raka linjer betecknas med små latinska bokstäver: . Ett populärt alternativ är att utse dem med samma bokstav med naturliga teckningar. Till exempel kan de fem raderna vi just tittade på betecknas med .

Eftersom varje rät linje bestäms unikt av två punkter, kan den betecknas med dessa punkter: etc. Beteckningen antyder tydligt att punkterna tillhör linjen.

Det är dags att värma upp lite:

Hur man skriver en ekvation för en rät linje med en vinkelkoefficient?

Om en punkt som hör till en viss linje och vinkelkoefficienten för denna linje är känd, uttrycks ekvationen för denna linje med formeln:

Exempel 1

Skriv en ekvation för en rät linje med en vinkelkoefficient om det är känt att punkten tillhör denna räta linje.

Lösning: Låt oss komponera ekvationen för den räta linjen med hjälp av formeln . I detta fall:

Svar:

Undersökning görs enkelt. Först tittar vi på den resulterande ekvationen och ser till att vår lutning är på plats. För det andra måste punktens koordinater uppfylla denna ekvation. Låt oss koppla in dem i ekvationen:

Den korrekta likheten erhålls, vilket innebär att punkten uppfyller den resulterande ekvationen.

Slutsats: Ekvationen hittades korrekt.

Ett mer knepigt exempel att lösa på egen hand:

Exempel 2

Skriv en ekvation för en rät linje om det är känt att dess lutningsvinkel mot axelns positiva riktning är , och punkten tillhör denna räta linje.

Om du har några svårigheter, läs om det teoretiska materialet. Mer exakt, mer praktiskt, jag hoppar över många bevis.

Den sista klockan har ringt, examensceremonin har avslutats och utanför portarna till vår inhemska skola väntar själva analytisk geometri. Skämten är över... Eller de kanske bara har börjat =)

Vi viftar nostalgiskt med pennan till det bekanta och bekantar oss med den allmänna ekvationen för en rak linje. För i analytisk geometri är det exakt vad som används:

Den allmänna ekvationen för en rät linje har formen: , var finns några siffror. Samtidigt koefficienterna samtidigtär inte lika med noll, eftersom ekvationen förlorar sin betydelse.

Låt oss klä oss i kostym och knyta ekvationen med lutningskoefficienten. Låt oss först flytta alla termer till vänster sida:

Termen med "X" måste sättas på första plats:

I princip har ekvationen redan formen , men enligt reglerna för matematisk etikett måste koefficienten för den första termen (i detta fall) vara positiv. Ändra tecken:

Kom ihåg denna tekniska funktion! Vi gör den första koefficienten (oftast) positiv!

I analytisk geometri kommer ekvationen för en rät linje nästan alltid att ges i allmän form. Tja, om det behövs kan det enkelt reduceras till "skola" -formen med en vinkelkoefficient (med undantag för raka linjer parallella med ordinataaxeln).

Låt oss fråga oss vad tillräckligt vet man att konstruera en rät linje? Två poäng. Men mer om denna barndomshändelse, nu sticks with arrows rule. Varje rak linje har en mycket specifik lutning, som är lätt att "anpassa" till. vektor.

En vektor som är parallell med en linje kallas riktningsvektorn för den linjen. Det är uppenbart att varje rät linje har oändligt många riktningsvektorer, och alla kommer att vara kolinjära (samriktningsvis eller inte - det spelar ingen roll).

Jag kommer att beteckna riktningsvektorn enligt följande: .

Men en vektor räcker inte för att konstruera en rät linje, vektorn är fri och inte bunden till någon punkt på planet. Därför är det dessutom nödvändigt att känna till någon punkt som hör till linjen.

Hur man skriver en ekvation för en rät linje med hjälp av en punkt och en riktningsvektor?

Om en viss punkt som hör till en linje och riktningsvektorn för denna linje är känd, kan ekvationen för denna linje kompileras med formeln:

Ibland kallas det linjens kanoniska ekvation .

Vad ska man göra när en av koordinaternaär lika med noll, kommer vi att förstå i praktiska exempel nedan. Observera förresten - båda på en gång koordinater kan inte vara lika med noll, eftersom nollvektorn inte anger en specifik riktning.

Exempel 3

Skriv en ekvation för en rät linje med hjälp av en punkt och en riktningsvektor

Lösning: Låt oss komponera ekvationen för en rät linje med hjälp av formeln. I detta fall:

Med hjälp av proportionsegenskaper blir vi av med fraktioner:

Och vi tar ekvationen till dess allmänna form:

Svar:

Som regel finns det inget behov av att göra en ritning i sådana exempel, men för förståelsens skull:

På ritningen ser vi startpunkten, den ursprungliga riktningsvektorn (den kan plottas från vilken punkt som helst på planet) och den konstruerade räta linjen. Förresten, i många fall är det mest praktiskt att konstruera en rät linje med hjälp av en ekvation med en vinkelkoefficient. Det är lätt att omvandla vår ekvation till form och enkelt välja en annan punkt för att konstruera en rak linje.

Som nämnts i början av stycket har en rät linje oändligt många riktningsvektorer, och alla är kolinjära. Till exempel ritade jag tre sådana vektorer: . Oavsett vilken riktningsvektor vi väljer kommer resultatet alltid att vara samma räta linjeekvation.

Låt oss skapa en ekvation för en rät linje med hjälp av en punkt och en riktningsvektor:

Att lösa proportionen:

Dividera båda sidor med –2 och få den välbekanta ekvationen:

Den som är intresserad kan testa vektorer på samma sätt eller någon annan kolinjär vektor.

Låt oss nu lösa det omvända problemet:

Hur hittar man en riktningsvektor med den allmänna ekvationen för en rät linje?

Väldigt enkelt:

Om en linje ges av en generell ekvation i ett rektangulärt koordinatsystem, så är vektorn riktningsvektorn för denna linje.

Exempel på att hitta riktningsvektorer för räta linjer:

Påståendet tillåter oss att bara hitta en riktningsvektor av ett oändligt antal, men vi behöver inte mer. Även om det i vissa fall är tillrådligt att minska koordinaterna för riktningsvektorerna:

Således anger ekvationen en rät linje som är parallell med axeln och koordinaterna för den resulterande riktningsvektorn delas bekvämt med –2, vilket ger exakt basvektorn som riktningsvektor. Logisk.

På liknande sätt anger ekvationen en rät linje parallell med axeln, och genom att dividera vektorns koordinater med 5 får vi enhetsvektorn som riktningsvektor.

Nu ska vi göra det kontrollera exempel 3. Exemplet gick upp, så jag påminner dig om att vi i det kompilerade ekvationen för en rät linje med hjälp av en punkt och en riktningsvektor

för det första, med hjälp av ekvationen för den räta linjen rekonstruerar vi dess riktningsvektor: – allt är bra, vi har fått den ursprungliga vektorn (i vissa fall kan resultatet vara en kolinjär vektor till den ursprungliga, och detta är vanligtvis lätt att märka av proportionaliteten hos motsvarande koordinater).

För det andra, måste punktens koordinater uppfylla ekvationen. Vi sätter in dem i ekvationen:

Rätt jämställdhet erhölls vilket vi är mycket glada över.

Slutsats: Uppgiften slutfördes korrekt.

Exempel 4

Skriv en ekvation för en rät linje med hjälp av en punkt och en riktningsvektor

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand. Lösningen och svaret finns i slutet av lektionen. Det är mycket tillrådligt att kontrollera med den algoritm som just diskuterats. Försök att alltid (om möjligt) kontrollera ett utkast. Det är dumt att göra misstag där de kan undvikas till 100 %.

I händelse av att en av koordinaterna för riktningsvektorn är noll, fortsätt mycket enkelt:

Exempel 5

Lösning: Formeln är inte lämplig eftersom nämnaren på höger sida är noll. Det finns en utgång! Med hjälp av proportionsegenskaperna skriver vi om formeln i formen, och resten rullade längs ett djupt hjulspår:

Svar:

Undersökning:

1) Återställ riktningsvektorn för den räta linjen:
– den resulterande vektorn är kolinjär med den ursprungliga riktningsvektorn.

2) Ersätt koordinaterna för punkten i ekvationen:

Rätt jämställdhet erhålls

Slutsats: uppgiften slutförd korrekt

Frågan uppstår, varför bry sig om formeln om det finns en universell version som fungerar i alla fall? Det finns två skäl. För det första är formeln i form av en bråkdel mycket bättre ihågkommen. Och för det andra, nackdelen med den universella formeln är att risken att bli förvirrad ökar markant när du byter koordinater.

Exempel 6

Skriv en ekvation för en rät linje med hjälp av en punkt och en riktningsvektor.

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand.

Låt oss återgå till de två allestädes närvarande punkterna:

Hur man skriver en ekvation av en rät linje med två punkter?

Om två punkter är kända kan ekvationen för en rät linje som går genom dessa punkter kompileras med formeln:

I själva verket är detta en typ av formel och här är varför: om två punkter är kända, kommer vektorn att vara riktningsvektorn för den givna linjen. På lektionen Vektorer för dummies vi övervägde det enklaste problemet - hur man hittar koordinaterna för en vektor från två punkter. Enligt detta problem är koordinaterna för riktningsvektorn:

Notera : poängen kan "bytas" och formeln kan användas . En sådan lösning kommer att vara likvärdig.

Exempel 7

Skriv en ekvation för en rät linje med två punkter .

Lösning: Vi använder formeln:

Kombinera nämnare:

Och blanda däcket:

Nu är det dags att bli av med bråktal. I det här fallet måste du multiplicera båda sidor med 6:

Öppna parenteserna och kom ihåg ekvationen:

Svar:

Undersökningär uppenbart - koordinaterna för de initiala punkterna måste uppfylla den resulterande ekvationen:

1) Byt ut punktens koordinater:

Sann jämlikhet.

2) Byt ut punktens koordinater:

Sann jämlikhet.

Slutsats: Linjens ekvation är korrekt skriven.

Om åtminstone ett av punkterna inte uppfyller ekvationen, leta efter ett fel.

Det är värt att notera att grafisk verifiering i detta fall är svårt, eftersom konstruera en rak linje och se om punkterna tillhör den , inte så enkelt.

Jag kommer att notera ytterligare ett par tekniska aspekter av lösningen. Kanske i detta problem är det mer lönsamt att använda spegelformeln och på samma punkter gör en ekvation:

Färre fraktioner. Om du vill kan du utföra lösningen till slutet, resultatet ska bli samma ekvation.

Den andra punkten är att titta på det slutliga svaret och ta reda på om det kan förenklas ytterligare? Om du till exempel får ekvationen , är det lämpligt att reducera den med två: – ekvationen kommer att definiera samma räta linje. Detta är dock redan ett samtalsämne om linjernas relativa position.

Efter att ha fått svaret i exempel 7, för säkerhets skull, kontrollerade jag om ALLA koefficienter i ekvationen är delbara med 2, 3 eller 7. Även om sådana reduktioner oftast görs under lösningen.

Exempel 8

Skriv en ekvation för en linje som går genom punkterna .

Detta är ett exempel på en oberoende lösning som gör att du bättre kan förstå och träna beräkningstekniker.

I likhet med föregående stycke: om i formeln en av nämnarna (koordinaten för riktningsvektorn) blir noll, sedan skriver vi om den i formen . Återigen, lägg märke till hur besvärlig och förvirrad hon ser ut. Jag ser ingen mening med att ge praktiska exempel, eftersom vi redan faktiskt har löst detta problem (se nr 5, 6).

Direkt normal vektor (normal vektor)

Vad är normalt? Med enkla ord är en normal en vinkelrät. Det vill säga, normalvektorn för en linje är vinkelrät mot en given linje. Uppenbarligen har vilken rät linje som helst ett oändligt antal av dem (liksom riktningsvektorer), och alla normalvektorer för den räta linjen kommer att vara kolinjära (samriktningsvis eller inte, det gör ingen skillnad).

Att hantera dem kommer att vara ännu lättare än med guidevektorer:

Om en linje ges av en generell ekvation i ett rektangulärt koordinatsystem, är vektorn normalvektorn för denna linje.

Om koordinaterna för riktningsvektorn försiktigt måste "dras ut" från ekvationen, kan koordinaterna för normalvektorn helt enkelt "ta bort".

Normalvektorn är alltid ortogonal mot linjens riktningsvektor. Låt oss verifiera ortogonaliteten hos dessa vektorer med hjälp av punkt produkt:

Jag kommer att ge exempel med samma ekvationer som för riktningsvektorn:

Är det möjligt att konstruera en ekvation för en rät linje givet en punkt och en normalvektor? Jag känner det i magen, det är möjligt. Om normalvektorn är känd, är riktningen för den raka linjen själv tydligt definierad - det här är en "styv struktur" med en vinkel på 90 grader.

Hur man skriver en ekvation för en rät linje givet en punkt och en normalvektor?

Om en viss punkt som hör till en linje och normalvektorn för denna linje är känd, uttrycks ekvationen för denna linje med formeln:

Här löste sig allt utan bråk och andra överraskningar. Detta är vår normala vektor. Älskar honom. Och respekt =)

Exempel 9

Skriv en ekvation för en rät linje givet en punkt och en normalvektor. Hitta riktningsvektorn för linjen.

Lösning: Vi använder formeln:

Linjens allmänna ekvation har erhållits, låt oss kontrollera:

1) "Ta bort" koordinaterna för normalvektorn från ekvationen: – ja, faktiskt, den ursprungliga vektorn erhölls från tillståndet (eller en kolinjär vektor bör erhållas).

2) Låt oss kontrollera om punkten uppfyller ekvationen:

Sann jämlikhet.

Efter att vi är övertygade om att ekvationen är korrekt sammansatt kommer vi att slutföra den andra, enklare delen av uppgiften. Vi tar ut riktningsvektorn för den räta linjen:

Svar:

På ritningen ser situationen ut så här:

För utbildningsändamål, en liknande uppgift för att lösa självständigt:

Exempel 10

Skriv en ekvation för en rät linje givet en punkt och en normalvektor. Hitta riktningsvektorn för linjen.

Det sista avsnittet av lektionen kommer att ägnas åt mindre vanliga men också viktiga typer av ekvationer för en linje på ett plan

Ekvation för en rät linje i segment.
Ekvation för en linje i parametrisk form

Ekvationen för en rät linje i segment har formen , där är konstanter som inte är noll. Vissa typer av ekvationer kan inte representeras i denna form, till exempel direkt proportionalitet (eftersom den fria termen är lika med noll och det inte finns något sätt att få en på höger sida).

Detta är bildligt talat en "teknisk" typ av ekvation. En vanlig uppgift är att representera den allmänna ekvationen för en linje som en ekvation för en linje i segment. Hur är det bekvämt? Ekvationen för en linje i segment gör att du snabbt kan hitta skärningspunkterna för en linje med koordinataxlar, vilket kan vara mycket viktigt i vissa problem med högre matematik.

Låt oss hitta skärningspunkten för linjen med axeln. Vi återställer "y" och ekvationen tar formen . Den önskade punkten erhålls automatiskt: .

Samma sak med axeln – punkten där den räta linjen skär ordinataaxeln.

I den här artikeln kommer vi att överväga den allmänna ekvationen för en rät linje på ett plan. Låt oss ge exempel på att konstruera en generell ekvation för en linje om två punkter på denna linje är kända eller om en punkt och normalvektorn för denna linje är kända. Låt oss presentera metoder för att omvandla en ekvation i allmän form till kanoniska och parametriska former.

Låt ett godtyckligt kartesiskt rektangulärt koordinatsystem ges Oxy. Tänk på en första gradens eller linjär ekvation:

Var A, B, C− några konstanter och åtminstone ett av elementen A Och B skiljer sig från noll.

Vi kommer att visa att en linjär ekvation på ett plan definierar en rät linje. Låt oss bevisa följande teorem.

Sats 1. I ett godtyckligt kartesiskt rektangulärt koordinatsystem på ett plan kan varje rät linje specificeras med en linjär ekvation. Omvänt definierar varje linjär ekvation (1) i ett godtyckligt kartesiskt rektangulärt koordinatsystem på ett plan en rät linje.

Bevis. Det räcker för att bevisa att den raka linjen L bestäms av en linjär ekvation för vilket som helst kartesiskt rektangulärt koordinatsystem, eftersom det då kommer att bestämmas av en linjär ekvation för valfritt kartesiskt rektangulärt koordinatsystem.

Låt en rät linje ges på planet L. Låt oss välja ett koordinatsystem så att axeln Oxe sammanföll med en rak linje L, och axeln Oj var vinkelrät mot den. Sedan linjens ekvation L kommer att ha följande form:

Alla punkter på en linje L kommer att uppfylla linjär ekvation (2), och alla punkter utanför denna linje kommer inte att uppfylla ekvation (2). Den första delen av satsen har bevisats.

Låt ett kartesiskt rektangulärt koordinatsystem ges och låt en linjär ekvation (1) ges, där minst ett av elementen A Och B skiljer sig från noll. Låt oss hitta det geometriska stället för punkter vars koordinater uppfyller ekvation (1). Eftersom minst en av koefficienterna A Och B skiljer sig från noll, då har ekvation (1) minst en lösning M(x 0 ,y 0). (Till exempel när A≠0, punkt M 0 (−C/A, 0) tillhör den givna geometriska punkten). Genom att ersätta dessa koordinater i (1) får vi identiteten

Låt oss subtrahera identitet (3) från (1):

Uppenbarligen är ekvation (4) ekvivalent med ekvation (1). Därför räcker det att bevisa att (4) definierar en viss linje.

Eftersom vi betraktar ett kartesiskt rektangulärt koordinatsystem, följer det av likhet (4) att vektorn med komponenter ( x−x 0 , y−y 0 ) ortogonalt mot vektorn n med koordinater ( A,B}.

Låt oss överväga en rak linje L, passerar genom punkten M 0 (x 0 , y 0) och vinkelrätt mot vektorn n(Figur 1). Låt poängen M(x,y) tillhör linjen L. Sedan vektorn med koordinater x−x 0 , y−y 0 vinkelrät n och ekvation (4) är uppfylld (skalär produkt av vektorer n och lika med noll). Omvänt, om punkt M(x,y) ligger inte på en linje L, sedan vektorn med koordinater x−x 0 , y−y 0 är inte ortogonal mot vektorn n och ekvation (4) är inte uppfylld. Teoremet har bevisats.

Bevis. Eftersom linjerna (5) och (6) definierar samma linje, då är normalvektorerna n 1 ={A 1 ,B 1) och n 2 ={A 2 ,B 2) kolinjär. Sedan vektorer n 1 ≠0, n 2 ≠0, då finns det ett sådant nummer λ , Vad n 2 =n 1 λ . Härifrån har vi: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Låt oss bevisa det C 2 =C 1 λ . Uppenbarligen har sammanfallande linjer en gemensam poäng M 0 (x 0 , y 0). Multiplicera ekvation (5) med λ och subtrahera ekvation (6) från den får vi:

Eftersom de två första likheterna från uttryck (7) är uppfyllda, alltså C 1 λ −C 2 = 0. De där. C 2 =C 1 λ . Anmärkningen är bevisad.

Observera att ekvation (4) definierar ekvationen för den räta linjen som går genom punkten M 0 (x 0 , y 0) och har en normal vektor n={A,B). Därför, om normalvektorn för en linje och punkten som hör till denna linje är kända, kan den allmänna ekvationen för linjen konstrueras med hjälp av ekvation (4).

Exempel 1. En rät linje går genom en punkt M=(4,−1) och har en normalvektor n=(3, 5). Konstruera den allmänna ekvationen för en linje.

Lösning. Vi har: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. För att konstruera den allmänna ekvationen för en rät linje, ersätter vi dessa värden i ekvation (4):

Svar:

Vektorn är parallell med linjen L och därför vinkelrät mot linjens normalvektor L. Låt oss konstruera en normal linjevektor L, med hänsyn till att den skalära produkten av vektorer n och lika med noll. Vi kan skriva t.ex. n={1,−3}.

För att konstruera den allmänna ekvationen för en rät linje använder vi formel (4). Låt oss ersätta punktens koordinater med (4) M 1 (vi kan också ta punktens koordinater M 2) och normalvektor n:

Ersätter punkternas koordinater M 1 och M 2 i (9) kan vi se till att den räta linjen som ges av ekvation (9) går genom dessa punkter.

Svar:

Subtrahera (10) från (1):

Vi har fått linjens kanoniska ekvation. Vektor q={−B, A) är riktningsvektorn för linjen (12).

Se omvänd konvertering.

Exempel 3. En rät linje på ett plan representeras av följande allmänna ekvation:

Låt oss flytta den andra termen åt höger och dividera båda sidor av ekvationen med 2·5.

Den här artikeln fortsätter ämnet för ekvationen för en linje på ett plan: vi kommer att betrakta denna typ av ekvation som den allmänna ekvationen för en linje. Låt oss definiera satsen och ge dess bevis; Låt oss ta reda på vad en ofullständig allmän ekvation för en linje är och hur man gör övergångar från en allmän ekvation till andra typer av ekvationer för en linje. Vi kommer att förstärka hela teorin med illustrationer och lösningar på praktiska problem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Låt ett rektangulärt koordinatsystem O x y anges på planet.

Sats 1

Varje ekvation av första graden, med formen A x + B y + C = 0, där A, B, C är några reella tal (A och B är inte lika med noll samtidigt), definierar en rät linje i ett rektangulärt koordinatsystem på ett plan. I sin tur bestäms varje rät linje i ett rektangulärt koordinatsystem på ett plan av en ekvation som har formen A x + B y + C = 0 för en viss uppsättning värden A, B, C.

Bevis

Denna sats består av två punkter vi kommer att bevisa var och en av dem.

1. Låt oss bevisa att ekvationen A x + B y + C = 0 definierar en rät linje på planet.

Låt det finnas någon punkt M 0 (x 0 , y 0) vars koordinater motsvarar ekvationen A x + B y + C = 0. Alltså: A x 0 + B y 0 + C = 0. Subtrahera från vänster och höger sida av ekvationerna A x + B y + C = 0 vänster och höger sida av ekvationen A x 0 + B y 0 + C = 0, vi får en ny ekvation som ser ut som A (x - x 0) + B (y - yo) = 0 . Det är ekvivalent med A x + B y + C = 0.

Den resulterande ekvationen A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för vinkelrätheten hos vektorerna n → = (A, B) och M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ). Således definierar uppsättningen av punkter M (x, y) en rät linje i ett rektangulärt koordinatsystem vinkelrätt mot riktningen för vektorn n → = (A, B). Vi kan anta att så inte är fallet, men då skulle vektorerna n → = (A, B) och M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) inte vara vinkelräta, och likheten A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 skulle inte vara sant.

Följaktligen definierar ekvationen A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 en viss linje i ett rektangulärt koordinatsystem på planet, och därför definierar den ekvivalenta ekvationen A x + B y + C = 0 samma rad. Så här bevisade vi den första delen av satsen.

1. Låt oss ge ett bevis på att vilken rät linje som helst i ett rektangulärt koordinatsystem på ett plan kan specificeras med en ekvation av första graden A x + B y + C = 0.

Låt oss definiera en rät linje a i ett rektangulärt koordinatsystem på ett plan; punkten M 0 (x 0 , y 0) genom vilken denna linje passerar, samt normalvektorn för denna linje n → = (A, B) .

Låt det också finnas någon punkt M (x, y) - en flytande punkt på en linje. I detta fall är vektorerna n → = (A, B) och M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vinkelräta mot varandra, och deras skalära produkt är noll:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Låt oss skriva om ekvationen A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definiera C: C = - A x 0 - B y 0 och som ett slutresultat får vi ekvationen A x + B y + C = 0.

Så vi har bevisat den andra delen av satsen, och vi har bevisat hela satsen som helhet.

Definition 1

En formekvation A x + B y + C = 0 - Det här en linjes allmänna ekvation på ett plan i ett rektangulärt koordinatsystemOxy.

Baserat på den beprövade satsen kan vi dra slutsatsen att en rät linje och dess allmänna ekvation definierad på ett plan i ett fast rektangulärt koordinatsystem är oupplösligt sammanlänkade. Med andra ord, den ursprungliga linjen motsvarar dess allmänna ekvation; den allmänna ekvationen för en linje motsvarar en given linje.

Av beviset för satsen följer också att koefficienterna A och B för variablerna x och y är koordinaterna för linjens normalvektor, som ges av den allmänna ekvationen för linjen A x + B y + C = 0.

Låt oss överväga ett specifikt exempel på en allmän ekvation för en linje.

Låt ekvationen 2 x + 3 y - 2 = 0 ges, vilket motsvarar en rät linje i ett givet rektangulärt koordinatsystem. Den normala vektorn för denna linje är vektorn n → = (2, 3). Låt oss rita den givna räta linjen i ritningen.

Vi kan också konstatera följande: den räta linjen som vi ser på ritningen bestäms av den allmänna ekvationen 2 x + 3 y - 2 = 0, eftersom koordinaterna för alla punkter på en given rät linje motsvarar denna ekvation.

Vi kan få ekvationen λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 genom att multiplicera båda sidor av linjens allmänna ekvation med ett tal λ som inte är lika med noll. Den resulterande ekvationen är ekvivalent med den ursprungliga allmänna ekvationen, därför kommer den att beskriva samma räta linje på planet.

Komplettera den allmänna ekvationen för en linje– en sådan generell ekvation av den räta linjen A x + B y + C = 0, där talen A, B, C skiljer sig från noll. Annars är ekvationen Ofullständig.

Låt oss analysera alla variationer av den ofullständiga allmänna ekvationen för en linje.

1. När A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, har den allmänna ekvationen formen B y + C = 0. En sådan ofullständig allmän ekvation definierar i ett rektangulärt koordinatsystem O x y en rät linje som är parallell med O x-axeln, eftersom för varje reellt värde på x kommer variabeln y att ta värdet - C B . Med andra ord, den allmänna ekvationen för linjen A x + B y + C = 0, när A = 0, B ≠ 0, anger platsen för punkter (x, y), vars koordinater är lika med samma tal - C B .
2. Om A = 0, B ≠ 0, C = 0, har den allmänna ekvationen formen y = 0. Denna ofullständiga ekvation definierar x-axeln O x .
3. När A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, får vi en ofullständig generell ekvation A x + C = 0, som definierar en rät linje parallell med ordinatan.
4. Låt A ≠ 0, B = 0, C = 0, då kommer den ofullständiga allmänna ekvationen att ha formen x = 0, och detta är ekvationen för koordinatlinjen O y.
5. Slutligen, för A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, har den ofullständiga allmänna ekvationen formen A x + B y = 0. Och denna ekvation beskriver en rät linje som går genom origo. Faktum är att talparet (0, 0) motsvarar likheten A x + B y = 0, eftersom A · 0 + B · 0 = 0.

Låt oss grafiskt illustrera alla ovanstående typer av ofullständiga allmänna ekvationer för en rät linje.

Exempel 1

Det är känt att den givna räta linjen är parallell med ordinataaxeln och går genom punkten 2 7, - 11. Det är nödvändigt att skriva ner den allmänna ekvationen för den givna linjen.

Lösning

En rät linje parallell med ordinataaxeln ges av en ekvation av formen A x + C = 0, där A ≠ 0. Villkoret specificerar också koordinaterna för den punkt genom vilken linjen passerar, och koordinaterna för denna punkt uppfyller villkoren för den ofullständiga allmänna ekvationen A x + C = 0, dvs. jämställdheten är sann:

A27 + C = 0

Utifrån det är det möjligt att bestämma C om vi ger A ett värde som inte är noll, till exempel A = 7. I det här fallet får vi: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Vi känner till båda koefficienterna A och C, ersätter dem med ekvationen A x + C = 0 och får den nödvändiga räta linjeekvationen: 7 x - 2 = 0

Svar: 7 x - 2 = 0

Exempel 2

Ritningen visar en rak linje du behöver skriva ner dess ekvation.

Lösning

Den givna ritningen gör att vi enkelt kan ta de första uppgifterna för att lösa problemet. Vi ser på ritningen att den givna räta linjen är parallell med O x-axeln och går genom punkten (0, 3).

Den räta linjen, som är parallell med abskissan, bestäms av den ofullständiga allmänna ekvationen B y + C = 0. Låt oss hitta värdena för B och C. Koordinaterna för punkten (0, 3), eftersom den givna linjen passerar genom den, kommer att uppfylla ekvationen för linjen B y + C = 0, då är likheten giltig: B · 3 + C = 0. Låt oss sätta B till något annat värde än noll. Låt oss säga B = 1, i vilket fall från likheten B · 3 + C = 0 kan vi hitta C: C = - 3. Med hjälp av de kända värdena för B och C får vi den nödvändiga ekvationen för den räta linjen: y - 3 = 0.

Svar: y - 3 = 0 .

Allmän ekvation för en linje som går genom en given punkt i ett plan

Låt den givna linjen passera genom punkten M 0 (x 0 , y 0), då motsvarar dess koordinater linjens allmänna ekvation, d.v.s. likheten är sann: A x 0 + B y 0 + C = 0. Låt oss subtrahera vänster och höger sida av denna ekvation från vänster och höger sida av den allmänna kompletta ekvationen för linjen. Vi får: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, denna ekvation är ekvivalent med den ursprungliga allmänna, passerar genom punkten M 0 (x 0, y 0) och har en normal vektor n → = (A, B).

Resultatet som vi erhållit gör det möjligt att skriva ner den allmänna ekvationen för en linje med kända koordinater för linjens normalvektor och koordinaterna för en viss punkt på denna linje.

Exempel 3

Givet en punkt M 0 (- 3, 4) genom vilken en linje passerar, och normalvektorn för denna linje n → = (1, -2). Det är nödvändigt att skriva ner ekvationen för den givna linjen.

Lösning

De initiala förhållandena tillåter oss att erhålla nödvändiga data för att kompilera ekvationen: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Sedan:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problemet kunde ha lösts annorlunda. Den allmänna ekvationen för en rät linje är A x + B y + C = 0. Den givna normalvektorn tillåter oss att erhålla värdena för koefficienterna A och B, då:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Låt oss nu hitta värdet på C med hjälp av punkten M 0 (- 3, 4) som anges av problemets tillstånd, genom vilken den räta linjen passerar. Koordinaterna för denna punkt motsvarar ekvationen x - 2 · y + C = 0, dvs. - 3 - 2 4 + C = 0. Alltså C = 11. Den nödvändiga räta linjeekvationen har formen: x - 2 · y + 11 = 0.

Svar: x - 2 y + 11 = 0.

Exempel 4

Givet en linje 2 3 x - y - 1 2 = 0 och en punkt M 0 som ligger på denna linje. Endast abskissan för denna punkt är känd, och den är lika med - 3. Det är nödvändigt att bestämma ordinatan för en given punkt.

Lösning

Låt oss beteckna koordinaterna för punkten M 0 som x 0 och y 0 . Källdata indikerar att x 0 = - 3. Eftersom punkten tillhör en given linje, så motsvarar dess koordinater den allmänna ekvationen för denna linje. Då blir jämställdheten sann:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definiera y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Svar: - 5 2

Övergång från den allmänna ekvationen för en linje till andra typer av ekvationer för en linje och vice versa

Som vi vet finns det flera typer av ekvationer för samma räta linje på ett plan. Valet av ekvationstyp beror på problemets förutsättningar; det är möjligt att välja den som är mer bekväm för att lösa det. Förmågan att konvertera en ekvation av en typ till en ekvation av en annan typ är mycket användbar här.

Låt oss först betrakta övergången från den allmänna ekvationen av formen A x + B y + C = 0 till den kanoniska ekvationen x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Om A ≠ 0, flyttar vi termen B y till höger sida av den allmänna ekvationen. På vänster sida tar vi A ur parentes. Som ett resultat får vi: A x + C A = - B y.

Denna likhet kan skrivas som en proportion: x + C A - B = y A.

Om B ≠ 0 lämnar vi bara termen A x på vänster sida av den allmänna ekvationen, överför de andra till höger, vi får: A x = - B y - C. Vi tar ut – B inom parentes, sedan: A x = - B y + C B .

Låt oss skriva om likheten i form av en proportion: x - B = y + C B A.

Naturligtvis finns det inget behov av att memorera de resulterande formlerna. Det räcker att känna till algoritmen för åtgärder när man går från en allmän ekvation till en kanonisk.

Exempel 5

Den allmänna ekvationen för linjen 3 y - 4 = 0 ges. Det är nödvändigt att omvandla det till en kanonisk ekvation.

Lösning

Låt oss skriva den ursprungliga ekvationen som 3 y - 4 = 0. Därefter fortsätter vi enligt algoritmen: termen 0 x förblir på vänster sida; och på höger sida sätter vi - 3 ur parentes; vi får: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Låt oss skriva den resulterande likheten som en proportion: x - 3 = y - 4 3 0 . Således har vi fått en ekvation av kanonisk form.

Svar: x - 3 = y - 4 3 0.

För att omvandla den allmänna ekvationen för en linje till parametriska, görs först en övergång till den kanoniska formen och sedan en övergång från en linjes kanoniska ekvation till parametriska ekvationer.

Exempel 6

Den räta linjen ges av ekvationen 2 x - 5 y - 1 = 0. Skriv ner de parametriska ekvationerna för denna linje.

Lösning

Låt oss göra övergången från den allmänna ekvationen till den kanoniska:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Nu tar vi båda sidor av den resulterande kanoniska ekvationen lika med λ, då:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Svar:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Den allmänna ekvationen kan omvandlas till en ekvation av en rät linje med lutning y = k · x + b, men bara när B ≠ 0. För övergången lämnar vi termen B y på vänster sida, resten överförs till höger. Vi får: B y = - A x - C . Låt oss dividera båda sidorna av den resulterande likheten med B, annorlunda än noll: y = - A B x - C B.

Exempel 7

Linjens allmänna ekvation ges: 2 x + 7 y = 0. Du måste omvandla den ekvationen till en lutningsekvation.

Lösning

Låt oss utföra de nödvändiga åtgärderna enligt algoritmen:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Svar: y = -2 7 x .

Från den allmänna ekvationen för en linje räcker det att helt enkelt få en ekvation i segment av formen x a + y b = 1. För att göra en sådan övergång flyttar vi talet C till höger sida av likheten, dividerar båda sidorna av den resulterande likheten med – C och överför slutligen koefficienterna för variablerna x och y till nämnarna:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Exempel 8

Det är nödvändigt att omvandla den allmänna ekvationen för linjen x - 7 y + 1 2 = 0 till ekvationen för linjen i segment.

Lösning

Låt oss flytta 1 2 till höger sida: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Låt oss dividera båda sidor av likheten med -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Svar: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

I allmänhet är den omvända övergången också lätt: från andra typer av ekvationer till den allmänna.

Ekvationen för en linje i segment och en ekvation med en vinkelkoefficient kan enkelt omvandlas till en generell genom att helt enkelt samla alla termer på den vänstra sidan av likheten:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Den kanoniska ekvationen omvandlas till en allmän enligt följande schema:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

För att flytta från parametriska, flytta först till den kanoniska och sedan till den allmänna:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Exempel 9

De parametriska ekvationerna för linjen x = - 1 + 2 · λ y = 4 ges. Det är nödvändigt att skriva ner den allmänna ekvationen för denna linje.

Lösning

Låt oss göra övergången från parametriska ekvationer till kanoniska:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Låt oss gå från det kanoniska till det allmänna:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Svar: y - 4 = 0

Exempel 10

Ekvationen för en rät linje i segmenten x 3 + y 1 2 = 1 ges. Det är nödvändigt att övergå till den allmänna formen av ekvationen.

Lösning:

Vi skriver helt enkelt om ekvationen i den form som krävs:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Svar: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Rita upp en generell ekvation för en linje

Vi sa ovan att den allmänna ekvationen kan skrivas med kända koordinater för normalvektorn och koordinaterna för den punkt genom vilken linjen passerar. En sådan rät linje definieras av ekvationen A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Där analyserade vi också motsvarande exempel.

Låt oss nu titta på mer komplexa exempel, där vi först måste bestämma koordinaterna för den normala vektorn.

Exempel 11

Givet en linje parallell med linjen 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Punkten M 0 (4, 1) genom vilken den givna linjen passerar är också känd. Det är nödvändigt att skriva ner ekvationen för den givna linjen.

Lösning

De initiala förhållandena säger oss att linjerna är parallella, sedan, som normalvektor för linjen, vars ekvation måste skrivas, tar vi riktningsvektorn för linjen n → = (2, - 3): 2 x - 3 år + 3 3 = 0. Nu vet vi alla nödvändiga data för att skapa den allmänna ekvationen för linjen:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Svar: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Exempel 12

Den givna linjen går genom origo vinkelrätt mot linjen x - 2 3 = y + 4 5. Det är nödvändigt att skapa en generell ekvation för en given linje.

Lösning

Normalvektorn för en given linje kommer att vara riktningsvektorn för linjen x - 2 3 = y + 4 5.

Sedan n → = (3, 5) . Den räta linjen går genom origo, d.v.s. genom punkt O (0, 0). Låt oss skapa en generell ekvation för en given linje:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Svar: 3 x + 5 y = 0 .

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter