Logaritmen 7 till bas 2 är lika med. Vad är en logaritm

Välkommen till online-logaritm-kalkylatorn.

Vad används denna kalkylator till? Jo, först och främst för att kontrollera dina skriftliga eller mentala beräkningar. Du kan stöta på logaritmer (i ryska skolor) redan i 10:e klass. Och detta ämne anses vara ganska komplext. Att lösa logaritmer, speciellt med stora eller bråktal, är inte lätt. Det är bättre att spela säkert och använda en miniräknare. När du fyller i, var noga med att inte blanda ihop basen med numret. Logaritmräknaren påminner lite om faktorkalkylatorn, som automatiskt producerar flera lösningar.
I denna miniräknare behöver du bara fylla i två fält. Ett fält för ett tal och ett fält för en bas. Nåväl, låt oss försöka utnyttja miniräknaren i praktiken. Till exempel måste du hitta log 2 8 (logaritm från 8 till bas 2 eller logaritm till bas 2 av 8, bli inte orolig över de olika uttalen). Så skriv in 2 i fältet "ange bas" och ange 8 i fältet "ange nummer". Tryck sedan på "hitta logaritm" eller enter. Därefter logaritmer logaritmkalkylatorn det givna uttrycket och visar följande resultat på dina skärmar.

Logaritm (riktig) kalkylator – denna kalkylator hittar logaritmen med hjälp av en given bas online.
Decimal Logaritm Calculator är en kalkylator som slår upp basen 10 decimallogaritmen online.
Natural Logaritm Calculator - Denna kalkylator slår upp logaritmen för att basera e online.
Binary Logaritm Calculator är en kalkylator som hittar bas 2 logaritmer online.

Begreppet verklig logaritm: Det finns många olika definitioner av logaritm. För det första skulle det vara trevligt att veta att en logaritm är en sorts algebraisk notation, betecknad som log a b, där a är basen och b är ett tal. Och den här posten lyder så här: Logaritm för att basera a av b. Notationen logg b används ibland.
Basen, det vill säga "a" är alltid längst ner. Eftersom det alltid höjs till en makt.
Och nu, faktiskt, definitionen av själva logaritmen:
Logaritmen för ett positivt tal b till basen a (där a>0, a≠1) är den potens till vilken talet a måste höjas för att få talet b. Förresten, inte bara basen måste vara i positiv form. Siffran (argumentet) måste också vara positiv. Annars kommer logaritmräknaren att utlösa ett obehagligt larm. Logaritm är operationen att hitta en logaritm baserad på en given bas. Denna operation är inversen av exponentiering med motsvarande bas. Jämföra:

Och den inversa operationen av logaritmen är Potentiering.
Förutom den reella logaritmen, vars bas kan vara vilket tal som helst (förutom negativa tal, noll och ett), finns det logaritmer med konstant bas. Till exempel decimallogaritmen.
Decimallogaritmen för ett tal är en logaritm till basen 10, skriven som lg6 eller lg14. Det ser ut som ett stavfel eller till och med ett stavfel där den latinska bokstaven "o" saknas.
En naturlig logaritm är en logaritm med en bas lika med talet e, till exempel ln7, ln9, e≈2.7. Det finns också den binära logaritmen, som inte är lika viktig i matematik som i informationsteori och datavetenskap. Basen för den binära logaritmen är 2. Till exempel: log 2 10.
Decimala och naturliga logaritmer har samma egenskaper som logaritmer för tal med valfri positiv bas.

Att upprätthålla din integritet är viktigt för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs igenom vår sekretesspraxis och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Nedan finns några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information samlar vi in:

• När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi använder din personliga information:

• De personuppgifter vi samlar in gör att vi kan kontakta dig med unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer.
• Vi kan även använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
• Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande kampanj kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande av information till tredje part

Vi lämnar inte ut informationen från dig till tredje part.

Undantag:

• Om nödvändigt - i enlighet med lagen, rättsliga förfaranden, i rättsliga förfaranden och/eller på grundval av offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga myndigheter på Ryska federationens territorium - att avslöja din personliga information. Vi kan också komma att avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhets-, brottsbekämpande eller andra offentliga ändamål.
• I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra den personliga information vi samlar in till tillämplig efterträdande tredje part.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Respektera din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker kommunicerar vi sekretess- och säkerhetsstandarder till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

Så vi har två makter. Om du tar numret från den nedersta raden kan du enkelt hitta kraften till vilken du måste höja två för att få detta nummer. Till exempel, för att få 16, måste du höja två till den fjärde potensen. Och för att få 64 måste du höja två till den sjätte potensen. Detta kan ses från tabellen.

Och nu - faktiskt, definitionen av logaritmen:

Basen a logaritmen av x är den potens till vilken a måste höjas för att få x.

Beteckning: log a x = b, där a är basen, x är argumentet, b är vad logaritmen faktiskt är lika med.

Till exempel, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (bas 2-logaritmen av 8 är tre eftersom 2 3 = 8). Med samma framgångslogg 2 64 = 6, eftersom 2 6 = 64.

Operationen att hitta logaritmen för ett tal till en given bas kallas logaritmisering. Så låt oss lägga till en ny rad i vår tabell:

Tyvärr beräknas inte alla logaritmer så lätt. Försök till exempel att hitta log 2 5 . Siffran 5 finns inte i tabellen, men logiken säger att logaritmen kommer att ligga någonstans på segmentet. Eftersom 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Sådana tal kallas irrationella: talen efter decimalkomma kan skrivas i oändlighet, och de upprepas aldrig. Om logaritmen visar sig vara irrationell är det bättre att lämna det så: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Det är viktigt att förstå att en logaritm är ett uttryck med två variabler (basen och argumentet). Till en början blandar många ihop var grunden finns och var argumentationen finns. För att undvika irriterande missförstånd, titta bara på bilden:

Före oss ligger inget annat än definitionen av en logaritm. Kom ihåg: logaritm är en potens, i vilken basen måste byggas in för att få fram ett argument. Det är basen som höjs till en kraft - den är markerad i rött på bilden. Det visar sig att basen alltid är i botten! Jag berättar för mina elever denna underbara regel redan vid första lektionen – och ingen förvirring uppstår.

Vi har listat ut definitionen – allt som återstår är att lära sig att räkna logaritmer, d.v.s. bli av med "logg"-tecknet. Till att börja med noterar vi att två viktiga fakta följer av definitionen:

1. Argumentet och basen måste alltid vara större än noll. Detta följer av definitionen av en grad av en rationell exponent, till vilken definitionen av en logaritm reduceras.
2. Basen måste vara annorlunda än en, eftersom en i någon grad fortfarande förblir en. På grund av detta är frågan "till vilken makt måste man höjas för att få två" meningslös. Det finns ingen sådan examen!

Sådana begränsningar kallas intervall av acceptabla värden(ODZ). Det visar sig att ODZ för logaritmen ser ut så här: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Observera att det inte finns några begränsningar för talet b (värdet på logaritmen). Till exempel kan logaritmen mycket väl vara negativ: log 2 0,5 = −1, eftersom 0,5 = 2 −1.

Men nu överväger vi endast numeriska uttryck där det inte krävs att känna till VA för logaritmen. Alla begränsningar har redan tagits i beaktande av författarna till uppgifterna. Men när logaritmiska ekvationer och ojämlikheter kommer in i bilden blir DL-kraven obligatoriska. Grunden och argumentationen kan trots allt innehålla mycket starka konstruktioner som inte nödvändigtvis motsvarar ovanstående restriktioner.

Låt oss nu titta på det allmänna schemat för beräkning av logaritmer. Den består av tre steg:

1. Uttryck basen a och argumentet x som en potens med minsta möjliga bas större än ett. Längs vägen är det bättre att bli av med decimaler;
2. Lös ekvationen för variabel b: x = a b ;
3. Det resulterande talet b kommer att vara svaret.

Det är allt! Om logaritmen visar sig vara irrationell kommer detta att synas redan i första steget. Kravet på att basen ska vara större än ett är mycket viktigt: detta minskar sannolikheten för fel och förenklar beräkningarna avsevärt. Det är samma sak med decimalbråk: om du omedelbart omvandlar dem till vanliga, blir det många färre fel.

Låt oss se hur det här schemat fungerar med hjälp av specifika exempel:

Uppgift. Beräkna logaritmen: log 5 25

1. Låt oss föreställa oss basen och argumentet som en potens av fem: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Låt oss skapa och lösa ekvationen:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Vi fick svaret: 2.

Uppgift. Beräkna logaritmen:

Uppgift. Beräkna logaritmen: log 4 64

1. Låt oss föreställa oss basen och argumentet som en potens av två: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Låt oss skapa och lösa ekvationen:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Vi fick svaret: 3.

Uppgift. Beräkna logaritmen: log 16 1

1. Låt oss föreställa oss basen och argumentet som en potens av två: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Låt oss skapa och lösa ekvationen:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Vi fick svaret: 0.

Uppgift. Beräkna logaritmen: log 7 14

1. Låt oss föreställa oss basen och argumentet som en sjupotens: 7 = 7 1 ; 14 kan inte representeras som en sjupotens, eftersom 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Av föregående stycke följer att logaritmen inte räknas;
3. Svaret är ingen förändring: log 7 14.

En liten notering om det sista exemplet. Hur kan du vara säker på att ett tal inte är en exakt potens av ett annat tal? Det är väldigt enkelt - bara inkludera det i primära faktorer. Om expansionen har minst två olika faktorer är siffran inte en exakt potens.

Uppgift. Ta reda på om siffrorna är exakta potenser: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - exakt grad, eftersom det finns bara en multiplikator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - är inte en exakt potens, eftersom det finns två faktorer: 3 och 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - exakt grad;
35 = 7 · 5 - återigen inte en exakt potens;
14 = 7 · 2 - återigen inte en exakt grad;

Observera också att själva primtalen alltid är exakta potenser för sig själva.

Decimal logaritm

Vissa logaritmer är så vanliga att de har ett speciellt namn och symbol.

Decimallogaritmen för x är logaritmen till basen 10, dvs. Potensen till vilken talet 10 måste höjas för att få talet x. Beteckning: lg x.

Till exempel log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - osv.

Från och med nu, när en fras som "Hitta lg 0.01" dyker upp i en lärobok, vet att detta inte är ett stavfel. Detta är en decimallogaritm. Men om du inte är bekant med den här notationen kan du alltid skriva om den:
log x = log 10 x

Allt som är sant för vanliga logaritmer är också sant för decimallogaritmer.

Naturlig logaritm

Det finns en annan logaritm som har sin egen beteckning. På vissa sätt är det ännu viktigare än decimal. Vi talar om den naturliga logaritmen.

Den naturliga logaritmen för x är logaritmen till basen e, dvs. den potens till vilken talet e måste höjas för att få talet x. Beteckning: ln x .

Många kommer att fråga: vad är siffran e? Detta är ett irrationellt tal; dess exakta värde kan inte hittas och skrivas ner. Jag kommer bara att ge de första siffrorna:
e = 2,718281828459...

Vi kommer inte att gå in i detalj om vad detta nummer är och varför det behövs. Kom bara ihåg att e är basen för den naturliga logaritmen:
ln x = log e x

Således ln e = 1; ln e2 = 2; ln e 16 = 16 - osv. Å andra sidan är ln 2 ett irrationellt tal. I allmänhet är den naturliga logaritmen för alla rationella tal irrationell. Förutom, naturligtvis, för en: ln 1 = 0.

För naturliga logaritmer är alla regler som är sanna för vanliga logaritmer giltiga.

Som ni vet, när man multiplicerar uttryck med potenser, summeras deras exponenter alltid (a b *a c = a b+c). Denna matematiska lag härleddes av Arkimedes, och senare, på 800-talet, skapade matematikern Virasen en tabell med heltalsexponenter. Det var de som tjänade för vidare upptäckt av logaritmer. Exempel på användning av denna funktion finns nästan överallt där det är nödvändigt att förenkla besvärlig multiplikation genom enkel addition. Om du lägger 10 minuter på att läsa den här artikeln kommer vi att förklara för dig vad logaritmer är och hur du arbetar med dem. På ett enkelt och lättillgängligt språk.

Definition i matematik

En logaritm är ett uttryck av följande form: log a b=c, det vill säga logaritmen för alla icke-negativa tal (det vill säga alla positiva) "b" till sin bas "a" anses vara potensen "c" ” till vilket det är nödvändigt att höja basen ”a” för att i slutändan få värdet ”b”. Låt oss analysera logaritmen med hjälp av exempel, låt oss säga att det finns ett uttryck log 2 8. Hur hittar man svaret? Det är väldigt enkelt, du måste hitta en effekt så att du får 8 från 2 till den önskade effekten. Efter att ha gjort några beräkningar i huvudet får vi siffran 3! Och det är sant, eftersom 2 i 3 potens ger svaret som 8.

Typer av logaritmer

För många elever och studenter verkar detta ämne komplicerat och obegripligt, men i själva verket är logaritmer inte så skrämmande, det viktigaste är att förstå deras allmänna innebörd och komma ihåg deras egenskaper och vissa regler. Det finns tre olika typer av logaritmiska uttryck:

1. Naturlig logaritm ln a, där basen är Eulertalet (e = 2,7).
2. Decimal a, där basen är 10.
3. Logaritm av valfritt tal b till basen a>1.

Var och en av dem löses på ett standardsätt, inklusive förenkling, reduktion och efterföljande reduktion till en enda logaritm med hjälp av logaritmiska satser. För att få de korrekta värdena på logaritmer bör du komma ihåg deras egenskaper och sekvensen av åtgärder när du löser dem.

Regler och vissa restriktioner

Inom matematiken finns det flera regler-begränsningar som accepteras som ett axiom, det vill säga de är inte föremål för diskussion och är sanningen. Det är till exempel omöjligt att dividera tal med noll, och det är också omöjligt att extrahera den jämna roten av negativa tal. Logaritmer har också sina egna regler, efter vilka du enkelt kan lära dig att arbeta även med långa och rymliga logaritmiska uttryck:

• Basen "a" måste alltid vara större än noll och inte lika med 1, annars kommer uttrycket att förlora sin betydelse, eftersom "1" och "0" i någon grad alltid är lika med deras värden;
• om a > 0, då a b >0, visar det sig att "c" också måste vara större än noll.

Hur löser man logaritmer?

Till exempel ges uppgiften att hitta svaret på ekvationen 10 x = 100. Detta är väldigt enkelt, du måste välja en potens genom att höja talet tio till vilket vi får 100. Detta är naturligtvis 10 2 = 100.

Låt oss nu representera detta uttryck i logaritmisk form. Vi får log 10 100 = 2. När man löser logaritmer konvergerar praktiskt taget alla åtgärder för att hitta den potens till vilken det är nödvändigt att ange basen för logaritmen för att få ett givet tal.

För att exakt bestämma värdet av en okänd grad måste du lära dig hur man arbetar med en tabell med grader. Det ser ut så här:

Som du kan se kan vissa exponenter gissas intuitivt om du har ett tekniskt sinne och kunskap om multiplikationstabellen. Men för större värden behöver du ett kraftbord. Det kan användas även av dem som inte vet något alls om komplexa matematiska ämnen. Den vänstra kolumnen innehåller siffror (bas a), den översta raden av siffror är värdet av potensen c som talet a höjs till. I skärningspunkten innehåller cellerna de talvärden som är svaret (a c =b). Låt oss ta till exempel den allra första cellen med talet 10 och kvadrera den, vi får värdet 100, som indikeras i skärningspunkten mellan våra två celler. Allt är så enkelt och lätt att även den mest sanna humanist kommer att förstå!

Ekvationer och ojämlikheter

Det visar sig att exponenten under vissa förhållanden är logaritmen. Därför kan alla matematiska numeriska uttryck skrivas som en logaritmisk likhet. Till exempel kan 3 4 =81 skrivas som bas 3-logaritmen av 81 lika med fyra (log 3 81 = 4). För negativa potenser är reglerna desamma: 2 -5 = 1/32 vi skriver det som en logaritm, vi får log 2 (1/32) = -5. En av de mest fascinerande delarna av matematiken är ämnet "logaritmer". Vi kommer att titta på exempel och lösningar på ekvationer nedan, omedelbart efter att ha studerat deras egenskaper. Låt oss nu titta på hur ojämlikheter ser ut och hur man kan skilja dem från ekvationer.

Följande uttryck ges: log 2 (x-1) > 3 - det är en logaritmisk olikhet, eftersom det okända värdet "x" står under det logaritmiska tecknet. Och även i uttrycket jämförs två kvantiteter: logaritmen för det önskade talet till bas två är större än talet tre.

Den viktigaste skillnaden mellan logaritmiska ekvationer och ojämlikheter är att ekvationer med logaritmer (till exempel logaritmen 2 x = √9) innebär ett eller flera specifika numeriska värden i svaret, medan vid lösning av en olikhet, både intervallet av acceptabla värden och poängen bestäms genom att bryta denna funktion. Som en konsekvens är svaret inte en enkel uppsättning enskilda tal, som i svaret på en ekvation, utan en kontinuerlig serie eller uppsättning tal.

Grundläggande satser om logaritmer

När man löser primitiva uppgifter för att hitta logaritmens värden kanske dess egenskaper inte är kända. Men när det kommer till logaritmiska ekvationer eller olikheter är det först och främst nödvändigt att tydligt förstå och tillämpa i praktiken alla de grundläggande egenskaperna hos logaritmer. Vi kommer att titta på exempel på ekvationer senare, låt oss först titta på varje egenskap mer detaljerat.

1. Huvudidentiteten ser ut så här: a logaB =B. Det gäller endast när a är större än 0, inte lika med ett, och B är större än noll.
2. Produktens logaritm kan representeras i följande formel: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. I detta fall är det obligatoriska villkoret: d, s 1 och s 2 > 0; a≠1. Du kan ge ett bevis för denna logaritmiska formel, med exempel och lösning. Låt log a s 1 = f 1 och log a s 2 = f 2, sedan a f1 = s 1, a f2 = s 2. Vi får att s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (egenskaper för grader ), och då per definition: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, vilket är vad som behövde bevisas.
3. Logaritmen för kvoten ser ut så här: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Satsen i form av en formel har följande form: log a q b n = n/q log a b.

Denna formel kallas "egenskapen för graden av logaritm." Det liknar egenskaperna hos vanliga grader, och det är inte förvånande, eftersom all matematik är baserad på naturliga postulat. Låt oss titta på beviset.

Låt logga a b = t, det blir a t =b. Om vi ​​höjer båda delarna till potensen m: a tn = b n ;

men eftersom a tn = (a q) nt/q = b n, log a q b n = (n*t)/t, log a q b n = n/q log a b. Teoremet är bevisat.

Exempel på problem och ojämlikheter

De vanligaste typerna av problem på logaritmer är exempel på ekvationer och ojämlikheter. De finns i nästan alla problemböcker, och är också en obligatorisk del av matematikprov. För att komma in på ett universitet eller klara inträdesprov i matematik måste du veta hur du korrekt löser sådana uppgifter.

Tyvärr finns det ingen enskild plan eller schema för att lösa och bestämma det okända värdet på logaritmen, men vissa regler kan tillämpas på varje matematisk olikhet eller logaritmisk ekvation. Först och främst bör du ta reda på om uttrycket kan förenklas eller reduceras till en allmän form. Du kan förenkla långa logaritmiska uttryck om du använder deras egenskaper korrekt. Låt oss lära känna dem snabbt.

När vi löser logaritmiska ekvationer måste vi bestämma vilken typ av logaritm vi har: ett exempeluttryck kan innehålla en naturlig logaritm eller en decimal.

Här är exempel ln100, ln1026. Deras lösning kokar ner till det faktum att de måste bestämma den effekt som basen 10 kommer att vara lika med 100 respektive 1026. För att lösa naturliga logaritmer måste du tillämpa logaritmiska identiteter eller deras egenskaper. Låt oss titta på exempel på att lösa logaritmiska problem av olika slag.

Hur man använder logaritmformler: med exempel och lösningar

Så låt oss titta på exempel på att använda de grundläggande satserna om logaritmer.

1. Egenskapen för en produkts logaritm kan användas i uppgifter där det är nödvändigt att dekomponera ett stort värde av talet b i enklare faktorer. Till exempel log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Svaret är 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - som du kan se, med hjälp av den fjärde egenskapen i logaritmpotensen, lyckades vi lösa ett till synes komplext och olösligt uttryck. Du behöver bara faktorisera basen och sedan ta exponentvärdena ur logaritmens tecken.

Uppgifter från Unified State Exam

Logaritmer finns ofta i inträdesprov, särskilt många logaritmiska problem i Unified State Exam (statligt prov för alla akademiker). Vanligtvis finns dessa uppgifter inte bara i del A (den enklaste testdelen av provet), utan också i del C (de mest komplexa och omfattande uppgifterna). Provet kräver noggrann och perfekt kunskap om ämnet "Naturliga logaritmer".

Exempel och lösningar på problem är hämtade från de officiella versionerna av Unified State Exam. Låt oss se hur sådana uppgifter löses.

Givet log 2 (2x-1) = 4. Lösning:
låt oss skriva om uttrycket och förenkla det lite log 2 (2x-1) = 2 2, enligt definitionen av logaritmen får vi att 2x-1 = 2 4, därför 2x = 17; x = 8,5.

• Det är bäst att reducera alla logaritmer till samma bas så att lösningen inte blir krånglig och förvirrande.
• Alla uttryck under logaritmetecknet indikeras som positiva, därför, när exponenten för ett uttryck som är under logaritmetecknet och som dess bas tas ut som en multiplikator, måste uttrycket som finns kvar under logaritmen vara positivt.