Uppgifter:

1. Introducera eleverna för olika typer av trianglar beroende på typ av vinklar (rektangulära, spetsiga, trubbiga). Lär dig att hitta trianglar och deras typer i ritningar. Förstärk grundläggande geometriska begrepp och deras egenskaper: rak linje, segment, stråle, vinkel.

2. Utveckling av tänkande, fantasi, matematiskt tal.

3. Odla uppmärksamhet och aktivitet.

Under lektionerna

I. Organisatoriskt ögonblick.

Hur mycket behöver vi, killar?
För våra skickliga händer?
Låt oss rita två rutor,
Och det finns en stor cirkel på dem.
Och sedan fler cirklar,
Triangellock.
Så det kom ut väldigt, väldigt
Glada Oddball.

II. Tillkännage ämnet för lektionen.

Idag i lektionen ska vi ta en tur runt staden Geometri och besöka trianglarnas mikrodistrikt (dvs vi kommer att bekanta oss med olika typer av trianglar beroende på deras vinklar, vi kommer att lära oss att hitta dessa trianglar i ritningarna.) Vi kommer att genomföra lektionen i form av en "speltävling" per lag.

Lag 1 - "Segment".

Lag 2 - "Luch".

Lag 3 - "Vinkel".

Och gästerna kommer att representera juryn.

Juryn kommer att guida oss på vägen

Och han kommer inte att lämna dig utan uppmärksamhet. (Utvärdera genom punkterna 5,4,3,...).

Vad kommer vi att använda för att resa runt i staden Geometri? Kommer du ihåg vilka typer av passagerartransporter som finns i staden? Vi är många, vilken väljer vi? (Buss).

Buss. Helt klart, kortfattat. Landningen börjar.

Låt oss luta oss tillbaka och börja vår resa. Lagkaptener kommer att få biljetter.

Men dessa biljetter är inte lätta, och biljetterna är "uppgifter".

III. Upprepning av täckt material.

Första stopp"Upprepa."

Fråga till alla lag.

Hitta en rät linje i ritningen och namnge dess egenskaper.

En rak linje utan ände eller kant!
Gå längs den i minst hundra år,
Du hittar inte vägens ände!

• En rät linje har varken början eller slut - den är oändlig, så den kan inte mätas.

Låt oss börja vår tävling.

Skydda dina lagnamn.

(Alla lag läser de första frågorna och diskuterar. Lagkaptener turas om att läsa frågorna, 1 lag läser 1 fråga).

1. Visa ett segment i ritningen. Vad kallas ett segment? Namnge dess egenskaper.

• Den del av en linje som begränsas av två punkter kallas ett segment. Ett segment har en början och ett slut, så det kan mätas med hjälp av en linjal.

(Lag 2 läser 1 fråga).

1. Visa strålen på ritningen. Det som kallas en stråle. Namnge dess egenskaper.

• Om du markerar en punkt och ritar en del av en rät linje från den får du en bild av en stråle. Punkten från vilken en del av linjen dras kallas strålens början.

Strålen har ingen ände, så den kan inte mätas.

(Lag 3 läser 1 fråga).

1. Visa vinkeln på ritningen. Det som kallas vinkel. Namnge dess egenskaper.

• Genom att rita två strålar från en punkt erhålls en geometrisk figur, som kallas en vinkel. En vinkel har en vertex, och själva strålarna kallas vinkelns sidor. Vinklar mäts i grader med en gradskiva.

Idrottspass (till musik).

IV. Förbereder sig på att studera nytt material.

Andra stoppet"Fantastisk."

Medan han gick mötte Pencil olika vinklar. Jag ville säga hej till dem, men jag glömde namnen på var och en av dem. Vi måste hjälpa Pencil.

(Vinklar kontrolleras med en rätvinklig modell).

Uppdrag till team. Läs frågor nr 2, diskutera.

Lag 1 läser fråga 2.

2. Hitta en rät vinkel, ge en definition.

• En vinkel på 90° kallas rät vinkel.

Lag 2 läser fråga 2.

2. Hitta en spetsig vinkel, ge en definition.

• En vinkel mindre än en rät vinkel kallas spetsig.

Lag 3 läser fråga 2.

2. Hitta en trubbig vinkel, ge en definition.

En vinkel större än en rät vinkel kallas trubbig vinkel.

I mikrodistriktet där Karandash älskade att gå skilde sig alla hörn från andra invånare genom att de tre alltid gick, de tre drack te, de tre gick på bio. Och Pencil kunde inte förstå vilken typ av geometrisk figur som tre vinklar tillsammans utgör?

Och en dikt kommer att vara ett tips för dig.

Du är på mig, du är på honom,
Titta på oss alla.
Vi har allt, vi har allt,
Vi har bara tre!

Vilka egenskaper diskuteras om figuren?

• Om triangeln.

Vilken typ av figur kallas en triangel?

• En triangel är en geometrisk figur som har tre hörn, tre vinklar och tre sidor.

(Eleverna visar en triangel på ritningen, namnge hörn, vinklar och sidor).

Höjdpunkter: A, B, C (punkter)

Vinklar: BAC, ABC, BCA.

Sidor: AB, BC, CA (segment).

V. Fysisk utbildning minut:

Vi stampar med foten 8 gånger,
Låt oss klappa händerna 9 gånger,
vi kommer att sitta ner 10 gånger,
och böj dig 6 gånger,
vi hoppar rakt upp
så mycket (triangel visar)
Åh ja, räkna! Spel och inget mer!

VI. Att lära sig nytt material.

Snart blev hörnen vänner och blev oskiljaktiga.

Och nu kommer vi att kalla mikrodistriktet på det sättet: Trianglarnas mikrodistrikt.

Tredje stoppet "Znayka".

Vad heter dessa trianglar?

Låt oss ge dem namn. Och låt oss försöka formulera en definition själva.

2. Hitta olika typer av trianglar

Lag 1 kommer att hitta och visa trubbiga trianglar.

Lag 2 kommer att hitta och visa räta trianglar.

Lag 3 kommer att hitta och visa spetsiga trianglar.

VIII. Nästa stopp: "Få reda på det."

Uppdrag till alla lag.

Genom att flytta 6 pinnar, gör 4 lika trianglar från lyktan.

Vilken typ av vinklar visade sig trianglarna vara? (Akut kantig).

IX. Lektionssammanfattning.

Vilket område besökte vi?

Vilka typer av trianglar blev du bekant med?

Den kanske mest grundläggande, enkla och intressanta figuren inom geometri är triangeln. I en gymnasiekurs studeras dess grundläggande egenskaper, men ibland är kunskapen om detta ämne ofullständig. Typerna av trianglar bestämmer initialt deras egenskaper. Men denna uppfattning är fortfarande blandad. Låt oss därför titta på detta ämne lite mer detaljerat.

Typerna av trianglar beror på vinklarnas gradmått. Dessa figurer är spetsiga, rektangulära och trubbiga. Om alla vinklar inte överstiger 90 grader, kan figuren säkert kallas akut. Om minst en vinkel i triangeln är 90 grader, så har du att göra med en rektangulär underart. Följaktligen kallas den i fråga i alla andra fall trubbvinklad.

Det finns många problem för spetsvinklade subtyper. Ett utmärkande drag är den inre platsen för skärningspunkterna för bisektorer, medianer och höjder. I andra fall kan detta villkor inte vara uppfyllt. Det är inte svårt att bestämma typen av triangelfigur. Det räcker att veta till exempel cosinus för varje vinkel. Om några värden är mindre än noll, är triangeln i alla fall trubbig. I fallet med en nollindikator har figuren en rät vinkel. Alla positiva värden kommer garanterat att berätta för dig att du tittar på en vinklad vy.

Man kan inte låta bli att nämna den vanliga triangeln. Detta är den mest idealiska vyn, där alla skärningspunkter för medianer, bisektorer och höjder sammanfaller. Mitten av den inskrivna och omskrivna cirkeln ligger också på samma plats. För att lösa problem behöver du bara känna till en sida, eftersom vinklarna initialt ges till dig och de andra två sidorna är kända. Det vill säga siffran specificeras av endast en parameter. Det finns Deras huvudsakliga egenskap är likheten mellan två sidor och vinklar vid basen.

Ibland uppstår frågan om det finns en triangel med givna sidor. Det du egentligen frågar är om den givna beskrivningen passar huvudarten. Till exempel, om summan av två sidor är mindre än den tredje, existerar inte en sådan figur i verkligheten alls. Om uppgiften ber dig att hitta cosinus för vinklarna i en triangel med sidorna 3,5,9, så kan det uppenbara förklaras utan komplexa matematiska tekniker. Anta att du vill ta dig från punkt A till punkt B. Avståndet med den raka linjen är 9 kilometer. Du kom dock ihåg att du måste gå till punkt C i butiken. Avståndet från A till C är 3 kilometer, och från C till B är 5. Således visar det sig att när du rör dig genom butiken kommer du att gå en kilometer mindre. Men eftersom punkt C inte ligger på raka AB så får du gå en extra sträcka. Det finns en motsägelse här. Detta är naturligtvis en villkorlig förklaring. Matematik vet mer än ett sätt att bevisa att alla typer av trianglar lyder den grundläggande identiteten. Den säger att summan av två sidor är större än längden på den tredje.

Alla typer har följande egenskaper:

1) Summan av alla vinklar är 180 grader.

2) Det finns alltid ett ortocenter - skärningspunkten för alla tre höjderna.

3) Alla tre medianerna dragna från de inre vinklarnas hörn skär varandra på ett ställe.

4) En cirkel kan ritas runt vilken triangel som helst. Du kan också skriva in en cirkel så att den bara har tre kontaktpunkter och inte sträcker sig utanför de yttre sidorna.

Nu är du bekant med de grundläggande egenskaperna som olika typer av trianglar har. I framtiden är det viktigt att förstå vad man har att göra med när man löser ett problem.

Första nivån

Triangel. The Comprehensive Guide (2019)

Man skulle förmodligen kunna skriva en hel bok om ämnet "Triangel". Men det tar för lång tid att läsa hela boken, eller hur? Därför kommer vi här bara att överväga fakta som relaterar till någon triangel i allmänhet, och alla möjliga speciella ämnen, som, etc. uppdelad i separata ämnen - läs boken i bitar. Tja, som för vilken triangel som helst.

1. Vinkelsumman i en triangel. Externt hörn.

Kom ihåg bestämt och glöm inte. Vi kommer inte att bevisa detta (se följande teorinivåer).

Det enda som kan förvirra dig i vår formulering är ordet "intern".

Varför är den här? Men just för att understryka att vi pratar om vinklarna som finns innanför triangeln. Finns det verkligen några andra hörn utanför? Tänk dig, de händer. Triangeln har fortfarande yttre hörn. Och den viktigaste konsekvensen av att beloppet inre hörn triangeln är lika med, berör bara den yttre triangeln. Så låt oss ta reda på vad denna yttre vinkel av triangeln är.

Titta på bilden: ta en triangel och (låt oss säga) fortsätt ena sidan.

Naturligtvis kunde vi lämna sidan och fortsätta sidan. Så här:

Men du kan inte säga det om vinkeln under några omständigheter. det är förbjudet!

Så inte varje vinkel utanför en triangel har rätt att kallas en yttre vinkel, utan bara den som bildas ena sidan och en fortsättning på den andra sidan.

Så vad ska vi veta om yttre vinklar?

Titta, på vår bild betyder det det.

Hur hänger detta ihop med summan av vinklarna i en triangel?

Låt oss ta reda på det. Summan av invändiga vinklar är

men - därför att och - är angränsande.

Nåväl, här kommer det: .

Ser du hur enkelt det är?! Men väldigt viktigt. Så kom ihåg:

Summan av de inre vinklarna i en triangel är lika, och den yttre vinkeln av en triangel är lika med summan av två inre vinklar som inte gränsar till den.

2. Triangelojämlikhet

Nästa faktum gäller inte vinklarna, utan triangelns sidor.

Det betyder att

Har du redan gissat varför detta faktum kallas triangelojämlikheten?

Tja, var kan denna triangelojämlikhet vara användbar?

Föreställ dig att du har tre vänner: Kolya, Petya och Sergei. Och så säger Kolya: "Från mitt hus till Petyas i en rak linje." Och Petya: "Från mitt hus till Sergeis hus, meter i en rak linje." Och Sergei: "Det är bra för dig, men från mitt hus till Kolinoye är det en rak linje." Nåväl, här måste du säga: ”Stopp, sluta! En del av er ljuger!”

Varför? Ja, för om det finns m från Kolya till Petya och från Petya till Sergei finns det m, så måste det definitivt vara mindre () meter från Kolya till Sergei - annars kränks samma triangelojämlikhet. Tja, sunt förnuft kränks definitivt, naturligtvis: alla vet trots allt från barndomen att vägen till en rak linje () bör vara kortare än vägen till en punkt. (). Så triangelojämlikheten återspeglar helt enkelt detta välkända faktum. Nåväl, nu vet du hur du ska svara, säg, en fråga:

Har en triangel sidor?

Du måste kontrollera om det är sant att två av dessa tre siffror summerar till mer än det tredje. Låt oss kolla: det betyder att det inte finns något sådant som en triangel med sidor! Men med sidorna - det händer, eftersom

3. Likhet mellan trianglar

Tja, tänk om det inte finns en, utan två eller flera trianglar. Hur kan du kontrollera om de är lika? Egentligen, per definition:

Men... det här är en fruktansvärt obekväm definition! Hur, be berätta, kan man överlappa två trianglar även i en anteckningsbok?! Men tur för oss finns det tecken på trianglars likhet, som gör att du kan agera med ditt sinne utan att utsätta dina anteckningsböcker i fara.

Och dessutom, att kasta bort oseriösa skämt, jag ska berätta en hemlighet: för en matematiker betyder ordet "överlagring av trianglar" inte alls att skära ut dem och lägga dem över dem, utan att säga många, många, många ord som kommer att bevisa att två trianglar kommer att sammanfalla när de överlagras. Så, i inget fall bör du skriva i ditt arbete "Jag kollade - trianglarna sammanfaller när de appliceras" - de kommer inte att räkna det mot dig, och de kommer att ha rätt, eftersom ingen garanterar att du inte gjorde ett misstag när du ansökte, säg en kvarts millimeter.

Så, några matematiker sa en massa ord, vi kommer inte att upprepa dessa ord efter dem (förutom kanske i den sista nivån av teorin), men vi kommer att använda aktivt tre tecken på likhet av trianglar.

I daglig (matematisk) användning accepteras sådana förkortade formuleringar - de är lättare att komma ihåg och tillämpa.

1. Det första tecknet är på två sidor och vinkeln mellan dem;
2. Den andra skylten finns på två hörn och den intilliggande sidan;
3. Det tredje tecknet finns på tre sidor.

TRIANGEL. KORT OM DE VIKTIGASTE SAKERNA

En triangel är en geometrisk figur som bildas av tre segment som förbinder tre punkter som inte ligger på samma räta linje.

Grundläggande koncept.

Grundläggande egenskaper:

1. Summan av de inre vinklarna i varje triangel är lika, dvs.
2. En triangels yttre vinkel är lika med summan av två inre vinklar som inte ligger intill den, d.v.s.
   eller
3. Summan av längderna av två sidor i en triangel är större än längden på dess tredje sida, dvs.
4. I en triangel ligger den större sidan mitt emot den större vinkeln, och den större vinkeln ligger mittemot den större sidan, d.v.s.
   om, då, och vice versa,
   om då.

Tecken på likhet av trianglar.

1. Första tecknet- på två sidor och vinkeln mellan dem.

2. Andra tecknet- på två hörn och den intilliggande sidan.

3. Tredje tecknet- på tre sidor.

Nåväl, ämnet är över. Om du läser dessa rader betyder det att du är väldigt cool.

Eftersom bara 5% av människor kan bemästra något på egen hand. Och om du läser till slutet, då är du i dessa 5%!

Nu det viktigaste.

Du har förstått teorin om detta ämne. Och jag upprepar, det här... det här är bara super! Du är redan bättre än de allra flesta av dina kamrater.

Problemet är att det kanske inte räcker...

För vad?

För att ha klarat Unified State Examen, för att ha gått in på college med en budget och, VIKTIGAST, för livet.

Jag ska inte övertyga dig om någonting, jag säger bara en sak...

Människor som har fått en bra utbildning tjänar mycket mer än de som inte fått den. Det här är statistik.

Men detta är inte huvudsaken.

Huvudsaken är att de är GLADARE (det finns sådana studier). Kanske för att många fler möjligheter öppnar sig framför dem och livet blir ljusare? Vet inte...

Men tänk själv...

Vad krävs för att vara säker på att vara bättre än andra på Unified State Exam och i slutändan vara... lyckligare?

FÅ DIN HAND GENOM ATT LÖSA PROBLEM OM DETTA ÄMNET.

Du kommer inte att bli tillfrågad om teori under tentamen.

Du kommer behöva lösa problem mot tiden.

Och om du inte har löst dem (MYCKET!), kommer du definitivt att göra ett dumt misstag någonstans eller helt enkelt inte ha tid.

Det är som i sport - du behöver upprepa det många gånger för att vinna säkert.

Hitta samlingen var du vill, nödvändigtvis med lösningar, detaljerad analys och bestäm, bestäm, bestäm!

Du kan använda våra uppgifter (valfritt) och vi rekommenderar dem naturligtvis.

För att bli bättre på att använda våra uppgifter behöver du hjälpa till att förlänga livslängden på den YouClever-lärobok du just nu läser.

Hur? Det finns två alternativ:

1. Lås upp alla dolda uppgifter i den här artikeln - 299 rub.
2. Lås upp åtkomst till alla dolda uppgifter i alla 99 artiklar i läroboken - 499 rub.

Ja, vi har 99 sådana artiklar i vår lärobok och tillgång till alla uppgifter och alla dolda texter i dem kan öppnas direkt.

Tillgång till alla dolda uppgifter tillhandahålls under HELA webbplatsens liv.

Sammanfattningsvis...

Om du inte gillar våra uppgifter, hitta andra. Sluta bara inte vid teorin.

"Förstå" och "Jag kan lösa" är helt olika färdigheter. Du behöver båda.

Hitta problem och lös dem!

Idag åker vi till geometrins land, där vi ska bekanta oss med olika typer av trianglar.

Betrakta de geometriska formerna och hitta den "extra" bland dem (Fig. 1).

Ris. 1. Illustration till exempel

Vi ser att figurerna nr 1, 2, 3, 5 är fyrhörningar. Var och en av dem har sitt eget namn (Fig. 2).

Ris. 2. Fyrhörningar

Det betyder att den "extra" figuren är en triangel (Fig. 3).

Ris. 3. Illustration till exempel

En triangel är en figur som består av tre punkter som inte ligger på samma linje och tre segment som förbinder dessa punkter i par.

Punkterna kallas triangelns hörn, segment - hans partier. Triangelns sidor bildas Det finns tre vinklar vid toppen av en triangel.

Huvuddragen i en triangel är tre sidor och tre hörn. Enligt storleken på vinkeln är trianglar akut, rektangulär och trubbig.

En triangel kallas spetsig om alla dess tre vinklar är spetsiga, det vill säga mindre än 90° (fig. 4).

Ris. 4. Akut triangel

En triangel kallas rektangulär om en av dess vinklar är 90° (fig. 5).

Ris. 5. Rätt triangel

En triangel kallas trubbig om en av dess vinklar är trubbig, det vill säga mer än 90° (fig. 6).

Ris. 6. Trubbig triangel

Baserat på antalet lika sidor är trianglar liksidiga, likbenta, skalenliga.

En likbent triangel är en där två sidor är lika (fig. 7).

Ris. 7. Likbent triangel

Dessa sidor kallas lateral, tredje sidan - grund. I en likbent triangel är basvinklarna lika.

Det finns likbenta trianglar akut och trubbig(Fig. 8) .

Ris. 8. Akuta och trubbiga likbenta trianglar

En liksidig triangel är en där alla tre sidor är lika (fig. 9).

Ris. 9. Liksidig triangel

I en liksidig triangel alla vinklar är lika. Liksidiga trianglar Alltid spetsig vinklad.

En skalentriangel är en där alla tre sidorna har olika längd (fig. 10).

Ris. 10. Skalen triangel

Gör klart uppgiften. Fördela dessa trianglar i tre grupper (Fig. 11).

Ris. 11. Illustration för uppgiften

Låt oss först fördela efter storleken på vinklarna.

Akuta trianglar: nr 1, nr 3.

Rätta trianglar: nr 2, nr 6.

Trubbiga trianglar: nr 4, nr 5.

Vi kommer att fördela samma trianglar i grupper efter antalet lika sidor.

Skalentrianglar: nr 4, nr 6.

Likbenta trianglar: nr 2, nr 3, nr 5.

Liksidig triangel: nr 1.

Kolla på bilderna.

Tänk på vilken bit tråd varje triangel var gjord av (bild 12).

Ris. 12. Illustration för uppgiften

Du kan tänka så här.

Den första tråden är uppdelad i tre lika delar, så du kan göra en liksidig triangel av den. Han visas trea på bilden.

Den andra biten av tråd är uppdelad i tre olika delar, så den kan användas för att göra en skalenlig triangel. Det visas först på bilden.

Den tredje tråden är uppdelad i tre delar, där två delar har samma längd, vilket gör att en likbent triangel kan göras av den. På bilden visas han tvåa.

Idag i klassen lärde vi oss om olika typer av trianglar.

Bibliografi

1. MI. Moreau, M.A. Bantova och andra: Matematik. 3:e klass: i 2 delar, del 1. - M.: “Enlightenment”, 2012.
2. MI. Moreau, M.A. Bantova och andra: Matematik. 3:e klass: i 2 delar, del 2. - M.: “Enlightenment”, 2012.
3. MI. Moro. Matematiklektioner: Metodrekommendationer för lärare. årskurs 3. - M.: Utbildning, 2012.
4. Regleringsdokument. Uppföljning och utvärdering av läranderesultat. - M.: "Enlightenment", 2011.
5. "Rysslands skola": Program för grundskolan. - M.: "Enlightenment", 2011.
6. SI. Volkova. Matematik: Testpapper. årskurs 3. - M.: Utbildning, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Tester. - M.: "Examen", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Läxa

1. Fyll i fraserna.

a) En triangel är en figur som består av ... som inte ligger på samma linje, och ... som sammanbinder dessa punkter i par.

b) Punkterna kallas … , segment - hans … . Triangelns sidor bildas vid triangelns hörn ….

c) Beroende på vinkelns storlek är trianglar ... , ... , ... .

d) Baserat på antalet lika sidor är trianglar ... , ... , ... .

2. Rita

a) rät triangel;

b) spetsig triangel;

c) trubbig triangel;

d) liksidig triangel;

e) skalenlig triangel;

e) likbent triangel.

3. Skapa en uppgift om ämnet för lektionen för dina vänner.

Längden på sidorna i en triangel (kort sagt sidorna i en triangel) kan inte specificeras godtyckligt. Faktum är att för en godtycklig triangel ABC är summan av två sidor större än tredjedelar av sidan: AB + BC > AC, eftersom den streckade linjen är längre än det räta linjesegmentet. Från samma olikhet finner vi AC – AB< ВС, то есть разность двух любых сторон треугольника меньше его третей стороны. Например, из отрезков A = 5, b = 8, Med= 14 är det omöjligt att konstruera en triangel, eftersom 14>5+8. Om tre segment ges en,b,c så att den största av dem är mindre än summan av de andra två, då är det möjligt att konstruera en triangel, då är det möjligt att konstruera en triangel med dessa segment som sina sidor. Så,
Sats 1. Summan av längderna av två sidor i en triangel är större än längden på den tredje sidan av denna triangel. ( a+b>c, Var Med– det största av tre segment).
Bevis: Låt ABC vara den givna triangeln. Låt oss bevisa att AB + AC > BC. Låt oss sänka höjden AD från spets A i denna triangel. Låt oss överväga två fall:
1) Punkt D tillhör segment BC, eller sammanfaller med dess ändar (Fig. 1). I detta fall, AB>DB och AC>DC, eftersom längden på snedställningen är större än längden på projiceringen av snedställningen. Lägger vi till dessa två olikheter får vi att AB + AC > BD + DC = BC. Q.E.D.
2) Punkt D tillhör inte segment BC (Fig. 2). I det här fallet BD För de återstående sidorna bevisas triangelolikheten på liknande sätt. Teoremet är helt bevisat.
Sats 2. Summan av vinklarna i en triangel är 180 grader.
Bevis. Betrakta en godtycklig triangel ABC och rita genom en av dess hörn, till exempel B, en rät linje BD parallell med den motsatta sidan AC. Från ritningen är det tydligt att ∠ 1' = ∠ 1 och ∠ 2' = ∠ 2 (korsningsvinklar), och eftersom 1' + 2' + 3 = 180°, då 1 + 2 + 3 = 180°, vilket och behövde bevisas.

Om vi ​​fortsätter sidan AC, finner vi som en konsekvens:

Sats 3. En yttre vinkel av en triangel är lika med summan av två inre vinklar som inte gränsar till den.
Sats 3.1 Således är den yttre vinkeln för en triangel större än var och en av dess inre vinklar som inte gränsar till den.
Faktum är att i figuren ∠ 4=180°-∠ 2 (som intilliggande)
Även ∠ 2=180°-(∠ 1+∠ 3)
Om vi ​​ersätter det andra uttrycket med det första får vi: ∠ 4=∠ 1+∠ 3
Tja, eftersom ingen av vinklarna kan vara lika med noll, är var och en av dessa vinklar mindre än den yttre, till exempel ∠ 1=∠ 4-∠ 3 eller ∠ 1<∠ 4
Så, genom att känna till två vinklar i en triangel, kan du hitta den tredje. Det är också tydligt att om en vinkel i en triangel är rät eller trubbig, så är dess andra två vinklar spetsiga.
Definition 1. Om en vinkel i en triangel är trubbig kallas triangeln trubbig.
Definition 2. Om en vinkel i en triangel är rät, så kallas triangeln en rätvinklig triangel.
Definition 3. Om alla tre vinklarna i en triangel är spetsiga, kallas triangeln spetsig.
Från problemen med att konstruera trianglar är det tydligt att för alla givna positiva vinklar α, β, γ, som summerar till två räta linjer, finns det trianglar som har α, β, γ som sina inre vinklar. Så,
Sats 4. Skick a + b + g = 180° nödvändigt och tillräckligt för att det ska finnas en triangel med vinklar a, b, g. Eftersom den yttre vinkeln för en triangel kompletterar den inre vinkeln intill den till den utvikta vinkeln, då
Sats 5. Summan av de yttre vinklarna i en triangel är 360°.
Förhållandet mellan storlekarna på sidorna och vinklarna i en triangel fastställs av följande
Sats 6. Den större vinkeln i en triangel är motsatt den större sidan.
Sats 6.1. Lika vinklar ligger mitt emot lika sidor.
Sats 7. I vilken triangel som helst ligger den större sidan mitt emot den större vinkeln.
Sats 7.1. Lika sidor ligger mitt emot lika vinklar.
Bevis. Låt oss tillämpa egendomen hos inclined. I triangeln ABC, låt sidan AC vara större än sidan BC. Låt oss hitta triangelns höjd CM. Eftersom den lutande CB är mindre än den lutande SA, ligger dess bas B närmare basen av höjden CM än basen A för den lutande SA. Därför, om du böjer ritningen längs CM, kommer vinkeln vid vertex B att gå in i den yttre vinkeln B ' av triangeln ACB ' och kommer därför att vara större än vinkeln A, eftersom den är intern och inte intill den. Så, om det finns ojämlikheter mellan sidorna i en triangel a< b< c, så uppfyller de motsatta vinklarna ojämlikheterna a < b < g. Likheten mellan vinklar som ligger mitt emot lika sidor kommer omedelbart att uppstå om vi tar hänsyn till att lika lutande vinklar är placerade symmetriskt i förhållande till vinkelrät och kombineras när planet böjs längs vinkelrät. I detta fall kombineras också de vinklar vars likvärdighet måste bevisas.
Det omvända uttalandet, som säger att den större sidan ligger mitt emot den större vinkeln, erhålls genom att resonera med motsägelse. Så, låt det a < b. Om vi ​​hade a >b ellera =b, då borde det vara a > b eller a = b, vilket strider mot villkoret. Det är därför a< b, vilket var det som behövde bevisas. Det är också bevisat att lika sidor är motsatta lika vinklar. I synnerhet är en liksidig triangel också en liksidig triangel. Var och en av dess vinklar i detta fall är lika med 60°