Movimento di corpi a massa variabile. È

Ci sono molti casi in cui la massa del corpo che ci interessa cambia nel processo di movimento a causa della continua separazione o aggiunta di materia (razzo, jet, piattaforma caricata in movimento, ecc.).

Il nostro compito è trovare la legge del moto di un tale corpo. Consideriamo la soluzione di questa domanda per un punto materiale, chiamandolo corpo per brevità. Lascia che ad un certo punto nel tempo t la massa del corpo in movimento MAè uguale a t e la massa attaccata (o staccata) ha una velocità relativa al corpo dato.

Introduciamo un'inerziale ausiliaria K- un sistema di riferimento la cui velocità è uguale alla velocità del corpo MA al momento t. Questo significa che al momento t corpo MA riposa K- sistema.

Lasciare ulteriormente per un periodo di tempo da t prima t+dt corpo MA acquisisce in K- impulso di sistema. Questo impulso del corpo MA riceverà, in primo luogo, come risultato dell'aggiunta (separazione) della massa δt, che porta (porta via) la quantità di moto e, in secondo luogo, per l'azione della forza dai corpi circostanti o dal campo di forza. Quindi, uno può scriverlo

,

dove il segno più corrisponde all'addizione di massa e il segno meno alla separazione.

Entrambi questi casi possono essere combinati rappresentando come un incremento dm peso corporeo MA(anzi, nel caso di addizione di massa, e nel caso di separazione. Allora l'equazione precedente assumerà la forma

Dividendo questa espressione per dt, noi abbiamo

, (6.8)

dove è la velocità della sostanza attaccata (o separata) rispetto al corpo in questione.

Questa equazione è l'equazione di base della dinamica di un punto materiale con massa variabile. Si chiama equazione di Meshchersky. Essendo ottenuta in un sistema di riferimento inerziale, questa equazione, in virtù del principio di relatività, è valida anche in qualsiasi altro sistema inerziale. Si noti che se il sistema di riferimento non è inerziale, allora la forza dovrebbe essere intesa come la risultante sia delle forze di interazione di un dato corpo con i corpi circostanti, sia delle forze di inerzia.

Viene chiamato l'ultimo termine dell'equazione (6.8). forza del getto:

.

Questa forza nasce come risultato dell'azione su un dato corpo di una massa attaccata (o separata). Se la massa si unisce allora, e il vettore coincide in direzione con il vettore; se la massa è separata, allora , e il vettore è opposto al vettore .

L'equazione di Meshchersky nella sua forma coincide con l'equazione di base della dinamica di un punto materiale di massa costante: a sinistra - il prodotto della massa e dell'accelerazione del corpo, a destra - le forze che agiscono su di esso, inclusa la forza reattiva. Tuttavia, nel caso di una massa variabile, non possiamo introdurre la massa t sotto il segno di differenziazione e rappresentano il lato sinistro dell'equazione come derivata temporale della quantità di moto, perché

.

Facciamo attenzione a due casi speciali.

1. Se , cioè, la massa viene aggiunta o separata senza velocità rispetto al corpo, allora l'equazione (6.8) assume la forma

, (6.9)

dove m(t) - peso corporeo in un dato momento.

Questa equazione determina, ad esempio, il movimento di una piattaforma da cui la sabbia scorre liberamente. (vedi Esempio 6.4, paragrafo 1).

2. Se, cioè, la massa attaccata è immobile nel sistema di riferimento che ci interessa o la massa separata diventa immobile in questo sistema, allora l'equazione (6.8) assume una forma diversa

,

. (6.10)

In altre parole, in questo caso particolare - e solo in questo caso, l'azione della forza determina la variazione della quantità di moto di un corpo di massa variabile. Questo caso si realizza, ad esempio, quando si sposta una piattaforma carica di materiale sfuso da un bunker fisso (vedi Esempio 6.4, paragrafo 2).

Problema 6.4.

piattaforma al momento t= 0 inizia a muoversi sotto l'azione di una forza di spinta costante. Trascurando l'attrito negli assi, trovare la dipendenza dal tempo della velocità della piattaforma se:

1) è caricato con sabbia, che fuoriesce attraverso i fori sul fondo a velocità costante μ (kg / s) e al momento t= 0 è la massa della piattaforma con sabbia t 0;

2) su una piattaforma, la cui massa t 0, nel momento t= 0, la sabbia inizia a fuoriuscire dalla tramoggia fissa in modo che la velocità di caricamento sia costante e uguale a μ (kg/s).

Soluzione. 1. In questo caso, la forza reattiva è zero e l'equazione di Meshchersky (6.8) ha la forma

,

.

.

2. In questo caso, la forza reattiva, quindi, secondo l'equazione (6.8)

.

.

Integrando questa equazione, otteniamo

.

Le espressioni ottenute in entrambi i casi sono valide, ovviamente, solo in fase di scarico (o carico) della piattaforma.

Consideriamo un altro esempio dell'applicazione dell'equazione di Meshchersky.

Compito 6.5

Il razzo si muove in modo inerziale Per- sistema di riferimento in assenza di un campo di forze esterno, e in modo tale che il getto di gas esca con una costante relativa alla velocità del razzo. Trova la dipendenza della velocità del razzo dalla sua massa t, se al momento del lancio la sua massa fosse uguale a t 0.

In questo caso e dall'equazione (6.8) segue

Integrando questa espressione con l'indennità per le condizioni iniziali, otteniamo

, (*)

dove il segno meno indica che il vettore (velocità del razzo) è opposto in direzione al vettore. Da qui, tra l'altro, è chiaro che la velocità del razzo in questo caso ( = const) non dipende dal tempo di combustione del carburante: è determinata solo dal rapporto tra la massa iniziale del razzo t 0 al peso residuo t.

Si noti che se l'intera massa di carburante fosse espulsa simultaneamente a una velocità relativa al razzo, la velocità di quest'ultimo sarebbe diversa. Infatti, se il razzo era inizialmente fermo nel sistema di riferimento inerziale di nostro interesse, e dopo la contemporanea espulsione di tutto il carburante ha acquisito velocità, allora dalla legge di conservazione della quantità di moto per il sistema razzo-carburante segue

dove è la velocità del carburante rispetto al dato sistema di riferimento. Da qui

. (**)

La velocità del razzo in questo caso risulta essere inferiore a quella precedente (a parità di valori del rapporto t 0 / t). È facile verificarlo confrontando la natura della dipendenza da t 0 / t in entrambi i casi. Con crescita t 0 / t nel primo caso (quando la sostanza è separata continuamente) la velocità del razzo secondo (**) cresce indefinitamente, nel secondo (quando la sostanza è separata simultaneamente) la velocità secondo (**) tende ad un limite uguale a - .

6.3 Centro di inerzia. C - sistema

Centro di inerzia. In ogni sistema di particelle c'è un punto notevole DA - centro di Massa, o centro di gravità, che ha una serie di proprietà interessanti e importanti. La sua posizione rispetto all'inizio o di un dato sistema di riferimento è caratterizzato da un vettore raggio definito dalla seguente formula:

(6.11)

dove t i e - vettore di massa e raggio io-esima particella, t- la massa dell'intero sistema (Fig. 6.4).

Va notato che il centro di inerzia del sistema coincide con il suo baricentro. Vero, questa affermazione è vera solo nel caso in cui il campo di gravità all'interno di un dato sistema può essere considerato omogeneo.

Troviamo ora la velocità del centro di inerzia nel sistema di riferimento dato. Differenziando la (6.11) rispetto al tempo, otteniamo

(6.12)

Se la velocità del centro di inerzia è zero, allora il sistema nel suo insieme si dice fermo. Questa è una generalizzazione del tutto naturale del concetto di riposo di una singola particella. La velocità acquisisce il significato di velocità del sistema nel suo insieme.

Scriviamo (6.12) come

dove è la quantità di moto totale del sistema.

Differenziando questa espressione rispetto al tempo e tenendo conto della (6.4), otteniamo l'equazione del moto del centro di inerzia:

(6.14)

dove è la risultante di tutte le forze esterne.

Quindi, se le forze esterne agiscono sul sistema (e nel caso generale esegue qualsiasi movimento complesso), uno dei suoi punti - il centro di inerzia - si muove come se tutte le forze esterne fossero applicate a questo punto, e la massa dell'intero sistema sarebbe concentrato a questo punto. È importante notare che il movimento del centro di inerzia è completamente indipendente dai punti di applicazione di queste forze esterne.

L'equazione (6.14) coincide nella forma con l'equazione di base della dinamica di un punto materiale ed è la sua naturale generalizzazione ad un sistema di particelle: l'accelerazione del sistema nel suo insieme è direttamente proporzionale alla risultante di tutte le forze esterne ed inversamente proporzionale alla massa totale del sistema. Ricordiamo che nei sistemi di riferimento non inerziali la risultante di tutte le forze esterne include sia le forze di interazione con i corpi circostanti che le forze di inerzia.

Considera tre esempi del movimento del centro di inerzia del sistema.

Compito 6.6

Mostriamo come il problema con un uomo su una zattera può essere risolto in modo diverso (vedi Esempio 6.3), usando il comportamento del centro di inerzia di questo sistema.

Poiché la resistenza all'acqua è trascurabile, la risultante di tutte le forze esterne agenti sul sistema uomo-zattera è uguale a zero. E questo significa che la posizione del centro di inerzia di questo sistema non cambierà durante il movimento di una persona (e una zattera), ad es.

,

dove e sono raggi vettori che caratterizzano le posizioni dei centri di inerzia di una persona e di una zattera rispetto a un certo punto nell'acqua. Da questa uguaglianza troviamo la relazione tra gli incrementi dei vettori e :

.

Tenendo presente che gli incrementi e rappresentano i movimenti della persona e della zattera rispetto all'acqua, e , troviamo il movimento della zattera:

Compito 6.7

Un uomo salta da una torre in acqua. Il movimento del ponticello nella custodia generale ha un carattere molto complesso. Tuttavia, se la resistenza dell'aria è trascurabile, allora possiamo immediatamente affermare che il centro di inerzia del ponticello si muove lungo una parabola, come un punto materiale, che risente di una forza costante, dove t- la massa della persona.

Compito 6.8

Una catena chiusa, collegata da un filo all'estremità dell'asse della macchina centrifuga, ruota uniformemente attorno all'asse verticale con una velocità angolare ω (Fig. 6.5). In questo caso, il filo forma un angolo ξ con la verticale. Come si comporta il centro di inerzia della catena?

Innanzitutto è chiaro che con rotazione uniforme il centro di inerzia della catena non si muove in direzione verticale. Ciò significa che la componente verticale della tensione del filo compensa la forza di gravità (vedi Fig. 6.5 a destra). La componente orizzontale della forza di trazione è costante in valore assoluto ed è sempre diretta verso l'asse di rotazione. Ne consegue che il centro di inerzia della catena è il punto DA- si muove lungo un cerchio orizzontale il cui raggio ρ è facile da trovare usando la formula (6.14), scrivendola nel form

,

dove tè il peso della catena. Allo stesso tempo, il punto DAè sempre tra l'asse di rotazione e il filetto, come mostrato in fig. 6.5

C - sistema. In quei casi frequentemente incontrati, quando siamo interessati solo al movimento relativo delle particelle all'interno del sistema e non siamo interessati al movimento di questo sistema nel suo insieme, è più opportuno usare un sistema di riferimento in cui il centro di inerzia è a riposo. Ciò consente di semplificare notevolmente sia l'analisi del fenomeno che i relativi calcoli.

Il sistema di riferimento, rigidamente connesso al centro di inerzia di un dato sistema di particelle e mobile traslatorio rispetto ai sistemi inerziali, è detto sistema del centro di inerzia, o, in breve, C- sistema. Caratteristica distintiva C- sistema è che la quantità di moto totale del sistema di particelle al suo interno è uguale a zero - questo segue direttamente dalla formula (6.13). In altre parole, qualsiasi sistema di particelle nel suo insieme è a riposo nel suo C- sistema.

Per un sistema chiuso di particelle, la sua C- il sistema è inerziale, per uno aperto - nel caso generale, non inerziale.

Troviamo la connessione tra i valori dell'energia meccanica del sistema in K- e C- sistemi di riferimento. Cominciamo con l'energia cinetica del sistema T. Velocità io-esima particella dentro K Il sistema può essere rappresentato come

,

dove è la velocità di questa particella in C- sistema, a - velocità C- sistemi riguardanti K- sistemi di riferimento.

Allora puoi scrivere:

.

Dal momento che in C– system , l'espressione precedente assumerà la forma

, (6.15)

dove - energia cinetica totale delle particelle in C- sistema, mè la massa dell'intero sistema, R- il suo slancio totale in Per- sistema di riferimento.

In questo modo, l'energia cinetica di un sistema di particelle è la somma dell'energia cinetica totale T nel sistema C e dell'energia cinetica associata al movimento del sistema di particelle nel suo insieme. Questa è una conclusione importante, e sarà utilizzata più volte in quanto segue (in particolare, nello studio della dinamica di un corpo rigido).

Dalla formula (6.15) segue che l'energia cinetica di un sistema di particelle è minima in C- sistema - questa è un'altra caratteristica C- sistemi. Infatti, nel C- sistema e quindi in (6.15) rimane solo T.

Passiamo ora all'energia meccanica totale e. Dal momento che l'energia potenziale del sistema u dipende solo dalla configurazione del sistema, quindi dal valore u lo stesso in tutti i sistemi di riferimento. Aggiungendo u uguaglianze destra e sinistra (6.15), otteniamo la formula per la trasformazione dell'energia meccanica totale nella transizione da K- a C- sistema:

. (6.16)

spesso indicato come l'energia meccanica interna del sistema.

Compito 6.9

Due piccole rondelle giacciono su un piano orizzontale liscio, ciascuna di massa t era uguale solo all'energia del movimento rotatorio.

Se il sistema particellare Chiuso e in essa si verificano processi associati a una variazione dell'energia meccanica totale, quindi da (6.16) segue che, cioè, l'incremento dell'energia meccanica totale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale arbitrario è uguale all'incremento interno energia meccanica. In questo caso l'energia cinetica dovuta al moto del sistema di particelle nel suo insieme non cambia, perché per un sistema chiuso = cost.

In particolare, se un sistema chiuso è conservativo, la sua energia meccanica totale viene conservata in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Questa conclusione è in piena conformità con il principio di relatività di Galileo.

Sistema di due particelle. Lascia che le masse delle particelle siano uguali t 1 e t 2 e le loro velocità in K- sistema di riferimento e rispettivamente. Troviamo espressioni che determinano la loro quantità di moto e l'energia cinetica totale in

Passiamo ora all'energia cinetica. L'energia cinetica totale di entrambe le particelle C– sistema

Poiché secondo (4.18) , poi

. (6.21)

Se le particelle interagiscono tra loro, l'energia meccanica totale di entrambe le particelle entra C– sistema

(6.22)

dove u- energia potenziale di interazione di queste particelle.

Le formule ottenute giocano un ruolo importante nello studio delle collisioni tra particelle.

Equazione del moto del centro di massa

Il concetto di baricentro ci permette di dare l'equazione , che esprime la seconda legge di Newton per un sistema di corpi, ha una forma diversa. Per fare ciò, è sufficiente rappresentare la quantità di moto del sistema come prodotto della massa del sistema e della velocità del suo centro di massa:

Abbiamo ottenuto l'equazione del moto del centro di massa, secondo la quale il centro di massa di qualsiasi sistema di corpi si muove come se l'intera massa del sistema fosse concentrata in esso, e ad esso sarebbero applicate tutte le forze esterne. Se la somma delle forze esterne è uguale a zero, allora, e quindi, cioè, il centro di massa (inerzia) di un sistema chiuso è fermo o si muove in modo uniforme e rettilineo. In altre parole, le forze interne di interazione dei corpi non possono dare alcuna accelerazione al centro di massa del sistema di corpi e modificare la velocità del suo movimento.

La velocità del centro di massa è determinata dall'impulso totale del sistema meccanico, quindi lo spostamento del centro di massa caratterizza il movimento di questo sistema nel suo insieme.

Scriviamo la variazione della quantità di moto del sistema per un intervallo di tempo infinitesimo dt. Al momento del conto alla rovescia t+dt la massa del razzo è m+dm. Perché dm < 0, allora la massa separata è uguale a - dm. velocità del razzo nel tempo dt riceverà un aumento. Il cambiamento nello slancio del razzo è

Modifica della quantità di moto della massa separata:

Ecco la velocità della massa separata nel sistema di riferimento da noi scelto. Secondo la legge del cambiamento della quantità di moto di un sistema di corpi non isolato

da cui ne consegue

Diviso per dt, arriviamo a equazione dinamica di massa variabile, ottenuto per la prima volta dal fisico russo Meshchersky:

Il valore viene chiamato forza del getto. Questa forza è maggiore, più velocemente la massa corporea cambia nel tempo. Per un corpo di massa costante, la forza reattiva è zero. Se la massa del corpo diminuisce, la forza reattiva viene diretta nella direzione opposta alla velocità della massa separata

Consideriamo ora il caso in cui non ci sono forze esterne. Nella proiezione, la direzione del movimento del razzo, l'equazione di Meshchersky assumerà la forma:

Integrando questa espressione, otteniamo:

Costante di integrazione C determinare dalle condizioni iniziali. Se al momento iniziale del conteggio del tempo t= 0 la velocità del razzo è zero e la massa, poi e Quindi

Questo rapporto prende il nome dallo scienziato russo K.E. Tsiolkovsky e sta alla base della scienza missilistica.

Una massa corporea variabile si verifica quando una parte della massa corporea viene separata dal corpo stesso ad una certa velocità (è anche possibile aggiungere massa al corpo durante il movimento). La parte separata può essere rappresentata, ad esempio, dalla massa della corrente a getto di un motore a razzo. Consideriamo innanzitutto il moto di un razzo nello spazio, quando, a parte la forza dal lato della corrente a getto, non ci sono altre forze che agiscono sul razzo. In questo caso, i gas della corrente a getto e del razzo sono un sistema chiuso (isolato), e per questo sistema è soddisfatta la legge di conservazione della quantità di moto, cioè la quantità di moto totale non cambia. Scriviamo la legge di conservazione della quantità di moto. Assumiamo che ad un certo punto il razzo di massa m si muove con velocità (in un sistema di riferimento inerziale). Per il successivo piccolo periodo di tempo elementare, il motore a razzo espellerà una massa di gas a reazione ad una velocità (nella stessa struttura inerziale). La velocità dei gas del getto è diretta contro la velocità del razzo. La massa del razzo diminuirà di

. (24)

La quantità di moto della corrente a getto cambia solo a causa della massa dei gas emessi dal motore - ( . La quantità di moto del razzo cambia sia per una variazione della sua massa che per una variazione della sua velocità

In base alla legge di conservazione della quantità di moto, la variazione totale della quantità di moto è zero:

Nel sistema di riferimento inerziale adottato, la velocità dei gas della corrente a getto è determinata sia dalla velocità del razzo che dalla velocità di deflusso dei gas del motore a reazione rispetto al corpo del razzo:

Proiettando questa uguaglianza vettoriale sulla direzione della corrente a getto, abbiamo

Da qui è chiaro che la velocità del getto (nel sistema di riferimento inerziale) è inferiore alla velocità del deflusso dei gas dalla velocità del razzo stesso. Sostituendo le relazioni (24 e 26) nella formula (25) e facendo riduzioni, otteniamo:

Progettiamo l'ultima relazione per la direzione del moto del razzo:

La velocità dei gas di scarico della corrente a getto rispetto al razzo è un valore costante, ad es. . Quindi, integrando nella formula (28) sulla velocità del razzo da a e sulla massa da M 0 a M, otteniamo la formula di Tsiolkovsky (1903):

dove M 0 è la massa iniziale del razzo (compreso il propellente a bordo); M - la massa del razzo quando raggiunge la sua velocità; e- la velocità del deflusso dei gas reattivi rispetto al razzo; è la velocità del razzo prima dell'accensione del motore a razzo.

È chiaro dalla formula di Tsiolkovsky che maggiore è la velocità del deflusso di gas dalla corrente a getto di un motore a razzo rispetto al razzo e, maggiore è la velocità che il razzo può acquisire.

Dividiamo entrambe le parti della relazione (27) per , per cui otteniamo

Sul lato destro dell'ultima espressione c'è il prodotto della massa del razzo e dell'accelerazione, cioè forza che agisce sul razzo. Sul lato sinistro dell'espressione c'è la forza che provoca l'accelerazione del razzo. La forza che fa accelerare il razzo è chiamata forza reattiva. Pertanto, la forza reattiva

Se, oltre alla forza reattiva, sul corpo del razzo agisce anche una forza esterna (ad esempio la gravità), nell'equazione del moto del razzo viene aggiunta alla forza sviluppata dal motore a razzo:

.

Questa equazione è stata ottenuta da Meshchersky (1897) e porta il suo nome.

Controllare le domande e le attività

1. Formulare la legge di conservazione dell'energia in meccanica.

2. Formulare la legge di conservazione e trasformazione dell'energia.

3. Formulare la legge di conservazione della quantità di moto.

4. Formulare la legge di conservazione del momento angolare.

5. Dalla canna della pistola del peso di 2000 kg viene sparato un proiettile di massa 20 kg. L'energia cinetica del proiettile alla partenza è 10 7 J. Qual è l'energia cinetica della canna della pistola dovuta al rinculo?

6. Corpo di massa 3 kg muovendosi a velocità 4 SM e si scontra con un corpo immobile della stessa massa. Considerando l'impatto centrale e anelastico, trovare la quantità di calore rilasciata durante l'impatto.

7. Un proiettile che vola orizzontalmente colpisce una palla sospesa ad un'asta rigida molto leggera e vi rimane incastrata. La massa del proiettile è 100 volte inferiore alla massa della palla. La distanza dal punto di sospensione dell'asta al centro della palla è 1 m. Trova la velocità del proiettile se è noto che l'asta con la palla ha deviato dall'impatto del proiettile di un angolo di 60°.

8. Nastro trasportatore che consuma 10 energia kW, scaricare una chiatta con carbone su un molo la cui altezza è 2,5 m. Considerando l'efficienza pari al 75%, determinare quante tonnellate di carbone possono essere scaricate in 20 min.

9. Il reattore nucleare, funzionante in modalità continua, sviluppa una potenza di 1000 MW. Supponendo che il rifornimento di combustibile nucleare non venga effettuato durante l'anno, determinare di quanto è diminuita la massa di combustibile nucleare nell'anno di funzionamento del reattore.

10. Il razzo parte dalla superficie della Terra. Peso a razzo m = 2000kg. Un motore a razzo emette un getto a una velocità di 3 km/s e ne spende 50 kg/s carburante per razzi (compreso ossidante). Quanta spinta fornisce questo motore a razzo? Quale accelerazione del razzo al lancio fornisce questo motore?

11. Un razzo nello spazio (lontano dai pianeti) viene accelerato da un motore a razzo. Di quale valore aumenterà la velocità del razzo se, all'accensione dei motori, la sua massa fosse M 0 = 3000 kg, e dopo aver spento i motori M = 1000 kg. Velocità del getto del motore rispetto al razzo v= 3 km/s. Il motore ha funzionato 1.5 min; che tipo di sovraccarico hanno subito gli astronauti a bordo di questo razzo nel momento iniziale del funzionamento del motore a razzo?

12. Trova la variazione dell'energia cinetica di un sistema isolato costituito da due sfere con masse m 1 = 1 kg e m 2 = 2 kg, nella loro collisione frontale (centrale) anelastica. Prima della collisione, si muovevano a velocità opposte. v 1 = 1 SM e v 2 = 0,5 SM. Qual è la velocità delle palline dopo l'urto? Quale energia viene rilasciata sotto forma di calore durante una collisione?

gravità

Le leggi di Keplero

La base per stabilire la legge di gravitazione universale per Newton era, insieme alle leggi della dinamica che portano il suo nome, tre leggi del moto planetario scoperte da Keplero (1571-1630):

2. Il raggio vettore disegnato dal Sole a un particolare pianeta taglia, a intervalli di tempo uguali, aree uguali.

3. I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti attorno al Sole sono messi in relazione come i cubi dei semiassi maggiori delle ellissi delle loro orbite.

La terza legge di Keplero può essere scritta nella forma seguente:

dove T 1 e T 2 - periodi di circolazione di due pianeti specifici; R 1 e R 2 - semiassi maggiori delle ellissi corrispondenti.

Legge di gravità

Otteniamo teoricamente la legge di gravitazione universale, basata sulle leggi di Keplero e sulle leggi della dinamica di Newton. Nota, prima di tutto, che un cerchio è un caso speciale di un'ellisse e il raggio del cerchio è uguale al semiasse corrispondente dell'ellisse. In considerazione di ciò, e per semplificare il compito, consideriamo un ipotetico sistema planetario, cioè un sistema in cui tutti i pianeti si muovono su orbite circolari centrate sul Sole (usando quindi la prima legge di Keplero).

Secondo la seconda legge di Keplero, il vettore raggio di un particolare pianeta taglia, in intervalli di tempo uguali, aree uguali, il che è vero se la velocità di un particolare pianeta in un'orbita circolare è un valore costante (quindi, viene utilizzata la seconda legge di Keplero ).

In molti problemi di fisica, la massa di un corpo cambia durante il movimento. Ad esempio, la massa di un'auto per l'irrigazione delle strade viene ridotta dall'acqua che esce, la massa di un razzo o di un aereo a reazione viene ridotta dai gas di scarico generati durante la combustione del carburante.

Ricaviamo l'equazione del moto di un corpo di massa variabile usando l'esempio del moto di un razzo. Il principio di funzionamento del razzo è molto semplice. In un motore a razzo, la forza di spinta viene creata come risultato dell'espulsione dei prodotti della combustione del carburante nella direzione opposta alla velocità del razzo (Fig. 3.1). Sorge secondo la terza legge di Newton come forza di reazione, e quindi è chiamata reattiva. Se non ci sono forze esterne, allora il razzo, insieme alla sostanza espulsa da esso, è un sistema chiuso. Lo slancio di un tale sistema non può cambiare nel tempo. La teoria del moto del razzo si basa su questa posizione. È opportuno, tuttavia, generalizzare il problema assumendo che sul razzo agiscano forze esterne. Tali forze possono essere forze gravitazionali, nonché forze di resistenza del mezzo in cui si muove il razzo.

Sia la massa del razzo in un momento arbitrario e la sua velocità nello stesso momento. La quantità di moto del razzo in questo momento sarà . Dopo un po', la massa e la velocità del razzo riceveranno un incremento e (valore ). Lo slancio del razzo sarà . La quantità di moto dei gas formatisi nel tempo sarà .

L'incremento della quantità di moto del sistema nel tempo sarà uguale alla quantità di moto della forza, dove è la somma geometrica di tutte le forze esterne agenti sul razzo:

Espandendo le parentesi, possiamo scartare il prodotto come quantità infinitesima. Tenendo conto che e dividendo tutti i termini dell'ultima equazione per , otteniamo:

.

(3.2)

È possibile utilizzare la regola di addizione della velocità nella forma , dove è la velocità del deflusso dei gas rispetto al razzo. Quindi l'equazione (3.2) assume la forma

.

La quantità rappresenta la forza reattiva. Se è diretto in modo opposto, il razzo accelera e, se coincide con, rallenta. Passando al limite in , l'equazione del moto di un corpo di massa variabile può essere scritta come:

.

L'equazione risultante viene chiamata Equazione di Meshchersky o l'equazione del moto di un corpo di massa variabile.

A differenza di altri veicoli, un dispositivo a reazione può muoversi nello spazio. Il fondatore della teoria dei voli spaziali è un eccezionale scienziato russo Ciolkovskij(1857–1935). Ha dato le basi generali della teoria della propulsione a reazione, ha sviluppato i principi e gli schemi di base degli aerei a reazione e ha dimostrato la necessità di utilizzare un razzo multistadio per i voli interplanetari. Le idee di Tsiolkovsky sono state implementate con successo nella creazione di satelliti artificiali e veicoli spaziali.

Tsiolkovsky Konstantin Eduardovich (5/17.09.1857–19.09.1935)

Scienziato e inventore russo nel campo dell'aerodinamica, della dinamica dei razzi, della teoria dell'aeronautica, il fondatore dell'astronautica moderna. Nato nella famiglia di un guardaboschi. Avendo sofferto di scarlattina all'età di 14 anni, Tsiolkovsky ha praticamente perso l'udito e ha studiato da solo. Nel 1879 superò gli esami esterni per il titolo di insegnante. Nel 1880 Tsiolkovsky fu nominato insegnante di aritmetica e geometria presso la scuola distrettuale di Borovsk (provincia di Kaluga). In questo momento furono pubblicate le prime opere di Tsiolkovsky - "The Theory of Gases" e "Mechanics of the Animal Organism" (1880-1881). Fu accettato nella Società di fisica e chimica russa.

Dal 1884, Tsiolkovsky ha lavorato ai problemi della creazione di un dirigibile e di un aeroplano "snello", dal 1886: razzi per voli interplanetari. Ha lavorato sistematicamente allo sviluppo della teoria del moto dei veicoli a reazione e ha proposto molti dei loro schemi. Nel 1892 Tsiolkovsky si trasferì a Kaluga, dove insegnò fisica e matematica in una palestra e in una scuola diocesana. Nello stesso anno è stata pubblicata la sua opera "Metal controlled balloon" (su un dirigibile). Nel 1897 Tsiolkovsky progettò la prima galleria del vento in Russia con una sezione di prova aperta.

In epoca sovietica, Tsiolkovsky si occupava principalmente della teoria del movimento del razzo (dinamica del razzo). Nel 1926-1929 ha sviluppato la teoria della scienza missilistica multistadio, risolto importanti problemi legati al movimento dei razzi in un campo gravitazionale disomogeneo, l'atterraggio di un veicolo spaziale sulla superficie di pianeti privi di atmosfera, considerata l'influenza dell'atmosfera sul volo di un razzo, ha avanzato idee sulla creazione di un razzo: un satellite artificiale terrestre e stazioni orbitali vicine alla Terra. Nel 1932, Tsiolkovsky convalidò la teoria del volo degli aerei a reazione nella stratosfera.

Le idee tecniche di Tsiolkovsky hanno trovato applicazione nella progettazione della tecnologia spaziale e missilistica.

Materiali tratti dal sito http://www.hronos.km.ru/biograf/ciolkov.html

Il fondatore della cosmonautica pratica è Accademico SP Korolev(1906–1966). Sotto la sua guida, è stato creato e lanciato il primo satellite artificiale della Terra al mondo, ha avuto luogo il primo volo spaziale con equipaggio nella storia dell'umanità. Yu.A. divenne il primo cosmonauta della Terra. Gagarin (1934–1968).

Korolev Sergei Pavlovich (1906-1965)

Non c'è mai stato uno scienziato più segreto nella storia della scienza di S.P. Korolev, capo progettista di astronavi, fondatore dell'astronautica pratica. Rimase alle sue origini - al lancio dei primi satelliti, al volo nello spazio di Gagarin, Titov, Valentina Tereshkova - i primi cosmonauti.

Durante la sua vita, era noto solo a una cerchia ristretta: alte autorità, subordinati, colleghi e coloro che inviava su voli interplanetari. Il suo nome è apparso in stampa solo il giorno della sua morte.

Sergey Pavlovich Korolyov è nato il 12 gennaio 1907 (30 dicembre 1906 secondo il vecchio stile) a Zhytomyr nella famiglia di un insegnante di palestra. Dal 1946 fino alla fine della sua vita, Sergei Korolev è stato il capo progettista di missili balistici a lungo raggio, missili e sistemi spaziali. A metà degli anni '50. Il famoso razzo a due stadi è stato creato nel Korolev Design Bureau, che ha assicurato il raggiungimento della prima velocità spaziale e la possibilità di lanciare aerei del peso di diverse tonnellate nell'orbita vicino alla Terra. Questo razzo (con il suo aiuto sono stati messi in orbita i primi tre satelliti) è stato quindi modificato e trasformato in uno a tre stadi (per il lancio di "lunari" e voli con un uomo).

Dal 1959, Sergei Pavlovich Korolev era responsabile del programma di esplorazione lunare. Come parte di questo programma, diversi veicoli spaziali furono inviati sulla Luna, inclusi veicoli per l'atterraggio morbido, e il 12 aprile 1961 fu effettuato il primo volo con equipaggio nello spazio.

Durante la vita di Korolev, altri dieci cosmonauti sovietici andarono nello spazio sulle sue astronavi, fu effettuata una passeggiata spaziale artificiale (A. Leonov il 18 marzo 1965 sulla navicella Voskhod-2). Sotto la guida di Sergei Korolev fu creato il primo complesso spaziale, furono lanciati molti razzi balistici e geofisici, il primo missile balistico intercontinentale al mondo, il veicolo di lancio Vostok e le sue modifiche, furono lanciati un satellite artificiale terrestre, furono lanciati i veicoli spaziali Vostok e Voskhod lanciati, i primi satelliti della serie "Luna", "Venus", "Mars", "Zond", i satelliti della serie "Electron", "Molniya-1" e alcuni satelliti della serie "Cosmos"; è stato sviluppato il progetto della navicella spaziale "Soyuz".

Sergei Korolev ha allevato numerosi quadri di scienziati e ingegneri. Accademico dell'Accademia delle scienze, membro del Presidium dell'Accademia delle scienze dell'URSS (1960–1966), due volte Eroe del lavoro socialista (1956, 1961), vincitore del Premio Lenin (1957), ricevette la medaglia d'oro . K.E. Accademia delle scienze Tsiolkovsky dell'URSS (1958), 2 ordini di Lenin, l'Ordine del distintivo d'onore e medaglie.

LAVORO ED ENERGIA

Lasciamo che la particella, sotto l'azione di una forza, si muova lungo una certa traiettoria dalla posizione 1 alla posizione 2 (Fig. 3.2). Nel caso generale, la forza nel processo di movimento può cambiare sia in valore assoluto che in direzione. Lascia che la particella compia uno spostamento elementare, entro il quale la forza può essere considerata costante. L'azione della forza sullo spostamento è caratterizzata da un valore pari al prodotto scalare, che si chiama lavoro elementare della forza sullo spostamento:

Può essere presentato in un'altra forma:

dove è l'angolo tra i vettori e, è la proiezione del vettore sulla direzione del vettore. Poiché si presume che lo spostamento sia piccolo, la quantità è chiamata lavoro elementare, in contrasto con il lavoro su uno spostamento finito.

Il valore è algebrico: a seconda dell'angolo (o del segno della proiezione), può essere sia positivo che negativo e, in particolare, uguale a zero se la forza è perpendicolare allo spostamento.

Si consideri il caso unidimensionale in cui la forza agisce lungo un asse e il movimento si verifica lungo questo asse. Quindi, quando il punto materiale è spostato dalla forza, fa un lavoro elementare. Se il punto è spostato da una posizione all'altra e la forza non è costante, per calcolare il lavoro è necessario dividere l'intero intervallo tra i punti e in segmenti così piccoli che su ciascuno di essi la forza può essere considerata costante e uguale a un certo valore (non importa, a che punto dell'intervallo viene preso il valore). Il lavoro elementare sul sito è uguale e il lavoro totale quando si sposta un punto materiale da una posizione all'altra è determinato come la somma del lavoro su tutti gli spostamenti elementari: i.

L'unità di lavoro SI è il joule. Joule è il lavoro di una forza di un newton per uno spostamento di un metro, a condizione che la direzione della forza coincida con la direzione dello spostamento: .

Per caratterizzare la velocità con cui si fa il lavoro si introduce una grandezza chiamata potenza. La potenza è il lavoro svolto per unità di tempo:

.

Nel limite in , la potenza può essere scritta come segue:

.

La potenza è misurata in watt: 1 W = 1.

ENERGIA

Le osservazioni mostrano che il lavoro può essere svolto da qualsiasi organismo in determinate condizioni. Ad esempio, la forza elastica che agisce dal lato di una molla compressa o tesa su un corpo ad essa attaccato lo muove e allo stesso tempo esegue un lavoro meccanico. Può fare lavoro e qualsiasi corpo in movimento. Entrando in collisione con un altro corpo, agisce su di esso con forza e può causare il movimento di questo corpo o la sua deformazione. Allo stesso tempo, vengono eseguiti anche lavori meccanici. Si dice che i corpi che possono lavorare hanno energia.

Eseguendo un lavoro meccanico, un corpo o un sistema di corpi passa da uno stato all'altro. Allo stesso tempo, la loro energia diminuisce. La molla deformata si raddrizza, il carico in movimento si ferma, ovvero, al termine del lavoro, l'energia viene gradualmente consumata. Affinché un corpo o un sistema di corpi riacquisti la capacità di produrre energia, è necessario cambiare il loro stato: deformare la molla, sollevare il corpo, cioè svolgere un lavoro positivo sul sistema.

D.f.-m. n. BL Voronov

Compito 1. Una catena anelastica omogenea di lunghezza L e massa M viene lanciata su un blocco. Parte della catena giace su un tavolo di altezza h, e parte sul pavimento. Trova la velocità di movimento uniforme delle maglie della catena (Fig. 1).

Problema 2. Una catena omogenea inestensibile è sospesa su un filo in modo che la sua estremità inferiore tocchi il piano del tavolo. Il thread è bruciato. Trova la forza di pressione della catena sulla tabella nel momento in cui una parte della catena di lunghezza h è al di sopra di essa. La massa della catena è M, la sua lunghezza è L, l'impatto di ciascuna maglia è considerato assolutamente anelastico (Fig. 2).

Problema 3. Con quale forza preme a terra il cobra quando, preparandosi al salto, si alza verticalmente verso l'alto con velocità costante v (Fig. 3)? La massa del serpente è M, la sua lunghezza è L.

Partiamo da una situazione nota. Sia considerato il corpo un punto materiale (ad esempio, la sua struttura e le sue dimensioni possono essere trascurate o solo il centro di massa del corpo può essere discusso) oppure tutte le parti di un corpo esteso hanno la stessa velocità v. Quindi la 2a legge di Newton, in meccanica teorica si dice spesso: le equazioni del moto, poiché un tale corpo ha la forma:

dove m è la massa costante del corpo, F è la forza esterna che agisce sul corpo. Nel caso generale dei corpi estesi, le singole parti del corpo si muovono ciascuna con la propria velocità e la descrizione del movimento di tutte le parti, tenendo conto della loro interazione, diventa molto più complicata.

Tuttavia, ci sono casi in cui il movimento di alcune parti di un corpo composto può essere descritto in modo relativamente semplice. Uno di questi casi è il caso del moto di corpi di massa variabile. Sia un sistema composto e sia possibile individuarne una certa parte, un sottosistema che si muove a una velocità v, e la sua composizione cambia in un certo modo. Chiameremo questo sottosistema un corpo di massa variabile se sono soddisfatte le seguenti condizioni. In ogni momento, possiamo presumere che questo corpo sia un punto materiale o che tutte le sue parti abbiano la stessa velocità v. Nel tempo, alcune parti (infinitamente) piccole di esso vengono continuamente separate dal corpo, ciascuna con una propria velocità v indipendente"; oppure, al contrario, al corpo vengono aggiunte continuamente nuove piccole parti, che avevano una propria velocità v" prima " attaccare" (è anche possibile e altro). Pertanto, quando un corpo si muove, non cambia solo la sua velocità v = v(t), ma anche la massa m = m(t), ed è noto il tasso di variazione della massa

La seconda legge di Newton per i corpi di massa variabile ha la forma:

dove F è la forza esterna totale che agisce in un dato momento sia sul corpo (di massa variabile m) che sulle sue parti separanti o sommanti (masse –dm o dm, rispettivamente). Questa sottigliezza deve essere sempre tenuta a mente. Può accadere che l'intera forza esterna o la sua componente finita si applichi proprio a queste parti: sotto l'azione di una forza esterna finita, una massa (infinitamente) piccola (–dm o dm) in un intervallo di tempo (infinitamente) piccolo t  t + dt cambia la sua velocità a una grandezza finita, da v a v" o da v" a v, subendo un'accelerazione (infinitamente) grande. È questo caso che si realizza nei problemi riportati di seguito. Può naturalmente accadere che la variazione di velocità delle parti staccate o aggiunte sia fornita da forze interne. È il caso, ad esempio, di un razzo spaziale o di una valanga.

La 2a legge di Newton per i corpi di massa variabile può essere riscritta in una forma equivalente (particolarmente conveniente nel secondo caso):

La differenza dal solito caso di massa costante è che m = m(t) è ora una funzione nota del tempo e la forza reattiva viene sommata alla forza esterna F

Daremo la derivazione della 2a legge di Newton per corpi di massa variabile (puoi saltare questo paragrafo in prima lettura). Segue dalla seconda legge di Newton per qualsiasi, incluso un sistema composito, nella seguente forma generale:

quelli. l'incremento dp della quantità di moto totale p del sistema nell'intervallo di tempo t  t + dt è uguale alla quantità di moto Fdt della forza esterna F agente sul sistema Il sistema nell'intervallo di tempo considerato t  t + dt è un corpo di massa variabile insieme alla separazione o aggiunta di parti. Comunque (

dp = p(t + dt) – p(t) = (m + dm)(v + dv) – dmv" – mv.

Lasciamo al lettore la derivazione di questa formula come esercizio. Segnaliamo solo che il primo termine a destra si riferisce al tempo t + dt, il terzo termine si riferisce al tempo t, e il secondo termine (–dmv") si riferisce al momento t + dt nel caso di parti separabili (con massa –dm > 0,

dp \u003d mdv - dm (v "- v) + dmdv \u003d mdv - dmu + dmdv

ed eguagliandolo a Fdt, abbiamo:

Dividendo entrambi i membri dell'ultima uguaglianza per dt, passando alla ridistribuzione dt  0 e scartando la somma tendente a zero

Il contenuto di cui sopra del concetto di forza esterna F deriva dalla derivazione.

Passiamo ora alla risoluzione dei problemi.

Problema 1. Prendiamo una parte della catena che giace sul tavolo come un corpo di massa variabile. La catena è considerata inestensibile, lo spessore della catena è trascurabile, quindi possiamo supporre che l'intero tratto occupi un volume trascurabile (concentrato in un punto) alla base del tratto verticale sinistro della catena. Il moto è unidimensionale, lungo l'asse verticale y (punto di riferimento sul pavimento), quindi è sufficiente considerare solo la componente y della 2a legge di Newton (il segno “y” per le componenti y dei vettori v, u, F saranno omessi di seguito):

(gli altri componenti delle equazioni del moto hanno la forma 0 = 0). È questa equazione che dovrebbe determinare la velocità del movimento uniforme delle maglie verticali della catena, poiché sono separate dal nostro corpo.

In ogni momento, tutti i collegamenti della sezione in esame giacciono liberamente, senza tensione, sul tavolo, rispettivamente v = 0

rispettivamente

Resta da determinare la componente verticale F della forza esterna F. È uguale alla tensione Th della parte verticale sinistra della catena alla sua estremità inferiore, situata ad un'altezza y = h. Questa forza viene applicata alla prima maglia dall'alto che si separa dal corpo, mentre tutte le maglie del corpo giacciono liberamente (vedi sopra sulla forza esterna F). Th, a sua volta, è determinato dalle condizioni di moto delle sezioni verticali della catena. Se si muovono in modo uniforme, come si presume nella condizione del problema, e, inoltre, la catena di destra giace liberamente sul pavimento, ad es. la tensione T0 del tratto verticale destro alla sua estremità inferiore, in prossimità del pavimento, ad un'altezza y = 0, è uguale a zero (T0 = 0), quindi Th è uguale alla differenza tra il peso Pright del tratto destro e il peso Pleft della sezione verticale sinistra della catena: Th = Pright - Pleft.