Definizione. Qualsiasi linea retta sul piano può essere specificata da un'equazione del primo ordine

Ascia + Wu + C = 0,

Inoltre le costanti A e B non sono uguali a zero allo stesso tempo. Questa equazione del primo ordine si chiama equazione generale della retta. A seconda dei valori delle costanti A, B e C, sono possibili i seguenti casi particolari:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – la retta passa per l'origine

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - retta parallela all'asse del Bue

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – retta parallela all'asse Oy

B = C = 0, A ≠0 – la retta coincide con l'asse Oy

A = C = 0, B ≠0 – la retta coincide con l'asse del Bue

L'equazione di una retta può essere presentata in forme diverse a seconda delle condizioni iniziali date.

Equazione di una retta partente da un punto e vettore normale

Definizione. Nel sistema di coordinate cartesiane cartesiane, un vettore con componenti (A, B) è perpendicolare alla retta data dall'equazione Ax + By + C = 0.

Esempio. Trova l'equazione della retta passante per il punto A(1, 2) perpendicolare a (3, -1).

Soluzione. Con A = 3 e B = -1, componiamo l'equazione della retta: 3x – y + C = 0. Per trovare il coefficiente C, sostituiamo le coordinate del punto dato A nell'espressione risultante. 3 – 2 + C = 0, quindi C = -1 . Totale: l'equazione richiesta: 3x – y – 1 = 0.

Equazione di una retta passante per due punti

Siano dati nello spazio due punti M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), quindi l'equazione della retta passante per questi punti è:

Se uno qualsiasi dei denominatori è uguale a zero, il numeratore corrispondente deve essere posto uguale a zero. Su un piano, l'equazione della retta scritta sopra è semplificata:

se x 1 ≠ x 2 e x = x 1, se x 1 = x 2.

Si chiama la frazione = k pendenza Dritto.

Esempio. Trova l'equazione della retta passante per i punti A(1, 2) e B(3, 4).

Soluzione. Applicando la formula scritta sopra, otteniamo:

Equazione di una retta partente da un punto e pendenza

Se il totale Ax + Bu + C = 0, porta alla forma:

e designare , allora viene chiamata l'equazione risultante Equazione di una retta inclinataK.

Equazione di una retta formata da un punto e da un vettore direzione

Per analogia con il punto, considerando l'equazione di una retta passante per un vettore normale, si può introdurre la definizione di retta passante per un punto e di vettore direttivo della retta.

Definizione. Ogni vettore diverso da zero (α 1, α 2), le cui componenti soddisfano la condizione A α 1 + B α 2 = 0 è chiamato vettore direttore della retta

Ascia + Wu + C = 0.

Esempio. Trova l'equazione di una retta con vettore direzione (1, -1) e passante per il punto A(1, 2).

Soluzione. Cercheremo l'equazione della linea desiderata nella forma: Ax + By + C = 0. Secondo la definizione, i coefficienti devono soddisfare le condizioni:

1 * A + (-1) * B = 0, cioè A = B.

Allora l'equazione della retta ha la forma: Ax + Ay + C = 0, ovvero x + y + C / A = 0. per x = 1, y = 2 otteniamo C/ A = -3, cioè equazione richiesta:

Equazione di una retta in segmenti

Se nell'equazione generale della retta Ах + Ву + С = 0 С≠0, allora, dividendo per –С, otteniamo: O

Il significato geometrico dei coefficienti è quello del coefficiente UNè la coordinata del punto di intersezione della linea con l'asse del Bue, e B– la coordinata del punto di intersezione della retta con l'asse Oy.

Esempio. Viene data l'equazione generale della linea x – y + 1 = 0. Trova l'equazione di questa linea in segmenti.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Equazione normale di una retta

Se entrambi i lati dell'equazione Ax + By + C = 0 vengono moltiplicati per il numero che è chiamato fattore normalizzante, allora otteniamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

equazione normale di una retta. Il segno ± del fattore di normalizzazione deve essere scelto in modo che μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Esempio. Viene data l'equazione generale della linea 12x – 5y – 65 = 0. È necessario scrivere vari tipi di equazioni per questa linea.

equazione di questa linea in segmenti:

equazione di questa linea con pendenza: (dividi per 5)

; cosφ = 12/13; peccato φ= -5/13; p = 5.

Va notato che non tutte le rette possono essere rappresentate da un'equazione in segmenti, ad esempio, rette parallele agli assi o passanti per l'origine delle coordinate.

Esempio. La linea retta taglia segmenti positivi uguali sugli assi delle coordinate. Scrivi un'equazione di una linea retta se l'area del triangolo formato da questi segmenti è 8 cm 2.

Soluzione. L'equazione della retta ha la forma: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Esempio. Scrivi un'equazione per una retta passante per il punto A(-2, -3) e l'origine.

Soluzione. L'equazione della retta è: , dove x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Angolo tra rette su un piano

Definizione. Se due linee sono date y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, allora l'angolo acuto tra queste linee sarà definito come

.

Due rette sono parallele se k 1 = k 2. Due rette sono perpendicolari se k 1 = -1/ k 2.

Teorema. Le rette Ax + Bу + C = 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sono parallele quando i coefficienti A 1 = λA, B 1 = λB sono proporzionali. Se anche C 1 = λC, allora le rette coincidono. Le coordinate del punto di intersezione di due linee si trovano come soluzione al sistema di equazioni di queste linee.

Equazione di una retta passante per un punto dato e perpendicolare ad una retta data

Definizione. Una retta passante per il punto M 1 (x 1, y 1) e perpendicolare alla retta y = kx + b è rappresentata dall'equazione:

Distanza dal punto alla linea

Teorema. Se viene fornito un punto M(x 0, y 0), la distanza dalla linea Ax + Bу + C = 0 è determinata come

.

Prova. Sia il punto M 1 (x 1, y 1) la base della perpendicolare caduta dal punto M ad una data retta. Quindi la distanza tra i punti M e M 1:

(1)

Le coordinate x 1 e y 1 possono essere trovate risolvendo il sistema di equazioni:

La seconda equazione del sistema è l'equazione di una retta passante per un dato punto M 0 perpendicolare ad una data retta. Se trasformiamo la prima equazione del sistema nella forma:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Per 0 + C = 0,

quindi, risolvendo, otteniamo:

Sostituendo queste espressioni nell'equazione (1), troviamo:

Il teorema è stato dimostrato.

Esempio. Determina l'angolo tra le linee: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Esempio. Mostra che le rette 3x – 5y + 7 = 0 e 10x + 6y – 3 = 0 sono perpendicolari.

Soluzione. Troviamo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, quindi le linee sono perpendicolari.

Esempio. Dati i vertici del triangolo A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Trova l'equazione dell'altezza ricavata dal vertice C.

Soluzione. Troviamo l'equazione del lato AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

L'equazione dell'altezza richiesta ha la forma: Ax + By + C = 0 oppure y = kx + b. k = . Allora y = . Perché l'altezza passa per il punto C, quindi le sue coordinate soddisfano questa equazione: da dove b = 17. Totale: .

Risposta: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Equazione generale della retta:

Casi particolari dell'equazione generale di una retta:

e se C= 0, l'equazione (2) avrà la forma

Ascia + Di = 0,

e la retta definita da questa equazione passa per l'origine, poiché le coordinate dell'origine sono X = 0, sì= 0 soddisfa questa equazione.

b) Se nell'equazione generale della retta (2) B= 0, allora l'equazione assume la forma

Ascia + CON= 0, o .

L'equazione non contiene una variabile sì, e la linea retta definita da questa equazione è parallela all'asse Ehi.

c) Se nell'equazione generale della retta (2) UN= 0, allora questa equazione assumerà la forma

Di + CON= 0, o ;

l'equazione non contiene una variabile X, e la linea retta che definisce è parallela all'asse Bue.

Va ricordato: se una linea retta è parallela a un asse di coordinate, nella sua equazione non esiste un termine contenente una coordinata con lo stesso nome di questo asse.

d) Quando C= 0 e UN= 0 l'equazione (2) assume la forma Di= 0, o sì = 0.

Questa è l'equazione dell'asse Bue.

d) Quando C= 0 e B= 0 l'equazione (2) verrà scritta nella forma Ascia= 0 o X = 0.

Questa è l'equazione dell'asse Ehi.

La posizione relativa delle linee su un piano. L'angolo tra le rette su un piano. Condizione per rette parallele. Condizione di perpendicolarità delle rette.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 I vettori S 1 e S 2 sono chiamati guide per le loro linee.

L'angolo tra le rette l 1 e l 2 è determinato dall'angolo tra i vettori di direzione.
Teorema 1: cos dell'angolo compreso tra l 1 e l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

Teorema 2: Affinché 2 linee siano uguali è necessario e sufficiente:

Teorema 3: Affinché 2 rette siano perpendicolari è necessario e sufficiente:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Equazione generale del piano e suoi casi particolari. Equazione di un piano in segmenti.

Equazione del piano generale:

Ax + By + Cz + D = 0

Casi speciali:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – il piano passa per l'origine

2. С=0 Ax+By+D = 0 – piano || OZ

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – piano || OH

4. A=0 By+Cz+D = 0 – piano || BUE

5. A=0 e D=0 By+Cz = 0 – l'aereo passa per OX

6. B=0 e D=0 Ax+Cz = 0 – l'aereo passa per OY

7. C=0 e D=0 Ax+By = 0 – l'aereo passa attraverso OZ

La posizione relativa dei piani e delle linee rette nello spazio:

1. L'angolo tra le linee rette nello spazio è l'angolo tra i loro vettori di direzione.

Cos(l1; l2) = cos(S1; S2) = =

2. L'angolo tra i piani è determinato attraverso l'angolo tra i loro vettori normali.

Cos(l1; l2) = cos(N1; N2) = =

3. Il coseno dell'angolo tra la linea e il piano può essere trovato attraverso il peccato dell'angolo tra il vettore direzione della linea e il vettore normale del piano.

4. 2 dritto || nello spazio quando il loro || guide vettoriali

5. 2 aerei || quando || vettori normali

6. In modo simile vengono introdotti i concetti di perpendicolarità delle rette e dei piani.

Domanda n. 14

Vari tipi di equazione di una retta su un piano (equazione di una retta in segmenti, con coefficiente angolare, ecc.)

Equazione di una retta in segmenti:
Supponiamo che nell'equazione generale della retta:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 – la retta passa per l'origine.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

Equazione di una retta inclinata:

Qualsiasi linea retta che non sia uguale all'asse dell'amplificatore operazionale (B not = 0) può essere scritta nella riga successiva. modulo:

k = tanα α – angolo tra la retta e la linea diretta positivamente OX

b – punto di intersezione della linea retta con l'asse dell'amplificatore operazionale

Documento:

Ascia+Per+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

Equazione di una retta basata su due punti:

Domanda n. 16

Limite finito di una funzione in un punto e per x→∞

Limite finale a x0:

Il numero A è detto limite della funzione y = f(x) per x→x 0 se per ogni E > 0 esiste b > 0 tale che per x ≠x 0 soddisfa la disuguaglianza |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Il limite è indicato da: = A

Limite finale al punto +∞:

Il numero A è chiamato limite della funzione y = f(x) in x → + ∞ , se per ogni E > 0 esiste C > 0 tale che per x > C la disuguaglianza |f(x) - A|< Е

Il limite è indicato da: = A

Limite finale nel punto -∞:

Il numero A è chiamato limite della funzione y = f(x) for x→-∞, se per qualsiasi E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Equazione di una retta su un piano.
Il vettore direzione è rettilineo. Vettore normale

Una linea retta su un piano è una delle figure geometriche più semplici, familiare fin dalla scuola elementare, e oggi impareremo come affrontarla utilizzando i metodi della geometria analitica. Per padroneggiare il materiale, devi essere in grado di costruire una linea retta; sapere quale equazione definisce una retta, in particolare una retta passante per l'origine delle coordinate e le rette parallele agli assi delle coordinate. Queste informazioni possono essere trovate nel manuale Grafici e proprietà delle funzioni elementari, l'ho creato per Matan, ma la sezione riguardante la funzione lineare si è rivelata molto riuscita e dettagliata. Perciò, care teiere, riscaldatevi prima lì. Inoltre, è necessario avere conoscenze di base su vettori, altrimenti la comprensione del materiale sarà incompleta.

In questa lezione vedremo come creare l'equazione di una linea retta su un piano. Raccomando di non trascurare gli esempi pratici (anche se sembrano molto semplici), poiché fornirò loro fatti e tecniche elementari e importanti che saranno richiesti in futuro, anche in altre sezioni della matematica superiore.

• Come scrivere l'equazione di una retta con un coefficiente angolare?
• Come ?
• Come trovare un vettore direzione utilizzando l'equazione generale di una linea retta?
• Come scrivere l'equazione di una retta dati un punto e un vettore normale?

e cominciamo:

Equazione di una retta inclinata

Viene chiamata la ben nota forma “scolastica” di un’equazione a linea retta Equazione di una retta inclinata. Ad esempio, se l'equazione fornisce una linea retta, la sua pendenza è: . Consideriamo il significato geometrico di questo coefficiente e come il suo valore influisce sulla posizione della linea:

In un corso di geometria lo si dimostra la pendenza della retta è uguale a tangente dell'angolo tra la direzione positiva dell'assee questa linea: , e l'angolo “svita” in senso antiorario.

Per non ingombrare il disegno, ho disegnato gli angoli solo per due linee rette. Consideriamo la linea “rossa” e la sua pendenza. Secondo quanto sopra: (l'angolo “alfa” è indicato da un arco verde). Per la retta “blu” con il coefficiente angolare l'uguaglianza è vera (l'angolo “beta” è indicato da un arco marrone). E se la tangente dell'angolo è nota, se necessario è facile da trovare e l'angolo stesso utilizzando la funzione inversa - arcotangente. Come si suol dire, una tabella trigonometrica o una microcalcolatrice tra le mani. Così, il coefficiente angolare caratterizza il grado di inclinazione della retta rispetto all'asse delle ascisse.

Sono possibili i seguenti casi:

1) Se la pendenza è negativa: allora la retta, grosso modo, va dall'alto verso il basso. Esempi sono le linee rette “blu” e “lampone” nel disegno.

2) Se la pendenza è positiva: , la linea va dal basso verso l'alto. Esempi: linee rette “nere” e “rosse” nel disegno.

3) Se la pendenza è zero: , allora l'equazione assume la forma , e la retta corrispondente è parallela all'asse. Un esempio è la linea retta “gialla”.

4) Per una famiglia di rette parallele ad un asse (nel disegno non c'è nessun esempio, tranne l'asse stesso), il coefficiente angolare non esiste (la tangente di 90 gradi non è definita).

Maggiore è il coefficiente di pendenza in valore assoluto, più ripido sarà il grafico a linee..

Consideriamo ad esempio due linee rette. Qui quindi la retta ha una pendenza maggiore. Ti ricordo che il modulo ti permette di ignorare il segno, a noi interessa solo valori assoluti coefficienti angolari.

A sua volta, una linea retta è più ripida delle linee rette .

Viceversa: minore è il coefficiente di pendenza in valore assoluto, più piatta è la retta.

Per linee rette la disuguaglianza è vera, quindi la retta è più piatta. Scivolo per bambini, per non procurarsi lividi e urti.

Perché è necessario?

Prolunga il tuo tormento La conoscenza dei fatti di cui sopra ti consente di vedere immediatamente i tuoi errori, in particolare gli errori durante la costruzione dei grafici, se il disegno risulta essere "ovviamente qualcosa di sbagliato". È consigliabile che tu subito era chiaro che, ad esempio, la linea retta è molto ripida e va dal basso verso l'alto, e la linea retta è molto piatta, premuta vicino all'asse e va dall'alto verso il basso.

Nei problemi geometrici compaiono spesso diverse linee rette, quindi è conveniente designarle in qualche modo.

Designazioni: le linee rette sono indicate in lettere latine minuscole: . Un'opzione popolare è designarli utilizzando la stessa lettera con pedici naturali. Ad esempio, le cinque righe che abbiamo appena visto possono essere indicate con .

Poiché ogni retta è determinata univocamente da due punti, può essere denotata da questi punti: eccetera. La designazione implica chiaramente che i punti appartengono alla linea.

È ora di riscaldarsi un po':

Come scrivere l'equazione di una retta con un coefficiente angolare?

Se si conosce il punto appartenente a una determinata linea e il coefficiente angolare di questa linea, l'equazione di questa linea è espressa dalla formula:

Esempio 1

Scrivi un'equazione di una retta con coefficiente angolare se è noto che il punto appartiene a questa retta.

Soluzione: Componiamo l'equazione della retta utilizzando la formula . In questo caso:

Risposta:

Visita medicaè fatto semplicemente. Innanzitutto, esaminiamo l'equazione risultante e ci assicuriamo che la nostra pendenza sia a posto. In secondo luogo, le coordinate del punto devono soddisfare questa equazione. Inseriamoli nell'equazione:

Si ottiene l'uguaglianza corretta, il che significa che il punto soddisfa l'equazione risultante.

Conclusione: L'equazione è stata trovata correttamente.

Un esempio più complicato da risolvere da solo:

Esempio 2

Scrivi un'equazione per una linea retta se è noto che il suo angolo di inclinazione rispetto alla direzione positiva dell'asse è , e il punto appartiene a questa linea retta.

In caso di difficoltà, rileggere il materiale teorico. Più precisamente, più pratico, tralascio molte prove.

L'ultima campana è suonata, la cerimonia di laurea è terminata e fuori dai cancelli della nostra scuola natale ci aspetta la stessa geometria analitica. Gli scherzi sono finiti... O forse sono appena iniziati =)

Con nostalgia agitiamo la penna verso ciò che ci è familiare e conosciamo l'equazione generale della linea retta. Perché in geometria analitica questo è esattamente ciò che viene utilizzato:

L'equazione generale di una retta ha la forma: , dove sono alcuni numeri. Allo stesso tempo, i coefficienti contemporaneamente non sono uguali a zero, poiché l'equazione perde il suo significato.

Mettiamoci un abito e leghiamo l'equazione con il coefficiente di pendenza. Per prima cosa spostiamo tutti i termini sul lato sinistro:

Il termine con “X” deve essere messo al primo posto:

In linea di principio l'equazione ha già la forma , ma secondo le regole dell'etichetta matematica, il coefficiente del primo termine (in questo caso) deve essere positivo. Cambiare i segni:

Ricorda questa caratteristica tecnica! Rendiamo positivo il primo coefficiente (molto spesso)!

Nella geometria analitica l'equazione di una retta sarà quasi sempre data in forma generale. Ebbene, se necessario, si può facilmente ridurre alla forma “scolastica” con coefficiente angolare (ad eccezione delle rette parallele all'asse delle ordinate).

Chiediamoci cosa Abbastanza sai costruire una linea retta? Due punti. Ma per quanto riguarda questo incidente infantile, ora si attacca alla regola delle frecce. Ogni linea retta ha una pendenza ben specifica, alla quale è facile “adattarsi”. vettore.

Un vettore parallelo ad una retta si chiama vettore direzione di quella retta. È ovvio che qualsiasi linea retta ha infiniti vettori di direzione e tutti saranno collineari (codirezionali o meno, non importa).

Indicherò il vettore direzione come segue: .

Ma per costruire una retta non basta un vettore; il vettore è libero e non è legato ad alcun punto del piano. Pertanto, è inoltre necessario conoscere qualche punto che appartiene alla linea.

Come scrivere l'equazione di una retta utilizzando un punto e un vettore direzione?

Se si conosce un certo punto appartenente a una linea e il vettore di direzione di questa linea, l'equazione di questa linea può essere compilata utilizzando la formula:

A volte viene chiamato Equazione canonica della retta .

Cosa fare quando una delle coordinateè uguale a zero, lo capiremo negli esempi pratici riportati di seguito. A proposito, tieni presente: entrambi contemporaneamente le coordinate non possono essere uguali a zero, poiché il vettore zero non specifica una direzione specifica.

Esempio 3

Scrivi un'equazione per una retta utilizzando un punto e un vettore direzione

Soluzione: Componiamo l'equazione di una linea retta utilizzando la formula. In questo caso:

Utilizzando le proprietà delle proporzioni eliminiamo le frazioni:

E portiamo l’equazione alla sua forma generale:

Risposta:

Di norma, in tali esempi non è necessario fare un disegno, ma per motivi di comprensione:

Nel disegno vediamo il punto iniziale, il vettore direzione originale (può essere tracciato da qualsiasi punto del piano) e la retta costruita. A proposito, in molti casi è più conveniente costruire una linea retta utilizzando un'equazione con un coefficiente angolare. È facile convertire la nostra equazione in forma e selezionare facilmente un altro punto per costruire una linea retta.

Come notato all'inizio del paragrafo, una linea retta ha infiniti vettori di direzione e tutti sono collineari. Ad esempio, ho disegnato tre di questi vettori: . Qualunque sia il vettore di direzione che scegliamo, il risultato sarà sempre la stessa equazione della linea retta.

Creiamo l'equazione di una retta utilizzando un punto e un vettore direzione:

Risolvere la proporzione:

Dividi entrambi i membri per –2 e ottieni l'equazione familiare:

Chi è interessato può testare i vettori allo stesso modo o qualsiasi altro vettore collineare.

Ora risolviamo il problema inverso:

Come trovare un vettore direzione utilizzando l'equazione generale di una linea retta?

Molto semplice:

Se una linea è data da un'equazione generale in un sistema di coordinate rettangolari, allora il vettore è il vettore di direzione di questa linea.

Esempi di ricerca dei vettori di direzione di linee rette:

L’affermazione ci permette di trovare solo un vettore di direzione tra un numero infinito, ma non ne abbiamo bisogno di altri. Sebbene in alcuni casi sia consigliabile ridurre le coordinate dei vettori di direzione:

Pertanto, l'equazione specifica una retta parallela all'asse e le coordinate del vettore di direzione risultante vengono opportunamente divise per –2, ottenendo esattamente il vettore base come vettore di direzione. Logico.

Allo stesso modo, l'equazione specifica una linea retta parallela all'asse e dividendo le coordinate del vettore per 5, otteniamo il vettore unitario come vettore di direzione.

Ora facciamolo controllando l'Esempio 3. L'esempio è andato avanti, quindi ti ricordo che in esso abbiamo compilato l'equazione di una retta utilizzando un punto e un vettore direzione

Innanzitutto, utilizzando l'equazione della retta ricostruiamo il suo vettore direzione: – va tutto bene, abbiamo ricevuto il vettore originale (in alcuni casi il risultato può essere un vettore collineare a quello originale, e questo di solito è facile da notare dalla proporzionalità delle coordinate corrispondenti).

In secondo luogo, le coordinate del punto devono soddisfare l'equazione. Li sostituiamo nell'equazione:

È stata ottenuta la corretta uguaglianza, di cui siamo molto contenti.

Conclusione: L'attività è stata completata correttamente.

Esempio 4

Scrivi un'equazione per una retta utilizzando un punto e un vettore direzione

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. La soluzione e la risposta sono alla fine della lezione. È altamente consigliabile effettuare la verifica utilizzando l'algoritmo appena discusso. Cerca di controllare sempre (se possibile) una bozza. È stupido commettere errori laddove possono essere evitati al 100%.

Nel caso in cui una delle coordinate del vettore direzione sia zero, procedere in modo molto semplice:

Esempio 5

Soluzione: La formula non è adatta poiché il denominatore a destra è zero. C'è un'uscita! Usando le proprietà delle proporzioni, riscriviamo la formula nella forma e il resto rotola lungo un solco profondo:

Risposta:

Visita medica:

1) Ripristinare il vettore direttivo della retta:
– il vettore risultante è collineare al vettore di direzione originale.

2) Sostituisci le coordinate del punto nell'equazione:

Si ottiene l'uguaglianza corretta

Conclusione: attività completata correttamente

Sorge la domanda: perché preoccuparsi della formula se esiste una versione universale che funzionerà in ogni caso? Ci sono due ragioni. Innanzitutto, la formula è sotto forma di frazione ricordato molto meglio. E in secondo luogo, lo svantaggio della formula universale è questo il rischio di confondersi aumenta notevolmente quando si sostituiscono le coordinate.

Esempio 6

Scrivi un'equazione per una retta utilizzando un punto e un vettore direzione.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo.

Torniamo agli onnipresenti due punti:

Come scrivere l'equazione di una retta utilizzando due punti?

Se si conoscono due punti, l'equazione di una retta passante per questi punti può essere compilata utilizzando la formula:

In realtà questa è una specie di formula ed ecco perché: se si conoscono due punti, il vettore sarà il vettore di direzione della linea data. Alla lezione Vettori per manichini abbiamo considerato il problema più semplice: come trovare le coordinate di un vettore da due punti. Secondo questo problema, le coordinate del vettore direzione sono:

Nota : i punti possono essere “scambiati” e la formula può essere utilizzata . Tale soluzione sarà equivalente.

Esempio 7

Scrivi l'equazione di una retta utilizzando due punti .

Soluzione: Utilizziamo la formula:

Combinando i denominatori:

E mischia il mazzo:

Ora è il momento di sbarazzarsi dei numeri frazionari. In questo caso, devi moltiplicare entrambi i membri per 6:

Apri le parentesi e ricorda l'equazione:

Risposta:

Visita medicaè ovvio: le coordinate dei punti iniziali devono soddisfare l'equazione risultante:

1) Sostituisci le coordinate del punto:

Vera uguaglianza.

2) Sostituisci le coordinate del punto:

Vera uguaglianza.

Conclusione: L'equazione della retta è scritta correttamente.

Se almeno una dei punti non soddisfa l'equazione, cercare un errore.

Vale la pena notare che la verifica grafica in questo caso è difficile, poiché costruisci una linea retta e vedi se i punti appartengono ad essa , non così semplice.

Noterò un altro paio di aspetti tecnici della soluzione. Forse in questo problema è più vantaggioso utilizzare la formula dello specchio e, negli stessi punti fai un'equazione:

Meno frazioni. Se vuoi, puoi portare a termine la soluzione fino alla fine, il risultato dovrebbe essere la stessa equazione.

Il secondo punto è guardare la risposta finale e capire se può essere ulteriormente semplificata. Ad esempio, se ottieni l'equazione , allora è consigliabile ridurla di due: – l'equazione definirà la stessa retta. Tuttavia, questo è già argomento di conversazione posizione relativa delle linee.

Avendo ricevuto la risposta nell'esempio 7, per ogni evenienza, ho controllato se TUTTI i coefficienti dell'equazione sono divisibili per 2, 3 o 7. Tuttavia, molto spesso tali riduzioni vengono apportate durante la soluzione.

Esempio 8

Scrivi l'equazione della retta passante per i punti .

Questo è un esempio di soluzione indipendente, che ti consentirà di comprendere e praticare meglio le tecniche di calcolo.

Simile al paragrafo precedente: se nella formula uno dei denominatori (la coordinata del vettore direzione) diventa zero, quindi lo riscriviamo nella forma . Ancora una volta, nota quanto sembra goffa e confusa. Non vedo molto senso fornire esempi pratici, poiché di fatto abbiamo già risolto questo problema (vedi n. 5, 6).

Vettore normale diretto (vettore normale)

Cos'è normale? In parole semplici, una normale è una perpendicolare. Cioè, il vettore normale di una linea è perpendicolare ad una data linea. Ovviamente, qualsiasi retta ne ha un numero infinito (così come i vettori di direzione), e tutti i vettori normali della retta saranno collineari (codirezionali o meno, non fa differenza).

Gestirli sarà ancora più semplice che con i vettori guida:

Se una linea è data da un'equazione generale in un sistema di coordinate rettangolari, allora il vettore è il vettore normale di questa linea.

Se le coordinate del vettore di direzione devono essere attentamente “estratte” dall'equazione, allora le coordinate del vettore normale possono essere semplicemente “rimosse”.

Il vettore normale è sempre ortogonale al vettore direzione della retta. Verifichiamo l'ortogonalità di questi vettori utilizzando prodotto scalare:

Fornirò esempi con le stesse equazioni del vettore direzione:

È possibile costruire l'equazione di una retta dati un punto e un vettore normale? Lo sento nello stomaco, è possibile. Se si conosce il vettore normale, la direzione della linea retta stessa è chiaramente definita: questa è una "struttura rigida" con un angolo di 90 gradi.

Come scrivere l'equazione di una retta dati un punto e un vettore normale?

Se si conoscono un certo punto appartenente a una linea e il vettore normale di questa linea, l'equazione di questa linea è espressa dalla formula:

Qui tutto ha funzionato senza frazioni e altre sorprese. Questo è il nostro vettore normale. Lo amo. E rispetto =)

Esempio 9

Scrivi l'equazione di una retta dati un punto e un vettore normale. Trova il vettore direzione della retta.

Soluzione: Utilizziamo la formula:

Ottenuta l’equazione generale della retta, controlliamo:

1) “Rimuovi” le coordinate del vettore normale dall'equazione: – sì, in effetti, dalla condizione è stato ottenuto il vettore originale (o si dovrebbe ottenere un vettore collineare).

2) Controlliamo se il punto soddisfa l'equazione:

Vera uguaglianza.

Dopo che saremo convinti che l'equazione sia composta correttamente, completeremo la seconda parte, più semplice, dell'attività. Tiriamo fuori il vettore direttivo della retta:

Risposta:

Nel disegno la situazione è questa:

A fini di formazione, un compito simile da risolvere in modo indipendente:

Esempio 10

Scrivi l'equazione di una retta dati un punto e un vettore normale. Trova il vettore direzione della retta.

La sezione finale della lezione sarà dedicata ai tipi di equazioni di una retta su un piano meno comuni, ma anche importanti

Equazione di una retta in segmenti.
Equazione di una retta in forma parametrica

L'equazione di una retta in segmenti ha la forma , dove sono costanti diverse da zero. Alcuni tipi di equazioni non possono essere rappresentati in questa forma, ad esempio la proporzionalità diretta (poiché il termine libero è uguale a zero e non è possibile ottenerne uno a destra).

Si tratta, in senso figurato, di un’equazione di tipo “tecnico”. Un compito comune è rappresentare l'equazione generale di una linea come un'equazione di una linea in segmenti. Com'è conveniente? L'equazione di una linea in segmenti consente di trovare rapidamente i punti di intersezione di una linea con assi coordinati, cosa che può essere molto importante in alcuni problemi di matematica superiore.

Troviamo il punto di intersezione della linea con l'asse. Ripristiniamo la "y" a zero e l'equazione assume la forma. Il punto desiderato si ottiene automaticamente: .

Lo stesso con l'asse – il punto in cui la retta interseca l'asse delle ordinate.

In questo articolo considereremo l'equazione generale di una retta su un piano. Diamo esempi di costruzione di un'equazione generale di una linea se sono noti due punti di questa linea o se sono noti un punto e il vettore normale di questa linea. Presentiamo metodi per trasformare un'equazione in forma generale in forme canoniche e parametriche.

Sia dato un sistema arbitrario di coordinate cartesiane rettangolari Ossi. Consideriamo un'equazione di primo grado o lineare:

Dove A, B, C− alcune costanti e almeno uno degli elementi UN E B diverso da zero.

Mostreremo che un'equazione lineare su un piano definisce una retta. Dimostriamo il seguente teorema.

Teorema 1. In un sistema arbitrario di coordinate cartesiane rettangolari su un piano, ciascuna linea retta può essere specificata da un'equazione lineare. Al contrario, ciascuna equazione lineare (1) in un sistema arbitrario di coordinate cartesiane rettangolari su un piano definisce una linea retta.

Prova. È sufficiente dimostrare che la retta lè determinato da un'equazione lineare per qualsiasi sistema di coordinate cartesiane rettangolari, da allora sarà determinato da un'equazione lineare per qualsiasi scelta di sistema di coordinate cartesiane rettangolari.

Sia data una linea retta sul piano l. Scegliamo un sistema di coordinate in modo che l'asse Bue coincideva con una linea retta l e l'asse Ehi era perpendicolare ad esso. Quindi l'equazione della retta l assumerà la seguente forma:

Tutti i punti su una linea l soddisferà l'equazione lineare (2) e tutti i punti al di fuori di questa linea non soddisferanno l'equazione (2). La prima parte del teorema è stata dimostrata.

Sia dato un sistema di coordinate cartesiane rettangolari e sia data un'equazione lineare (1), dove almeno uno degli elementi UN E B diverso da zero. Troviamo il luogo geometrico dei punti le cui coordinate soddisfano l'equazione (1). Poiché almeno uno dei coefficienti UN E Bè diverso da zero, allora l'equazione (1) ha almeno una soluzione M(X 0 ,sì 0). (Ad esempio, quando UN≠0, punto M 0 (−CIRCA, 0) appartiene al luogo geometrico dei punti dato). Sostituendo queste coordinate nella (1) otteniamo l'identità

Sottraiamo l'identità (3) da (1):

Ovviamente, l'equazione (4) è equivalente all'equazione (1). Basta quindi dimostrare che (4) definisce una certa retta.

Poiché stiamo considerando un sistema di coordinate cartesiane rettangolari, dall'uguaglianza (4) segue che il vettore con componenti ( x−x 0 , y−y 0 ) ortogonale al vettore N con coordinate ( A,B}.

Consideriamo una linea retta l, passando per il punto M 0 (X 0 , sì 0) e perpendicolare al vettore N(Fig. 1). Lasciamo il punto M(X,y) appartiene alla linea l. Quindi il vettore con le coordinate x−x 0 , y−y 0 perpendicolare N e l'equazione (4) è soddisfatta (prodotto scalare di vettori N e uguale a zero). Viceversa, se punto M(X,y) non giace su una linea l, quindi il vettore con le coordinate x−x 0 , y−y 0 non è ortogonale al vettore N e l'equazione (4) non è soddisfatta. Il teorema è stato dimostrato.

Prova. Poiché le linee (5) e (6) definiscono la stessa linea, allora i vettori normali N 1 ={UN 1 ,B 1) e N 2 ={UN 2 ,B 2) collineare. Poiché i vettori N 1 ≠0, N 2 ≠0, allora esiste un tale numero λ , Che cosa N 2 =N 1 λ . Da qui abbiamo: UN 2 =UN 1 λ , B 2 =B 1 λ . Dimostriamolo C 2 =C 1 λ . Ovviamente, le linee coincidenti hanno un punto comune M 0 (X 0 , sì 0). Moltiplicando l'equazione (5) per λ e sottraendo da essa l’equazione (6) si ottiene:

Poiché le prime due uguaglianze delle espressioni (7) sono soddisfatte, allora C 1 λ −C 2 = 0. Quelli. C 2 =C 1 λ . L'osservazione è stata dimostrata.

Si noti che l'equazione (4) definisce l'equazione della retta passante per il punto M 0 (X 0 , sì 0) e avente un vettore normale N={A,B). Pertanto, se si conoscono il vettore normale di una linea e il punto appartenente a questa linea, l'equazione generale della linea può essere costruita utilizzando l'equazione (4).

Esempio 1. Una linea retta passa per un punto M=(4,−1) e ha un vettore normale N=(3, 5). Costruisci l'equazione generale di una retta.

Soluzione. Abbiamo: X 0 =4, sì 0 =−1, UN=3, B=5. Per costruire l'equazione generale di una retta, sostituiamo questi valori nell'equazione (4):

Risposta:

Il vettore è parallelo alla retta l e, quindi, perpendicolare al vettore normale della retta l. Costruiamo un vettore linea normale l, tenendo conto che il prodotto scalare dei vettori N e uguale a zero. Possiamo scrivere, ad esempio, N={1,−3}.

Per costruire l'equazione generale di una retta, usiamo la formula (4). Sostituiamo le coordinate del punto nella (4) M 1 (possiamo prendere anche le coordinate del punto M 2) e vettore normale N:

Sostituendo le coordinate dei punti M 1 e M 2 nella (9) possiamo assicurarci che per questi punti passa la retta data dall'equazione (9).

Risposta:

Sottrarre (10) da (1):

Abbiamo ottenuto l'equazione canonica della retta. Vettore Q={−B, UN) è il vettore direzione della linea (12).

Vedi conversione inversa.

Esempio 3. Una linea retta su un piano è rappresentata dalla seguente equazione generale:

Spostiamo il secondo termine a destra e dividiamo entrambi i membri dell'equazione per 2·5.

In questo articolo continuiamo l'argomento dell'equazione di una retta su un piano: considereremo questo tipo di equazione come l'equazione generale di una retta. Definiamo il teorema e diamo la sua dimostrazione; Scopriamo cos'è un'equazione generale incompleta di una linea e come effettuare le transizioni da un'equazione generale ad altri tipi di equazioni di una linea. Rafforzeremo l'intera teoria con illustrazioni e soluzioni a problemi pratici.

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Sia specificato un sistema di coordinate rettangolari O x y sul piano.

Teorema 1

Qualsiasi equazione di primo grado, avente la forma A x + B y + C = 0, dove A, B, C sono alcuni numeri reali (A e B non sono uguali a zero allo stesso tempo), definisce una retta in un sistema di coordinate rettangolari su un piano. A sua volta, qualsiasi linea retta in un sistema di coordinate rettangolari su un piano è determinata da un'equazione che ha la forma A x + B y + C = 0 per un determinato insieme di valori A, B, C.

Prova

Questo teorema consiste di due punti; dimostreremo ciascuno di essi.

1. Dimostriamo che l'equazione A x + B y + C = 0 definisce una retta sul piano.

Sia un punto M 0 (x 0 , y 0) le cui coordinate corrispondono all'equazione A x + B y + C = 0. Quindi: A x 0 + B y 0 + C = 0. Sottraiamo dai lati sinistro e destro delle equazioni A x + B y + C = 0 i lati sinistro e destro dell'equazione A x 0 + B y 0 + C = 0, otteniamo una nuova equazione che assomiglia a A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . È equivalente a A x + B y + C = 0.

L'equazione risultante A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 è una condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità dei vettori n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ). Pertanto, l'insieme dei punti M (x, y) definisce una retta in un sistema di coordinate rettangolari perpendicolare alla direzione del vettore n → = (A, B). Possiamo supporre che non sia così, ma allora i vettori n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) non sarebbero perpendicolari e l'uguaglianza A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 non sarebbe vero.

Di conseguenza, l'equazione A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 definisce una certa linea in un sistema di coordinate rettangolari sul piano, e quindi l'equazione equivalente A x + B y + C = 0 definisce l'equazione stessa linea. In questo modo abbiamo dimostrato la prima parte del teorema.

1. Dimostriamo che qualsiasi retta in un sistema di coordinate rettangolari su un piano può essere specificata da un'equazione di primo grado A x + B y + C = 0.

Definiamo una retta a in un sistema di coordinate rettangolari su un piano; il punto M 0 (x 0 , y 0) attraverso il quale passa questa linea, nonché il vettore normale di questa linea n → = (A, B) .

Lascia che ci sia anche un punto M (x, y) - un punto mobile su una linea. In questo caso, i vettori n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) sono perpendicolari tra loro e il loro prodotto scalare è zero:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Riscriviamo l'equazione A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definiamo C: C = - A x 0 - B y 0 e come risultato finale otteniamo l'equazione A x + B y + C = 0.

Quindi abbiamo dimostrato la seconda parte del teorema e l'intero teorema nel suo insieme.

Definizione 1

Un'equazione della forma A x + B y + C = 0 - Questo equazione generale di una retta su un piano in un sistema di coordinate rettangolariOssi.

Sulla base del teorema dimostrato, possiamo concludere che una retta e la sua equazione generale definita su un piano in un sistema di coordinate rettangolari fisso sono indissolubilmente legate. In altre parole, la retta originaria corrisponde alla sua equazione generale; l'equazione generale di una retta corrisponde ad una retta data.

Dalla dimostrazione del teorema segue anche che i coefficienti A e B per le variabili xey sono le coordinate del vettore normale della retta, che è dato dall'equazione generale della retta A x + B y + C = 0.

Consideriamo un esempio specifico di equazione generale di una retta.

Sia data l'equazione 2 x + 3 y - 2 = 0, che corrisponde a una linea retta in un dato sistema di coordinate rettangolari. Il vettore normale di questa linea è il vettore n → = (2, 3). Disegniamo la linea retta data nel disegno.

Possiamo anche affermare quanto segue: la retta che vediamo nel disegno è determinata dall'equazione generale 2 x + 3 y - 2 = 0, poiché le coordinate di tutti i punti su una data retta corrispondono a questa equazione.

Possiamo ottenere l'equazione λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 moltiplicando entrambi i membri dell'equazione generale della retta per un numero λ diverso da zero. L'equazione risultante è equivalente all'equazione generale originale, pertanto descriverà la stessa linea retta sul piano.

Equazione generale completa di una retta– tale equazione generale della retta A x + B y + C = 0, in cui i numeri A, B, C sono diversi da zero. Altrimenti l'equazione è incompleto.

Analizziamo tutte le varianti dell'equazione generale incompleta di una retta.

1. Quando A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, l'equazione generale assume la forma B y + C = 0. Tale equazione generale incompleta definisce in un sistema di coordinate rettangolari O x y una linea retta parallela all'asse O x, poiché per qualsiasi valore reale di x la variabile y assumerà il valore -CB. In altre parole, l'equazione generale della retta A x + B y + C = 0, quando A = 0, B ≠ 0, specifica il luogo dei punti (x, y), le cui coordinate sono uguali allo stesso numero -CB.
2. Se A = 0, B ≠ 0, C = 0, l'equazione generale assume la forma y = 0. Questa equazione incompleta definisce l'asse x O x .
3. Quando A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, otteniamo un'equazione generale incompleta A x + C = 0, che definisce una retta parallela all'ordinata.
4. Sia A ≠ 0, B = 0, C = 0, quindi l'equazione generale incompleta assumerà la forma x = 0, e questa è l'equazione della linea di coordinate O y.
5. Infine, per A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, l'equazione generale incompleta assume la forma A x + B y = 0. E questa equazione descrive una linea retta che passa per l'origine. Infatti la coppia di numeri (0, 0) corrisponde all'uguaglianza A x + B y = 0, poiché A · 0 + B · 0 = 0.

Illustriamo graficamente tutti i suddetti tipi di equazioni generali incomplete di una retta.

Esempio 1

È noto che la retta data è parallela all'asse delle ordinate e passa per il punto 2 7, - 11. È necessario scrivere l'equazione generale della linea data.

Soluzione

Una retta parallela all'asse delle ordinate è data da un'equazione della forma A x + C = 0, in cui A ≠ 0. La condizione specifica anche le coordinate del punto attraverso il quale passa la linea e le coordinate di questo punto soddisfano le condizioni dell'equazione generale incompleta A x + C = 0, cioè l'uguaglianza è vera:

A27 + C = 0

Da esso è possibile determinare C se diamo ad A un valore diverso da zero, ad esempio A = 7. In questo caso otteniamo: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Conosciamo entrambi i coefficienti A e C, li sostituiamo nell'equazione A x + C = 0 e otteniamo l'equazione della linea retta richiesta: 7 x - 2 = 0

Risposta: 7 x - 2 = 0

Esempio 2

Il disegno mostra una linea retta; devi scrivere la sua equazione.

Soluzione

Il disegno fornito ci consente di prendere facilmente i dati iniziali per risolvere il problema. Vediamo nel disegno che la retta data è parallela all'asse O x e passa per il punto (0, 3).

La retta parallela all'ascissa è determinata dall'equazione generale incompleta B y + C = 0. Troviamo i valori di B e C. Le coordinate del punto (0, 3), poiché la retta data lo attraversa, soddisferanno l'equazione della retta B y + C = 0, allora vale l'uguaglianza: B · 3 + C = 0. Impostiamo B su un valore diverso da zero. Diciamo B = 1, in tal caso dall'uguaglianza B · 3 + C = 0 troviamo C: C = - 3. Utilizzando i valori noti di B e C, otteniamo l'equazione richiesta della retta: y - 3 = 0.

Risposta: y - 3 = 0 .

Equazione generale della retta passante per un punto dato del piano

Lascia che la linea data passi per il punto M 0 (x 0 , y 0), quindi le sue coordinate corrispondono all'equazione generale della linea, cioè l'uguaglianza è vera: A x 0 + B y 0 + C = 0. Sottraiamo i lati sinistro e destro di questa equazione dai lati sinistro e destro dell'equazione generale completa della retta. Otteniamo: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, questa equazione è equivalente a quella generale originale, passa per il punto M 0 (x 0, y 0) ed ha una normale vettore n → = (A, B) .

Il risultato che abbiamo ottenuto permette di scrivere l'equazione generale di una linea con coordinate note del vettore normale della linea e le coordinate di un certo punto di questa linea.

Esempio 3

Dato un punto M 0 (- 3, 4) attraverso il quale passa una linea, e il vettore normale di questa linea n→ = (1, - 2) . È necessario scrivere l'equazione della linea data.

Soluzione

Le condizioni iniziali ci permettono di ottenere i dati necessari per compilare l'equazione: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Poi:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Il problema avrebbe potuto essere risolto diversamente. L'equazione generale di una retta è A x + B y + C = 0. Il vettore normale dato ci permette di ottenere i valori dei coefficienti A e B, quindi:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Troviamo ora il valore di C utilizzando il punto M 0 (- 3, 4) specificato dalla condizione del problema, attraverso il quale passa la retta. Le coordinate di questo punto corrispondono all'equazione x - 2 · y + C = 0, cioè - 3 - 2 4 + C = 0. Quindi C = 11. L'equazione della retta richiesta assume la forma: x - 2 · y + 11 = 0.

Risposta: x - 2 y + 11 = 0.

Esempio 4

Data una retta 2 3 x - y - 1 2 = 0 e un punto M 0 giacente su questa retta. Di questo punto si conosce solo l'ascissa, che è uguale a - 3. È necessario determinare l'ordinata di un dato punto.

Soluzione

Designiamo le coordinate del punto M 0 come x 0 e y 0 . I dati di origine indicano che x 0 = - 3. Poiché il punto appartiene a una determinata linea, le sue coordinate corrispondono all'equazione generale di questa linea. Allora l'uguaglianza sarà vera:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definisci y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Risposta: - 5 2

Transizione dall'equazione generale di una retta ad altri tipi di equazioni di una retta e viceversa

Come sappiamo, esistono diversi tipi di equazioni per la stessa retta su un piano. La scelta del tipo di equazione dipende dalle condizioni del problema; è possibile scegliere quello più conveniente per risolverlo. L'abilità di convertire un'equazione di un tipo in un'equazione di un altro tipo è molto utile in questo caso.

Innanzitutto, consideriamo la transizione dall'equazione generale della forma A x + B y + C = 0 all'equazione canonica x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Se A ≠ 0, spostiamo il termine B y sul lato destro dell'equazione generale. Sul lato sinistro togliamo A tra parentesi. Di conseguenza, otteniamo: A x + C A = - B y.

Questa uguaglianza può essere scritta come una proporzione: x + C A - B = y A.

Se B ≠ 0, lasciamo solo il termine A x a sinistra dell'equazione generale, trasferiamo gli altri a destra, otteniamo: A x = - B y - C. Prendiamo – B tra parentesi, quindi: A x = - B y + C B .

Riscriviamo l'uguaglianza sotto forma di proporzione: x - B = y + C B A.

Naturalmente non è necessario memorizzare le formule risultanti. È sufficiente conoscere l'algoritmo delle azioni quando si passa da un'equazione generale a una canonica.

Esempio 5

Viene data l'equazione generale della linea 3 y - 4 = 0. È necessario trasformarla in un'equazione canonica.

Soluzione

Scriviamo l'equazione originale come 3 y - 4 = 0. Successivamente si procede secondo l'algoritmo: il termine 0 x rimane a sinistra; e sul lato destro mettiamo - 3 tra parentesi; otteniamo: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Scriviamo l'uguaglianza risultante come proporzione: x - 3 = y - 4 3 0 . Abbiamo così ottenuto un’equazione di forma canonica.

Risposta: x - 3 = y - 4 3 0.

Per trasformare l'equazione generale di una linea in parametrica, viene prima effettuata una transizione alla forma canonica, quindi una transizione dall'equazione canonica di una linea alle equazioni parametriche.

Esempio 6

La retta è data dall'equazione 2 x - 5 y - 1 = 0. Scrivi le equazioni parametriche per questa linea.

Soluzione

Facciamo il passaggio dall'equazione generale a quella canonica:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Ora prendiamo entrambi i membri dell'equazione canonica risultante pari a λ, quindi:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Risposta:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

L'equazione generale può essere convertita in un'equazione di una retta con pendenza y = k · x + b, ma solo quando B ≠ 0. Per la transizione lasciamo il termine B y a sinistra, il resto lo trasferiamo a destra. Otteniamo: B y = - A x - C . Dividiamo entrambi i membri dell'uguaglianza risultante per B, diverso da zero: y = - A B x - C B.

Esempio 7

L'equazione generale della retta è data: 2 x + 7 y = 0. Devi convertire quell'equazione in un'equazione di pendenza.

Soluzione

Eseguiamo le azioni necessarie secondo l'algoritmo:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Risposta: y = - 2 7 x .

Dall'equazione generale di una retta è sufficiente ottenere semplicemente un'equazione in segmenti della forma x a + y b = 1. Per effettuare tale transizione, spostiamo il numero C a destra dell'uguaglianza, dividiamo entrambi i lati dell'uguaglianza risultante per – C e, infine, trasferiamo i coefficienti delle variabili xey ai denominatori:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Esempio 8

È necessario trasformare l'equazione generale della retta x - 7 y + 1 2 = 0 nell'equazione della retta in segmenti.

Soluzione

Spostiamo 1 2 a destra: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Dividiamo entrambi i membri dell'uguaglianza per -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Risposta: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

In generale è facile anche il passaggio inverso: da altri tipi di equazioni a quella generale.

L'equazione di una retta in segmenti e un'equazione a coefficiente angolare possono essere facilmente convertite in un'equazione generale semplicemente raccogliendo tutti i termini a sinistra dell'uguaglianza:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

L’equazione canonica viene convertita in generale secondo il seguente schema:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Per passare da quelle parametriche si passa prima a quella canonica, e poi a quella generale:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Esempio 9

Sono date le equazioni parametriche della retta x = - 1 + 2 · λ y = 4. È necessario scrivere l'equazione generale di questa linea.

Soluzione

Facciamo il passaggio dalle equazioni parametriche a quelle canoniche:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Passiamo dal canonico al generale:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Risposta: y - 4 = 0

Esempio 10

Viene data l'equazione di una retta nei segmenti x 3 + y 1 2 = 1. È necessario passare alla forma generale dell'equazione.

Soluzione:

Riscriviamo semplicemente l'equazione nella forma richiesta:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Risposta: 1 3 X + 2 y - 1 = 0 .

Elaborazione dell'equazione generale di una retta

Abbiamo detto sopra che l'equazione generale può essere scritta con le coordinate note del vettore normale e le coordinate del punto attraverso il quale passa la retta. Tale retta è definita dall'equazione A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Lì abbiamo anche analizzato l'esempio corrispondente.

Ora consideriamo esempi più complessi, in cui dobbiamo prima determinare le coordinate del vettore normale.

Esempio 11

Data una retta parallela alla retta 2 x - 3 y + 3 3 = 0. È noto anche il punto M 0 (4, 1) per il quale passa la retta data. È necessario scrivere l'equazione della linea data.

Soluzione

Le condizioni iniziali ci dicono che le rette sono parallele, quindi, come vettore normale della retta, la cui equazione deve essere scritta, prendiamo il vettore direzione della retta n → = (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Ora conosciamo tutti i dati necessari per creare l'equazione generale della retta:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Risposta: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Esempio 12

La retta data passa per l'origine perpendicolare alla retta x - 2 3 = y + 4 5. È necessario creare un'equazione generale per una determinata linea.

Soluzione

Il vettore normale di una data linea sarà il vettore direzione della linea x - 2 3 = y + 4 5.

Allora n → = (3, 5) . La retta passa per l'origine, cioè attraverso il punto O (0, 0). Creiamo un'equazione generale per una determinata linea:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Risposta: 3 x + 5 y = 0 .

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