زوایای مجاور و عمودی.

هندسه یک علم بسیار چند وجهی است. منطق، تخیل و هوش را توسعه می دهد. البته به دلیل پیچیدگی و تعداد زیاد قضایا و بدیهیات، دانش آموزان مدرسه همیشه آن را دوست ندارند. علاوه بر این، نیاز است که به طور مداوم نتایج خود را با استفاده از استانداردها و قوانین پذیرفته شده ثابت کنید.

زوایای مجاور و عمودی جزء لاینفک هندسه هستند. مطمئناً بسیاری از دانش‌آموزان به این دلیل که ویژگی‌های آنها واضح و آسان است آنها را می‌پرستند.

تشکیل گوشه ها

هر زاویه ای با قطع دو خط مستقیم یا کشیدن دو پرتو از یک نقطه تشکیل می شود. آنها را می توان یک حرف یا سه حرف نامید که به طور متوالی نقاطی را که زاویه در آن ساخته می شود مشخص می کنند.

زاویه ها بر حسب درجه اندازه گیری می شوند و (بسته به مقدار آنها) می توان آنها را متفاوت نامید. بنابراین، یک زاویه قائمه، حاد، مبهم و باز وجود دارد. هر یک از نام ها مربوط به اندازه گیری درجه خاصی یا فاصله آن است.

زاویه حاد به زاویه ای گفته می شود که اندازه آن از 90 درجه تجاوز نکند.

زاویه منفرد زاویه ای بزرگتر از 90 درجه است.

زاویه ای را زمانی راست می گویند که درجه آن 90 باشد.

در صورتی که از یک خط مستقیم پیوسته تشکیل شود و درجه آن 180 باشد، منبسط می گویند.

زوایایی که دارای یک ضلع مشترک هستند که ضلع دوم آن ها همدیگر را ادامه می دهند، مجاور نامیده می شوند. آنها می توانند تیز و یا صلب باشند. تقاطع خط زوایای مجاور را تشکیل می دهد. خواص آنها به شرح زیر است:

1. مجموع این زوایا برابر با 180 درجه خواهد بود (قضیه ای وجود دارد که این را ثابت می کند). بنابراین در صورت شناخته شدن دیگری می توان یکی از آنها را به راحتی محاسبه کرد.
2. از نقطه اول چنین استنباط می شود که زوایای مجاور را نمی توان با دو زاویه مبهم یا دو زاویه حاد تشکیل داد.

به لطف این ویژگی ها، همیشه می توان درجه یک زاویه را با توجه به مقدار یک زاویه دیگر یا حداقل نسبت بین آنها محاسبه کرد.

زوایای عمودی

زوایایی که اضلاع آنها ادامه همدیگر باشد عمودی نامیده می شود. هر یک از انواع آنها می تواند به عنوان یک جفت عمل کند. زوایای عمودی همیشه با یکدیگر برابر هستند.

آنها زمانی تشکیل می شوند که خطوط مستقیم را قطع می کنند. در کنار آنها، زوایای مجاور همیشه وجود دارد. یک زاویه می تواند به طور همزمان برای یک و عمودی برای دیگری مجاور باشد.

هنگام عبور از یک خط دلخواه، چندین نوع زاویه دیگر نیز در نظر گرفته می شود. چنین خطی را خط سکانس می نامند و زوایای متناظر، یک طرفه و متقاطع را تشکیل می دهد. با هم برابرند. آنها را می توان با توجه به ویژگی هایی که زوایای عمودی و مجاور دارند مشاهده کرد.

بنابراین، موضوع زوایا کاملاً ساده و قابل درک به نظر می رسد. تمام خواص آنها به راحتی قابل یادآوری و اثبات است. تا زمانی که زاویه ها دارای مقدار عددی باشند، حل مسائل دشوار نیست. بعداً، هنگامی که مطالعه گناه و cos آغاز می شود، باید بسیاری از فرمول های پیچیده، نتیجه گیری و پیامدهای آنها را به خاطر بسپارید. تا آن زمان، شما فقط می توانید از پازل های آسان که در آن باید زوایای مجاور را پیدا کنید، لذت ببرید.

در فرآیند مطالعه یک دوره هندسه، مفاهیم "زاویه"، "زوایای عمودی"، "زوایای مجاور" اغلب با آن مواجه می شوند. درک هر یک از اصطلاحات به شما در درک مشکل و حل صحیح آن کمک می کند. زوایای مجاور چیست و چگونه می توان آنها را تعیین کرد؟

زوایای مجاور - تعریف مفهوم

اصطلاح "زوایای مجاور" دو زاویه تشکیل شده توسط یک پرتو مشترک و دو نیم خط اضافی را مشخص می کند که روی یک خط مستقیم قرار دارند. هر سه پرتو از یک نقطه بیرون می آیند. نیم خط مشترک به طور همزمان ضلعی از هر دو زاویه و زاویه دیگر است.

زوایای مجاور - خواص اساسی

1. بر اساس فرمول زوایای مجاور، به راحتی می توان متوجه شد که مجموع این زاویه ها همیشه یک زاویه معکوس را تشکیل می دهد که اندازه درجه آن 180 درجه است:

• اگر μ و η زوایای مجاور باشند، μ + η = 180 درجه.
• با دانستن بزرگی یکی از زوایای مجاور (مثلا μ)، می توانید به راحتی درجه زاویه دوم (η) را با استفاده از عبارت η = 180° – μ محاسبه کنید.

2. این ویژگی زوایا به ما امکان می دهد نتیجه زیر را بگیریم: زاویه ای که مجاور یک زاویه قائم باشد نیز قائم خواهد بود.

3. با در نظر گرفتن توابع مثلثاتی (sin، cos، tg، ctg)، بر اساس فرمول کاهش برای زوایای مجاور μ و η، موارد زیر درست است:

• siνη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cos = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ،
• ctgη ​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

زوایای مجاور - مثال

مثال 1

مثلثی با رئوس M, P, Q – ΔMPQ داده می شود. زوایای مجاور زوایای ∠QMP، ∠MPQ، ∠PQM را پیدا کنید.

• بیایید هر ضلع مثلث را با یک خط مستقیم گسترش دهیم.
• با دانستن اینکه زوایای مجاور یکدیگر را تا زاویه معکوس تکمیل می کنند، متوجه می شویم که:

در مجاورت زاویه ∠QMP ∠LMP است،

مجاور زاویه ∠MPQ ∠SPQ است،

در مجاورت زاویه ∠PQM ∠HQP است.

مثال 2

مقدار یک زاویه مجاور 35 درجه است. درجه درجه دوم زاویه مجاور چقدر است؟

• مجموع دو زاویه مجاور 180 درجه است.
• اگر ∠μ = 35 درجه، در مجاورت آن ∠η = 180 درجه - 35 درجه = 145 درجه.

مثال 3

مقادیر زوایای مجاور را در صورتی تعیین کنید که مشخص شود درجه یکی از آنها سه برابر بیشتر از درجه اندازه گیری زاویه دیگر است.

• اجازه دهید بزرگی یک زاویه (کوچکتر) را با – ∠μ = λ نشان دهیم.
• سپس با توجه به شرایط مسئله، مقدار زاویه دوم برابر با ∠η = 3λ خواهد بود.
• بر اساس ویژگی اصلی زوایای مجاور، μ + η = 180 درجه به دنبال دارد

λ + 3λ = μ + η = 180 درجه،

λ = 180 درجه / 4 = 45 درجه.

این بدان معناست که زاویه اول ∠μ = λ = 45 درجه و زاویه دوم ∠η = 3λ = 135 درجه است.

توانایی استفاده از اصطلاحات و همچنین آگاهی از ویژگی های اولیه زوایای مجاور به شما کمک می کند تا بسیاری از مسائل هندسی را حل کنید.

1. زوایای مجاور.

اگر ضلع هر زاویه ای را فراتر از راس آن بکشیم، دو زاویه به دست می آید (شکل 72): ∠ABC و ∠CBD که یک ضلع BC مشترک است و دو ضلع دیگر، AB و BD، یک خط مستقیم را تشکیل می دهند.

دو زاویه ای که یک ضلع آنها مشترک و دو طرف دیگر یک خط مستقیم تشکیل می دهند، زوایای مجاور نامیده می شوند.

زوایای مجاور را نیز می توان به این صورت به دست آورد: اگر از نقطه ای از یک خط پرتویی بکشیم (نه روی خط معین)، زوایای مجاور را به دست خواهیم آورد.

به عنوان مثال، ∠ADF و ∠FDB زوایای مجاور هستند (شکل 73).

زاویه های مجاور می توانند موقعیت های بسیار متنوعی داشته باشند (شکل 74).

زوایای مجاور به یک زاویه مستقیم اضافه می شوند، بنابراین مجموع دو زاویه مجاور 180 درجه است

از این رو، زاویه قائمه را می توان به عنوان زاویه ای برابر با زاویه مجاور آن تعریف کرد.

با دانستن اندازه یکی از زوایای مجاور، می توانیم اندازه زاویه دیگر مجاور آن را پیدا کنیم.

برای مثال، اگر یکی از زوایای مجاور 54 درجه باشد، زاویه دوم برابر با:

180 درجه - 54 درجه = l26 درجه.

2. زوایای عمودی.

اگر اضلاع زاویه را فراتر از راس آن گسترش دهیم، زوایای عمودی به دست می آید. در شکل 75، زوایای EOF و AOC عمودی هستند. زوایای AOE و COF نیز عمودی هستند.

اگر اضلاع یک زاویه ادامه اضلاع زاویه دیگر باشد به دو زاویه عمودی می گویند.

اجازه دهید ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90 درجه (شکل 76). ∠2 مجاور آن برابر با 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°، یعنی 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° خواهد بود.

به همین ترتیب می توانید محاسبه کنید که ∠3 و ∠4 برابر است.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (شکل 77).

می بینیم که ∠1 = ∠3 و ∠2 = ∠4.

شما می توانید چندین مشکل مشابه دیگر را حل کنید و هر بار نتیجه یکسانی خواهید گرفت: زوایای عمودی با یکدیگر برابر هستند.

با این حال، برای اطمینان از اینکه زوایای عمودی همیشه با یکدیگر برابر هستند، در نظر گرفتن مثال‌های عددی منفرد کافی نیست، زیرا نتیجه‌گیری‌هایی که از نمونه‌های خاص گرفته می‌شود گاهی اوقات می‌تواند اشتباه باشد.

لازم است صحت خواص زوایای عمودی با اثبات تأیید شود.

اثبات را می توان به صورت زیر انجام داد (شکل 78):

∠یک +∠ج= 180 درجه؛

∠b+∠ج= 180 درجه؛

(زیرا مجموع زوایای مجاور 180 درجه است).

∠یک +∠ج = ∠b+∠ج

(چون سمت چپ این برابری برابر با 180 درجه و سمت راست آن نیز برابر با 180 درجه است).

این برابری شامل همان زاویه می شود با.

اگر مقادیر مساوی را از مقادیر مساوی کم کنیم، مقادیر مساوی باقی می ماند. نتیجه این خواهد بود: ∠آ = ∠ب، یعنی زوایای عمودی با یکدیگر برابر هستند.

3. مجموع زوایایی که یک راس مشترک دارند.

در رسم 79، ∠1، ∠2، ∠3 و ∠4 در یک طرف یک خط قرار دارند و در این خط یک راس مشترک دارند. در مجموع، این زوایا یک زاویه مستقیم را تشکیل می دهند، یعنی.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180 درجه.

در شکل 80، ∠1، ∠2، ∠3، ∠4 و ∠5 یک راس مشترک دارند. مجموع این زوایا به یک زاویه کامل می رسد، یعنی ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360 درجه.

چگونه زاویه مجاور را پیدا کنیم؟

ریاضیات قدیمی ترین علم دقیق است که به طور اجباری در مدارس، کالج ها، موسسات و دانشگاه ها مطالعه می شود. با این حال، دانش اولیه همیشه در مدرسه گذاشته می شود. گاهی اوقات، وظایف بسیار پیچیده ای به کودک داده می شود، اما والدین نمی توانند کمک کنند، زیرا آنها به سادگی برخی چیزها را از ریاضیات فراموش کرده اند. به عنوان مثال نحوه یافتن زاویه مجاور بر اساس اندازه زاویه اصلی و غیره. مشکل ساده است، اما به دلیل ناآگاهی از اینکه کدام زوایای مجاور نامیده می شوند و نحوه یافتن آنها می تواند در حل مشکل ایجاد کند.

بیایید نگاهی دقیق‌تر به تعریف و ویژگی‌های زوایای مجاور و همچنین نحوه محاسبه آن‌ها از روی داده‌های مسئله بیندازیم.

تعریف و خواص زوایای مجاور

دو پرتو که از یک نقطه ساطع می شوند شکلی به نام "زاویه صفحه" را تشکیل می دهند. در این حالت به این نقطه راس زاویه می گویند و پرتوها اضلاع آن هستند. اگر یکی از پرتوها را فراتر از نقطه شروع در یک خط مستقیم ادامه دهید، زاویه دیگری تشکیل می شود که به آن مجاور می گویند. هر زاویه در این مورد دارای دو زاویه مجاور است، زیرا اضلاع زاویه معادل هستند. یعنی همیشه یک زاویه مجاور 180 درجه وجود دارد.

خواص اصلی زوایای مجاور عبارتند از

• زوایای مجاور یک راس مشترک و یک ضلع دارند.
• اگر محاسبه بر حسب رادیان انجام شود، مجموع زوایای مجاور همیشه برابر با 180 درجه یا عدد پی است.
• سینوس های زوایای مجاور همیشه برابر هستند.
• کسینوس و مماس زوایای مجاور با هم برابرند اما دارای علائم متضاد هستند.

نحوه پیدا کردن زوایای مجاور

معمولاً سه تغییر از مسائل برای یافتن بزرگی زوایای مجاور ارائه می شود

• مقدار زاویه اصلی داده شده است.
• نسبت زاویه اصلی و مجاور داده شده است.
• مقدار زاویه عمودی داده شده است.

هر نسخه از مشکل راه حل خاص خود را دارد. بیایید به آنها نگاه کنیم.

مقدار زاویه اصلی داده شده است

اگر مشکل مقدار زاویه اصلی را مشخص کند، پیدا کردن زاویه مجاور بسیار ساده است. برای این کار کافیست مقدار زاویه اصلی را از 180 درجه کم کنید و مقدار زاویه مجاور را بدست آورید. این راه حل بر اساس ویژگی یک زاویه مجاور است - مجموع زوایای مجاور همیشه برابر با 180 درجه است.

اگر مقدار زاویه اصلی بر حسب رادیان داده شود و مشکل مستلزم یافتن زاویه مجاور بر حسب رادیان باشد، باید مقدار زاویه اصلی را از عدد پی کم کرد، زیرا مقدار زاویه کامل باز شده 180 درجه است. برابر عدد پی است.

نسبت زاویه اصلی و مجاور داده شده است

مشکل ممکن است به جای درجه و رادیان زاویه اصلی، نسبت زوایای اصلی و مجاور را نشان دهد. در این مورد، راه حل مانند یک معادله نسبت به نظر می رسد:

1. نسبت زاویه اصلی را با متغیر "Y" نشان می دهیم.
2. کسری مربوط به زاویه مجاور به عنوان متغیر "X" نشان داده می شود.
3. تعداد درجاتی که روی هر تناسب قرار می گیرد، برای مثال با "a" نشان داده می شود.
4. فرمول کلی به این صورت خواهد بود - a*X+a*Y=180 یا a*(X+Y)=180.
5. عامل مشترک معادله "a" را با استفاده از فرمول a=180/(X+Y) پیدا می کنیم.
6. سپس مقدار حاصل از ضریب مشترک "a" را در کسری از زاویه ای که باید تعیین شود ضرب می کنیم.

به این ترتیب می توانیم مقدار زاویه مجاور را بر حسب درجه پیدا کنیم. با این حال، اگر شما نیاز به یافتن یک مقدار در رادیان دارید، به سادگی باید درجه را به رادیان تبدیل کنید. برای این کار، زاویه را بر حسب درجه در پی ضرب کنید و همه چیز را بر 180 درجه تقسیم کنید. مقدار حاصل بر حسب رادیان خواهد بود.

مقدار زاویه عمودی داده شده است

اگر مسئله مقدار زاویه اصلی را نشان نمی‌دهد، اما مقدار زاویه عمودی داده می‌شود، می‌توان زاویه مجاور را با استفاده از فرمول مشابه در پاراگراف اول که مقدار زاویه اصلی آورده شده است محاسبه کرد.

زاویه عمودی به زاویه ای گفته می شود که از همان نقطه اصلی سرچشمه می گیرد، اما دقیقاً در جهت مخالف است. این منجر به یک تصویر آینه ای می شود. این بدان معنی است که زاویه عمودی از نظر قدر با زاویه اصلی برابر است. به نوبه خود، زاویه مجاور زاویه عمودی برابر با زاویه مجاور زاویه اصلی است. با تشکر از این، می توان زاویه مجاور زاویه اصلی را محاسبه کرد. برای این کار کافیست مقدار عمودی را از 180 درجه کم کنید و مقدار زاویه مجاور زاویه اصلی را بر حسب درجه بدست آورید.

اگر مقدار بر حسب رادیان داده شود، لازم است مقدار زاویه عمودی را از عدد Pi کم کنیم، زیرا مقدار زاویه تا شده کامل 180 درجه برابر با عدد Pi است.

همچنین می توانید مقالات مفید ما را مطالعه کنید و.