نحوه باز کردن پرانتز در عبارات و معادلات قواعد ریاضی

پرانتز برای نشان دادن ترتیب انجام اقدامات در عبارات عددی، تحت اللفظی و متغیر استفاده می شود. جابجایی از یک عبارت با پرانتز به یک عبارت یکسان بدون براکت راحت است. به این تکنیک باز کردن براکت ها گفته می شود.

گسترش پرانتز به معنای حذف پرانتز از یک عبارت است.

یک نکته دیگر سزاوار توجه ویژه است، که مربوط به ویژگی های ضبط راه حل ها هنگام باز کردن براکت ها است. می توانیم عبارت اولیه را با پرانتز بنویسیم و نتیجه ای که پس از باز کردن پرانتزها به دست می آید را به صورت تساوی بنویسیم. به عنوان مثال، پس از گسترش پرانتز به جای عبارت
3-(5-7) عبارت 3-5+7 را دریافت می کنیم. می‌توانیم هر دوی این عبارات را به‌عنوان برابری 3−(5−7)=3−5+7 بنویسیم.

و یک نکته مهم دیگر. در ریاضیات، برای کوتاه کردن نمادها، مرسوم است که علامت مثبت را اگر ابتدا در یک عبارت یا داخل پرانتز آمده است، ننویسند. به عنوان مثال، اگر دو عدد مثبت، مثلاً هفت و سه را با هم جمع کنیم، با وجود اینکه هفت نیز یک عدد مثبت است، نه +7+3، بلکه به سادگی 7+3 می نویسیم. به همین ترتیب، اگر مثلاً عبارت (5+x) را مشاهده کردید - بدانید که قبل از پرانتز یک پلاس وجود دارد که نوشته نمی شود و قبل از پنج یک +(+5+x) وجود دارد.

قانون باز کردن پرانتز در هنگام جمع

هنگام باز کردن براکت ها، اگر جلوی براکت ها مثبت باشد، این پلاس به همراه براکت ها حذف می شود.

مثال. پرانتزها را در عبارت 2 + (7 + 3) باز کنید، جلوی پرانتزها یک علامت مثبت وجود دارد، به این معنی که علامت های جلوی اعداد داخل پرانتز را تغییر نمی دهیم.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

قانون باز کردن پرانتز هنگام تفریق

اگر قبل از پرانتز یک منهای وجود داشته باشد، این منفی همراه با براکت ها حذف می شود، اما عبارت هایی که در پرانتز بودند، علامت خود را به عکس تغییر می دهند. عدم وجود علامت قبل از جمله اول در پرانتز به معنی علامت + است.

مثال. پرانتز در عبارت 2 - (7 + 3) را باز کنید

قبل از براکت ها یک منهای وجود دارد، به این معنی که باید علائم جلوی اعداد داخل پرانتز را تغییر دهید. در پرانتز هیچ علامتی قبل از عدد 7 وجود ندارد، به این معنی که هفت مثبت است، در نظر گرفته می شود که یک علامت + در مقابل آن وجود دارد.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

هنگام باز کردن براکت ها، منهای که در جلوی براکت ها بود و خود براکت ها 2 − (+ 7 + 3) را از مثال حذف می کنیم و علائمی را که در براکت ها قرار داشتند به علامت های مخالف تغییر می دهیم.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

بزرگ کردن پرانتز هنگام ضرب

اگر جلوی پرانتز علامت ضرب باشد، هر عدد داخل پرانتز در ضریب جلوی پرانتز ضرب می شود. در این صورت از ضرب یک منهای در منهای یک مثبت به دست می‌آید و با ضرب یک منهای در مثبت، مانند ضرب یک مثبت در منهای، یک منهای به دست می‌آید.

بنابراین، پرانتزها در محصولات مطابق با خاصیت توزیعی ضرب گسترش می یابند.

مثال. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

وقتی یک براکت را در یک براکت ضرب می کنید، هر جمله در براکت اول با هر جمله در براکت دوم ضرب می شود.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

در واقع، نیازی به به خاطر سپردن همه قوانین نیست، کافی است تنها یکی را به خاطر بسپارید، این: c(a−b)=ca−cb. چرا؟ زیرا اگر به جای c یکی را جایگزین کنید، قانون (a−b)=a−b را دریافت خواهید کرد. و اگر منهای یک را جایگزین کنیم، قاعده −(a−b)=−a+b را می‌گیریم. خوب، اگر به جای c براکت دیگری را جایگزین کنید، می توانید قانون آخر را دریافت کنید.

باز کردن پرانتز هنگام تقسیم

اگر بعد از پرانتز علامت تقسیم وجود داشته باشد، هر عدد داخل پرانتز به مقسوم علیه بعد از پرانتز تقسیم می شود و بالعکس.

مثال. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

نحوه گسترش پرانتزهای تو در تو

اگر عبارتی حاوی پرانتزهای تو در تو باشد، آن‌ها به ترتیب بسط می‌شوند و از بیرونی یا درونی شروع می‌شوند.

در این مورد، مهم است که هنگام باز کردن یکی از براکت ها، براکت های باقی مانده را لمس نکنید، فقط آنها را همانطور که هستند بازنویسی کنید.

مثال. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

اکنون به باز کردن پرانتز در عباراتی می رویم که عبارت داخل پرانتز در یک عدد یا عبارت ضرب می شود. اجازه دهید یک قاعده برای باز کردن پرانتزها با علامت منفی تنظیم کنیم: پرانتزها همراه با علامت منفی حذف می شوند و علائم تمام عبارات داخل پرانتز با موارد مقابل جایگزین می شوند.

یکی از انواع تبدیل عبارت، بسط پرانتز است. عبارات عددی، تحت اللفظی و متغیر را می توان با استفاده از پرانتز نوشت که می تواند ترتیب اعمال را نشان دهد، شامل یک عدد منفی و غیره باشد. فرض کنید در عباراتی که در بالا توضیح داده شد، به جای اعداد و متغیرها، هر عبارتی می تواند وجود داشته باشد.

و اجازه دهید به یک نکته دیگر در مورد ویژگی های نوشتن راه حل هنگام باز کردن پرانتز توجه کنیم. در پاراگراف قبل به چیزی که به آن پرانتز باز می گویند پرداختیم. برای این کار قوانینی برای باز کردن براکت ها وجود دارد که اکنون به بررسی آنها می پردازیم. این قانون به این دلیل است که اعداد مثبت معمولاً بدون پرانتز نوشته می شوند. عبارت (-3.7)-(-2)+4+(-9) را می توان بدون پرانتز به صورت -3.7+2+4-9 نوشت.

در نهایت، بخش سوم قانون صرفاً به دلیل ویژگی های نوشتن اعداد منفی در سمت چپ در عبارت است (که در قسمت پرانتز برای نوشتن اعداد منفی به آن اشاره کردیم). ممکن است با عباراتی متشکل از یک عدد، علامت منفی و چند جفت پرانتز روبرو شوید. اگر براکت ها را باز کنید و از داخلی به خارجی بروید، راه حل به صورت زیر خواهد بود: ))=−( 5)=−5.

چگونه پرانتز را باز کنیم؟

در اینجا توضیحی وجود دارد: -(-2 x) +2 x است، و از آنجایی که این عبارت در ابتدا می آید، +2 x را می توان به صورت 2 x، −(x2)=−x2، +(−1/ x)=−1 نوشت. /x و −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. قسمت اول قانون نوشته شده برای باز کردن پرانتز مستقیماً از قانون ضرب اعداد منفی پیروی می کند. قسمت دوم آن نتیجه قاعده ضرب اعداد با علائم مختلف است. بیایید به نمونه هایی از باز شدن پرانتز در حاصل و ضریب دو عدد با علامت های مختلف برویم.

پرانتزهای باز: قوانین، مثال ها، راه حل ها.

قانون فوق کل زنجیره این اقدامات را در نظر می گیرد و روند باز کردن براکت ها را به میزان قابل توجهی سرعت می بخشد. همین قانون به شما این امکان را می دهد که پرانتز را در عباراتی که محصول هستند و عبارات جزئی با علامت منهای که حاصل جمع و تفاوت نیستند باز کنید.

بیایید نمونه هایی از کاربرد این قانون را بررسی کنیم. اجازه دهید قانون مربوطه را ارائه دهیم. در بالا قبلاً با عباراتی از شکل −(a) و −(−a) مواجه شده‌ایم که بدون پرانتز به ترتیب به صورت −a و a نوشته می‌شوند. برای مثال −(3)=3 و. این موارد خاص قاعده بیان شده است. حال بیایید به نمونه هایی از باز کردن پرانتزها در زمانی که دارای مجموع یا تفاوت هستند نگاه کنیم. بیایید نمونه هایی از استفاده از این قانون را نشان دهیم. اجازه دهید عبارت (b1+b2) را به صورت b نشان دهیم، پس از آن از قانون ضرب براکت در عبارت پاراگراف قبل استفاده می کنیم، (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) داریم. ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.

با استقرا، این عبارت را می توان به تعداد دلخواه اصطلاح در هر براکت گسترش داد. باقی مانده است که پرانتزها را در عبارت حاصل باز کنیم، با استفاده از قوانین پاراگراف های قبلی، در پایان به 1·3·x·y-1·2·x·y3-x·3·x·y+x· می رسیم. 2·x·y3.

قانون در ریاضیات باز کردن پرانتز است اگر (+) و (-) قبل از پرانتز وجود داشته باشد.

این عبارت حاصل ضرب سه عامل (2+4)، 3 و (5+7·8) است. باید براکت ها را به ترتیب باز کنید. حالا از قانون ضرب یک براکت در یک عدد استفاده می کنیم، ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8) داریم. درجاتی که پایه‌های آن عباراتی است که در کروشه نوشته شده‌اند، با نماهای طبیعی را می‌توان حاصل ضرب چند کروشه در نظر گرفت.

مثلاً عبارت (a+b+c)2 را تبدیل کنیم. ابتدا آن را به صورت حاصل ضرب دو پرانتز (a+b+c)·(a+b+c) می نویسیم، حالا یک براکت را در یک براکت ضرب می کنیم، a·a+a·b+a·c+ به دست می آید. b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.

همچنین خواهیم گفت که برای افزایش مجموع و تفاضل دو عدد به توان طبیعی، بهتر است از فرمول دوجمله ای نیوتن استفاده شود. برای مثال (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. راحت نیست ابتدا تقسیم را با ضرب جایگزین کنید و سپس از قانون مربوطه برای باز کردن پرانتز در یک محصول استفاده کنید.

باقی مانده است که ترتیب باز کردن پرانتزها را با استفاده از مثال ها درک کنیم. بیایید عبارت (-5)+3·(-2):(-4)-6·(-7) را در نظر بگیریم. ما این نتایج را به عبارت اصلی جایگزین می کنیم: (-5)+3·(-2):(-4)-6·(-7)=(-5)+(3·2:4)-(-6· 7) . تنها چیزی که باقی می ماند این است که باز کردن براکت ها را تمام کنیم، در نتیجه ما −5+3·2:4+6·7 داریم. این به این معنی است که هنگام حرکت از سمت چپ برابری به سمت راست، باز شدن پرانتز رخ داده است.

توجه داشته باشید که در هر سه مثال به سادگی پرانتز را حذف کردیم. ابتدا 445 را به 889 اضافه کنید. این عمل را می توان به صورت ذهنی انجام داد اما خیلی آسان نیست. بیایید براکت ها را باز کنیم و ببینیم که رویه تغییر یافته محاسبات را به طور قابل توجهی ساده می کند.

چگونه پرانتزها را به درجه دیگری گسترش دهیم

بیان مثال و قانون. بیایید به یک مثال نگاه کنیم: . می توانید مقدار یک عبارت را با جمع 2 و 5 و سپس گرفتن عدد حاصل با علامت مخالف پیدا کنید. اگر دو عبارت نباشد، بلکه سه یا بیشتر در پرانتز وجود داشته باشد، قانون تغییر نمی کند. نظر دهید. علائم فقط در جلوی اصطلاحات معکوس می شوند. برای باز کردن براکت ها، در این مورد باید ویژگی توزیعی را به خاطر بسپاریم.

برای اعداد تک داخل پرانتز

اشتباه شما در نشانه ها نیست، بلکه در برخورد نادرست با کسری است؟ در کلاس ششم با اعداد مثبت و منفی آشنا شدیم. چگونه مثال ها و معادلات را حل خواهیم کرد؟

داخل پرانتز چقدر است؟ در مورد این عبارات چه می توانید بگویید؟ البته نتیجه مثال اول و دوم یکسان است، یعنی می توانیم علامت مساوی بین آنها بگذاریم: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. با پرانتز چه کردیم؟

نمایش اسلاید 6 با قوانین باز کردن براکت ها. بنابراین، قوانین باز کردن پرانتز به ما در حل مثال ها و ساده کردن عبارات کمک می کند. در مرحله بعد، از دانش آموزان خواسته می شود که به صورت جفت کار کنند: آنها باید از فلش ها استفاده کنند تا عبارت حاوی پرانتز را با عبارت مربوطه بدون براکت وصل کنند.

اسلاید 11 یک بار در شهر آفتابی، Znayka و Dunno در مورد اینکه کدام یک از آنها معادله را به درستی حل کرده است بحث کردند. سپس، دانش آموزان با استفاده از قوانین باز کردن پرانتز، معادله را به تنهایی حل می کنند. حل معادلات" اهداف درس: آموزشی (تقویت دانش با موضوع: "پرانتزهای باز.

موضوع درس: «باز کردن پرانتز. در این حالت، باید هر جمله از پرانتز اول را با هر جمله از براکت دوم ضرب کنید و سپس نتایج را اضافه کنید. ابتدا دو فاکتور اول گرفته می شود و در یک براکت دیگر محصور می شود و داخل این براکت ها طبق یکی از قوانین شناخته شده از قبل پرانتز باز می شود.

rawalan.freezeet.ru

پرانتزهای باز: قوانین و مثال ها (درجه 7)

عملکرد اصلی پرانتزها تغییر ترتیب اعمال هنگام محاسبه مقادیر است عبارات عددی . به عنوان مثال، در عبارت عددی \(5·3+7\) ابتدا ضرب و سپس جمع محاسبه می شود: \(5·3+7 =15+7=22\). اما در عبارت \(5·(3+7)\) ابتدا جمع داخل پرانتز محاسبه می شود و تنها پس از آن ضرب: \(5·(3+7)=5·10=50\).

با این حال، اگر ما با بیان جبریحاوی متغیر- برای مثال، مانند این: \(2(x-3)\) - پس محاسبه مقدار در براکت غیرممکن است، متغیر در راه است. بنابراین، در این مورد، براکت ها با استفاده از قوانین مناسب "باز" ​​می شوند.

قوانین باز کردن پرانتز

اگر در جلوی براکت علامت مثبت وجود داشته باشد، براکت به سادگی حذف می شود، عبارت در آن بدون تغییر باقی می ماند. به عبارت دیگر:

در اینجا لازم به توضیح است که در ریاضیات، برای کوتاه کردن نمادها، مرسوم است که اگر ابتدا در عبارت ظاهر شد، علامت مثبت ننویسید. به عنوان مثال، اگر دو عدد مثبت، مثلاً هفت و سه را با هم جمع کنیم، آنگاه نه \(+7+3\)، بلکه به سادگی \(7+3\) می نویسیم، با وجود اینکه هفت نیز یک عدد مثبت است. . به طور مشابه، اگر مثلاً عبارت \((5+x)\) را مشاهده کردید - این را بدانید قبل از براکت یک علامت مثبت وجود دارد که نوشته نشده است.

مثال . پرانتز را باز کنید و عبارات مشابه را وارد کنید: \((x-11)+(2+3x)\).
راه حل : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

اگر در جلوی براکت علامت منفی وجود داشته باشد، پس از حذف براکت، هر عبارت عبارت داخل آن علامت را به عکس تغییر می‌دهد:

در اینجا لازم به توضیح است که در حالی که a در براکت بود، یک علامت مثبت وجود داشت (فقط آن را ننوشتند) و پس از برداشتن براکت، این پلاس به منفی تغییر کرد.

مثال : عبارت \(2x-(-7+x)\) را ساده کنید.
راه حل : در داخل براکت دو عبارت \(-7\) و \(x\) وجود دارد و قبل از براکت یک منهای وجود دارد. این بدان معنی است که علائم تغییر خواهند کرد - و هفت اکنون یک مثبت خواهد بود و x اکنون یک منفی خواهد بود. براکت را باز کنید و ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می دهیم .

مثال. براکت را باز کنید و عبارت های مشابه \(5-(3x+2)+(2+3x)\) را وارد کنید.
راه حل : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

اگر جلوی براکت فاکتوری وجود داشته باشد، هر یک از اعضای براکت در آن ضرب می شود، یعنی:

مثال. براکت های \(5(3-x)\) را باز کنید.
راه حل : در براکت \(3\) و \(-x\) داریم و قبل از براکت یک پنج وجود دارد. این بدان معنی است که هر عضو براکت در \(5\) ضرب می شود - به شما یادآوری می کنم که علامت ضرب بین یک عدد و یک پرانتز در ریاضیات برای کاهش اندازه ورودی ها نوشته نمی شود..

مثال. پرانتزهای \(-2(-3x+5)\) را باز کنید.
راه حل : مانند مثال قبل، \(-3x\) و \(5\) داخل پرانتز در \(-2\) ضرب می شوند.

باقی مانده است که آخرین وضعیت را در نظر بگیریم.

هنگام ضرب براکت در براکت، هر جمله براکت اول با هر جمله دوم ضرب می شود:

مثال. براکت ها را باز کنید \((2-x)(3x-1)\).
راه حل : ما یک محصول از براکت داریم و می توان آن را بلافاصله با استفاده از فرمول بالا گسترش داد. اما برای اینکه گیج نشویم، بیایید همه چیز را مرحله به مرحله انجام دهیم.
مرحله 1. براکت اول را بردارید و هر عضو را در براکت دوم ضرب کنید:

مرحله 2. محصولات براکت ها و فاکتور را همانطور که در بالا توضیح داده شد گسترش دهید:
- اول از همه...

مرحله 3. اکنون عبارت های مشابه را ضرب و ارائه می کنیم:

لازم نیست تمام تحولات را با این جزئیات توصیف کنید. اما اگر تازه یاد می گیرید چگونه پرانتز را باز کنید، با جزئیات بنویسید، احتمال اشتباه کمتری وجود خواهد داشت.

به کل بخش توجه داشته باشید.در واقع، لازم نیست هر چهار قانون را به خاطر بسپارید، فقط باید یکی را به خاطر بسپارید، این یکی: \(c(a-b)=ca-cb\) . چرا؟ زیرا اگر به جای c یکی را جایگزین کنید، قانون \((a-b)=a-b\) را دریافت می کنید. و اگر منهای یک را جایگزین کنیم، قانون \(-(a-b)=-a+b\) را بدست می آوریم. خوب، اگر به جای c براکت دیگری را جایگزین کنید، می توانید قانون آخر را دریافت کنید.

پرانتز در پرانتز

گاهی اوقات در عمل مشکلاتی با براکت های تو در تو در داخل براکت های دیگر وجود دارد. در اینجا مثالی از چنین کاری آورده شده است: عبارت \(7x+2(5-(3x+y))\) را ساده کنید.

برای حل موفقیت آمیز چنین وظایفی، شما نیاز دارید:
- تودرتوی براکت ها را به دقت درک کنید - کدام یک در کدام است.
- براکت ها را به صورت متوالی باز کنید، مثلاً از درونی ترین آنها شروع کنید.

هنگام باز کردن یکی از براکت ها مهم است به بقیه عبارت دست نزنید، فقط آن را همانطور که هست بازنویسی کنید.
بیایید به عنوان مثال به کار نوشته شده در بالا نگاه کنیم.

مثال. پرانتزها را باز کنید و عبارات مشابه \(7x+2(5-(3x+y))\ را وارد کنید.
راه حل:

بیایید کار را با باز کردن براکت داخلی (براکت داخل) شروع کنیم. با گسترش آن، ما فقط با آنچه مستقیماً به آن مربوط می شود سر و کار داریم - این خود براکت و منهای جلوی آن است (با رنگ سبز برجسته شده است). ما همه چیزهای دیگر را به همان شکلی که بود بازنویسی می کنیم (لایت نشده).

حل مسائل ریاضی آنلاین

ماشین حساب آنلاین.
ساده کردن چند جمله ای
ضرب چند جمله ای ها

با این برنامه ریاضی می توانید یک چند جمله ای را ساده کنید.
در حین اجرای برنامه:
- چند جمله ای ها را ضرب می کند
- یک جمله ها را جمع می کند (مشابه ها را می دهد)
- پرانتز را باز می کند
- یک چند جمله ای را به توان می رساند

برنامه ساده سازی چند جمله ای نه تنها پاسخ مسئله را می دهد، بلکه یک راه حل مفصل همراه با توضیحات ارائه می دهد. روند حل را نمایش می دهد تا بتوانید دانش خود را از ریاضیات و/یا جبر بررسی کنید.

این برنامه می تواند برای دانش آموزان مدارس متوسطه در آماده شدن برای آزمون ها و امتحانات، هنگام آزمایش دانش قبل از آزمون دولتی واحد و برای والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر مفید باشد. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید تکالیف ریاضی یا جبر خود را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهید؟ در این صورت می توانید از برنامه های ما با راه حل های دقیق نیز استفاده کنید.

به این ترتیب شما می توانید آموزش و یا آموزش برادران یا خواهران کوچکتر خود را انجام دهید، در حالی که سطح تحصیلات در زمینه حل مشکلات افزایش می یابد.

چون افراد زیادی مایل به حل مشکل هستند، درخواست شما در صف قرار گرفته است.
پس از چند ثانیه راه حل در زیر ظاهر می شود.
لطفا یک ثانیه صبر کنید

کمی تئوری

حاصل ضرب یک جمله و چند جمله ای. مفهوم چند جمله ای

در میان عبارات مختلفی که در جبر مورد توجه قرار می گیرد، مجموع تک جمله ها جایگاه مهمی را به خود اختصاص می دهند. در اینجا نمونه هایی از این عبارات آورده شده است:

مجموع تک جمله ها را چند جمله ای می گویند. اصطلاحات موجود در یک چند جمله ای اصطلاحات چند جمله ای نامیده می شوند. تک جمله ای ها نیز به عنوان چند جمله ای طبقه بندی می شوند و یک تک جمله ای را چند جمله ای متشکل از یک عضو در نظر می گیریم.

اجازه دهید همه اصطلاحات را به صورت تک‌جملاتی از فرم استاندارد نشان دهیم:

اجازه دهید عبارات مشابه را در چند جمله ای حاصل ارائه کنیم:

نتیجه یک چند جمله ای است که همه عبارت های آن تک جمله های شکل استاندارد هستند و در بین آنها هیچ مشابهی وجود ندارد. چنین چند جمله ای نامیده می شود چند جمله ای های فرم استاندارد.

برای درجه چند جمله اییک فرم استاندارد بالاترین اختیارات اعضای خود را می گیرد. بنابراین، یک دو جمله ای دارای درجه سوم و یک مثلثی دارای درجه دوم است.

به طور معمول، اصطلاحات چندجمله ای های فرم استاندارد حاوی یک متغیر به ترتیب نزولی توان ها مرتب می شوند. به عنوان مثال:

مجموع چند جمله ای را می توان به چند جمله ای با فرم استاندارد تبدیل کرد (ساده کرد).

گاهی اوقات لازم است اصطلاحات یک چند جمله ای به گروه هایی تقسیم شوند و هر گروه را در پرانتز قرار دهیم. از آنجایی که محصور کردن پرانتز تبدیل معکوس پرانتزهای باز است، فرمول‌بندی آن آسان است قوانین باز کردن پرانتز:

اگر علامت "+" قبل از پرانتز قرار گیرد، اصطلاحات محصور در پرانتز با همان علائم نوشته می شوند.

اگر علامت "-" قبل از پرانتز قرار گیرد، اصطلاحات داخل پرانتز با علائم مخالف نوشته می شوند.

تبدیل (ساده سازی) حاصل ضرب یک جمله و چند جمله ای

با استفاده از خاصیت توزیعی ضرب، می توانید حاصل ضرب یک تک جمله ای و چند جمله ای را به چند جمله ای تبدیل کنید (ساده کنید). به عنوان مثال:

حاصل ضرب یک تک جمله ای و یک چند جمله ای برابر است با مجموع حاصل از این تک جمله ای و هر یک از جمله های چند جمله ای.

این نتیجه معمولاً به عنوان یک قانون فرموله می شود.

برای ضرب یک تک جمله ای در چند جمله ای، باید آن تک جمله ای را در هر یک از جمله های چند جمله ای ضرب کنید.

ما قبلاً چندین بار از این قانون برای ضرب در یک جمع استفاده کرده ایم.

حاصل چند جمله ای ها تبدیل (ساده سازی) حاصل ضرب دو چند جمله ای

به طور کلی، حاصل ضرب دو چندجمله ای به طور یکسان برابر است با مجموع حاصل ضرب هر جمله یک چند جمله ای و هر جمله دیگر.

معمولاً از قانون زیر استفاده می شود.

برای ضرب یک چند جمله ای در یک چند جمله ای، باید هر جمله یک چند جمله ای را در هر جمله دیگری ضرب کنید و حاصلضرب های حاصل را اضافه کنید.

فرمول ضرب مختصر مجموع مجذورات، تفاوت ها و اختلاف مربع ها

شما باید با برخی از عبارات در تبدیل های جبری بیشتر از دیگران مقابله کنید. شاید رایج ترین عبارات u باشد، یعنی مربع مجموع، مجذور تفاوت و اختلاف مربع ها. توجه کردید که نام این عبارات ناقص به نظر می رسد، مثلاً این فقط مجذور مجموع نیست، بلکه مجذور مجموع a و b است. با این حال، مجذور مجموع a و b به عنوان یک قاعده زیاد رخ نمی دهد، به جای حروف a و b، شامل عبارات مختلف، گاهی اوقات کاملا پیچیده است.

عبارات را می توان به راحتی به چند جمله ای های شکل استاندارد تبدیل کرد (ساده شده) در واقع، شما قبلاً هنگام ضرب چند جمله ای با چنین کاری روبرو شده اید.

به خاطر سپردن هویت های حاصل و اعمال آنها بدون محاسبات میانی مفید است. فرمول های کلامی مختصر به این امر کمک می کند.

- مجذور مجموع برابر است با مجموع مجذورات و حاصل ضرب دو برابر.

- مجذور اختلاف برابر است با مجموع مربع های بدون حاصل ضرب.

- اختلاف مربع ها برابر است با حاصلضرب تفاضل و حاصل جمع.

این سه هویت در دگرگونی‌ها اجازه می‌دهند که قسمت‌های چپ خود را با قسمت‌های راست جایگزین کنند و بالعکس - قسمت‌های راست را با قسمت‌های چپ جایگزین کنند. دشوارترین کار دیدن عبارات مربوطه و درک نحوه جایگزینی متغیرهای a و b در آنها است. بیایید به چند نمونه از استفاده از فرمول ضرب اختصاری نگاه کنیم.

کتاب ها (کتاب های درسی) چکیده آزمون های آنلاین آزمون دولتی و آزمون یکپارچه دولتی بازی ها، پازل ها رسم نمودارهای توابع فرهنگ لغت املای زبان روسی فرهنگ لغت عامیانه جوانان کاتالوگ مدارس روسی کاتالوگ موسسات آموزشی متوسطه روسیه کاتالوگ کاتالوگ دانشگاه های روسیه از دانشگاه های روسیه فهرست مسائل پیدا کردن GCD و LCM ساده کردن یک چند جمله ای (ضرب چند جمله ای) تقسیم یک چند جمله ای بر یک چند جمله ای با یک ستون محاسبه کسرهای عددی حل مسائل مربوط به درصد اعداد مختلط: مجموع، تفاوت، حاصلضرب و ضریب سیستم های 2 معادله خطی با دو معادله خطی متغیرها حل معادله درجه دوم جداسازی مربع یک دو جمله ای و فاکتورگیری از یک مثلث درجه دوم حل نامساوی حل سیستم نامساوی نمودار یک تابع درجه دوم ترسیم نمودار یک تابع خطی کسری حل پیشرفت های حسابی و هندسی حل مثلثاتی، نمایی، معادلات انتگرال، نمایی، معادلات انتگرال سنجی، اشتقاقی، معادلات انتگرالی , ضد مشتق حل مثلث محاسبه اعمال با بردار محاسبه اعمال با خطوط و صفحات مساحت اشکال هندسی محیط اشکال هندسی حجم اجسام هندسی مساحت سطح اجسام هندسی
سازنده وضعیت ترافیک
آب و هوا - اخبار - فال

www.mathsolution.ru

پرانتز در حال گسترش

ما به مطالعه مبانی جبر ادامه می دهیم. در این درس می آموزیم که چگونه پرانتزها را در عبارات بسط دهیم. گسترش پرانتز به معنای حذف پرانتز از یک عبارت است.

برای باز کردن پرانتز، فقط باید دو قانون را به خاطر بسپارید. با تمرین منظم، می توانید براکت ها را با چشمان بسته باز کنید و قوانینی را که باید از روی قلب یاد می گرفتید، می توانید با خیال راحت فراموش کنید.

اولین قانون برای باز کردن پرانتز

عبارت زیر را در نظر بگیرید:

ارزش این عبارت است 2 . بیایید پرانتز را در این عبارت باز کنیم. گسترش پرانتز به معنای خلاص شدن از شر آنها بدون تأثیر بر معنای عبارت است. یعنی بعد از خلاص شدن از پرانتز، ارزش عبارت 8+(−9+3) هنوز باید برابر با دو باشد.

اولین قانون برای باز کردن پرانتز به شرح زیر است:

هنگام باز کردن براکت ها، اگر جلوی براکت ها مثبت باشد، این پلاس به همراه براکت ها حذف می شود.

بنابراین، ما آن را در بیان می بینیم 8+(−9+3) قبل از پرانتز علامت مثبت وجود دارد. این بعلاوه باید به همراه پرانتز حذف شود. به عبارت دیگر، براکت ها همراه با مثبتی که در مقابل آنها قرار داشت ناپدید می شوند. و آنچه در داخل پرانتز بود بدون تغییر نوشته می شود:

8−9+3 . این عبارت برابر است با 2 مانند عبارت قبلی با پرانتز برابر بود 2 .

8+(−9+3) و 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

مثال 2.پرانتز را در بیان باز کنید 3 + (−1 − 4)

جلوی براکت ها یک علامت مثبت وجود دارد، یعنی این پلاس به همراه براکت ها حذف می شود. آنچه در پرانتز بود بدون تغییر باقی می ماند:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

مثال 3.پرانتز را در بیان باز کنید 2 + (−1)

در این مثال، باز کردن پرانتز به نوعی عمل معکوس جایگزینی تفریق با جمع تبدیل شد. چگونه این را بفهمیم؟

در بیان 2−1 تفریق اتفاق می افتد، اما می توان آن را با جمع جایگزین کرد. سپس عبارت را دریافت می کنیم 2+(−1) . اما اگر در بیان 2+(−1) براکت ها را باز کنید، اصل را می گیرید 2−1 .

بنابراین، اولین قانون برای باز کردن پرانتز می تواند برای ساده سازی عبارات پس از برخی تبدیل ها استفاده شود. یعنی از شر براکت ها خلاصش کنید و ساده ترش کنید.

به عنوان مثال، بیایید عبارت را ساده کنیم 2a+a-5b+b .

برای ساده کردن این عبارت، می توان اصطلاحات مشابهی را ارائه داد. به یاد بیاوریم که برای کاهش عبارت های مشابه، باید ضرایب عبارت های مشابه را جمع کرده و نتیجه را در قسمت حرف مشترک ضرب کنید:

تعبیر پیدا کرد 3a+(-4b). بیایید پرانتزهای این عبارت را حذف کنیم. جلوی براکت ها یک مثبت وجود دارد، بنابراین از قانون اول برای باز کردن براکت ها استفاده می کنیم، یعنی براکت ها را به همراه علامت مثبتی که قبل از این براکت ها آمده است حذف می کنیم:

پس بیان 2a+a-5b+bرا ساده می کند 3a-4b .

پس از باز کردن برخی از پرانتزها، ممکن است در طول مسیر با دیگران روبرو شوید. ما همان قوانین را برای آنها اعمال می کنیم که برای اولین ها. به عنوان مثال، بیایید پرانتز را در عبارت زیر گسترش دهیم:

دو جا وجود دارد که باید پرانتز را باز کنید. در این مورد، قانون اول باز کردن پرانتز اعمال می شود، یعنی حذف پرانتز به همراه علامت مثبت قبل از این پرانتز:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

مثال 3.پرانتز را در بیان باز کنید 6+(−3)+(−2)

در هر دو جایی که پرانتز وجود دارد، قبل از آنها یک علامت مثبت وجود دارد. در اینجا دوباره اولین قانون باز کردن پرانتز اعمال می شود:

گاهی اوقات اولین عبارت داخل پرانتز بدون علامت نوشته می شود. مثلاً در بیان 1+(2+3−4) اولین ترم در پرانتز 2 بدون علامت نوشته شده است این سوال پیش می آید که بعد از حذف براکت ها و علامت مثبت جلوی براکت ها چه علامتی جلوی این دو ظاهر می شود؟ پاسخ به خودی خود نشان می دهد - یک امتیاز مثبت در مقابل این دو وجود خواهد داشت.

در واقع، حتی در داخل پرانتز بودن، جلوی این دو علامت مثبت وجود دارد، اما ما آن را نمی‌بینیم زیرا نوشته نشده است. قبلاً گفتیم که نمادگذاری کامل اعداد مثبت به نظر می رسد +1, +2, +3. اما طبق سنت، مثبت ها یادداشت نمی شوند، به همین دلیل است که اعداد مثبتی را می بینیم که برای ما آشنا هستند 1, 2, 3 .

بنابراین، برای گسترش پرانتز در عبارت 1+(2+3−4) ، طبق معمول باید پرانتزها را به همراه علامت مثبت جلوی این پرانتزها حذف کنید، اما اولین عبارتی که در داخل پرانتز بود را با علامت مثبت بنویسید:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

مثال 4.پرانتز را در بیان باز کنید −5 + (2 − 3)

جلوی براکت ها یک مثبت وجود دارد، بنابراین قانون اول را برای باز کردن براکت ها اعمال می کنیم، یعنی براکت ها را به همراه مثبتی که قبل از این براکت ها آمده است حذف می کنیم. اما جمله اول که در پرانتز با علامت مثبت می نویسیم:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

مثال 5.پرانتز را در بیان باز کنید (−5)

جلوی پرانتز یک علامت مثبت وجود دارد، اما یادداشت نمی شود زیرا قبل از آن عدد یا عبارت دیگری وجود نداشت. وظیفه ما حذف پرانتز با اعمال قانون اول باز کردن پرانتز است، یعنی حذف پرانتز به همراه این بعلاوه (حتی اگر نامرئی باشد)

مثال 6.پرانتز را در بیان باز کنید 2a + (-6a + b)

جلوی براکت ها یک علامت مثبت وجود دارد، یعنی این پلاس به همراه براکت ها حذف می شود. آنچه در داخل پرانتز بود بدون تغییر نوشته می شود:

2a + (-6a + b) = 2a -6a + b

مثال 7.پرانتز را در بیان باز کنید 5a + (-7b + 6c) + 3a + (-2d)

دو مکان در این عبارت وجود دارد که باید پرانتزها را گسترش دهید. در هر دو بخش قبل از براکت ها یک علامت مثبت وجود دارد، به این معنی که این پلاس به همراه براکت ها حذف شده است. آنچه در داخل پرانتز بود بدون تغییر نوشته می شود:

5a + (-7b + 6c) + 3a + (-2d) = 5a -7b + 6c + 3a - 2d

قانون دوم برای باز کردن پرانتز

حال اجازه دهید به قانون دوم برای باز کردن پرانتز نگاه کنیم. زمانی استفاده می شود که قبل از پرانتز یک منهای وجود داشته باشد.

اگر قبل از پرانتز یک منهای وجود داشته باشد، این منفی همراه با براکت ها حذف می شود، اما عبارت هایی که در پرانتز بودند، علامت خود را به عکس تغییر می دهند.

به عنوان مثال، اجازه دهید پرانتز را در عبارت زیر گسترش دهیم

می بینیم که قبل از براکت ها یک منهای وجود دارد. این بدان معنی است که شما باید قانون توسعه دوم را اعمال کنید، یعنی براکت ها را به همراه علامت منفی جلوی این براکت ها حذف کنید. در این صورت، عباراتی که در داخل پرانتز بودند، علامت خود را به عکس تغییر می‌دهند:

ما یک عبارت بدون پرانتز دریافت کردیم 5+2+3 . این عبارت برابر با 10 است، همانطور که عبارت قبلی با پرانتز برابر با 10 بود.

بنابراین، بین عبارات 5−(−2−3) و 5+2+3 شما می توانید علامت مساوی قرار دهید، زیرا آنها با یک مقدار برابر هستند:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

مثال 2.پرانتز را در بیان باز کنید 6 − (−2 − 5)

قبل از براکت ها یک منهای وجود دارد، بنابراین قانون دوم را برای باز کردن براکت ها اعمال می کنیم، یعنی براکت ها را به همراه منهای قبل از این براکت ها حذف می کنیم. در این مورد، عباراتی را که در داخل پرانتز قرار داشتند با علائم مخالف می نویسیم:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

مثال 3.پرانتز را در بیان باز کنید 2 − (7 + 3)

قبل از براکت ها یک منهای وجود دارد، بنابراین قانون دوم را برای باز کردن براکت ها اعمال می کنیم:

مثال 4.پرانتز را در بیان باز کنید −(−3 + 4)

مثال 5.پرانتز را در بیان باز کنید −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

دو جا وجود دارد که باید پرانتز را باز کنید. در حالت اول، باید قانون دوم را برای باز کردن پرانتزها و زمانی که نوبت به عبارت می‌رسد، اعمال کنید +(−9−2) شما باید قانون اول را اعمال کنید:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

مثال 6.پرانتز را در بیان باز کنید −(−a − 1)

مثال 7.پرانتز را در بیان باز کنید −(4a + 3)

مثال 8.پرانتز را در بیان باز کنید الف − (4b + 3) + 15

مثال 9.پرانتز را در بیان باز کنید 2a + (3b - b) - (3c + 5)

دو جا وجود دارد که باید پرانتز را باز کنید. در حالت اول، باید قانون اول را برای باز کردن پرانتزها و زمانی که نوبت به عبارت می‌رسد، اعمال کنید −(3c+5)شما باید قانون دوم را اعمال کنید:

2a + (3b - b) - (3c + 5) = 2a + 3b - b - 3c - 5

مثال 10.پرانتز را در بیان باز کنید -a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15)

سه مکان وجود دارد که باید براکت ها را باز کنید. ابتدا باید قانون دوم را برای باز کردن پرانتز اعمال کنید، سپس اولی و سپس دوباره دومی:

-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = -a + 4a − 6b + 8c − 15

مکانیزم باز کردن براکت

قوانین باز کردن پرانتزها که اکنون بررسی کردیم بر اساس قانون توزیعی ضرب است:

در واقع پرانتز بازروشی است که در آن ضریب مشترک در هر جمله داخل پرانتز ضرب می شود. در نتیجه این ضرب، براکت ها ناپدید می شوند. به عنوان مثال، اجازه دهید پرانتز در عبارت را گسترش دهیم 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

بنابراین، اگر نیاز دارید که یک عدد را در یک عبارت داخل پرانتز ضرب کنید (یا یک عبارت داخل پرانتز را در یک عدد ضرب کنید)، باید بگویید بیایید پرانتزها را باز کنیم.

اما قانون توزیعی ضرب چگونه با قوانین باز کردن پرانتز که قبلا بررسی کردیم، ارتباط دارد؟

واقعیت این است که قبل از هر پرانتز یک عامل مشترک وجود دارد. در مثال 3×(4+5)عامل مشترک است 3 . و در مثال a(b+c)عامل مشترک یک متغیر است الف

اگر هیچ عدد یا متغیری قبل از پرانتز وجود نداشته باشد، عامل مشترک است 1 یا −1 بسته به اینکه چه علامتی در جلوی پرانتزها باشد. اگر جلوی پرانتز یک مثبت وجود داشته باشد، فاکتور مشترک آن است 1 . اگر قبل از پرانتز یک منهای وجود داشته باشد، عامل مشترک است −1 .

به عنوان مثال، اجازه دهید پرانتز در عبارت را گسترش دهیم −(3b-1). جلوی پرانتز علامت منفی وجود دارد، بنابراین برای باز کردن پرانتز باید از قانون دوم استفاده کنید، یعنی پرانتز را به همراه علامت منفی جلوی پرانتز حذف کنید. و عبارتی را که در داخل پرانتز بود با علائم مخالف بنویسید:

ما براکت ها را با استفاده از قانون گسترش براکت ها گسترش دادیم. اما همین براکت ها را می توان با استفاده از قانون توزیعی ضرب باز کرد. برای این کار ابتدا قبل از پرانتز فاکتور مشترک 1 را که نوشته نشده بود بنویسید:

علامت منفی که قبلاً قبل از براکت ها قرار داشت به این واحد اشاره دارد. اکنون می توانید با استفاده از قانون توزیعی ضرب، براکت ها را باز کنید. برای این منظور عامل مشترک −1 باید در هر جمله داخل پرانتز ضرب کنید و نتایج را اضافه کنید.

برای سهولت، تفاوت داخل پرانتز را با مقدار جایگزین می کنیم:

-1 (3b -1) = -1 (3b + (-1)) = -1 × 3b + (-1) × (-1) = -3b + 1

مانند دفعه قبل که بیان را دریافت کردیم -3b+1. همه موافقند که این بار زمان بیشتری برای حل چنین مثال ساده ای صرف شد. بنابراین، عاقلانه تر است که از قوانین آماده برای باز کردن پرانتزها استفاده کنید که در این درس به آنها پرداختیم:

اما دانستن اینکه این قوانین چگونه کار می کنند ضرری ندارد.

در این درس، یک تحول مشابه دیگر را یاد گرفتیم. همراه با باز کردن پرانتزها، خارج کردن کلی از پرانتز و آوردن اصطلاحات مشابه، می توانید دامنه مشکلاتی را که باید حل شوند کمی گسترش دهید. به عنوان مثال:

در اینجا باید دو عمل انجام دهید - ابتدا براکت ها را باز کنید و سپس شرایط مشابه را بیاورید. بنابراین، به ترتیب:

1) پرانتزها را باز کنید:

2) ما اصطلاحات مشابه را ارائه می دهیم:

در عبارت حاصل −10b+(-1)می توانید براکت ها را گسترش دهید:

مثال 2.پرانتز را باز کنید و عبارت های مشابه را در عبارت زیر اضافه کنید:

1) بیایید پرانتزها را باز کنیم:

2) اجازه دهید اصطلاحات مشابهی را ارائه کنیم.این بار برای صرفه جویی در زمان و مکان، نحوه ضرب ضرایب در قسمت حرف مشترک را نمی نویسیم.

مثال 3.یک عبارت را ساده کنید 8 متر + 3 مترو ارزش آن را در m=-4

1) ابتدا بیایید عبارت را ساده کنیم. برای ساده کردن بیان 8 متر + 3 متر، می توانید عامل مشترک در آن را حذف کنید مترخارج از پرانتز:

2) مقدار عبارت را بیابید m(8+3)در m=-4. برای انجام این کار، در بیان m(8+3)به جای یک متغیر مترعدد را جایگزین کنید −4

m (8 + 3) = -4 (8 + 3) = -4 × 8 + (-4) × 3 = -32 + (12-) = -44

A+(b + c) را می توان بدون پرانتز نوشت: a+(b + c)=a + b + c. این عمل را باز کردن پرانتز می نامند.

مثال 1.بیایید پرانتزهای عبارت a + (- b + c) را باز کنیم.

راه حل. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.

اگر علامت "+" در جلوی پرانتز وجود دارد، می توانید با حفظ علائم عبارت ها در پرانتز، براکت ها و این علامت "+" را حذف کنید. اگر اولین عبارت داخل پرانتز بدون علامت نوشته شود، باید با علامت + نوشته شود.

مثال 2.بیایید مقدار عبارت -2.87+ (2.87-7.639) را پیدا کنیم.

راه حل.با باز کردن پرانتزها، - 2.87 + (2.87 - 7.639) = - - 2.87 + 2.87 - 7.639 = 0 - 7.639 = - 7.639 را دریافت می کنیم.

برای پیدا کردن مقدار عبارت - (- 9 + 5)، باید اضافه کنید اعداد-9 و 5 و عدد مقابل حاصل جمع حاصل را پیدا کنید: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

همین مقدار را می توان به روش دیگری به دست آورد: ابتدا اعداد مقابل این عبارت ها را بنویسید (یعنی علائم آنها را تغییر دهید) و سپس اضافه کنید: 9 + (- 5) = 4. بنابراین -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.

برای نوشتن مجموع مخالف مجموع چند جمله باید علائم این جمله ها را تغییر دهید.

این یعنی - (a + b) = - a - b.

مثال 3.بیایید مقدار عبارت 16 - (10 -18 + 12) را پیدا کنیم.

راه حل. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

برای باز کردن پرانتزهایی که قبل از آنها علامت "-" وجود دارد، باید این علامت را با "+" جایگزین کنید، علائم تمام عبارات داخل پرانتز را برعکس تغییر دهید و سپس پرانتزها را باز کنید.

مثال 4.بیایید مقدار عبارت 9.36-(9.36 - 5.48) را پیدا کنیم.

راه حل. 9.36 - (9.36 - 5.48) = 9.36 + (- 9.36 + 5.48) = = 9.36 - 9.36 + 5.48 = 0 -f 5.48 = 5،48.

بسط پرانتز و به کار بردن ویژگی های جابجایی و تداعی علاوه بر اینبه شما امکان می دهد محاسبات را ساده کنید.

مثال 5.بیایید مقدار عبارت (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5 را پیدا کنیم.

راه حل.ابتدا پرانتزها را باز می کنیم و سپس مجموع همه اعداد مثبت و مجزا مجموع همه اعداد منفی را به طور جداگانه پیدا می کنیم و در نهایت نتایج را جمع می کنیم:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

مثال 6.بیایید ارزش عبارت را پیدا کنیم

راه حل.ابتدا بیایید هر جمله را مجموع اجزای اعداد صحیح و کسری آنها تصور کنیم، سپس پرانتزها را باز کنیم، سپس اعداد صحیح را به صورت جداگانه اضافه کنیم. کسریبخش ها و در نهایت جمع کردن نتایج:

چگونه پرانتزهایی را که قبل از علامت "+" قرار دارند باز می کنید؟ چگونه می توان مقدار عبارتی را که مخالف مجموع چند عدد است، پیدا کرد؟ چگونه پرانتزهای قبل از علامت "-" را گسترش دهیم؟

1218. پرانتزها را باز کنید:

الف) 3.4+ (2.6+ 8.3); ج) m+(n-k);

ب) 4.57+ (2.6 - 4.57); د) c+(-a + b).

1219. معنی عبارت را بیابید:

1220. پرانتزها را باز کنید:

الف) 85+ (7.8+ 98)؛ د) -(80-16) + 84; ز) a-(b-k-n);
ب) (4.7 -17)+7.5; e) -a + (m-2.6); ح) -(a-b + c);
ج) 64-(90 + 100); ه) c+(- a-b); ط) (m-n)-(p-k).

1221. پرانتز را باز کنید و معنی عبارت را بیابید:

1222. عبارت را ساده کنید:

1223. بنویس مقداردو عبارت و ساده کردن آن:

الف) - 4 - m و m + 6.4؛ د) a+b و p - b
ب) 1.1+a و -26-a. ه) - m + n و -k - n؛
ج) a + 13 و -13 + b; e)m - n و n - m.

1224- تفاوت دو عبارت را بنویس و ساده کن:

1226. برای حل مسئله از معادله استفاده کنید:

الف) در یک قفسه 42 کتاب و در قفسه دیگر 34 کتاب از قفسه دوم برداشته شد و به همان تعداد کتاب از قفسه اول برداشته شد. پس از آن، 12 کتاب در قفسه اول باقی مانده بود. چند کتاب از قفسه دوم حذف شد؟

ب) 42 دانش آموز در پایه اول، 3 دانش آموز در کلاس دوم کمتر از سوم هستند. اگر 125 دانش آموز در این سه پایه وجود داشته باشد، در کلاس سوم چند دانش آموز وجود دارد؟

1227. معنی عبارت را بیابید:

۱۲۲۸ شفاهی حساب کن:

1229. بیشترین مقدار عبارت را بیابید:

1230. 4 عدد صحیح متوالی را مشخص کنید اگر:

الف) کوچکتر آنها 12- است. ج) کوچکتر آنها n است.
ب) بزرگترین آنها 18- است. د) بزرگتر آنها برابر k است.

عملکرد اصلی پرانتزها تغییر ترتیب اعمال هنگام محاسبه مقادیر است. به عنوان مثال، در عبارت عددی \(5·3+7\) ابتدا ضرب و سپس جمع محاسبه می شود: \(5·3+7 =15+7=22\). اما در عبارت \(5·(3+7)\) ابتدا جمع داخل پرانتز محاسبه می شود و تنها پس از آن ضرب: \(5·(3+7)=5·10=50\).

مثال. براکت را باز کنید: \(-(4m+3)\).
راه حل : \(-(4m+3)=-4m-3\).

مثال. براکت را باز کنید و عبارت های مشابه \(5-(3x+2)+(2+3x)\) را وارد کنید.
راه حل : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

مثال. براکت های \(5(3-x)\) را باز کنید.
راه حل : در براکت \(3\) و \(-x\) داریم و قبل از براکت یک پنج وجود دارد. این بدان معنی است که هر عضو براکت در \(5\) ضرب می شود - به شما یادآوری می کنم که علامت ضرب بین یک عدد و یک پرانتز در ریاضیات برای کاهش اندازه ورودی ها نوشته نمی شود..

مثال. پرانتزهای \(-2(-3x+5)\) را باز کنید.
راه حل : مانند مثال قبل، \(-3x\) و \(5\) داخل پرانتز در \(-2\) ضرب می شوند.

مثال. عبارت را ساده کنید: \(5(x+y)-2(x-y)\).
راه حل : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

باقی مانده است که آخرین وضعیت را در نظر بگیریم.

هنگام ضرب براکت در براکت، هر جمله براکت اول با هر جمله دوم ضرب می شود:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

مثال. براکت ها را باز کنید \((2-x)(3x-1)\).
راه حل : ما یک محصول از براکت داریم و می توان آن را بلافاصله با استفاده از فرمول بالا گسترش داد. اما برای اینکه گیج نشویم، بیایید همه چیز را مرحله به مرحله انجام دهیم.
مرحله 1. براکت اول را بردارید - هر یک از عبارت های آن را در براکت دوم ضرب کنید:

مرحله 2. محصولات براکت ها و فاکتور را همانطور که در بالا توضیح داده شد گسترش دهید:
- اول از همه...

سپس دومی.

مرحله 3. اکنون عبارت های مشابه را ضرب و ارائه می کنیم:

لازم نیست تمام تحولات را با این جزئیات توصیف کنید. اما اگر تازه یاد می گیرید چگونه پرانتز را باز کنید، با جزئیات بنویسید، احتمال اشتباه کمتری وجود خواهد داشت.

به کل بخش توجه داشته باشید.در واقع، لازم نیست هر چهار قانون را به خاطر بسپارید، فقط باید یکی را به خاطر بسپارید، این یکی: \(c(a-b)=ca-cb\) . چرا؟ زیرا اگر به جای c یکی را جایگزین کنید، قانون \((a-b)=a-b\) را دریافت می کنید. و اگر منهای یک را جایگزین کنیم، قانون \(-(a-b)=-a+b\) را بدست می آوریم. خوب، اگر به جای c براکت دیگری را جایگزین کنید، می توانید قانون آخر را دریافت کنید.

پرانتز در پرانتز

گاهی اوقات در عمل مشکلاتی با براکت های تو در تو در داخل براکت های دیگر وجود دارد. در اینجا مثالی از چنین کاری آورده شده است: عبارت \(7x+2(5-(3x+y))\) را ساده کنید.

برای حل موفقیت آمیز چنین وظایفی، شما نیاز دارید:
- تودرتوی براکت ها را به دقت درک کنید - کدام یک در کدام است.
- براکت ها را به صورت متوالی باز کنید، مثلاً از درونی ترین آنها شروع کنید.

هنگام باز کردن یکی از براکت ها مهم است به بقیه عبارت دست نزنید، فقط آن را همانطور که هست بازنویسی کنید.
بیایید به عنوان مثال به کار نوشته شده در بالا نگاه کنیم.

مثال. پرانتزها را باز کنید و عبارات مشابه \(7x+2(5-(3x+y))\ را وارد کنید.
راه حل:

مثال. پرانتزها را باز کنید و اصطلاحات مشابه \(-(x+3(2x-1+(x-5))) را وارد کنید.
راه حل :

گسترش پرانتز یک مهارت اساسی در ریاضیات است. بدون این مهارت، داشتن نمره بالاتر از C در پایه های 8 و 9 غیرممکن است. بنابراین توصیه می کنم این موضوع را به خوبی درک کنید.

در میان عبارات مختلفی که در جبر مورد توجه قرار می گیرد، مجموع تک جمله ها جایگاه مهمی را به خود اختصاص می دهند. در اینجا نمونه هایی از این عبارات آورده شده است:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

مجموع تک جمله ها را چند جمله ای می گویند. اصطلاحات موجود در یک چند جمله ای اصطلاحات چند جمله ای نامیده می شوند. تک جمله ای ها نیز به عنوان چند جمله ای طبقه بندی می شوند و یک تک جمله ای را چند جمله ای متشکل از یک عضو در نظر می گیریم.

به عنوان مثال، یک چند جمله ای
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
را می توان ساده کرد.

اجازه دهید همه اصطلاحات را به صورت تک‌جملاتی از فرم استاندارد نشان دهیم:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

اجازه دهید عبارات مشابه را در چند جمله ای حاصل ارائه کنیم:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
نتیجه یک چند جمله ای است که همه عبارت های آن تک جمله های شکل استاندارد هستند و در بین آنها هیچ مشابهی وجود ندارد. چنین چند جمله ای نامیده می شود چند جمله ای های فرم استاندارد.

برای درجه چند جمله اییک فرم استاندارد بالاترین اختیارات اعضای خود را می گیرد. بنابراین، دو جمله ای \(12a^2b - 7b\) دارای درجه سوم و سه جمله ای \(2b^2 -7b + 6\) دارای درجه دوم است.

به طور معمول، اصطلاحات چندجمله ای های فرم استاندارد حاوی یک متغیر به ترتیب نزولی توان ها مرتب می شوند. به عنوان مثال:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

مجموع چند جمله ای را می توان به چند جمله ای با فرم استاندارد تبدیل کرد (ساده کرد).

گاهی اوقات لازم است اصطلاحات یک چند جمله ای به گروه هایی تقسیم شوند و هر گروه را در پرانتز قرار دهیم. از آنجایی که محصور کردن پرانتز تبدیل معکوس پرانتزهای باز است، فرمول‌بندی آن آسان است قوانین باز کردن پرانتز:

اگر علامت "+" قبل از پرانتز قرار گیرد، اصطلاحات محصور در پرانتز با همان علائم نوشته می شوند.

اگر علامت "-" قبل از پرانتز قرار گیرد، اصطلاحات داخل پرانتز با علائم مخالف نوشته می شوند.

تبدیل (ساده سازی) حاصل ضرب یک جمله و چند جمله ای

با استفاده از خاصیت توزیعی ضرب، می توانید حاصل ضرب یک تک جمله ای و چند جمله ای را به چند جمله ای تبدیل کنید (ساده کنید). به عنوان مثال:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

حاصل ضرب یک تک جمله ای و یک چند جمله ای برابر است با مجموع حاصل از این تک جمله ای و هر یک از جمله های چند جمله ای.

این نتیجه معمولاً به عنوان یک قانون فرموله می شود.

برای ضرب یک تک جمله ای در چند جمله ای، باید آن تک جمله ای را در هر یک از جمله های چند جمله ای ضرب کنید.

ما قبلاً چندین بار از این قانون برای ضرب در یک جمع استفاده کرده ایم.

حاصل چند جمله ای ها تبدیل (ساده سازی) حاصل ضرب دو چند جمله ای

به طور کلی، حاصل ضرب دو چندجمله ای به طور یکسان برابر است با مجموع حاصل ضرب هر جمله یک چند جمله ای و هر جمله دیگر.

معمولاً از قانون زیر استفاده می شود.

برای ضرب یک چند جمله ای در یک چند جمله ای، باید هر جمله یک چند جمله ای را در هر جمله دیگری ضرب کنید و حاصلضرب های حاصل را اضافه کنید.

فرمول ضرب مختصر مجموع مجذورات، تفاوت ها و اختلاف مربع ها

شما باید با برخی از عبارات در تبدیل های جبری بیشتر از دیگران مقابله کنید. شاید رایج ترین عبارات \((a + b)^2، \; (a - b)^2 \) و \(a^2 - b^2 \) باشند، یعنی مربع مجموع، مربع تفاوت و اختلاف مربع ها توجه کردید که نام این عبارات ناقص به نظر می رسد، به عنوان مثال، \((a + b)^2 \) البته فقط مربع مجموع نیست، بلکه مربع مجموع a و b است. . با این حال، مجذور مجموع a و b به عنوان یک قاعده زیاد رخ نمی دهد، به جای حروف a و b، شامل عبارات مختلف، گاهی اوقات کاملا پیچیده است.

عبارات \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) را می توان به راحتی به چند جمله ای های شکل استاندارد تبدیل کرد (ساده شده) در واقع، شما قبلاً هنگام ضرب چند جمله ای با چنین کاری روبرو شده اید :
\((a + b)^2 = (a + b) (a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

به خاطر سپردن هویت های حاصل و اعمال آنها بدون محاسبات میانی مفید است. فرمول های کلامی مختصر به این امر کمک می کند.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - مربع مجموع برابر است با مجموع مربع ها و حاصل ضرب دو برابر.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - مجذور اختلاف برابر است با مجموع مربع‌های بدون حاصل ضرب.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - اختلاف مربع ها برابر است با حاصلضرب تفاوت و مجموع.

این سه هویت در دگرگونی‌ها اجازه می‌دهند که قسمت‌های چپ خود را با قسمت‌های راست جایگزین کنند و بالعکس - قسمت‌های راست را با قسمت‌های چپ جایگزین کنند. دشوارترین کار دیدن عبارات مربوطه و درک نحوه جایگزینی متغیرهای a و b در آنها است. بیایید به چند نمونه از استفاده از فرمول ضرب اختصاری نگاه کنیم.