Движение тела с переменной массой. Уравнение Мещерского
МЕХАНИКА ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ И ТЕОРИЯ РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
На рубеже XIX-XX вв. в России была создана новая область механики, первые стимулы к разработке которой возникли в теоретическом естествознании и которая приобрела исключительно важное значение в технике середины XX в. Это динамика тел переменной массы И.В. Мещерского.
Иван Всеволодович Мещерский (1859-1935) родился в Архангельске. Учился он сначала в приходском училище, затем в уездном. В 1871 г. поступил в Архангельскую гимназию, курс которой окончил в 1878 г. с золотой медалью, причем в аттестате была отмечена «любознательность весьма похвальная, и особенно к древним языкам и математике». В той: же году И.В. Мещерский поступил на математическое отделение физико-математического факультета Петербургского университета. Это было время расцвета Петербургской математической школы, созданной П.Л. Чебышевым. Здесь он с восторгом слушал лекции как самого П.Л. Чебышева, так и известных в то время профессоров А.Н. Коркина (1837- 1908), К.П. Поссе (1847-1928) и многих других.
В студенческие годы Мещерский с особым интересом занимался механикой, которую читали Д.К. Бобылев и Н.С. Будаев. Влияние их сказалось на всей дальнейшей научной деятельности И.В. Мещерского. Особенно значительную роль в его жизни сыграл Д.К. Бобылев, автор крупных работ по гидродинамике и замечательный педагог. По окончании университета в 1882 г. Мещерский был оставлен при университете для подготовки к профессорскому званию.
ИВАН ВСЕВОЛОДОВИЧ МЕЩЕРСКИЙ (1859-1935)
Советский ученый в области механики, основоположник механики тел переменной массы. Работы И.В. Мещерского явились основой для решения многих проблем реактивной техники
В 1889 г. И.В. Мещерский выдержал при Петербургском университете экзамены на ученую степень магистра прикладной математики и получил право на чтение лекций. В ноябре 1890 г. И.В. Мещерский начал преподавание в Петербургском университете в качестве приват-доцента. В 1891 г. он получил кафедру механики на Петербургских высших женских курсах, которую занимал до 1919 г., т. е. времени слияния этих курсов с университетом. В 1897 г. Мещерский успешно защитил в Петербургском университете диссертацию на тему «Динамика точки переменной массы», представленную им для получения степени магистра прикладной математики.
В 1902 г. он был приглашен заведовать кафедрой в незадолго перед тем основанный Петербургский политехнический институт. Здесь и протекала до конца жизни его основная научно-педагогическая работа. И.В. Мещерский 25 лет вел педагогическую работу в Петербургском университете и 33 года в Политехническом институте. Многие слушатели Мещерского стали крупными учеными. Так, например, среди слушателей курса «Интегрирование уравнений механики», прочитанного Мещерским, были такие выдающиеся русские ученые, как академик А.Н. Крылов, профессор Г.В. Колосов и др. В архиве АН СССР хранится тетрадь А.Н. Крылова с записями лекций Мещерского, прочитанных последним в 1890/1891 учебном году в Петербургском университете. Широко известен его курс теоретической механики и особенно прекрасный задачник по механике, выдержавший более двух десятков изданий и принятый в качестве учебного пособия для высших учебных заведений не только в СССР, но и в ряде зарубежных стран.
Основным предметом научных исследований И.В. Мещерского явилась проблема движения тел с переменной массой. Всю свою творческую жизнь он посвятил созданию основ механики переменных масс и достиг в этом выдающихся результатов. Классический закон движения Ньютона, выражаемый дифференциальным уравнением
где m - масса точки, V - скорость, F - равнодействующая приложенных сил, перестает, вообще говоря, быть верным, если масса меняется со временем. Между тем в ряде важных случаев приходится иметь дело с движущимися телами переменной массы. Сам Мещерский в своей работе «Динамика точки переменной массы» писал: «Такие случаи нам представляет сама природа: масса Земли возрастает вследствие падения на нее метеоритов; масса метеорита, движущегося в атмосфере, убывает вследствие того, что некоторые частицы его или отрываются, или сгорают; масса падающей градины или снежинки возрастает в тех частях пути, где на нее оседают пары из окружающей атмосферы, и убывает вследствие испарения там, где она проходит через слои воздуха, более теплые и более сухие; плавающая льдина представляет пример, где масса возрастает вследствие намерзания и убывает вследствие таяния и т. д.
В некоторых случаях изменение массы вызывается искусственно: убывает масса летящей ракеты вследствие сгорания; убывает масса аэростата при выбрасывании балласта; возрастает масса привязного аэростата, когда он, поднимаясь, вытягивает за собой канат; возрастает масса корабля при нагрузке и убывает при разгрузке и т. д. Вообще, если тело находится в воздухе, масса его может возрастать вследствие оседания пыли и паров, вследствие присоединения частиц других тел, с которыми оно приходит в соприкосновение; масса может убывать вследствие сгорания, испарения, распыления.
Если тело находится в жидкости, его масса может возрастать вследствие оседания на поверхности некоторых частиц из этой жидкости, вследствие намерзания и может убывать вследствие размывания тела жидкостью, вследствие растворения или таяния» {217} .
До Мещерского были разобраны лишь немногие частные задачи такого рода, и к тому же решения их иногда были ошибочными. Можно утверждать, что на рубеже XIX и XX вв. трудами И.В. Мещерского были заложены основы динамики точки переменной массы и создан новый большой раздел теоретической механики - механика переменных масс. И.В. Мещерский начал заниматься вопросами движения тел переменной массы в 1893 г. 27 января этого года на заседании Петербургского математического общества он доложил о первых своих результатах в этом направлении.
В магистерской диссертации «Динамика точки переменной массы» Мещерский установил, что если масса точки изменяется во время движения, то основное дифференциальное уравнение движения Ньютона заменяется следующим фундаментальным уравнением движения точки переменной массы:
где F и R = dm/dt?U r - заданная и реактивная силы.
Это уравнение называют уравнением Мещерского. В диссертации Мещерский дал общую теорию движения точки переменной массы для случая отделения (или присоединения) частиц. В 1904 г. в «Известиях Петербургского политехнического института» был напечатан второй труд И.В. Мещерского «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае». В этой работе теория Мещерского получила окончательное и в высшей степени изящное выражение. Здесь он устанавливает и исследует общее уравнение движения точки, масса которой изменяется от одновременного процесса присоединения и излучения материальных частиц. И.В. Мещерский не только разработал теоретические основы динамики переменной массы, но и рассмотрел большое количество частных задач о движении точки переменной массы, например восходящее движение ракеты и вертикальное движение аэростата. Он подверг весьма обстоятельному исследованию движение точки переменной массы под действием центральной силы, заложив тем самым основания небесной механики тел переменной массы. Он исследовал также и некоторые проблемы комет. И.В. Мещерский впервые сформулировал и так называемые обратные задачи, когда по заданным внешним силам и траектории определяется закон изменения массы.
Заслуги И.В. Мещерского в науке чрезвычайно велики. Однако лишь в последнее время с достаточной полнотой выяснилось огромное практическое значение его исследований по механике переменных масс. После второй мировой войны стало появляться большое число глубоких теоретических исследований, посвященных как специальным проблемам ракетодинамики и динамики тел переменной массы, так и обобщению результатов исследований И.В. Мещерского. Опираясь на труды И.В. Мещерского, советские ученые разработали основные вопросы динамики твердого тела и произвольных изменяемых систем переменной массы.
В историю отечественной науки Мещерский вошел как основоположник механики тел переменной массы. Его исследования в этой области явились теоретической основой современной ракетодинамики. Имя И.В. Мещерского неразрывно связано с именем создателя научных основ космонавтики К.Э. Циолковского.
Константин Эдуардович Циолковский является пионером ракетодинамики, теории реактивных двигателей и учения о межпланетных сообщениях. Он один из основателей экспериментальной аэродинамики в России, создатель первого проекта конструкции и теории цельнометаллического дирижабля, автор многих ценных изобретений в технике летания.
Жизнь Циолковского полна подлинного драматизма. Его трагическая судьба в дореволюционной России и затем великий триумф в Советском Союзе отразили исторический перелом в судьбах отечественной научно-технической мысли.
Напряженная, наполненная непрестанными поисками, до предела насыщенная внутренним содержанием, жизнь Циолковского небогата внешними событиями. Его биография резко отличается от обычных жизнеописаний ученых. Здесь нет студенческих лет, непосредственного общения с представителями предшествующего поколения ученых, разрабатывавшими такие же или сходные проблемы, нет кафедры, научных рангов и т. д.
Константин Эдуардович Циолковский родился 17 сентября 1857 г. в с. Ижевском Спасского уезда Рязанской губернии в семье ученого-лесовода. Девяти лет Циолковский в результате осложнения, полученного после скарлатины, почти полностью потерял слух. Глухота не позволила продолжать учебу в школе. Чтобы восполнить пробел в своем образовании, он, занимаясь самостоятельно, прошел полный курс средней школы и значительную часть университетского курса.
В своей автобиографии К.Э. Циолковский писал: «…Учителей, кроме ограниченного количества и сомнительного качества книг, у меня не было, и меня можно считать самоучкой чистой крови. Я так привык к самостоятельной работе, что, читая учебники, считал более легким для себя доказать теорему без книги, чем вычитывать из нее доказательства».
В 1879 г. Константин Эдуардович сдал экстерном экзамен на звание учителя средней школы и начал преподавать математику в Боровском уездном училище Калужской губернии. Все свободное от школьных занятий время он посвящал научным исследованиям.
Творчество Циолковского отличают разносторонность и широта научных интересов. Его интересовали самые разнообразные области знания - естествознание, техника, философия. Однако основные его работы связаны с решением трех крупнейших технических проблем: воздухоплавание, авиация и межпланетные сообщения.
В середине 80-х годов Циблковский начал проводить серьезные исследования по проблеме создания управляемого аэростата. В результате он пришел к выводу, что целесообразно создавать аэростаты только металлические и больших размеров. Кроме того, Циолковский показал, что возможно осуществить управление аэростатами. Он разработал проект цельнометаллического дирижабля с гофрированной оболочкой, у которого в полете мог изменяться объем и производиться подогрев газа.
Изменение объема аэростата давало возможность сохранить неизменной подъемную силу при изменении температуры и давления окружающего воздуха. Подогрев газа внутри корпуса аэростата Циолковский предполагал производить за счет тепла отработанных продуктов сгорания. Идея подогрева газа преследовала цель регулировать изменение подъемной силы дирижабля при перемене метеорологических условий, при подъеме и спуске, сохраняя газ и балласт.
КОНСТАНТИН ЭДУАРДОВИЧ ЦИОЛКОВСКИЙ (1857-1935)
Советский ученый и изобретатель, основоположник современной ракет о динамики, теории реактивных двигателей и учения о межпланетных сообщениях
Другой важной технической проблемой, которой Циолковский уделял большое внимание, является разработка вопросов аэродинамики и авиации. Уже в работе по теоруии аэростата, законченной в 1886 г., он затрагивает вопросы аэродинамики в связи с определением, формы аэростата наименьшего сопротивления. Непосредственно аэродинамическим исследованиям посвящена его работа «Давление жидкости на равномерно движущуюся плоскость» (опубликована в 1891 г.).
В 1894 г. появляется его работа по теории самолета «Аэроплан или птицеподобная (авиационная) летательная машина».
Анализируя возможные схемы летательных аппаратов (с машущими и с неподвижными крыльями), Циолковский приходит к идее создания летательной машины, близкой по схеме к современному самолету-моноплану. Циолковский разработал схему самолета, представлявшего собой моноплан со свободнонесущими крыльями, обтекаемой формы фюзеляжем, горизонтальным и вертикальным оперениями, винтомоторной группой (с двигателем внутреннего сгорания), колесным шасси. Крыло самолета имело вогнутый профиль (с острой задней кромкой), толщина которого уменьшалась при приближении к задней кромке.
В 1897 г. Циолковский сконструировал аэродинамическую трубу - первую в России трубу, примененную для исследований в области авиации и воздухоплавания. Опыты в аэродинамической трубе позволили Циолковскому установить важнейшие законы сопротивления среды, провести систематическое исследование лобового сопротивления и подъемной силы тел различной формы, в том числе пяти моделей крыльев (плоских и вогнутых пластинок различного удлинения) и оболочек дирижаблей. Результаты своих первых исследований в аэродинамической трубе Циолковский изложил в работе «Давление воздуха на поверхности, введенные в искусственный воздушный поток», напечатанной в «Вестнике опытной физики и элементарной математики» в 1898 г.
В этой работе Циолковский дал анализ влияния удлинения крыла и тела вращения на их аэродинамические характеристики, нашел формулу для сопротивления трению и установил зависимость его от величины скорости и характерного размера тела (причем эти величины входят в формулу в одной и той же степени), дал сравнительную оценку сопротивления тел различной формы, указал на важное влияние формы кормовой части тела на величину его сопротивления.
Третьим крупнейшим циклом работ Циолковского являются его исследования в области реактивного движения и межпланетных сообщений. В 1883 г. он написал книгу «Свободное пространство», в которой рассматривает явления, происходящие в среде при отсутствии силы тяжести. В этой работе он высказывает мысль о возможности использования реактивного движения для полетов в безвоздушном пространстве.
В 1898 г. Циолковский вывел формулу, связывающую скорость ракеты, скорость истечения продуктов горения, массу ракеты и массу израсходованного горючего.
Результаты своих исследований по теории движения ракет, проводившихся в 1896-1898 гг., Циолковский опубликовал лишь в 1903 г. в знаменитом труде «Исследование мировых пространств реактивными приборами». Циолковский впервые обосновал возможность осуществления межпланетных сообщений с помощью ракетных аппаратов и установил законы движения ракет.
В основе теории движения ракет лежит гипотеза о постоянстве относительной скорости истечения газа из сопла. Эта гипотеза называется в современной литературе гипотезой Циолковского и составляет основу всех расчетов, связанных с изучением движения ракет. Вначале Циолковский решает задачу о движении ракеты в среде, где отсутствуют внешние силы. С качественной стороны эта задача была проанализирована Циолковским еще в 1883 г. в работе «Свободное пространство». Дав научное обоснование теории полета ракет, разработав теорию прямолинейного реактивного движения тел переменной массы, Циолковский стал основоположником ракетодинамики.
В литературу по ракетодинамике вошли теоремы, доказанные Циолковским. Первая теорема представляет собой формулу
V max = c?ln(1+z)
где V max - скорость полета ракеты в среде без атмосферы и сил тяготения, с - относительная скорость истечения газов, z = т/М (т - масса топлива, М - масса ракеты без топлива). Отношение т/М = z называется числом Циолковского.
Вторая теорема утверждает, что
u = 1 / 2 ? 2 ,
u = T/T’ = 1 / 2 ? V max 2 ?M: 1 / 2 ?c 2 ?m
Утилизация по Циолковскому, собственно коэффициент полезного действия ракеты (Т - работа, производимая при движении ракеты, Т - работа взрывчатых веществ, т. е. работа, обусловленная истечением газов).
Первая теорема, или формула Циолковского (так она называется в современной технической литературе), применяется в некоторых случаях при расчете параметров космических аппаратов.
Заслуги Циолковского признаны и в других странах, где имя его пользуется большим уважением. Известный немецкий ученый и исследователь реактивного движения в космическом пространстве профессор Герман Оберт писал в 1929 г. К.Э. Циолковскому: «Я, разумеется, самый последний, кто стал бы оспаривать Ваше первенство и Ваши заслуги в области ракет, и я только сожалею, что не услышал о Вас раньше 1925 г. Я был бы, наверное, в моих собственных работах сегодня гораздо дальше и обошелся бы без многих напрасных трудов, зная Ваши превосходные работы» {218} .
Французский аэроклуб, одна из старейших воздухоплавательных организаций, желая посмертно отметить выдающиеся заслуги Циолковского как патриарха звездоплавания и основоположника теории реактивных летательных аппаратов, в 1952 г. изготовил в его честь большую золотую медаль.
За шесть дней до своей смерти, 13 сентября 1935 г., К.Э. Циолковский писал, что его мечта не могла осуществиться до революции. После Октября, говорит Циолковский, «я почувствовал любовь народных масс, и это давало мне силы продолжать работу, уже будучи больным… Все свои труды по авиации, ракетоплаванию и межпланетным сообщениям передаю партии большевиков и Советской власти - подлинным руководителям прогресса человеческой культуры. Уверен, что они успешно закончат мои труды». И он не ошибся. Идеи Циолковского успешно претворяются в жизнь.
Труды К.Э. Циолковского по аэродинамике, авиации, ракетной технике и астронавтике вошли в золотой фонд мировой науки.
Из книги Революция в физике автора де Бройль Луи4. Аналитическая механика и теория Якоби Аналитическая механика, тесно связанная с именем великого Лагранжа, представляет собой совокупность методов, позволяющих быстро написать уравнения движения какой-либо системы, если известен набор параметров, знания которых
Из книги Теория Вселенной автора Этэрнус2. Кинетическая теория газов. Статистическая механика Если все материальные тела состоят из атомов, то естественно допустить, что в телах, находящихся в газообразном состоянии, частицы в среднем находятся достаточно далеко друг от друга и большую часть времени двигаются
Из книги Нейтрино - призрачная частица атома автора Азимов Айзек Из книги Что такое теория относительности автора Ландау Лев Давидович Из книги Эволюция физики автора Эйнштейн АльбертСохранение момента количества движения Движение не обязательно должно представлять собой изменение положения. Если бильярдный шар быстро вращается, не трогаясь с места, было бы несправедливо считать такой шар неподвижным. Кроме того, шар может двигаться по прямой линии
Из книги Движение. Теплота автора Китайгородский Александр ИсааковичСохранение массы При рассмотрении импульса мы имели дело с тремя величинами: скоростью, массой и их произведением, т. е. самим импульсом.С точки зрения сохранения мы рассмотрели две из них: импульс, который сохраняется, и скорость, которая не сохраняется. А что происходит
Из книги Астероидно-кометная опасность: вчера, сегодня, завтра автора Шустов Борис МихайловичНесохранение массы Новое представление о строении атома укрепило уверенность физиков в том, что законы сохранения применимы не только к окружающему нас повседневному миру, но и к тому огромному миру, который изучают астрономы. Но справедливы ли законы сохранения в
Из книги Новый ум короля [О компьютерах, мышлении и законах физики] автора Пенроуз РоджерПринцип относительности движения кажется поколебленным Колоссальная, но все же не бесконечная скорость света в пустоте и привела к конфликту с принципом относительности движения.Представим себе поезд, движущийся с огромной скоростью - 240 000 километров в секунду. Пусть
Из книги Гравитация [От хрустальных сфер до кротовых нор] автора Петров Александр НиколаевичЗагадка движения До тех пор пока мы имеем дело с прямолинейным движением, мы далеки от понимания движений, наблюдаемых в природе. Мы должны рассмотреть криволинейные движения. Наш следующий шаг - определить законы, управляющие такими движениями. Это нелегкая задача.В
Из книги Механика от античности до наших дней автора Григорьян Ашот ТиграновичII. Законы движения Разные точки зрения на движение Чемодан лежит на полке вагона. В то же время он движется вместе с поездом. Дом стоит на Земле, но вместе с ней и движется. Про одно и то же тело можно сказать: движется прямолинейно, покоится, вращается. И все суждения будут
Из книги Вечное движение. История одной навязчивой идеи автора Орд-Хьюм Артур3.4. Неустойчивость движения АСЗ Движение АААА-астероидов совершается в такой области околосолнечного пространства, где оно не может быть устойчивым на длительных интервалах времени, если только какие-либо особые механизмы не поддерживают эту устойчивость. Долготы
Из книги автора Из книги автораЗаконы эллиптического движения Кеплера Вторым человеком, сыгравшим решающую роль в утверждении гелиоцентрической системы, был немецкий ученый Иоганн Кеплер (1571–1630), рис. 2.7. Иоганн родился в бедной семье. Поступил в Тюбингенский университет, где с увлечением занимался
Из книги автораПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ Одним из крупнейших достижений механики в конце XIX в. явилось создание теории устойчивости движения систем с конечным числом степеней свободы. Основоположником этой теории был А.М. Ляпунов, которому наука обязана и многими другими важными
Из книги автораМЕХАНИКА ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ И ТЕОРИЯ РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ В ДОВОЕННЫЙ ПЕРИОД В советское время идеи Мещерского и Циолковского получили широкое развитие. В работах Мещерского дальнейшее развитие получила его идея «отображения» движения, высказанная им еще в 1897 г. В 1918
Получим уравнение движения тела переменной массы (например, движение ракеты сопровождается уменьшением ее массы за счет истечения газов, образующихся от сгорания топлива).
Пусть в момент времени t масса ракеты m , а ее скорость ; тогда по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m-dm , а скорость увеличится до величины Изменение импульса системы за время dt будет равно:
где - скорость истечения газов относительно ракеты. Раскрывая скобки в этом выражении, получим:
Если на систему действуют внешние силы, то т.е. или Тогда 
или
(2.12)
где член называют реактивной силой . Если вектор противоположен , то ракета ускоряется, а если совпадает с , то тормозится.
Таким образом, уравнение движения тела переменной массы имеет следующий вид:
(2.13)
Уравнение (2.13) называется уравнением И.В. Мещерского .
Применим уравнение (2.12) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Тогда, полагая и считая, что ракета движется прямолинейно (скорость истечения газов постоянна), получим:
где С - постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. Если в начальный момент времени , а стартовая масса ракеты составляет m 0 , то .Следовательно,
(2.14)
Полученное соотношение называют формулой К.Э. Циолковского . Из выражения (2.14) следуют следующие практические выводы:
а) чем больше конечная масса ракеты m , тем больше должна быть стартовая масса m 0 ;
б) чем больше скорость истечения газов u , тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.
Уравнения Мещерского и Циолковского справедливы для случаев, когда скорости и намного меньше скорости света с .
Краткие выводы
· Динамика - раздел механики, предметом изучения которого являются законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют это движение.
· В основе динамики материальной точки и поступательного движения твердого тела лежат законы Ньютона . Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета и формулируется следующим образом: существуют такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость постоянной, если на них не действуют другие тела или действие других тел компенсируется .
· Инерциальной называется система отсчета, относительно которой свободная материальная точка, на которую не действуют другие тела, движется равномерно и прямолинейно, или по инерции. Система отсчета, движущаяся относительно инерциальной системы отсчета с ускорением, называется неинерциальной .
· Свойство любого тела оказывать сопротивление изменению его скорости называется инертностью . Мерой инертности тела при его поступательном движении является масса .
· Сила - это векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.
· Второй закон Ньютона формулируется следующим образом: ускорение, приобретаемое телом (материальной точкой), пропорционально равнодействующей приложенных сил, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе тела :
Или 
Более общая формулировка второго закона Ньютона гласит: скорость изменения импульса тела (материальной точки) равна равнодействующей приложенных сил :
где - импульс тела. Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета.
· Всякое действие материальных точек (тел) друг на друга взаимно. Силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль соединяющей точки прямой (третий закон Ньютона) :
Эти силы приложены к разным точкам, действуют парами и являются силами одной природы.
· В замкнутой механической системе выполняется фундаментальный закон природы - закон сохранения импульса : импульс замкнутой системы материальных точек (тел) с течением времени не изменяется :
где n - число материальных точек в системе. Замкнутой (изолированной ) называется механическая система, на которую не действуют внешние силы.
· Закон сохранения импульса является следствием однородности пространства : при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства не изменяются.
Вопросы для самоконтроля и повторения
1. Какие системы отсчета называются инерциальными? Почему система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна?
2. Какое свойство тела называется инертностью? Что является мерой инертности тела при его поступательном движении?
3. Что такое сила, чем она характеризуется?
4. Какие основные задачи решает ньютоновская динамика?
5. Сформулируйте законы Ньютона. Является ли первый закон Ньютона следствием второго закона?
6. В чем заключается принцип независимости действия сил?
7. Что называется механической системой? Какие системы являются замкнутыми (изолированными)?
8. Сформулируйте закон сохранения импульса. В каких системах он выполняется?
9. Каким свойством пространства обусловлена справедливость закона сохранения импульса?
10. Выведите уравнение движения тела переменной массы. Какие практические выводы позволяет сделать формула Циолковского?
Примеры решения задач
Задача 1 . Грузы одинаковой массы (m 1 =m 2 =0,5 кг) соединены нитью и перекинуты через невесомый блок, укрепленный на конце стола (рис. 2.2). Коэффициент трения груза m 2 о стол µ =0,15. Пренебрегая трением в блоке, определить: а) ускорение, с которым движутся грузы; б) силу натяжения нити.
Дано: m 1 =m 2 =0,5 кг; µ =0,15.
Найти: а , Т .
 |
По второму закону Ньютона уравнения
движения грузов имеют вид:
Ответ: а =4,17 м/с 2 , Т =2,82 Н.
Задача 2 . Снаряд массой 5 кг, вылетевший из орудия, в верхней точке траектории имеет скорость 300 м/с. В этой точке он разорвался на два осколка, причем больший осколок массой 3 кг полетел в обратном направлении со скоростью 100 м/с. Определить скорость второго, меньшего, осколка.
Дано: m =5 кг; v =300 м/с; m 1 =3 кг; v 1 =100 м/с.
Найти: v 2 .
По закону сохранения импульса 
где 
м/с.
Ответ: v 2 =900 м/с.
Задачи для самостоятельного решения
1. Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону , где С =2 м/с 2 , D =0,4 м/с 3 . Определить силу, действующую на тело в конце первой секунды движения.
2. К нити подвешен груз массой 500 г. Определить силу натяжения нити, если нить с грузом: а) поднимать с ускорением 2 м/с 2 ; б) опускать с тем же ускорением.
3. На тело массой 10 кг, лежащее на наклонной плоскости (угол α равен 20 0), действует горизонтально направленная сила 8 Н. Пренебрегая трением, определить: а) ускорение тела; б) силу, с которой тело давит на плоскость.
4. С вершины клина, длина которого 2 м и высота 1 м, начинает скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и клином μ=0,15. Определить: а) ускорение, с которым движется тело; б) время прохождения тела вдоль клина; в) скорость тела у основания клина.
5. Два груза с неравными массами m 1 и m 2 (m 1 > m 2 ) подвешены на легкой нити, перекинутой через неподвижный блок. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая трением в оси блока, определить: а) ускорение грузов; б) силу натяжения нити.
6. Платформа с песком общей массой М =2 т стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой m =8 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определить, с какой скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда 450 м/с, а ее направление - сверху вниз под углом 30 0 к горизонту.
7. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростью 3 км/ч, укреплено орудие. Масса платформы с орудием 10 т. Ствол орудия направлен в сторону движения платформы. Снаряд массой 10 кг вылетает из ствола под углом 60 0 к горизонту. Определить скорость снаряда (относительно Земли), если после выстрела скорость платформы уменьшилась в 2 раза.
8. Человек массой 70 кг находится на корме лодки, длина которой 5 м и масса 280 кг. Человек переходит на нос лодки. На какое расстояние лодка передвинется по воде относительно дна?
9. Шарик массой 200 г ударился о стенку со скоростью 10 м/с и отскочил от нее с такой же скоростью. Определить импульс, полученный стенкой, если до удара шарик двигался под углом 30 0 к плоскости стенки.
10. Два шарика массами 2 и 4 кг двигаются со скоростями соответственно 5 и 7 м/с. Определить скорости шаров после прямого неупругого удара в случаях: а) больший шар догоняет меньший; б) шары двигаются навстречу друг другу.
ГЛАВА 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
Д. ф.-м. н. Б.Л.Воронов
Задача 1. Однородная неупругая цепь длиной L и массой М перекинута через блок. Часть цепи лежит на столе высотой h, а часть на полу. Найти скорость равномерного движения звеньев цепи (рис. 1).
Задача 2. Однородная нерастяжимая цепь подвешена на нити так, что нижний конец ее касается крышки стола. Нить пережигают. Найти силу давления цепочки на стол в тот момент, когда над ним находится часть цепи длиной h. Масса цепи – М, ее длина – L, удар каждого звена считать абсолютно неупругим (рис. 2).
Задача 3. С какой силой давит на землю кобра, когда она, готовясь к прыжку, поднимается вертикально вверх с постоянной скоростью v (рис. 3)? Масса змеи – M, ее длина – L.
 |
 |
Начнем с хорошо известной ситуации. Пусть тело можно считать материальной точкой (например, можно пренебречь его структурой и размерами или вести речь только о центре масс тела) либо все части протяженного тела имеют одну и ту же скорость v. Тогда 2-й закон Ньютона, в теоретической механике чаще говорят – уравнения движения, для такого тела имеет вид:
где m – неизменная масса тела, F – действующая на тело внешняя сила. В общем случае протяженных тел отдельные части тела движутся каждая со своей скоростью, и описание движения всех частей с учетом их взаимодействия резко усложняется.
Однако бывают случаи, когда движение некоторых частей составного тела можно описать сравнительно просто. Одним из таких случаев является случай движения тел переменной массы. Пусть имеется составная система и пусть в ней можно выделить некоторую часть, подсистему, движущуюся со скоростью v, причем состав ее меняется определенным образом. Будем называть эту подсистему телом переменной массы, если выполнены следующие условия. В каждый момент времени можно считать, что это тело либо является материальной точкой, либо все его части имеют одинаковую скорость v. С течением времени от тела непрерывно отделяются некоторые (бесконечно) малые его части, причем каждая со своей независимой скоростью v"; либо, наоборот, к телу непрерывно добавляются новые малые части, которые до «прилипания» имели свою скорость v" (возможно и то и другое). Таким образом, при движении тела меняется не только его скорость v = v(t), но и масса m = m(t), причем известна скорость изменения массы
Случай <0 означает, что за промежуток времени t t + dt от тела отделяются какие-то части массой –dm; случай Случай >0 означает, что за тот же промежуток времени к телу добавляются какие-то части массой dm. Примером первого случая являются ракета и поливальная машина, примером второго случая – снежная лавина. Мы ограничимся ситуациями, когда все отделяющиеся или добавляющиеся части имеют в каждый момент времени одну и ту же скорость v" = v"(t), следовательно, одну и ту же скорость u = v" – v относительно тела. Эту скорость u = u(t) называют относительной скоростью. Если она известна наряду с (например, в случае ракеты она определяется приготовлением, в случае снежной лавины v" = 0, стало быть, u = –v), то говорят о движении тела переменной массы.2-й закон Ньютона для тел переменной массы имеет вид:
где F – суммарная внешняя сила, которая действует в данный момент времени как на тело (переменной массы m), так и на его отделяющиеся или добавляющиеся части (массы –dm или dm соответственно). Эту тонкость надо постоянно иметь в виду. Может случиться, что вся внешняя сила или конечная ее составляющая приложена именно к этим частям: под действием конечной внешней силы (бесконечно) малая масса (–dm или dm) за (бесконечно) малый промежуток времени t t + dt меняет свою скорость на конечную величину, от v до v" или от v" до v, испытывая (бесконечно) большое ускорение. Именно этот случай реализуется в приводимых ниже задачах. Конечно, может случиться, что изменение скорости отделяющихся или добавляющихся частей обеспечивается внутренними силами. Так обстоит дело, например, в случае космической ракеты или снежной лавины.
2-й закон Ньютона для тел переменной массы можно переписать в эквивалентной форме (особенно удобной во втором случае):
Отличие от привычного случая постоянной массы состоит в том, что m = m(t) является теперь известной функцией времени, а к внешней силе F добавляется реактивная сила
Дадим вывод 2-го закона Ньютона для тел переменной массы (при первом чтении этот абзац можно пропустить). Он следует из 2-го закона Ньютона для любой, в том числе составной системы, в следующей общей форме:
т.е. приращение dp полного импульса p системы за интервал времени t t + dt равно импульсу Fdt действующей на систему внешней силы F. Системой в рассматриваемом интервале времени t t + dt является тело переменной массы вместе с отделяющимися или добавляющимися частями. В любом случае (
>0 или <0) изменение dp импульса p за промежуток времени t t + dt дается формулой:dp = p(t + dt) – p(t) = (m + dm)(v + dv) – dmv" – mv.
Вывод этой формулы предоставляем читателю в качестве упражнения. Укажем лишь, что первое слагаемое справа относится ко времени t + dt, третье слагаемое – ко времени t, а второе слагаемое (–dmv") относится к моменту t + dt в случае отделяющихся частей (массой –dm > 0,
<0) и к моменту t в случае добавляющихся частей (массой dm, >0). Раскрывая правую частьdp = mdv – dm (v" – v) + dmdv = mdv – dmu + dmdv
и приравнивая ее Fdt, имеем:
Деля обе части последнего равенства на dt, переходя к переделу dt 0 и отбрасывая стремящееся к нулю слагаемое
получаем окончательно:
Из вывода следует указанное выше содержание понятия внешней силы F.
Теперь перейдем к решению задач.
Задача 1.Возьмем в качестве тела переменной массы лежащий на столе участок цепи. Цепь считается нерастяжимой, толщина цепи – пренебрежимо малой, поэтому можно считать, что весь этот участок занимает пренебрежимо малый объем (сосредоточен в точке) в основании левого вертикального участка цепи. Движение носит одномерный характер, вдоль вертикальной оси y (начало отсчета на полу), поэтому достаточно рассматривать только y-компоненту 2-го закона Ньютона (значок «y» для у-компонент векторов v, u, F в дальнейшем опускаем):
(прочие компоненты уравнений движения имеют вид 0 = 0). Именно это уравнение должно определить скорость равномерного движения вертикальных звеньев цепи, поскольку они отделяются от нашего тела.
В каждый момент времени все звенья рассматриваемого участка свободно, без натяжения, лежат на столе, v = 0, соответственно
, сила тяжести компенсируется силой реакции стола. Отделяющееся первое сверху звено, лежащее в основании вертикального участка, уходит вверх с постоянной во времени вертикальной скоростью v" > 0. Эта скорость и является искомой. Относительная скорость u = v" – v = v". Масса тела m = l, где l – длина рассматриваемого участка, – линейная плотность цепи. Длина l, а значит, и масса m, уменьшаются за счет уходящих вверх звеньев; вследствие нерастяжимости цеписоответственно
Остается определить вертикальную компоненту F внешней силы F. Она равна натяжению Th левой вертикальной части цепи на нижнем ее конце, находящемся на высоте y = h. Приложена эта сила к отделяющемуся от тела первому сверху звену, тогда как все звенья тела лежат свободно (см. выше о внешней силе F). Th в свою очередь определяется условиями движения вертикальных участков цепи. Если они движутся равномерно, как это и принимается в условии задачи, и, кроме того, цепь справа ложится на пол свободно, т.е. натяжение T0 правого вертикального участка на нижнем его конце, у пола, на высоте y = 0, равно нулю (T0 = 0), то Th равно разности веса Pправ правого участка и веса Pлев левого вертикального участков цепи: Th = Pправ – Pлев.
Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.
Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v, то по истечении времени dtее масса уменьшится на dm и станет равной т-dm, а скорость станет равной v+dv. Изменение импульса системы за отрезок времени dt
где u - скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда
(учли, что dmdv - малый высшего порядка малости по сравнению с остальными). Если на систему действуют внешние силы, то dp=Fdt, поэтому
Второе слагаемое в правой части (10.1) называют реактивной силой F p . Если он противоположен v по направлению, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится.
Таким образом, мы получили уравнение движения тела переменной массы
(10.2)
которое впервые было выведено И. В. Мещерским (1859-1935).
Идея применения реактивной силы для создания летательных аппаратов высказывалась в 1881 г. Н. И. Кибальчичем (1854-1881). К. Э. Циолковский (1857-1935) в 1903 г. опубликовал статью, где предложил теорию движения ракеты и основы теории жидкостного реактивного двигателя. Поэтому его считают основателем отечественной космонавтики.
Применим уравнение (10.1) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая F=0 и считая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим
Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее стартовая масса то, то С = u ln m 0 . Следовательно,
(10.3)
Это соотношение называется формулой Циолковского. Она показывает, что: 1) чем больше конечная масса ракеты т, тем больше должна быть стартовая масса ракеты m 0 ; 2) чем больше скорость истечения и газов, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.
Выражения (10.2) и (10.3) получены для нерелятивистских движений, т. е. для случаев, когда скорости v и u малы по сравнению со скоростью с распространения света в вакууме.
Задачи
2.1. По наклонной плоскости с углом наклона а к горизонту, равным 30°, скользит тело. Определить скорость тела в конце третьей секунды от начала скольжения, если коэффициент трения 0,15.
2.2. Самолет описывает петлю Нестерова радиусом 80 м. Какова должна быть наименьшая скорость самолета, чтобы летчик не оторвался от сиденья в верхней части петли?
2.3. Блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы a = 30° и a = 45°. Гири равной массы (m 1 = m 2 =2 кг) соединены нитью, перекинутой через блок. Считая нить и блок невесомыми, принимая коэффициенты трения гирь о наклонные плоскости равными f 1 = f 2 =f = 0,1 и пренебрегая трением в блоке, определить. 1) ускорение,
с которым движутся гири, 2) силу натяжения нити.
2.4. На железнодорожной платформе установлена безоткатная пушка, из которой производится выстрел вдоль полотна под углом a=45° к горизонту. Масса платформы с пушкой Л/=20 т, масса снаряда т=10 кг, коэффициент трения между колесами платформы и рельсами f = 0,002. Определить скорость снаряда, если после выстрела платформа откатилась на расстояние s=3 м. [ 
м/с]
2.5. На катере массой т=5 т находится водомет, выбрасывающий m=25 кг/с воды со скоростью u = 7 м/с относительно катера назад. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определить: 1) скорость катера через 3 мин после начала движения, 2) предельно возможную скорость катера.
Глава 3
Работа и энергия
Энергия, работа, мощность
Энергия - универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С раз личными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и пр. В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других - переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той или иной форме) одним телом другому телу, равна энергии, полученной последним телом.
Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.
Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, которая составляет некоторый угол а с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы F, на направление перемещения (F s =Fcos a), умноженной на перемещение точки приложения силы:
В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому формулой (11.1) пользоваться нельзя. Если, однако, рассмотреть элементарное перемещение dr, то силу Г можно считать постоянной, а движение точки ее приложения - прямолинейным. Элементарной работой силы F на перемещении dr называется скалярная величина
dA = Fdr = Fcosa ds = F 2 ds,
где a - угол между векторами F и dr; ds=|dr| - элементарный путь; F s - проекция вектора F на вектор dr (рис. 13).
Работа силы на участке траектории от точки 1до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сумма приводится к интегралу
(11.2)
Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость силы F s от пути t вдоль траектории 1 -2. Пусть эта зависимость представлена графически (рис. 14), тогда искомая работа А определяется на графике площадью заштрихованной фигуры. Если, рапример, тело движется прямолинейно, сила F= const и а = const, то получим
где s - пройденный телом путь (см. также формулу (11.1)).
Из формулы (11.1) следует, что при a < p/2 работа силы положительна, в этом случае составляющая F, совпадает по направлению с вектором скорости движения v (см. рис. 13). Если a > p/2, то работа силы отрицательна. При a = p/2 (сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю.
Единица работы - джоуль (Дж): 1 Дж - работа, совершаемая силой 1 Н на пути 1 м(1 Дж=1 Н-м).
Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности:
(11.3)
За время dt сила F совершает работу Fdr, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени
 |
т. е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N - величина скалярная.
Единица мощности - ватт (Вт): 1 Вт - мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт=1 Дж/с).
Если масса тела переменна, например в задаче о ракете, выбрасывающей часть массы в виде продуктов сгорания, то уравнение (2.12) использовать нельзя. Это уравнение относится к некоторому одному телу определенной массы. В случае же взлета ракеты (рис. 2.18) масса ракеты все время уменьшается, так как выбрасываются газы и в каждый данный момент надо рассматривать систему тел ракета - газы. Уравнение (2.12) следует заменить более общим уравнением (2.13), пригодным и для системы тел:
где R - равнодействующая всех внешних сил, действующих на систему извне, a dp - общее изменение импульса системы за время dt. Роль R играет в нашем случае сила тяжести F = mg (а при учете трения о воздух - и н).
Общий импульс всей системы р складывается из импульса ракеты и импульса газов р = р рак + р г, так что
За время dt импульс ракеты изменится на dp paK =(т - dm) dv ~ « т dv. Член второго порядка малости отбрасывается. Импульс выброшенных за время dt газов будет dp r = (pdt)u, где р - секундный расход топлива, а и - скорость истечения продуктов сгорания. Тогда (2.25) можно записать в виде
Это уравнение носит название уравнения Мещерского.
Нужно обратить особое внимание на знаки скоростей и сил. Выберем положительное направление оси х вверх (рис. 2.18, а). Рассмотрим взлет ракеты. Величины Р гяж и и надо взять с минусом, а скорость ракеты v и приращение этой скорости dv - с плюсом. Если использовать арифметические значения, то надо написать:
Заметим, что при jiu mg приращение dv будет равно или меньше нуля и ракета не взлетит.
При посадке ракеты надо уменьшать ее скорость так, чтобы в момент соприкасания с грунтом она была близка к нулю. Для этого ракета должна садиться «кормой вперед» и выбрасывать газы так, чтобы замедлять падение (рис. 2.18, б). При этом при выбранном направлении оси х скорость v dv > 0.
Выразим из последнего уравнения dv и возьмем интеграл. Для этого приведем в правой части все переменные к одной переменной ттг, используя dm = - р dt:
где т 0 и тп к - начальная и конечная массы ракеты, а и 0.
Это и дало основание Циолковскому использовать приближенную формулу
которая получила название формулы Циолковского (взято абсолютное значение и).
Пример 1. Ракета массой 300 т содержит 299 т горючего и 1 т полезного груза. Расход топлива ji = 10 3 кг/с, скорость истечения газов 4 км/с (постановка задачи сильно упрощена, не учитывается масса топливных баков и двигателей, кроме того, обычно ракеты делаются многоступенчатыми).
Найдем из (2.28) конечную скорость ракеты г? к:
Второе слагаемое в нашем примере приблизительно в 10 раз меньше первого.
Пример 2. Пусть ракета массой 300 т стартует с Земли. Найдем, через какое время она достигнет высоты 40 км, если каждую секунду будет выбрасывать 1000 кг продуктов сгорания со скоростью и = 4 км/с.
При решении этой задачи на движение тела переменной массы будем использовать формулу (2.26). Полученное дифференциальное уравнение легко решается аналитически (т. е. находятся формулы для v(t) и x(t)) только в том случае, если не учитывать трение и другие обстоятельства, например уменьшение силы тяжести с высотой. Приведем пример компьютерной программы, которая легко и просто справляется с любыми сложностями. Составляя программу, запишем приращение (убывание) массы за время dt:
приращение скорости
приращение пути
приращение времени
Учтем в программе зависимость силы тяготения от высоты. Программа составляется по следующему алгоритму:
1. Ввод известных параметров (постоянная тяготения, радиус Земли И др.):
- 2. Ввод начальных условий (t> = 0, т = ЗЕ5, t = 0).
- 3. Ввод шага по времени At.
- 4. Цикл наращивания переменных по уравнениям (2.29) - (2.31). В цикле должно быть предусмотрено условие окончания, например: «Если достигнута высота 10 км, то...».
Программа на простейшей версии Бейсика:
Print «Старт ракеты»
тЗ=5.96е24: г3=6.37е6: да=6.67е-11: и=~4еЗ
ти=1еЗ: h=4e4: тг=3е5
v=0: х=0
Print «Ждите!»
For t=0 to le4 Step dt
r=r3+x: mr-mr-mu^dt f=-ga*mr*m3/(r*r) v=v+(f-mu*u)*dt/mr: x=x+v*dt If x>=h then Goto 1
1:Print t
В пакете программ ПАКПРО это программа Perem_mStartr.bas.
При расчете по этой программе ответ получается очень скоро. Например, при подъеме до высоты 4 км v = 846 м/с, тпг = 182 т (т. е. будет израсходовано 118 т топлива), t = 118 с.
Можно использовать эту программу для получения дополнительной информации:
- - измените программу так, чтобы выяснить, на какой высоте масса ракеты приблизится к нулю (все горючее будет израсходовано);
- - измените в программе значение и. При какой скорости истечения газов ракета вообще не сможет подняться?
- - Постройте на одном графике (разными цветами или оттенками) кривые x(t), v(t) и mr(t).
В приведенном выше решении не было учтено трение об атмосферу; добавьте в программу силу трения FI = - Av, где А положите равным 10 Н*с/м. Еще лучше, если будет учтено, что трение зависит от плотности воздуха, т. е. что А зависит от давления А - А 0 р, где р - давление в Па, которое, в свою очередь, зависит от высоты по барометрической формуле:
Давление на уровне моря р 0 = 10 5 Н/м 2 .
В этом решении еще не было учтено вращение Земли и возникающая вследствие этого в системе, скрепленной с вращающейся Землей, сила Кориолиса (см. раздел 6 главы 2). При расчетах более длительного полета на большую высоту траекторию уже нельзя считать прямолинейной. Движение становится неодномерным. Попробуйте получить решение и в этом случае.
Пример 3. При появлении первых компьютеров очень популярной была задача о посадке на Луну. Эта задача имеет много вариантов разной сложности. Рассмотрим простейший.
Пусть лунный модуль массой 1 т приближается к Луне со скоростью 1 км/с с расстояния 50 км по прямой, соединяющей их центры.
На модуле есть топливо, продукты сгорания которого двигатель выбрасывает со скоростью и = 4 км/с. Как следует управлять расходом топлива (в кг/с), чтобы обеспечить мягкую посадку? (При сближении с поверхностью Луны скорость должна быть близка к нулю.)
Задача похожа на предыдущую, но нужно внимательно проследить за знаком скорости лунного модуля, а также за знаком скорости выбрасываемых продуктов сгорания (так, чтобы замедлять падение, а не ускорять его!).
Решение задачи зависит от желаемого режима посадки (движение равнозамедленное, неравнозамедленное, с минимальным расходом топлива, минимальным временем посадки и т. д.). Потребуем, например, чтобы перегрузки, испытываемые космонавтами или оборудованием, были постоянными в течение всего времени посадки, что возможно при равнозамедленном движении. Выберем ось х,
направленную от ракеты к центру Луны (см. рис. 2.18). Пусть в начальный момент времени х =
0. Тогда скорость ракеты v
и скорость газов - положительные величины. Для торможения реактивная струя направляется в сторону Луны. Ускорение а
найдем из уравнения v 0 2
= -2aL
. В нашем случае а
= - 10 6 /(2*5* 10 4) = = - 10 м/с 2 , а скорость в любой момент времени равна: v
= v 0
+ at,
так что Av
= aAt.
Сила притяжения к Луне будет равна: F
= gmra L /(RL + L - х). Требуемый секундный расход топлива ц найдем из уравнения Мещерского:
(F >0; а 0; и > 0). Будем наращивать время малыми промежутками At и вычислять каждый раз F, }
