Karriär

Rationellt uttryck. Transformation av rationella uttryck: typer av transformationer, exempel

Denna artikel är tillägnad omvandling av rationella uttryck, mestadels fraktionerad rationell, är en av nyckelfrågorna i 8:e årskurs algebra. Först minns vi vilken typ av uttryck som kallas rationella. Därefter kommer vi att fokusera på att utföra standardtransformationer med rationella uttryck, som att gruppera termer, sätta gemensamma faktorer inom parentes, ta med liknande termer, etc. Slutligen kommer vi att lära oss att representera rationella bråkuttryck som rationella bråk.

Sidnavigering.

Definition och exempel på rationella uttryck

Rationella uttryck är en av de typer av uttryck som studeras på algebra-lektionerna i skolan. Låt oss ge en definition.

Definition.

Uttryck som består av tal, variabler, parenteser, potenser med heltalsexponenter, kopplade med aritmetiska tecken +, −, · och:, där division kan indikeras med en bråklinje, kallas rationella uttryck.

Här är några exempel på rationella uttryck: .

Rationella uttryck börjar studeras målmedvetet i 7:an. Dessutom lär man sig i 7:an grunderna i att arbeta med det sk hela rationella uttryck, det vill säga med rationella uttryck som inte innehåller uppdelning i uttryck med variabler. För att göra detta studeras monomial och polynom sekventiellt, liksom principerna för att utföra åtgärder med dem. All denna kunskap låter dig i slutändan utföra transformationer av hela uttryck.

I årskurs 8 går de över till att studera rationella uttryck som innehåller division med ett uttryck med variabler som kallas bråkdelar rationella uttryck. I detta fall ägnas särskild uppmärksamhet åt den så kallade rationella bråk(de kallas också algebraiska bråk), det vill säga bråk vars täljare och nämnare innehåller polynom. Detta gör det i slutändan möjligt att omvandla rationella bråk.

De förvärvade färdigheterna låter dig gå vidare till att transformera rationella uttryck av vilken form som helst. Detta förklaras av det faktum att vilket rationellt uttryck som helst kan betraktas som ett uttryck som består av rationella bråk och heltalsuttryck kopplade med tecken på aritmetiska operationer. Och vi vet redan hur man arbetar med hela uttryck och algebraiska bråk.

Huvudtyper av transformationer av rationella uttryck

Med rationella uttryck kan du utföra vilken som helst av de grundläggande identitetstransformationerna, vare sig det är att gruppera termer eller faktorer, ta med liknande termer, utföra operationer med siffror, etc. Typiskt är syftet med att utföra dessa transformationer förenkling av rationella uttryck.

Exempel.

Lösning.

Det är tydligt att detta rationella uttryck är skillnaden mellan två uttryck och , och dessa uttryck liknar varandra, eftersom de har samma bokstavsdel. Således kan vi utföra en reduktion av liknande termer:

Svar:

Det är tydligt att när du utför transformationer med rationella uttryck, såväl som med andra uttryck, måste du hålla dig inom den accepterade ordningen för att utföra åtgärder.

Exempel.

Utför en rationell uttrycksomvandling.

Lösning.

Vi vet att åtgärderna inom parentes utförs först. Därför transformerar vi först och främst uttrycket inom parentes: 3·x−x=2·x.

Nu kan du ersätta det erhållna resultatet med det ursprungliga rationella uttrycket: . Så vi kom till ett uttryck som innehåller handlingar i ett steg - addition och multiplikation.

Låt oss bli av med parenteserna i slutet av uttrycket genom att tillämpa egenskapen division med en produkt: .

Slutligen kan vi gruppera numeriska faktorer och faktorer med variabeln x, sedan utföra lämpliga operationer på talen och tillämpa : .

Detta fullbordar transformationen av det rationella uttrycket, och som ett resultat får vi en monomial.

Svar:

Exempel.

Konvertera rationellt uttryck .

Lösning.

Först transformerar vi täljaren och nämnaren. Denna ordning för omvandling av bråk förklaras av det faktum att linjen i ett bråk väsentligen är en annan beteckning för division, och det ursprungliga rationella uttrycket är i huvudsak en kvot av formen , och åtgärderna inom parentes utförs först.

Så i täljaren utför vi operationer med polynom, först multiplikation, sedan subtraktion, och i nämnaren grupperar vi de numeriska faktorerna och beräknar deras produkt: .

Låt oss också föreställa oss täljaren och nämnaren för det resulterande bråket i form av en produkt: plötsligt är det möjligt att reducera en algebraisk bråkdel. För att göra detta kommer vi att använda i täljaren formel för skillnad på kvadrater, och i nämnaren tar vi de två ur parentes, vi har .

Svar:

Så den första bekantskapen med omvandlingen av rationella uttryck kan anses vara avslutad. Låt oss gå vidare, så att säga, till den sötaste delen.

Rationell bråkrepresentation

Oftast är det slutliga målet med att förvandla uttryck att förenkla deras utseende. I detta ljus är den enklaste formen till vilken ett bråkmässigt rationellt uttryck kan omvandlas en rationell (algebraisk) bråkdel, och i det särskilda fallet ett polynom, monomial eller tal.

Är det möjligt att representera något rationellt uttryck som en rationell bråkdel? Svaret är ja. Låt oss förklara varför det är så.

Som vi redan har sagt kan vilket rationellt uttryck som helst betraktas som polynom och rationella bråk förbundna med plus, minus, multiplicera och dividera tecken. Alla motsvarande operationer med polynom ger ett polynom eller en rationell bråkdel. I sin tur kan vilket polynom som helst omvandlas till ett algebraiskt bråk genom att skriva det med nämnaren 1. Och att addera, subtrahera, multiplicera och dividera rationella bråk resulterar i ett nytt rationellt bråk. Därför, efter att ha utfört alla operationer med polynom och rationella bråk i ett rationellt uttryck, får vi ett rationellt bråk.

Exempel.

Uttryck uttrycket som en rationell bråkdel .

Lösning.

Det ursprungliga rationella uttrycket är skillnaden mellan en fraktion och produkten av fraktioner av formen . Enligt operationsordningen måste vi först utföra multiplikation och först sedan addition.

Vi börjar med att multiplicera algebraiska bråk:

Vi ersätter det erhållna resultatet med det ursprungliga rationella uttrycket: .

Vi kom till subtraktionen av algebraiska bråk med olika nämnare:

Så, efter att ha utfört operationer med rationella bråk som utgör det ursprungliga rationella uttrycket, presenterade vi det i form av ett rationellt bråk.

Svar:

För att konsolidera materialet kommer vi att analysera lösningen till ett annat exempel.

Exempel.

Uttryck ett rationellt uttryck som ett rationellt bråk.

Ett heltalsuttryck är ett matematiskt uttryck som består av tal och bokstavliga variabler med hjälp av addition, subtraktion och multiplikation. Heltal inkluderar också uttryck som involverar division med något annat tal än noll.

Hela uttrycksexempel

Nedan följer några exempel på heltalsuttryck:

1. 12*a^3 + 5*(2*a-1);

3. 4*y-((5*y+3)/5)-1;

Bråkuttryck

Om ett uttryck innehåller division med en variabel eller med ett annat uttryck som innehåller en variabel, är ett sådant uttryck inte ett heltal. Detta uttryck kallas ett fraktionerat uttryck. Låt oss ge en fullständig definition av ett fraktionerat uttryck.

Ett bråktalsuttryck är ett matematiskt uttryck som förutom operationerna addition, subtraktion och multiplikation som utförs med siffror och bokstavsvariabler, samt division med ett tal som inte är lika med noll, även innehåller division i uttryck med bokstavsvariabler.

Exempel på bråkuttryck:

1. (12*a^3 +4)/a

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y))+1;

Bråk- och heltalsuttryck utgör två stora uppsättningar matematiska uttryck. Om vi kombinerar dessa mängder får vi en ny mängd som kallas rationella uttryck. Det vill säga, rationella uttryck är alla heltals- och bråkuttryck.

Vi vet att hela uttryck är meningsfullt för alla värden av variablerna som ingår i det. Detta följer av det faktum att för att hitta värdet av ett helt uttryck är det nödvändigt att utföra åtgärder som alltid är möjliga: addition, subtraktion, multiplikation, division med ett annat tal än noll.

Bråkuttryck, till skillnad från hela uttryck, kanske inte är vettiga. Eftersom det finns en operation att dividera med en variabel eller ett uttryck som innehåller variabler, och detta uttryck kan bli noll, men att dividera med noll är omöjligt. Värdena på variablerna för vilka bråkuttrycket kommer att vara meningsfullt kallas tillåtna värden för variablerna.

Rationell bråkdel

Ett av specialfallen av rationella uttryck kommer att vara ett bråk vars täljare och nämnare är polynom. För en sådan bråkdel i matematik finns också ett namn - en rationell bråkdel.

Ett rationellt bråk är vettigt om dess nämnare inte är noll. Det vill säga alla värden på variabler för vilka bråkdelens nämnare skiljer sig från noll kommer att vara acceptabla.

Den här lektionen kommer att täcka grundläggande information om rationella uttryck och deras transformationer, samt exempel på transformationer av rationella uttryck. Det här ämnet sammanfattar de ämnen vi har studerat hittills. Transformationer av rationella uttryck innebär addition, subtraktion, multiplikation, division, exponentiering av algebraiska bråk, reduktion, faktorisering etc. Som en del av lektionen ska vi titta på vad ett rationellt uttryck är, och även analysera exempel på deras transformation.

Ämne:Algebraiska bråk. Aritmetiska operationer på algebraiska bråk

Lektion:Grundläggande information om rationella uttryck och deras omvandlingar

Definition

Rationellt uttryckär ett uttryck som består av tal, variabler, aritmetiska operationer och exponentieringsoperationen.

Låt oss titta på ett exempel på ett rationellt uttryck:

Särskilda fall av rationella uttryck:

1:a graden: ;

2. monomial: ;

3. bråkdel: .

Konvertera ett rationellt uttryckär en förenkling av ett rationellt uttryck. Handlingsordningen vid transformation av rationella uttryck: först finns det operationer inom parentes, sedan multiplikation (division) operationer och sedan addition (subtraktion) operationer.

Låt oss titta på flera exempel på att transformera rationella uttryck.

Exempel 1

Lösning:

Låt oss lösa detta exempel steg för steg. Åtgärden inom parentes utförs först.

Svar:

Exempel 2

Lösning:

Svar:

Exempel 3

Lösning:

Svar: .

Notera: Kanske, när du såg det här exemplet, uppstod en idé: minska bråket innan du minskar det till en gemensam nämnare. Det är faktiskt helt korrekt: först är det tillrådligt att förenkla uttrycket så mycket som möjligt och sedan omvandla det. Låt oss försöka lösa samma exempel på det andra sättet.

Som du kan se visade sig svaret vara helt lika, men lösningen visade sig vara något enklare.

I den här lektionen tittade vi på rationella uttryck och deras förvandlingar, samt flera specifika exempel på dessa transformationer.

Referenser

1. Bashmakov M.I. Algebra 8:e klass. - M.: Utbildning, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. och andra Algebra 8. - 5:e uppl. - M.: Utbildning, 2010.

Från skolalgebrakursen går vi vidare till detaljerna. I den här artikeln kommer vi att studera i detalj en speciell typ av rationella uttryck - rationella bråk, och även överväga vilken egenskap identisk rationella bråkomvandlingaräga rum.

Låt oss omedelbart notera att rationella bråk i den mening som vi definierar dem nedan kallas algebraiska bråk i vissa algebraläroböcker. Det vill säga, i den här artikeln kommer vi att förstå rationella och algebraiska bråk för att betyda samma sak.

Låt oss som vanligt börja med en definition och exempel. Därefter ska vi prata om att föra ett rationellt bråk till en ny nämnare och ändra tecknen på bråkets medlemmar. Efter detta ska vi titta på hur man minskar fraktioner. Låt oss slutligen titta på att representera ett rationellt bråk som summan av flera bråk. Vi kommer att tillhandahålla all information med exempel och detaljerade beskrivningar av lösningar.

Sidnavigering.

Definition och exempel på rationella bråk

Rationella bråk studeras i 8:e klass algebra lektioner. Vi kommer att använda definitionen av en rationell bråkdel, som ges i algebraläroboken för 8:e klass av Yu N. Makarychev et al.

Denna definition anger inte om polynomen i täljaren och nämnaren i ett rationellt bråk måste vara polynom av standardformen eller inte. Därför kommer vi att anta att notationerna för rationella bråk kan innehålla både standard- och icke-standardpolynom.

Här är några exempel på rationella bråk. Så, x/8 och - rationella bråk. Och bråk och passar inte den angivna definitionen av ett rationellt bråk, eftersom täljaren i den första av dem inte innehåller ett polynom, och i den andra innehåller både täljaren och nämnaren uttryck som inte är polynom.

Omvandling av täljaren och nämnaren för ett rationellt bråk

Täljaren och nämnaren för varje bråk är självförsörjande matematiska uttryck i fallet med rationella bråk, dessa är polynom i ett visst fall, monomer och tal. Därför kan identiska transformationer utföras med täljaren och nämnaren för ett rationellt bråk, som med alla uttryck. Med andra ord kan uttrycket i täljaren för ett rationellt bråk ersättas med ett identiskt lika uttryck, precis som nämnaren.

Du kan utföra identiska transformationer i täljaren och nämnaren för ett rationellt bråk. I täljaren kan du till exempel gruppera och reducera liknande termer, och i nämnaren kan du ersätta produkten av flera tal med dess värde. Och eftersom täljaren och nämnaren för en rationell bråkdel är polynom, är det möjligt att utföra transformationer som är karakteristiska för polynom med dem, till exempel reduktion till en standardform eller representation i form av en produkt.

För tydlighetens skull, låt oss överväga lösningar på flera exempel.

Exempel.

Konvertera rationell bråkdel så att täljaren innehåller ett polynom av standardform, och nämnaren innehåller produkten av polynom.

Lösning.

Att reducera rationella bråk till en ny nämnare används främst för att addera och subtrahera rationella bråk.

Ändra tecken framför ett bråk, samt i dess täljare och nämnare

Huvudegenskapen för ett bråk kan användas för att ändra tecknen för medlemmarna i ett bråk. Faktum är att multiplicera täljaren och nämnaren för ett rationellt bråk med -1 är ekvivalent med att ändra deras tecken, och resultatet är ett bråk som är identiskt lika med det givna. Denna omvandling måste användas ganska ofta när man arbetar med rationella bråk.

Således, om du samtidigt ändrar tecknen för täljaren och nämnaren för ett bråk, får du ett bråk som är lika med det ursprungliga. Detta uttalande besvaras av jämlikhet.

Låt oss ge ett exempel. Ett rationellt bråk kan ersättas med ett identiskt lika bråk med ändrade tecken på formens täljare och nämnare.

Med bråk kan du utföra ytterligare en identisk transformation, där tecknet för antingen täljaren eller nämnaren ändras. Låt oss ange motsvarande regel. Om du byter ut bråkets tecken tillsammans med täljarens eller nämnarens tecken får du ett bråktal som är identiskt lika med det ursprungliga. Det skriftliga utlåtandet motsvarar jämställdheterna och .

Att bevisa dessa jämlikheter är inte svårt. Beviset är baserat på egenskaperna för multiplikation av tal. Låt oss bevisa den första av dem: . Genom att använda liknande transformationer bevisas jämlikheten.

Till exempel kan ett bråk ersättas med uttrycket eller.

För att avsluta denna punkt presenterar vi ytterligare två användbara likheter och . Det vill säga om du ändrar tecknet för bara täljaren eller bara nämnaren kommer bråket att ändra sitt tecken. Till exempel, Och .

De övervägda transformationerna, som gör det möjligt att ändra tecknet för termerna för ett bråk, används ofta vid transformering av rationella bråkuttryck.

Minskning av rationella fraktioner

Följande omvandling av rationella bråk, kallad reduktion av rationella bråk, är baserad på samma grundläggande egenskap hos ett bråk. Denna transformation motsvarar likheten , där a, b och c är några polynom, och b och c är icke-noll.

Av ovanstående likhet blir det tydligt att en minskning av ett rationellt bråk innebär att man blir av med den gemensamma faktorn i dess täljare och nämnare.

Exempel.

Avbryt en rationell bråkdel.

Lösning.

Den gemensamma faktorn 2 är omedelbart synlig, låt oss göra en minskning av den (när du skriver är det bekvämt att stryka över de vanliga faktorerna som reduceras med). Det har vi . Eftersom x 2 =x x och y 7 = y 3 y 4 (se vid behov), är det tydligt att x är en gemensam faktor för täljaren och nämnaren för det resulterande bråket, liksom y 3. Låt oss minska med dessa faktorer: . Detta fullbordar minskningen.

Ovan utförde vi reduktionen av rationella fraktioner sekventiellt. Eller så var det möjligt att utföra reduktionen i ett steg, och omedelbart minska fraktionen med 2 x y 3. I det här fallet skulle lösningen se ut så här: .

Svar:

När man reducerar rationella bråk är huvudproblemet att den gemensamma faktorn för täljaren och nämnaren inte alltid är synlig. Dessutom finns det inte alltid. För att hitta en gemensam faktor eller verifiera dess frånvaro måste du faktorisera täljaren och nämnaren för ett rationellt bråk. Om det inte finns någon gemensam faktor behöver den ursprungliga rationella fraktionen inte reduceras, annars utförs reduktion.

Olika nyanser kan uppstå i processen att reducera rationella fraktioner. De viktigaste subtiliteterna diskuteras i artikeln som reducerar algebraiska bråk med hjälp av exempel och i detalj.

Avslutande samtalet om reduktionen av rationella bråk, noterar vi att denna transformation är identisk, och den största svårigheten i dess implementering ligger i att faktorisera polynomen i täljaren och nämnaren.

Representation av ett rationellt bråk som en summa av bråk

Ganska specifik, men i vissa fall mycket användbar, är omvandlingen av ett rationellt bråk, som består i dess representation som summan av flera bråk, eller summan av ett helt uttryck och ett bråk.

Ett rationellt bråk, vars täljare innehåller ett polynom som representerar summan av flera monomer, kan alltid skrivas som en summa av bråk med samma nämnare, vars täljare innehåller motsvarande monomer. Till exempel, . Denna representation förklaras av regeln för att addera och subtrahera algebraiska bråk med lika nämnare.

I allmänhet kan vilket rationellt bråk som helst representeras som en summa av bråk på många olika sätt. Bråket a/b kan till exempel representeras som summan av två bråk - en godtycklig bråkdel c/d och en bråkdel lika med skillnaden mellan bråken a/b och c/d. Detta påstående är sant, eftersom jämlikheten gäller . Till exempel kan ett rationellt bråk representeras som en summa av bråk på olika sätt: Låt oss föreställa oss det ursprungliga bråket som summan av ett heltalsuttryck och ett bråk. Genom att dividera täljaren med nämnaren med en kolumn får vi likheten . Värdet av uttrycket n 3 +4 för ett heltal n är ett heltal. Och värdet på ett bråk är ett heltal om och bara om dess nämnare är 1, −1, 3 eller −3. Dessa värden motsvarar värdena n=3, n=1, n=5 respektive n=−1.

Svar:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Referenser.

Algebra: lärobok för 8:e klass. allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigerad av S. A. Teljakovskij. - 16:e upplagan. - M.: Utbildning, 2008. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 7:e klass. Om 2 timmar Del 1. Lärobok för studenter vid allmänna utbildningsinstitutioner / A. G. Mordkovich. - 13:e upplagan, rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 s.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 8:e klass. Om 2 timmar Del 1. Lärobok för studenter vid allmänna utbildningsinstitutioner / A. G. Mordkovich. - 11:e uppl., raderad. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (en manual för dem som går in på tekniska skolor): Proc. ersättning.- M.; Högre skola, 1984.-351 s., ill.

Ämne:Algebraiska bråk. Aritmetiska operationer på algebraiska bråk

Lektion:Grundläggande information om rationella uttryck och deras omvandlingar

Definition

Rationellt uttryckär ett uttryck som består av tal, variabler, aritmetiska operationer och exponentieringsoperationen.

Låt oss titta på ett exempel på ett rationellt uttryck:

Särskilda fall av rationella uttryck:

1:a graden: ;

2. monomial: ;

3. bråkdel: .

Låt oss titta på flera exempel på att transformera rationella uttryck.

Exempel 1

Lösning: