Angoli adiacenti e verticali.

La geometria è una scienza dalle molteplici sfaccettature. Sviluppa la logica, l'immaginazione e l'intelligenza. Naturalmente, a causa della sua complessità e dell'enorme numero di teoremi e assiomi, agli scolari non sempre piace. Inoltre, è necessario dimostrare costantemente le proprie conclusioni utilizzando standard e regole generalmente accettati.

Gli angoli adiacenti e verticali sono parte integrante della geometria. Sicuramente molti scolari li adorano semplicemente perché le loro proprietà sono chiare e facili da dimostrare.

Formazione degli angoli

Qualsiasi angolo si forma intersecando due rette o tracciando due raggi da un punto. Possono essere chiamati una lettera o tre, che designano in sequenza i punti in cui è costruito l'angolo.

Gli angoli sono misurati in gradi e possono (a seconda del loro valore) essere chiamati diversamente. Quindi c'è un angolo retto, acuto, ottuso e spiegato. Ciascuno dei nomi corrisponde ad una certa misura di grado o al suo intervallo.

Un angolo acuto è un angolo la cui misura non supera i 90 gradi.

Un angolo ottuso è un angolo maggiore di 90 gradi.

Un angolo si dice retto quando la sua misura in gradi è 90.

Nel caso in cui sia formata da una linea retta continua e la sua misura di gradi sia 180, si dice espansa.

Gli angoli che hanno un lato in comune, il cui secondo lato si continua tra loro, si dicono adiacenti. Possono essere taglienti o smussati. L'intersezione della linea forma angoli adiacenti. Le loro proprietà sono le seguenti:

1. La somma di questi angoli sarà pari a 180 gradi (esiste un teorema che lo dimostra). Pertanto, se si conosce l'altro, è possibile calcolarne facilmente uno.
2. Dal primo punto segue che due angoli ottusi o due acuti non possono formare angoli adiacenti.

Grazie a queste proprietà è sempre possibile calcolare la misura in gradi di un angolo dato il valore di un altro angolo, o almeno il rapporto tra essi.

Angoli verticali

Gli angoli i cui lati sono l'uno la continuazione dell'altro si dicono verticali. Qualsiasi delle loro varietà può fungere da tale coppia. Gli angoli verticali sono sempre uguali tra loro.

Si formano quando le linee rette si intersecano. Insieme a loro sono sempre presenti angoli adiacenti. Un angolo può essere contemporaneamente adiacente per uno e verticale per un altro.

Quando si attraversa una linea arbitraria, vengono considerati anche molti altri tipi di angoli. Tale linea è chiamata linea secante e forma angoli corrispondenti, unilaterali e trasversali. Sono uguali tra loro. Possono essere visualizzati alla luce delle proprietà che hanno gli angoli verticali e adiacenti.

Pertanto, l'argomento degli angoli sembra abbastanza semplice e comprensibile. Tutte le loro proprietà sono facili da ricordare e dimostrare. Risolvere i problemi non è difficile purché gli angoli abbiano un valore numerico. Successivamente, quando inizierà lo studio del peccato e del cos, dovrai memorizzare molte formule complesse, le loro conclusioni e conseguenze. Fino ad allora, puoi semplicemente divertirti con semplici puzzle in cui devi trovare angoli adiacenti.

Durante lo studio di un corso di geometria, i concetti di "angolo", "angoli verticali", "angoli adiacenti" emergono abbastanza spesso. Comprendere ciascuno dei termini ti aiuterà a comprendere il problema e a risolverlo correttamente. Cosa sono gli angoli adiacenti e come determinarli?

Angoli adiacenti: definizione del concetto

Il termine “angoli adiacenti” caratterizza due angoli formati da un raggio comune e da due semirette aggiuntive giacenti sulla stessa retta. Tutti e tre i raggi escono dallo stesso punto. Una semiretta comune è contemporaneamente lato sia dell'uno che dell'altro angolo.

Angoli adiacenti - proprietà fondamentali

1. Dalla formulazione degli angoli adiacenti è facile notare che la somma di tali angoli forma sempre un angolo inverso, la cui misura in gradi è 180°:

• Se μ e η sono angoli adiacenti, allora μ + η = 180°.
• Conoscendo l'ampiezza di uno degli angoli adiacenti (ad esempio μ), puoi facilmente calcolare la misura in gradi del secondo angolo (η) utilizzando l'espressione η = 180° – μ.

2. Questa proprietà degli angoli ci permette di trarre la seguente conclusione: anche un angolo adiacente a un angolo retto sarà retto.

3. Considerando le funzioni trigonometriche (sin, cos, tg, ctg), basate sulle formule di riduzione per angoli adiacenti μ e η, vale quanto segue:

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Angoli adiacenti - esempi

Esempio 1

Dato un triangolo con vertici M, P, Q – ΔMPQ. Trova gli angoli adiacenti agli angoli ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Allunghiamo ciascun lato del triangolo con una linea retta.
• Sapendo che angoli adiacenti si completano a vicenda fino ad un angolo inverso, si trova che:

adiacente all'angolo ∠QMP è ∠LMP,

adiacente all'angolo ∠MPQ è ∠SPQ,

adiacente all'angolo ∠PQM è ∠HQP.

Esempio 2

Il valore di un angolo adiacente è 35°. Quanto misura in gradi il secondo angolo adiacente?

• La somma di due angoli adiacenti dà come risultato 180°.
• Se ∠μ = 35°, allora adiacente ad esso ∠η = 180° – 35° = 145°.

Esempio 3

Determinare i valori degli angoli adiacenti se è noto che la misura in gradi di uno di essi è tre volte maggiore della misura in gradi dell'altro angolo.

• Indichiamo l'ampiezza di un angolo (più piccolo) con – ∠μ = λ.
• Allora, a seconda delle condizioni del problema, il valore del secondo angolo sarà pari a ∠η = 3λ.
• In base alla proprietà fondamentale degli angoli adiacenti risulta μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Ciò significa che il primo angolo è ∠μ = λ = 45° e il secondo angolo è ∠η = 3λ = 135°.

La capacità di utilizzare la terminologia, così come la conoscenza delle proprietà di base degli angoli adiacenti, ti aiuterà a risolvere molti problemi geometrici.

1. Angoli adiacenti.

Se estendiamo il lato di un angolo qualsiasi oltre il suo vertice, otteniamo due angoli (Fig. 72): ∠ABC e ∠CBD, in cui un lato BC è comune e gli altri due, AB e BD, formano una linea retta.

Due angoli in cui un lato è comune e gli altri due formano una linea retta si dicono adiacenti.

Gli angoli adiacenti si possono ottenere anche in questo modo: se tracciamo una semiretta da un punto qualsiasi di una retta (non giacente su una retta data), otterremo angoli adiacenti.

Ad esempio, ∠ADF e ∠FDB sono angoli adiacenti (Fig. 73).

Gli angoli adiacenti possono avere un'ampia varietà di posizioni (Fig. 74).

La somma degli angoli adiacenti forma un angolo piatto, quindi la somma di due angoli adiacenti è 180°

Quindi, un angolo retto può essere definito come un angolo uguale al suo angolo adiacente.

Conoscendo la misura di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare la misura dell'altro angolo ad esso adiacente.

Ad esempio, se uno degli angoli adiacenti è 54°, il secondo angolo sarà uguale a:

180° - 54° = l26°.

2. Angoli verticali.

Se estendiamo i lati dell'angolo oltre il suo vertice, otteniamo angoli verticali. Nella Figura 75 gli angoli EOF e AOC sono verticali; anche gli angoli AOE e COF sono verticali.

Due angoli si dicono verticali se i lati di un angolo sono continuazione dei lati dell'altro angolo.

Sia ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(Fig. 76). ∠2 adiacente ad esso sarà uguale a 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, cioè 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

Allo stesso modo, puoi calcolare a cosa sono uguali ∠3 e ∠4.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (Fig. 77).

Vediamo che ∠1 = ∠3 e ∠2 = ∠4.

Puoi risolvere molti altri problemi uguali e ogni volta otterrai lo stesso risultato: gli angoli verticali sono uguali tra loro.

Tuttavia, per garantire che gli angoli verticali siano sempre uguali tra loro, non è sufficiente considerare i singoli esempi numerici, poiché le conclusioni tratte da esempi particolari talvolta possono essere errate.

È necessario verificare la validità delle proprietà degli angoli verticali mediante prova.

La dimostrazione può essere effettuata nel modo seguente (Fig. 78):

∠a+∠C= 180°;

∠b+∠C= 180°;

(poiché la somma degli angoli adiacenti è 180°).

∠a+∠C = ∠b+∠C

(poiché il lato sinistro di questa uguaglianza è uguale a 180°, e anche il suo lato destro è uguale a 180°).

Questa uguaglianza include lo stesso angolo Con.

Se sottraiamo importi uguali da quantità uguali, rimarranno importi uguali. Il risultato sarà: ∠UN = ∠B, cioè gli angoli verticali sono uguali tra loro.

3. La somma degli angoli che hanno un vertice comune.

Nel disegno 79, ∠1, ∠2, ∠3 e ∠4 si trovano su un lato di una linea e hanno un vertice comune su questa linea. In sintesi, questi angoli formano un angolo piatto, cioè

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Nella Figura 80, ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 e ∠5 hanno un vertice comune. La somma di questi angoli forma un angolo completo, ovvero ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Come trovare un angolo adiacente?

La matematica è la scienza esatta più antica, studiata obbligatoriamente nelle scuole, nei college, negli istituti e nelle università. Tuttavia, le conoscenze di base vengono sempre depositate a scuola. A volte al bambino vengono affidati compiti piuttosto complessi, ma i genitori non sono in grado di aiutarlo perché hanno semplicemente dimenticato alcune cose della matematica. Ad esempio, come trovare un angolo adiacente in base alla dimensione dell'angolo principale, ecc. Il problema è semplice, ma può causare difficoltà di risoluzione a causa dell'ignoranza di quali angoli siano chiamati adiacenti e di come trovarli.

Diamo uno sguardo più da vicino alla definizione e alle proprietà degli angoli adiacenti, nonché a come calcolarli dai dati nel problema.

Definizione e proprietà degli angoli adiacenti

Due raggi che partono da un punto formano una figura chiamata “angolo piano”. In questo caso, questo punto è chiamato vertice dell'angolo e i raggi sono i suoi lati. Se si continua uno dei raggi oltre il punto iniziale in linea retta, si forma un altro angolo, che si chiama adiacente. Ogni angolo in questo caso ha due angoli adiacenti, poiché i lati dell'angolo sono equivalenti. Cioè, c'è sempre un angolo adiacente di 180 gradi.

Le principali proprietà degli angoli adiacenti includono

• Gli angoli adiacenti hanno un vertice e un lato comuni;
• La somma degli angoli adiacenti è sempre pari a 180 gradi o al numero Pi se il calcolo viene effettuato in radianti;
• I seni degli angoli adiacenti sono sempre uguali;
• I coseni e le tangenti di angoli adiacenti sono uguali ma hanno segno opposto.

Come trovare angoli adiacenti

Di solito vengono fornite tre varianti di problemi per trovare la grandezza degli angoli adiacenti

• Viene fornito il valore dell'angolo principale;
• Viene fornito il rapporto tra l'angolo principale e quello adiacente;
• Viene fornito il valore dell'angolo verticale.

Ogni versione del problema ha la sua soluzione. Diamo un'occhiata a loro.

Viene fornito il valore dell'angolo principale

Se il problema specifica il valore dell'angolo principale, trovare l'angolo adiacente è molto semplice. Per fare ciò, basta sottrarre il valore dell'angolo principale da 180 gradi e otterrai il valore dell'angolo adiacente. Questa soluzione si basa sulla proprietà dell'angolo adiacente: la somma degli angoli adiacenti è sempre uguale a 180 gradi.

Se il valore dell'angolo principale è espresso in radianti e il problema richiede di trovare l'angolo adiacente in radianti, allora è necessario sottrarre il valore dell'angolo principale dal numero Pi, poiché il valore dell'angolo completamente spiegato di 180 gradi è uguale al numero Pi.

Viene fornito il rapporto tra l'angolo principale e quello adiacente

Il problema potrebbe fornire il rapporto tra l'angolo principale e quello adiacente anziché i gradi e i radianti dell'angolo principale. In questo caso, la soluzione sarà simile a un'equazione proporzionale:

1. Indichiamo la proporzione dell'angolo principale come la variabile "Y".
2. La frazione relativa all'angolo adiacente è indicata come variabile "X".
3. Il numero di gradi che ricadono su ciascuna proporzione sarà indicato, ad esempio, con “a”.
4. La formula generale sarà simile a questa: a*X+a*Y=180 o a*(X+Y)=180.
5. Troviamo il fattore comune dell'equazione “a” utilizzando la formula a=180/(X+Y).
6. Quindi moltiplichiamo il valore risultante del fattore comune “a” per la frazione dell'angolo che deve essere determinato.

In questo modo possiamo trovare il valore dell'angolo adiacente in gradi. Tuttavia, se devi trovare un valore in radianti, devi semplicemente convertire i gradi in radianti. Per fare ciò, moltiplica l'angolo in gradi per Pi e dividi tutto per 180 gradi. Il valore risultante sarà in radianti.

Viene fornito il valore dell'angolo verticale

Se il problema non fornisce il valore dell'angolo principale, ma viene fornito il valore dell'angolo verticale, allora l'angolo adiacente può essere calcolato utilizzando la stessa formula del primo paragrafo, dove viene fornito il valore dell'angolo principale.

Un angolo verticale è un angolo che ha origine dallo stesso punto di quello principale, ma è diretto esattamente nella direzione opposta. Ciò si traduce in un'immagine speculare. Ciò significa che l'angolo verticale è uguale in grandezza a quello principale. A sua volta, l'angolo adiacente dell'angolo verticale è uguale all'angolo adiacente dell'angolo principale. Grazie a ciò è possibile calcolare l'angolo adiacente dell'angolo principale. Per fare ciò, sottrai semplicemente il valore verticale da 180 gradi e ottieni il valore dell'angolo adiacente all'angolo principale in gradi.

Se il valore è espresso in radianti, è necessario sottrarre il valore dell'angolo verticale dal numero Pi, poiché il valore dell'angolo completamente spiegato di 180 gradi è uguale al numero Pi.

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