Il seno 1 2 è un caso speciale. Regole per trovare le funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente e cotangente

Equazioni trigonometriche .

Le più semplici equazioni trigonometriche .

Metodi per risolvere equazioni trigonometriche.

Equazioni trigonometriche. Un'equazione contenente un'incognita sotto viene chiamato il segno della funzione trigonometrica trigonometrico.

Le più semplici equazioni trigonometriche.

Metodi per risolvere equazioni trigonometriche. La risoluzione di un'equazione trigonometrica consiste di due fasi: trasformazione dell'equazione per renderlo più semplice tipo (vedi sopra) e soluzioneil risultato più semplice equazione trigonometrica. Ce ne sono sette metodi di base per la risoluzione di equazioni trigonometriche.

1. Metodo algebrico. Questo metodo ci è ben noto dall'algebra.

(metodo di sostituzione e sostituzione variabile).

2. Fattorizzazione. Diamo un'occhiata a questo metodo con esempi.

Esempio 1. Risolvi l'equazione: peccato X+cos X = 1 .

Soluzione. Spostiamo tutti i termini dell'equazione a sinistra:

Peccato X+cos X – 1 = 0 ,

Trasformiamo e fattorizziamo l'espressione in

Lato sinistro dell'equazione:

Esempio 2. Risolvi l'equazione: cos 2 X+ peccato X cos X = 1.

Soluzione: cos2 X+ peccato X cos X– peccato 2 X– cos2 X = 0 ,

Peccato X cos X– peccato 2 X = 0 ,

Peccato X· (cos X– peccato X ) = 0 ,

Esempio 3. Risolvi l'equazione: cos2 X–cos 8 X+ cos 6 X = 1.

Soluzione: cos2 X+ cos 6 X= 1 + cos8 X,

2 cos 4 X cos2 X= 2cos²4 X ,

Cos4 X · (cos2 X–cos 4 X) = 0 ,

Cos4 X · 2 peccato 3 X peccato X = 0 ,

1). cos 4 X= 0, 2). peccato 3 X= 0, 3). peccato X = 0 ,

4. Transizione al semiangolo. Consideriamo questo metodo come esempio:

ESEMPIO Risolvere l'equazione: 3 peccato X– 5 cos X = 7.

Soluzione: 6 peccati ( X/ 2) cos ( X/ 2) – 5 cos² ( X/ 2) + 5 peccato² ( X/ 2) =

7 peccato² ( X/ 2) + 7 cos² ( X/ 2) ,

2 peccato² ( X/ 2) – 6 peccato ( X/ 2) cos ( X/ 2) + 12 cos² ( X/ 2) = 0 ,

tan²( X/ 2) – 3 marrone chiaro ( X/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Introduzione di un angolo ausiliario. Consideriamo un'equazione della forma:

UN peccato X + B cos X = C ,

Dove UN, B, C– coefficienti;X- sconosciuto.

Ora i coefficienti dell'equazione hanno le proprietà di seno e coseno, vale a dire: modulo (valore assoluto) di ciascuno

I concetti di seno, coseno, tangente e cotangente sono le principali categorie della trigonometria, una branca della matematica, e sono indissolubilmente legati alla definizione di angolo. La padronanza di questa scienza matematica richiede la memorizzazione e la comprensione di formule e teoremi, nonché il pensiero spaziale sviluppato. Questo è il motivo per cui i calcoli trigonometrici spesso causano difficoltà a scolari e studenti. Per superarli, dovresti acquisire maggiore familiarità con le funzioni e le formule trigonometriche.

Concetti di trigonometria

Per comprendere i concetti di base della trigonometria, devi prima capire cosa sono un triangolo rettangolo e un angolo in un cerchio e perché tutti i calcoli trigonometrici di base sono associati ad essi. Un triangolo in cui uno degli angoli misura 90 gradi è rettangolare. Storicamente, questa figura veniva spesso utilizzata da persone nel campo dell'architettura, della navigazione, dell'arte e dell'astronomia. Di conseguenza, studiando e analizzando le proprietà di questa figura, le persone sono arrivate a calcolare i rapporti corrispondenti dei suoi parametri.

Le principali categorie associate ai triangoli rettangoli sono l'ipotenusa e i cateti. L'ipotenusa è il lato di un triangolo opposto all'angolo retto. Le gambe, rispettivamente, sono i restanti due lati. La somma degli angoli di qualsiasi triangolo è sempre 180 gradi.

La trigonometria sferica è una sezione della trigonometria che non viene studiata a scuola, ma nelle scienze applicate come l'astronomia e la geodesia, gli scienziati la usano. La particolarità di un triangolo nella trigonometria sferica è che ha sempre una somma degli angoli maggiore di 180 gradi.

Angoli di un triangolo

In un triangolo rettangolo, il seno di un angolo è il rapporto tra il cateto opposto all'angolo desiderato e l'ipotenusa del triangolo. Di conseguenza, il coseno è il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa. Entrambi questi valori hanno sempre grandezza inferiore a uno, poiché l'ipotenusa è sempre più lunga della gamba.

La tangente di un angolo è un valore uguale al rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente dell'angolo desiderato, o seno-coseno. La cotangente, a sua volta, è il rapporto tra il lato adiacente dell'angolo desiderato e il lato opposto. La cotangente di un angolo può essere ottenuta anche dividendo uno per il valore della tangente.

Cerchio unitario

Un cerchio unitario in geometria è un cerchio il cui raggio è uguale a uno. Tale cerchio è costruito in un sistema di coordinate cartesiane, con il centro del cerchio che coincide con il punto di origine, e la posizione iniziale del raggio vettore è determinata lungo la direzione positiva dell'asse X (asse delle ascisse). Ogni punto del cerchio ha due coordinate: XX e YY, cioè le coordinate dell'ascissa e dell'ordinata. Selezionando un punto qualsiasi della circonferenza nel piano XX e trascinando da esso una perpendicolare all'asse delle ascisse, otteniamo un triangolo rettangolo formato dal raggio del punto selezionato (indicato con la lettera C), la perpendicolare tracciata all'asse X (il punto di intersezione è indicato con la lettera G), e il segmento dell'asse delle ascisse è compreso tra l'origine delle coordinate (il punto è indicato con la lettera A) e il punto di intersezione G. Il triangolo risultante ACG è un triangolo rettangolo inscritto in un cerchio, dove AG è l'ipotenusa, e AC e GC sono i cateti. L'angolo tra il raggio del cerchio AC e il segmento dell'asse delle ascisse contrassegnato dalla designazione AG è definito come α (alfa). Quindi, cos α = AG/AC. Considerando che AC è il raggio della circonferenza unitaria, ed è uguale a uno, risulta che cos α=AG. Allo stesso modo, sin α=CG.

Inoltre, conoscendo questi dati, puoi determinare la coordinata del punto C sul cerchio, poiché cos α=AG e sin α=CG, il che significa che il punto C ha le coordinate indicate (cos α; sin α). Sapendo che la tangente è uguale al rapporto seno/coseno, possiamo determinare che tan α = y/x e cot α = x/y. Considerando gli angoli in un sistema di coordinate negativo, puoi calcolare che i valori seno e coseno di alcuni angoli possono essere negativi.

Calcoli e formule fondamentali

Valori di funzioni trigonometriche

Avendo considerato l'essenza delle funzioni trigonometriche attraverso il cerchio unitario, possiamo derivare i valori di queste funzioni per alcuni angoli. I valori sono elencati nella tabella seguente.

Le identità trigonometriche più semplici

Le equazioni in cui è presente un valore incognito sotto il segno della funzione trigonometrica sono dette trigonometriche. Identità con il valore sin x = α, k - qualsiasi numero intero:

1. peccato x = 0, x = πk.
2. 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. peccato x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. peccato x = a, |a| > 1, nessuna soluzione.
5. peccato x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcoseno α + πk.

Identità con il valore cos x = a, dove k è un numero intero qualsiasi:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, nessuna soluzione.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arcos α + 2πk.

Identità con il valore tg x = a, dove k è un numero intero qualsiasi:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk.

Identità con il valore ctg x = a, dove k è un numero intero qualsiasi:

1. lettino x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Formule di riduzione

Questa categoria di formule costanti denota metodi con cui è possibile passare da funzioni trigonometriche della forma a funzioni di argomento, cioè ridurre seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo di qualsiasi valore ai corrispondenti indicatori dell'angolo di l'intervallo da 0 a 90 gradi per una maggiore comodità di calcolo.

Le formule per ridurre le funzioni per il seno di un angolo si presentano così:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• peccato(1800 - α) = peccato α;
• sin(1800 + α) = -senα;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sen α;
• peccato(3600 + α) = peccato α.

Per il coseno dell'angolo:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sen α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sen α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

L'uso delle formule di cui sopra è possibile nel rispetto di due regole. Innanzitutto, se l'angolo può essere rappresentato come un valore (π/2 ± a) o (3π/2 ± a), il valore della funzione cambia:

• dal peccato al cos;
• dal cos al peccato;
• da tg a ctg;
• da ctg a tg.

Il valore della funzione rimane invariato se l'angolo può essere rappresentato come (π ± a) o (2π ± a).

In secondo luogo, il segno della funzione ridotta non cambia: se inizialmente era positivo, tale rimane. Lo stesso con le funzioni negative.

Formule di addizione

Queste formule esprimono i valori di seno, coseno, tangente e cotangente della somma e differenza di due angoli di rotazione attraverso le loro funzioni trigonometriche. Tipicamente gli angoli sono indicati come α e β.

Le formule appaiono così:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Queste formule sono valide per qualsiasi angolo α e β.

Formule del doppio e del triplo angolo

Le formule trigonometriche del doppio e del triplo angolo sono formule che mettono in relazione rispettivamente le funzioni degli angoli 2α e 3α con le funzioni trigonometriche dell'angolo α. Derivato da formule di addizione:

1. sin2α = 2senα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sen^2α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2α).
4. sin3α = 3senα - 4sen^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Transizione dalla somma al prodotto

Considerando che 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), semplificando questa formula, otteniamo l'identità sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Allo stesso modo sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sen(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Transizione dal prodotto alla somma

Queste formule seguono dalle identità della transizione di una somma a un prodotto:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Formule di riduzione dei gradi

In queste identità, le potenze quadrata e cubica di seno e coseno possono essere espresse in termini di seno e coseno della prima potenza di un angolo multiplo:

• peccato^2α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• peccato^4α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Sostituzione universale

Le formule per la sostituzione trigonometrica universale esprimono le funzioni trigonometriche in termini di tangente di un semiangolo.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), con x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), dove x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), dove x = π + 2πn;
• lettino x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), con x = π + 2πn.

Casi speciali

Di seguito sono riportati i casi speciali delle equazioni trigonometriche più semplici (k è un numero intero qualsiasi).

Quozienti per il seno:

Quozienti per coseno:

Quozienti per la tangente:

Quozienti per cotangente:

Teoremi

Teorema dei seni

Esistono due versioni del teorema: semplice ed estesa. Teorema semplice del seno: a/sen α = b/sen β = c/sen γ. In questo caso, a, b, c sono rispettivamente i lati del triangolo e α, β, γ sono gli angoli opposti.

Teorema del seno esteso per un triangolo arbitrario: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. In questa identità, R denota il raggio del cerchio in cui è inscritto il triangolo dato.

Teorema del coseno

L'identità viene visualizzata come segue: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Nella formula a, b, c sono i lati del triangolo e α è l'angolo opposto al lato a.

Teorema della tangente

La formula esprime il rapporto tra le tangenti di due angoli e la lunghezza dei lati ad essi opposti. I lati sono indicati con a, b, c e i corrispondenti angoli opposti sono α, β, γ. Formula del teorema della tangente: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Teorema della cotangente

Collega il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo con la lunghezza dei suoi lati. Se a, b, c sono i lati del triangolo e A, B, C sono rispettivamente gli angoli opposti ad essi, r è il raggio del cerchio inscritto e p è il semiperimetro del triangolo, vale quanto segue le identità sono valide:

• lettino A/2 = (p-a)/r;
• lettino B/2 = (p-b)/r;
• lettino C/2 = (p-c)/r.

Applicazione

La trigonometria non è solo una scienza teorica associata alle formule matematiche. Le sue proprietà, teoremi e regole sono utilizzate nella pratica da vari rami dell'attività umana: astronomia, navigazione aerea e marittima, teoria musicale, geodesia, chimica, acustica, ottica, elettronica, architettura, economia, ingegneria meccanica, lavori di misurazione, computer grafica, cartografia, oceanografia e molti altri.

Seno, coseno, tangente e cotangente sono i concetti base della trigonometria, con l'aiuto dei quali si possono esprimere matematicamente le relazioni tra gli angoli e le lunghezze dei lati di un triangolo e trovare le quantità richieste attraverso identità, teoremi e regole.

Lezione e presentazione sull'argomento: "Risoluzione di semplici equazioni trigonometriche"

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Cosa studieremo:
1. Cosa sono le equazioni trigonometriche?

3. Due metodi principali per risolvere equazioni trigonometriche.
4. Equazioni trigonometriche omogenee.
5. Esempi.

Cosa sono le equazioni trigonometriche?

Ragazzi, abbiamo già studiato arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcotangente. Consideriamo ora le equazioni trigonometriche in generale.

Le equazioni trigonometriche sono equazioni in cui una variabile è contenuta sotto il segno di una funzione trigonometrica.

Ripetiamo la forma di risoluzione delle equazioni trigonometriche più semplici:

1)Se |a|≤ 1, allora l'equazione cos(x) = a ha soluzione:

X= ± arcocos(a) + 2πk

2) Se |a|≤ 1, allora l'equazione sin(x) = a ha soluzione:

3) Se |a| > 1, allora l'equazione sin(x) = a e cos(x) = a non hanno soluzioni 4) L'equazione tg(x)=a ha una soluzione: x=arctg(a)+ πk

5) L'equazione ctg(x)=a ha soluzione: x=arcctg(a)+ πk

Per tutte le formule k è un numero intero

Le equazioni trigonometriche più semplici hanno la forma: T(kx+m)=a, T è una funzione trigonometrica.

Risolvi le equazioni: a) sin(3x)= √3/2

Soluzione:

A) Indichiamo 3x=t, quindi riscriviamo la nostra equazione nella forma:

La soluzione di questa equazione sarà: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Dalla tabella dei valori otteniamo: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Torniamo alla nostra variabile: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Allora x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Risposta: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, dove n è un numero intero. (-1)^n – meno uno elevato a n.

Altri esempi di equazioni trigonometriche.

Soluzione:

A) Questa volta passiamo direttamente al calcolo delle radici dell'equazione:

X/5= ± arcocos(1) + 2πk. Allora x/5= πk => x=5πk

Risposta: x=5πk, dove k è un numero intero.

B) Lo scriviamo nella forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Sappiamo che: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Risposta: x=2π/9 + πk/3, dove k è un numero intero.

Risolvi le equazioni: cos(4x)= √2/2. E trova tutte le radici sul segmento.

Soluzione:

Risolviamo la nostra equazione in forma generale: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ±π/4 + 2πk;

X=±π/16+πk/2;

Vediamo ora quali radici ricadono sul nostro segmento. A k A k=0, x= π/16, siamo nel segmento dato.
Con k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, colpiamo di nuovo.
Per k=2, x= π/16+ π=17π/16, ma qui non abbiamo colpito, il che significa che anche per k grandi ovviamente non colpiremo.

Risposta: x= π/16, x= 9π/16

Due metodi risolutivi principali.

Risolviamo l'equazione:

Soluzione:
Per risolvere la nostra equazione, utilizzeremo il metodo di introduzione di una nuova variabile, che denota: t=tg(x).

Come risultato della sostituzione otteniamo: t 2 + 2t -1 = 0

Troviamo le radici dell'equazione quadratica: t=-1 e t=1/3

Quindi tg(x)=-1 e tg(x)=1/3, otteniamo l'equazione trigonometrica più semplice, troviamo le sue radici.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Risposta: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Un esempio di risoluzione di un'equazione

Risolvi le equazioni: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Soluzione:

Usiamo l'identità: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

La nostra equazione assumerà la forma: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Introduciamo la sostituzione t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

La soluzione della nostra equazione quadratica sono le radici: t=2 e t=-1/2

Allora cos(x)=2 e cos(x)=-1/2.

Perché il coseno non può assumere valori maggiori di uno, allora cos(x)=2 non ha radici.

Per cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x=±2π/3 + 2πk

Risposta: x= ±2π/3 + 2πk

Equazioni trigonometriche omogenee.

Equazioni della forma

equazioni trigonometriche omogenee di secondo grado.

Per risolvere un'equazione trigonometrica omogenea di primo grado, dividila per cos(x): Non puoi dividere per il coseno se è uguale a zero, assicuriamoci che non sia così:
Sia cos(x)=0, allora asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ma seno e coseno non sono uguali a zero allo stesso tempo, otteniamo una contraddizione, quindi possiamo tranquillamente dividere per zero.

Risolvi l'equazione:
Esempio: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Soluzione:

Togliamo il fattore comune: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Quindi dobbiamo risolvere due equazioni:

Cos(x)=0 e cos(x)+sen(x)=0

Cos(x)=0 in x= π/2 + πk;

Considera l'equazione cos(x)+sin(x)=0 Dividi la nostra equazione per cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Risposta: x= π/2 + πk e x= -π/4+πk

Come risolvere equazioni trigonometriche omogenee di secondo grado?
Ragazzi, rispettate sempre queste regole!

1. Guarda a quanto equivale il coefficiente a, se a=0 allora la nostra equazione assumerà la forma cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), un esempio della cui soluzione si trova nella diapositiva precedente

2. Se a≠0, allora devi dividere entrambi i lati dell'equazione per il coseno al quadrato, otteniamo:

Cambiamo la variabile t=tg(x) e otteniamo l'equazione:

Risolvi l'esempio n.:3

Dividiamo entrambi i lati dell'equazione per il quadrato del coseno:

Cambiamo la variabile t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Troviamo le radici dell'equazione quadratica: t=-3 e t=1

Quindi: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Risposta: x=-arctg(3) + πk e x= π/4+ πk

Risolvi l'esempio n.:4

Soluzione:
Trasformiamo la nostra espressione:

Possiamo risolvere tali equazioni: x= - π/4 + 2πk e x=5π/4 + 2πk

Risposta: x= - π/4 + 2πk e x=5π/4 + 2πk

Risolvi l'esempio n.:5

Soluzione:
Trasformiamo la nostra espressione:

Introduciamo la sostituzione tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

La soluzione della nostra equazione quadratica saranno le radici: t=-2 e t=1/2

Quindi otteniamo: tg(2x)=-2 e tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arcog(1/2) + πk => x=arcog(1/2)/2+ πk/2

Risposta: x=-arctg(2)/2 + πk/2 e x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemi per soluzione indipendente.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Risolvi le equazioni: sin(3x)= √3/2. E trova tutte le radici sul segmento [π/2; π].

3) Risolvi l'equazione: lettino 2 (x) + 2 lettino (x) + 1 =0

4) Risolvi l'equazione: 3 sin 2 (x) + √3sen (x) cos(x) = 0

5) Risolvi l'equazione: 3sen 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Risolvi l'equazione: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sen 2 (2x)

Concetto di risoluzione di equazioni trigonometriche.

• Per risolvere un'equazione trigonometrica, convertila in una o più equazioni trigonometriche di base. Risolvere un'equazione trigonometrica alla fine si riduce alla risoluzione delle quattro equazioni trigonometriche di base.

Quando ne risolvi molti problemi matematici, soprattutto quelli che si verificano prima del decimo anno, l'ordine delle azioni eseguite che porteranno all'obiettivo è chiaramente definito. Tali problemi includono, ad esempio, equazioni lineari e quadratiche, disuguaglianze lineari e quadratiche, equazioni frazionarie ed equazioni che si riducono a quadratiche. Il principio per risolvere con successo ciascuno dei problemi citati è il seguente: devi stabilire che tipo di problema stai risolvendo, ricordare la sequenza necessaria di azioni che porteranno al risultato desiderato, ad es. rispondi e segui questi passaggi.

È ovvio che il successo o il fallimento nella risoluzione di un particolare problema dipende principalmente da quanto correttamente viene determinato il tipo di equazione da risolvere, da quanto correttamente viene riprodotta la sequenza di tutte le fasi della sua soluzione. Naturalmente in questo caso è necessario avere le competenze per eseguire trasformazioni e calcoli identici.

La situazione è diversa con equazioni trigonometriche. Non è affatto difficile stabilire il fatto che l'equazione è trigonometrica. Le difficoltà sorgono quando si determina la sequenza di azioni che porterebbero alla risposta corretta.

A volte è difficile determinarne il tipo in base all'aspetto di un'equazione. E senza conoscere il tipo di equazione, è quasi impossibile scegliere quella giusta tra diverse dozzine di formule trigonometriche.

Per risolvere un'equazione trigonometrica, devi provare:

1. portare tutte le funzioni incluse nell'equazione agli “stessi angoli”;
2. portare l'equazione a “funzioni identiche”;
3. fattorizzare il lato sinistro dell'equazione, ecc.

Consideriamo metodi di base per la risoluzione di equazioni trigonometriche.

I. Riduzione alle equazioni trigonometriche più semplici

Diagramma della soluzione

Passaggio 1. Esprimere una funzione trigonometrica in termini di componenti note.

Passaggio 2. Trova l'argomento della funzione utilizzando le formule:

cos x = a; x = ±arcos a + 2πn, n ЄZ.

peccato x = a; x = (-1) n arcoseno a + πn, n Ä Z.

marrone chiaro x = a; x = arcotan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Á Z.

Passaggio 3. Trova la variabile sconosciuta.

Esempio.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Soluzione.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n À Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n À Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n À Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n À Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n À Z.

Risposta: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n À Z.

II. Sostituzione variabile

Diagramma della soluzione

Passaggio 1. Riduci l'equazione alla forma algebrica rispetto ad una delle funzioni trigonometriche.

Passaggio 2. Denotare la funzione risultante con la variabile t (se necessario, introdurre restrizioni su t).

Passaggio 3. Scrivi e risolvi l'equazione algebrica risultante.

Passaggio 4. Effettuare una sostituzione inversa.

Passaggio 5. Risolvi l'equazione trigonometrica più semplice.

Esempio.

2cos 2 (x/2) – 5sen (x/2) – 5 = 0.

Soluzione.

1) 2(1 – peccato 2 (x/2)) – 5 peccato (x/2) – 5 = 0;

2peccato 2 (x/2) + 5peccato (x/2) + 3 = 0.

2) Sia sin (x/2) = t, dove |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 o e = -3/2, non soddisfa la condizione |t| ≤ 1.

4) peccato(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n À Z;

x = π + 4πn, n À Z.

Risposta: x = π + 4πn, n À Z.

III. Metodo di riduzione dell'ordine delle equazioni

Diagramma della soluzione

Passaggio 1. Sostituisci questa equazione con una lineare, utilizzando la formula per ridurre il grado:

peccato 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos2x = 1/2 · (1 + cos2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Passaggio 2. Risolvi l'equazione risultante utilizzando i metodi I e II.

Esempio.

cos2x + cos2x = 5/4.

Soluzione.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n À Z;

x = ±π/6 + πn, n À Z.

Risposta: x = ±π/6 + πn, n Á Z.

IV. Equazioni omogenee

Diagramma della soluzione

Passaggio 1. Riduci questa equazione alla forma

a) a sin x + b cos x = 0 (equazione omogenea di primo grado)

o alla vista

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (equazione omogenea di secondo grado).

Passaggio 2. Dividi entrambi i membri dell'equazione per

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

e ottieni l'equazione per tan x:

a) a abbronzatura x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Passaggio 3. Risolvi l'equazione utilizzando metodi noti.

Esempio.

5sen 2 x + 3sen x cos x – 4 = 0.

Soluzione.

1) 5sen 2 x + 3sen x · cos x – 4(sen 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg2x + 3tgx – 4 = 0.

3) Sia tg x = t, allora

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 o t = -4, il che significa

tgx = 1 o tgx = -4.

Dalla prima equazione x = π/4 + πn, n Є Z; dalla seconda equazione x = -arctg 4 + πk, k À Z.

Risposta: x = π/4 + πn, n À Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metodo per trasformare un'equazione utilizzando formule trigonometriche

Diagramma della soluzione

Passaggio 1. Utilizzando tutte le possibili formule trigonometriche, riduci questa equazione a un'equazione risolta con i metodi I, II, III, IV.

Passaggio 2. Risolvi l'equazione risultante utilizzando metodi noti.

Esempio.

peccato x + peccato 2x + peccato 3x = 0.

Soluzione.

1) (peccato x + peccato 3x) + peccato 2x = 0;

2sen 2x cos x + sin 2x = 0.

2) peccato 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 oppure 2cos x + 1 = 0;

Dalla prima equazione 2x = π/2 + πn, n Є Z; dalla seconda equazione cos x = -1/2.

Abbiamo x = π/4 + πn/2, n À Z; dalla seconda equazione x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Di conseguenza, x = π/4 + πn/2, n À Z; x = ±2π/3 + 2πk, k À Z.

Risposta: x = π/4 + πn/2, n À Z; x = ±2π/3 + 2πk, k À Z.

La capacità e l'abilità di risolvere equazioni trigonometriche è molto importante, il loro sviluppo richiede uno sforzo notevole, sia da parte dello studente che da parte dell'insegnante.

Molti problemi di stereometria, fisica, ecc. sono associati alla soluzione di equazioni trigonometriche. Il processo di risoluzione di tali problemi incorpora molte delle conoscenze e abilità acquisite studiando gli elementi della trigonometria.

Le equazioni trigonometriche occupano un posto importante nel processo di apprendimento della matematica e dello sviluppo personale in generale.

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