Cura del corpo

Trova il raggio dell'ambiente descritto. Cerchio circoscritto ad un triangolo

Ne avrai bisogno

Triangolo con parametri dati
Bussola
Governate
Piazza
Tavola dei seni e coseni
Concetti matematici
Determinazione dell'altezza di un triangolo
Formule del seno e del coseno
Formula dell'area del triangolo

Istruzioni

Disegna un triangolo con i parametri richiesti. Un triangolo ha tre lati, oppure due lati e un angolo compreso tra loro, oppure un lato e due angoli adiacenti. Etichetta i vertici del triangolo come A, B e C, gli angoli come α, β e γ e i lati opposti ai vertici come a, b e c.

Disegna tutti i lati del triangolo e trova il loro punto di intersezione. Indichiamo le altezze con h con i corrispondenti indici per i lati. Trova il punto della loro intersezione e chiamalo O. Sarà il centro del cerchio. Pertanto, i raggi di questo cerchio saranno i segmenti OA, OB e OS.

Trova il raggio utilizzando due formule. Per prima cosa, devi prima calcolare . È uguale a tutti i lati del triangolo per il seno di uno qualsiasi degli angoli diviso per 2.

In questo caso, il raggio del cerchio circoscritto viene calcolato dalla formula

Per l'altro sono sufficienti la lunghezza di uno dei lati e il seno dell'angolo opposto.

Calcola il raggio e descrivi la circonferenza del triangolo.

Consigli utili

Ricorda qual è l'altezza di un triangolo. Questa è una perpendicolare tracciata da un angolo al lato opposto.

L'area di un triangolo può anche essere rappresentata come il prodotto del quadrato di uno dei lati e dei seni di due angoli adiacenti, diviso per il doppio del seno della somma di questi angoli.
S=2*sinβ*sinγ/2sinγ

Fonti:

tavolo con raggi di cerchio circoscritti
Raggio di un cerchio circoscritto ad un equilatero

Si considera circoscritto ad un poligono se ne tocca tutti i vertici. Ciò che è degno di nota è che il centro di tale cerchio coincide con il punto di intersezione delle perpendicolari tracciate dai punti medi dei lati del poligono. Raggio descritto cerchio dipende completamente dal poligono attorno al quale è descritto.

Ne avrai bisogno

Conoscere i lati di un poligono e la sua area/perimetro.

Istruzioni

notare che

Un cerchio può essere tracciato attorno a un poligono solo se è regolare, cioè tutti i suoi lati sono uguali e tutti i suoi angoli sono uguali.
La tesi che il centro di una circonferenza circoscritta ad un poligono sia l'intersezione delle sue bisettrici perpendicolari è valida per tutti i poligoni regolari.

Fonti:

come trovare il raggio di un poligono

Se è possibile costruire una circonferenza circoscritta per un poligono, l'area di questo poligono è inferiore all'area della circonferenza circoscritta, ma maggiore dell'area del cerchio inscritto. Per alcuni poligoni è noto che è possibile trovare formule raggio cerchi inscritti e circoscritti.

Istruzioni

Cerchio inscritto in un poligono che tocca tutti i lati del poligono. Per un triangolo raggio cerchi: r = ((p-a)(p-b)(p-c)/p)^1/2, dove p è il semiperimetro; a, b, c - lati del triangolo. Perché la formula è semplificata: r = a/(2*3^1/2), a è il lato del triangolo.

Una circonferenza circoscritta ad un poligono è una circonferenza sulla quale giacciono tutti i vertici del poligono. Per un triangolo, il raggio si trova con la formula: R = abc/(4(p(p-a)(p-b)(p-c))^1/2), dove p è il semiperimetro; a, b, c - lati del triangolo. Per quello corretto è più semplice: R = a/3^1/2.

Nei poligoni non è sempre possibile conoscere il rapporto tra i raggi inscritti e le lunghezze dei lati. Più spesso si limitano a costruire tali cerchi attorno al poligono, e quindi fisici raggio cerchi utilizzando strumenti di misura o spazio vettoriale.
Per costruire la circonferenza circoscritta di un poligono convesso si costruiscono le bisettrici dei suoi due angoli; alla loro intersezione si trova il centro del cerchio circoscritto; Il raggio sarà la distanza dal punto di intersezione delle bisettrici al vertice di qualsiasi angolo del poligono. Il centro dell'inscritto all'intersezione delle perpendicolari costruite all'interno del poligono dai centri dei lati (queste perpendicolari sono mediane). È sufficiente costruire due di queste perpendicolari. Il raggio della circonferenza inscritta è uguale alla distanza dal punto di intersezione delle perpendicolari mediane al lato del poligono.

Video sull'argomento

notare che

È impossibile inscrivere un cerchio in un poligono dato arbitrariamente e descrivergli un cerchio attorno.

Consigli utili

Un cerchio può essere inscritto in un quadrilatero se a+c = b+d, dove a, b, c, d sono i lati del quadrilatero nell'ordine. Attorno ad un quadrilatero si può descrivere un cerchio se la somma dei suoi angoli opposti è pari a 180 gradi;

Per un triangolo, tali cerchi esistono sempre.

Suggerimento 4: come trovare l'area di un triangolo basato su tre lati

Trovare l'area di un triangolo è uno dei problemi più comuni nella planimetria scolastica. Conoscere i tre lati di un triangolo è sufficiente per determinare l'area di qualsiasi triangolo. In casi particolari di triangoli equilateri è sufficiente conoscere rispettivamente la lunghezza di due e di un lato.

Ne avrai bisogno

lunghezze dei lati dei triangoli, formula di Erone, teorema del coseno

Istruzioni

La formula di Heron per l'area di un triangolo è la seguente: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Se scriviamo il semiperimetro p, otteniamo: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (quadrato((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Puoi ricavare una formula per l'area di un triangolo da considerazioni, ad esempio, applicando il teorema del coseno.

Per il teorema del coseno, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Usando le notazioni introdotte, queste possono essere scritte anche nella forma: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Quindi, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

L'area di un triangolo si trova anche con la formula S = a*c*sin(ABC)/2 utilizzando due lati e l'angolo compreso tra loro. Il seno dell'angolo ABC può essere espresso utilizzando l'identità trigonometrica di base: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Sostituendo il seno nella formula per l'area e scrivendolo , puoi arrivare alla formula per l'area del triangolo ABC.

Video sull'argomento

I tre punti che definiscono univocamente un triangolo nel sistema di coordinate cartesiane sono i suoi vertici. Conoscendo la loro posizione rispetto a ciascuno degli assi delle coordinate, puoi calcolare qualsiasi parametro di questa figura piatta, compresi quelli limitati dal suo perimetro piazza. Questo può essere fatto in diversi modi.

Istruzioni

Utilizza la formula di Erone per calcolare l'area triangolo. Implica le dimensioni dei tre lati della figura, quindi inizia i calcoli con . La lunghezza di ciascun lato deve essere uguale alla radice della somma dei quadrati delle lunghezze delle sue proiezioni sugli assi coordinati. Se indichiamo le coordinate A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) e C(X₃,Y₃,Z₃), le lunghezze dei loro lati possono essere espresse come segue: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Per semplificare i calcoli, introdurre una variabile ausiliaria: semiperimetro (P). Dal fatto che questa è la metà della somma delle lunghezze di tutti i lati: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Calcolare piazza(S) utilizzando la formula di Erone: prendi la radice del prodotto del semiperimetro e la differenza tra esso e la lunghezza di ciascun lato. In generale si può scrivere come segue: S = √(P*(P-AB)*(P-BC)*(P-AC)) = √(P*(P-√((X₁-X₂)² + ( Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²))*(P-√((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²))*(P-√( (X₁ -X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²)).

Per i calcoli pratici è conveniente utilizzare calcolatrici specializzate. Si tratta di script ospitati sui server di alcuni siti che faranno tutti i calcoli necessari in base alle coordinate che hai inserito nell'apposito modulo. L'unico servizio di questo tipo è che non fornisce spiegazioni e giustificazioni per ogni fase dei calcoli. Pertanto, se sei interessato solo al risultato finale e non ai calcoli generali, vai, ad esempio, alla pagina http://planetcalc.ru/218/.

Nei campi del modulo, inserisci ciascuna coordinata di ciascun vertice triangolo- sono qui come Ax, Ay, Az, ecc. Se il triangolo è specificato da coordinate bidimensionali, scrivere zero nei campi Az, Bz e Cz. Nel campo "Precisione del calcolo", imposta il numero richiesto di cifre decimali facendo clic con il mouse più o meno. Non è necessario premere il pulsante arancione “Calcola” situato sotto il modulo, i calcoli verranno effettuati senza di esso; Troverai la risposta accanto alla scritta “Area triangolo" - si trova immediatamente sotto il pulsante arancione.

Fonti:

trova l'area di un triangolo con i vertici nei punti

A volte attorno a un poligono convesso puoi disegnarlo in modo tale che i vertici di tutti gli angoli giacciano su di esso. Un tale cerchio rispetto al poligono dovrebbe dirsi circoscritto. Suo centro non deve trovarsi all'interno del perimetro della figura inscritta, ma utilizzare le proprietà di quella descritta cerchio, trovare questo punto di solito non è molto difficile.

Ne avrai bisogno

Righello, matita, goniometro o squadra, compasso.

Istruzioni

Se il poligono attorno al quale devi descrivere un cerchio è disegnato su carta, trovalo centro e basta un cerchio con righello, matita e goniometro o quadrato. Misura la lunghezza di qualsiasi lato della figura, determinane il centro e posiziona un punto ausiliario in questo punto del disegno. Usando un quadrato o un goniometro, disegna un segmento all'interno del poligono perpendicolare a questo lato finché non si interseca con il lato opposto.

Fai la stessa operazione con qualsiasi altro lato del poligono. L'intersezione dei due segmenti costruiti sarà il punto desiderato. Ciò deriva dalla proprietà principale di quanto descritto cerchio- suo centro in un poligono convesso con qualsiasi lato si trova sempre nel punto di intersezione delle perpendicolari bisettrici tracciate da questi

Molto spesso, quando si risolvono problemi geometrici, è necessario eseguire azioni con figure ausiliarie. Ad esempio, trovare il raggio di un cerchio inscritto o circoscritto, ecc. Questo articolo ti mostrerà come trovare il raggio di un cerchio circoscritto da un triangolo. O, in altre parole, il raggio del cerchio in cui è inscritto il triangolo.

Come trovare il raggio di un cerchio circoscritto ad un triangolo - formula generale

La formula generale è la seguente: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), dove R è il raggio del cerchio circoscritto, p è il perimetro del triangolo diviso per 2 (semiperimetro). a, b, c – lati del triangolo.

Trova il circoraggio del triangolo se a = 3, b = 6, c = 7.

Pertanto, in base alla formula sopra, calcoliamo il semiperimetro:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Sostituiamo i valori nella formula e otteniamo:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Risposta: R = 126/16√5

Come trovare il raggio di un cerchio circoscritto ad un triangolo equilatero

Per trovare il raggio di un cerchio circoscritto ad un triangolo equilatero esiste una formula abbastanza semplice: R = a/√3, dove a è la dimensione del suo lato.

Esempio: Il lato di un triangolo equilatero è 5. Trova il raggio del cerchio circoscritto.

Dato che tutti i lati di un triangolo equilatero sono uguali, per risolvere il problema basta inserire il suo valore nella formula. Otteniamo: R = 5/√3.

Risposta: R = 5/√3.

Come trovare il raggio di un cerchio circoscritto a un triangolo rettangolo

La formula è la seguente: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, dove a e b sono i cateti e c è l'ipotenusa. Se sommi i quadrati dei cateti di un triangolo rettangolo, ottieni il quadrato dell'ipotenusa. Come si può vedere dalla formula, questa espressione è alla radice. Calcolando la radice del quadrato dell'ipotenusa otteniamo la lunghezza stessa. Moltiplicando l'espressione risultante per 1/2 si ottiene infine l'espressione 1/2 × c = c/2.

Esempio: Calcola il raggio del cerchio circoscritto se i cateti del triangolo sono 3 e 4. Sostituisci i valori nella formula. Otteniamo: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

In questa espressione, 5 è la lunghezza dell'ipotenusa.

Risposta: R = 2,5.

Come trovare il raggio di un cerchio circoscritto a un triangolo isoscele

La formula è la seguente: R = a²/√(4a² – b²), dove a è la lunghezza della coscia del triangolo e b è la lunghezza della base.

Esempio: calcola il raggio di un cerchio se il fianco = 7 e la base = 8.

Soluzione: sostituisci questi valori nella formula e ottieni: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).

R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. La risposta può essere scritta direttamente in questo modo.

Risposta: R = 49/√132

Risorse online per il calcolo del raggio di un cerchio

Può essere molto facile confondersi in tutte queste formule. Pertanto, se necessario, puoi utilizzare calcolatori online che ti aiuteranno a risolvere i problemi sulla ricerca del raggio. Il principio di funzionamento di questi mini-programmi è molto semplice. Sostituisci il valore laterale nel campo appropriato e ottieni una risposta già pronta. Puoi scegliere diverse opzioni per arrotondare la tua risposta: ai decimali, ai centesimi, ai millesimi, ecc.

Un triangolo si dice inscritto se tutti i suoi vertici giacciono sulla circonferenza. In questo caso viene chiamato il cerchio descritto attorno al triangolo. La distanza dal suo centro a ciascun vertice del triangolo sarà la stessa e uguale al raggio di questo cerchio. Qualsiasi triangolo può essere circondato da un cerchio, ma solo uno.

Il centro della circonferenza circoscritta si troverà nel punto di intersezione delle bisettrici perpendicolari disegnate su ciascun lato del triangolo. Se una circonferenza è circoscritta ad un triangolo rettangolo, il suo centro si troverà nel mezzo dell'ipotenusa. Per ogni triangolo attorno al quale è circoscritto un cerchio, si applica la formula per calcolare l'area di un triangolo in termini di raggio del cerchio circoscritto:

in cui a, b, c sono i lati del triangolo e R è il raggio della circonferenza circoscritta.

Un esempio di calcolo dell'area di un triangolo utilizzando il raggio del cerchio circoscritto:
Sia dato un triangolo con i lati a = 5 cm, b = 6 cm, c = 4 cm. Attorno ad esso è circoscritto un cerchio con R = 3 cm.
Avendo tutti i dati richiesti, sostituiamo semplicemente i valori nella formula:

L'area del triangolo sarà di 10 metri quadrati. cm

Molto spesso, a seconda delle condizioni, è possibile trovare una determinata area del cerchio circoscritto, che deve essere utilizzata per trovare l'area del triangolo inscritto. La formula per l'area di un triangolo passante per l'area della circonferenza circoscritta si trova dopo aver calcolato il raggio. Può essere calcolato in diversi modi. Innanzitutto, considera la formula per l'area di un cerchio:
Trasformando questa formula, otteniamo che il raggio è:
Utilizzando questa formula, troviamo che conoscendo l'area del cerchio circoscritto, possiamo trovare l'area del triangolo nel modo seguente:

Conoscere tutti e tre i lati di un dato triangolo può essere utilizzato per trovare l'area. Da esso puoi anche trovare il raggio del cerchio circoscritto. Cioè, se tutti i lati di un triangolo sono dati nelle condizioni e dobbiamo trovare l'area passante per il raggio del cerchio circoscritto, dobbiamo prima calcolarla utilizzando la formula:

Cioè, conoscendo le lunghezze di tutti i lati del triangolo, possiamo trovare l'area del triangolo attraverso il raggio del cerchio circoscritto.

Un esempio di calcolo dell'area di un triangolo utilizzando l'area della circonferenza circoscritta:
Dato un triangolo, attorno al quale è circoscritto un cerchio di area 8 mq. cm I lati del triangolo sono a = 4 cm, b = 3 cm, c = 5 cm Per prima cosa troviamo il raggio del cerchio passante per la sua area:

Proviamo a trovare il raggio usando un'altra formula, che abbiamo derivato dal metodo di ricerca

Nell'ingegneria meccanica moderna vengono utilizzati molti elementi e pezzi di ricambio che hanno nella loro struttura sia cerchi esterni che interni. Gli esempi più eclatanti sono gli alloggiamenti dei cuscinetti, le parti del motore, i gruppi mozzo e molto altro. Nella loro produzione vengono utilizzati non solo dispositivi ad alta tecnologia, ma anche la conoscenza della geometria, in particolare le informazioni sui cerchi di un triangolo. Faremo conoscenza di questa conoscenza in modo più dettagliato di seguito.

Quale cerchio è inscritto e quale è circoscritto?

Prima di tutto, ricorda che un cerchio è infinito insieme di punti equidistanti dal centro. Se all'interno di un poligono è possibile costruire una circonferenza che ha un solo punto di intersezione in comune con ciascun lato, allora essa si dirà inscritta. Un cerchio circoscritto (non un cerchio, questi sono concetti diversi) è un luogo geometrico di punti tale che la figura costruita con un dato poligono ha punti comuni solo ai vertici del poligono. Facciamo conoscenza con questi due concetti utilizzando un esempio più chiaro (vedere Figura 1.).

Figura 1. Cerchi inscritti e circoscritti di un triangolo

Nell'immagine sono costruite due figure di diametro grande e piccola, i cui centri sono G e I. Il cerchio di valore maggiore si chiama cerchio circoscritto Δ ABC, e quello piccolo, invece, inscritto in Δ ABC.

Per descrivere l'ambiente circostante un triangolo, è necessario traccia una linea perpendicolare attraverso il centro di ciascun lato(cioè con un angolo di 90°) è il punto di intersezione, gioca un ruolo fondamentale. Sarà il centro del cerchio circoscritto. Prima di trovare un cerchio, il suo centro in un triangolo, è necessario costruire ciascun angolo e quindi selezionare il punto di intersezione delle linee. A sua volta, sarà il centro del quartiere inscritto e il suo raggio in qualsiasi condizione sarà perpendicolare a uno qualsiasi dei lati.

Alla domanda: “Quanti cerchi inscritti possono esserci per un poligono a tre?” Rispondiamo subito che un cerchio può essere inscritto in qualsiasi triangolo, e in uno solo. Perché c'è un solo punto di intersezione di tutte le bisettrici e un solo punto di intersezione delle perpendicolari provenienti dai punti medi dei lati.

Proprietà del cerchio a cui appartengono i vertici di un triangolo

Il cerchio circoscritto, che dipende dalla lunghezza dei lati alla base, ha proprietà proprie. Indichiamo le proprietà del cerchio circoscritto:

Per comprendere più chiaramente il principio del cerchio circoscritto, risolviamo un semplice problema. Supponiamo di avere un triangolo Δ ABC, i cui lati sono 10, 15 e 8,5 cm. Il raggio del cerchio circoscritto attorno al triangolo (FB) è 7,9 cm. Trova la misura in gradi di ciascun angolo e attraverso di essi l'area del triangolo.

Figura 2. Trovare il raggio di un cerchio utilizzando il rapporto tra i lati e i seni degli angoli

Soluzione: in base al teorema del seno menzionato in precedenza, troveremo separatamente il valore del seno di ciascun angolo. Per condizione, è noto che il lato AB è 10 cm Calcoliamo il valore di C:

Utilizzando i valori della tabella Bradis scopriamo che la misura in gradi dell'angolo C è 39°. Utilizzando lo stesso metodo, possiamo trovare le restanti misure degli angoli:

Come facciamo a sapere che CAB = 33° e ABC = 108°. Ora, conoscendo i valori dei seni di ciascuno degli angoli e del raggio, troviamo l'area sostituendo i valori trovati:

Risposta: L'area del triangolo è 40,31 cm² e gli angoli sono rispettivamente 33°, 108° e 39°.

Importante! Quando si risolvono problemi di questo tipo, sarebbe utile avere sempre i tavoli Bradis o un'applicazione corrispondente sul proprio smartphone, poiché il processo manuale può richiedere molto tempo. Inoltre, per risparmiare più tempo, non è necessario costruire tutti e tre i punti medi della perpendicolare o delle tre bisettrici. Un terzo di essi si intersecherà sempre nel punto di intersezione dei primi due. E per una costruzione ortodossa, il terzo viene solitamente completato. Forse questo è sbagliato in termini di algoritmo, ma all'esame di stato unificato o ad altri esami fa risparmiare molto tempo.

Calcolo del raggio di una circonferenza inscritta

Tutti i punti di una circonferenza sono equidistanti dal suo centro alla stessa distanza. La lunghezza di questo segmento (da e verso) è chiamata raggio. A seconda del tipo di ambiente che abbiamo, ce ne sono due tipi: interno ed esterno. Ognuno di essi viene calcolato utilizzando la propria formula ed è direttamente correlato al calcolo di parametri come:

piazza;
misura in gradi di ciascun angolo;
lunghezze dei lati e perimetro.

Figura 3. Posizione del cerchio inscritto all'interno del triangolo

Puoi calcolare la lunghezza della distanza dal centro al punto di contatto su entrambi i lati nei seguenti modi: h attraverso i lati, i lati e gli angoli(per un triangolo isoscele).

Utilizzando un semiperimetro

Un semiperimetro è la metà della somma delle lunghezze di tutti i lati. Questo metodo è considerato il più popolare e universale, perché indipendentemente dal tipo di triangolo fornito in base alla condizione, è adatto a tutti. La procedura di calcolo è la seguente:

Se dato "corretto"

Uno dei piccoli vantaggi del triangolo "ideale" è questo Il cerchio inscritto e quello circoscritto hanno il centro nello stesso punto. Ciò è utile quando si costruiscono figure. Tuttavia nell’80% dei casi la risposta è “brutto”. Ciò che si intende qui è che molto raramente il raggio dell'intorno inscritto sarà intero, anzi il contrario. Per un calcolo semplificato, utilizzare la formula per il raggio del cerchio inscritto in un triangolo:

Se i lati hanno la stessa lunghezza

Uno dei sottotipi di compiti per lo Stato. Gli esami consisteranno nel trovare il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo, di cui due lati sono uguali tra loro e il terzo no. In questo caso consigliamo di utilizzare questo algoritmo che farà risparmiare notevolmente tempo nella ricerca del diametro della regione inscritta. Il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo con “lati” uguali si calcola con la formula:

Dimostreremo un'applicazione più chiara di queste formule nel seguente problema. Prendiamo un triangolo (Δ HJI), in cui l'intorno è inscritto nel punto K. La lunghezza del lato HJ = 16 cm, JI = 9,5 cm e il lato HI è 19 cm (Figura 4). Trova il raggio dell'intorno inscritto, conoscendo i lati.

Figura 4. Determinazione del valore del raggio del cerchio inscritto

Soluzione: per trovare il raggio dell'ambiente inscritto troviamo il semiperimetro:

Da qui, conoscendo il meccanismo di calcolo, ricaviamo il seguente valore. Per fare ciò, avrai bisogno delle lunghezze di ciascun lato (date in base alle condizioni), così come della metà del perimetro, risulta:

Ne consegue che il raggio richiesto è 3,63 cm. A seconda della condizione, tutti i lati sono uguali, quindi il raggio desiderato sarà uguale a:

A condizione che il poligono sia isoscele (ad esempio i = h = 10 cm, j = 8 cm), il diametro del cerchio interno centrato nel punto K sarà uguale a:

Il problema può contenere un triangolo con un angolo di 90°; in questo caso non è necessario memorizzare la formula. L'ipotenusa del triangolo sarà uguale al diametro. Sembra più chiaramente così:

Importante! Se il compito è trovare il raggio interno, sconsigliamo di eseguire calcoli utilizzando i valori dei seni e dei coseni degli angoli, il cui valore in tabella non è noto con precisione. Se è impossibile scoprire la lunghezza in altro modo, non cercare di "estrarre" il valore da sotto la radice. Nel 40% dei problemi, il valore risultante sarà trascendentale (cioè infinito) e la commissione potrebbe non contare la risposta (anche se corretta) a causa della sua inesattezza o della forma errata di presentazione. Presta particolare attenzione a come la formula per il circumraggio di un triangolo può essere modificata a seconda dei dati proposti. Tali "spazi vuoti" consentono di "vedere" in anticipo lo scenario per risolvere il problema e scegliere la soluzione più economica.

Raggio e area del cerchio interno

Per calcolare l'area di un triangolo inscritto in un cerchio, utilizzare solo raggio e lunghezza dei lati del poligono:

Se nella formulazione del problema non viene indicato direttamente il valore del raggio, ma solo quello dell'area, la formula dell'area indicata viene trasformata nella seguente:

Consideriamo l'effetto dell'ultima formula utilizzando un esempio più specifico. Supponiamo di avere un triangolo in cui è inscritto l'intorno. L'area dell'intorno è 4π e i lati sono rispettivamente 4, 5 e 6 cm. Calcoliamo l'area di un dato poligono calcolando il semiperimetro.

Utilizzando l'algoritmo sopra, calcoliamo l'area del triangolo attraverso il raggio del cerchio inscritto:

Poiché un cerchio può essere inscritto in qualsiasi triangolo, il numero di variazioni nella ricerca dell'area aumenta in modo significativo. Quelli. Per trovare l'area di un triangolo è necessario conoscere la lunghezza di ciascun lato e il valore del raggio.

Triangolo inscritto in un cerchio, geometria di grado 7

Triangoli rettangoli inscritti in una circonferenza

Conclusione

Da queste formule puoi essere sicuro che la complessità di qualsiasi problema che utilizza cerchi inscritti e circoscritti risiede solo nelle azioni aggiuntive per trovare i valori richiesti. Problemi di questo tipo richiedono solo una comprensione approfondita dell'essenza delle formule, nonché della razionalità della loro applicazione. Dalla pratica della risoluzione notiamo che in futuro il centro del cerchio circoscritto apparirà in altri argomenti di geometria, quindi non dovrebbe essere avviato. Altrimenti, la soluzione potrebbe essere ritardata utilizzando mosse inutili e conclusioni logiche.

L'argomento “Cerchi inscritti e circoscritti nei triangoli” è uno dei più difficili del corso di geometria. Trascorre pochissimo tempo in classe.

Problemi geometrici su questo argomento sono inseriti nella seconda parte dell'Esame di Stato Unificato per il corso di scuola superiore. Il completamento con successo di questi compiti richiede una solida conoscenza dei fatti geometrici di base e una certa esperienza nella risoluzione di problemi geometrici.
Per ogni triangolo esiste una sola circonferenza circoscritta. Questo è un cerchio su cui giacciono tutti e tre i vertici di un triangolo con determinati parametri. Trovarne il raggio potrebbe essere necessario non solo in una lezione di geometria. Designer, tagliatori, meccanici e rappresentanti di molte altre professioni devono costantemente confrontarsi con questo. Per trovare il suo raggio, devi conoscere i parametri del triangolo e le sue proprietà. Il centro della circonferenza circoscritta si trova nel punto di intersezione delle bisettrici perpendicolari del triangolo.
Porto alla tua attenzione tutte le formule per trovare il raggio di un cerchio circoscritto e non solo di un triangolo. È possibile visualizzare le formule per il cerchio inscritto.

un, b. Con - lati del triangolo

α - angolo oppostoUN,
S-area di un triangolo,

P- semiperimetro

Quindi per trovare il raggio ( R) della circonferenza circoscritta utilizzando le formule: