Njega tijela

Odrediti radijus opisanog okruženja. Krug opisan oko trougla

Trebaće ti

Trougao sa datim parametrima
Kompas
Vladar
Square
Tabela sinusa i kosinusa
Matematički koncepti
Određivanje visine trougla
Sinusne i kosinusne formule
Formula površine trougla

Uputstva

Nacrtajte trokut sa potrebnim parametrima. Trokut ima ili tri stranice, ili dvije stranice i ugao između njih, ili stranu i dva susjedna ugla. Označite vrhove trougla kao A, B i C, uglove kao α, β i γ, a stranice nasuprot vrhovima kao a, b i c.

Nacrtajte sve strane trougla i pronađite njihovu točku presjeka. Označite visine kao h sa odgovarajućim indeksima za stranice. Pronađite točku njihovog sjecišta i označite je sa O. To će biti centar kružnice. Dakle, radijusi ove kružnice će biti segmenti OA, OB i OS.

Pronađite radijus koristeći dvije formule. Kao prvo, morate prvo izračunati. Jednaka je svim stranicama trougla sa sinusom bilo kojeg od uglova podijeljenih sa 2.

U ovom slučaju, radijus opisane kružnice se izračunava po formuli

Za drugu je dovoljna dužina jedne od stranica i sinus suprotnog ugla.

Izračunajte polumjer i opišite obim trokuta.

Koristan savjet

Zapamtite koja je visina trougla. Ovo je okomito povučeno iz ugla na suprotnu stranu.

Površina trokuta se također može predstaviti kao proizvod kvadrata jedne od stranica i sinusa dva susjedna ugla, podijeljen sa dvostrukim sinusom zbira ovih uglova.
S=a2*sinβ*sinγ/2sinγ

Izvori:

tablica sa opisanim polumjerima kruga
Poluprečnik kružnice opisane oko jednakostranice

Smatra se da je opisan oko poligona ako dodiruje sve njegove vrhove. Ono što je vrijedno pažnje je da je centar takvih krug poklapa se sa točkom presjeka okomica povučenih iz središta stranica poligona. Radijus opisano krug potpuno zavisi od poligona oko kojeg je opisan.

Trebaće ti

Znati stranice poligona i njegovu površinu/perimetar.

Uputstva

Imajte na umu

Krug se može nacrtati oko poligona samo ako je pravilan, tj. sve su mu stranice jednake i svi uglovi su jednaki.
Za sve pravilne poligone vrijedi teza da je središte kružnice opisane oko poligona presjek njegovih okomitih simetrala.

Izvori:

kako pronaći radijus poligona

Ako je moguće konstruirati opisanu kružnicu za poligon, tada je površina ovog poligona manja od površine opisane kružnice, ali veća od površine upisane kružnice. Za neke poligone se zna naći formule radijus upisane i opisane kružnice.

Uputstva

Krug upisan u poligon koji dodiruje sve strane poligona. Za trougao radijus kružnice: r = ((p-a)(p-b)(p-c)/p)^1/2, gdje je p poluperimetar; a, b, c - stranice trougla. Jer formula je pojednostavljena: r = a/(2*3^1/2), a je stranica trougla.

Krug opisan oko poligona je kružnica na kojoj leže svi vrhovi poligona. Za trokut, radijus se nalazi po formuli: R = abc/(4(p(p-a)(p-b)(p-c))^1/2), gdje je p poluperimetar; a, b, c - stranice trougla. Za ispravnog je lakše: R = a/3^1/2.

Za poligone nije uvijek moguće pronaći omjer upisanih polumjera i dužina njegovih stranica. Češće su ograničeni na konstruisanje takvih krugova oko poligona, a zatim i fizički radijus kružnice koristeći mjerne instrumente ili vektorski prostor.
Za konstruiranje opisane kružnice konveksnog poligona, konstruiraju se simetrale njegovih dvaju ugla u njihovom sjecištu. Polumjer će biti udaljenost od točke presjeka simetrala do vrha bilo kojeg ugla poligona. Središte upisanog na presjeku okomica izgrađenih unutar poligona od centara stranica (ove okomice su srednje). Dovoljno je konstruisati dvije takve okomice. Polumjer upisane kružnice jednak je udaljenosti od točke presjeka srednjih okomita na stranu poligona.

Video na temu

Imajte na umu

Nemoguće je upisati krug u proizvoljno zadani poligon i opisati krug oko njega.

Koristan savjet

Krug se može upisati u četvorougao ako je a+c = b+d, gde su a, b, c, d stranice četvorougla po redu. Krug se može opisati oko četvorougla ako njegovi suprotni uglovi zajedno iznose 180 stepeni;

Za trougao takvi krugovi uvijek postoje.

Savjet 4: Kako pronaći površinu trokuta na osnovu tri strane

Pronalaženje površine trokuta jedan je od najčešćih problema u školskoj planimetriji. Poznavanje tri strane trokuta je dovoljno za određivanje površine bilo kojeg trokuta. U posebnim slučajevima jednakostraničnih trouglova, dovoljno je znati dužine dvije, odnosno jedne stranice.

Trebaće ti

dužine stranica trouglova, Heronova formula, kosinusni teorem

Uputstva

Heronova formula za površinu trokuta je sljedeća: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Ako zapišemo poluperimetar p, dobijamo: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Možete izvesti formulu za površinu trokuta iz razmatranja, na primjer, primjenom teoreme kosinusa.

Prema kosinusnom teoremu, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Koristeći uvedene notacije, one se takođe mogu napisati u obliku: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Dakle, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Površina trokuta se također nalazi po formuli S = a*c*sin(ABC)/2 koristeći dvije stranice i ugao između njih. Sinus ugla ABC se može izraziti kroz njega koristeći osnovni trigonometrijski identitet: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Zamjenom sinusa u formulu za površinu i ispisivanjem , možete doći do formule za površinu trokuta ABC.

Video na temu

Tri tačke koje jedinstveno definišu trougao u Dekartovom koordinatnom sistemu su njegovi vrhovi. Znajući njihov položaj u odnosu na svaku od koordinatnih osa, možete izračunati sve parametre ove ravne figure, uključujući one ograničene njenim perimetrom kvadrat. To se može učiniti na nekoliko načina.

Uputstva

Koristite Heronovu formulu za izračunavanje površine trougao. Uključuje dimenzije tri strane figure, pa počnite svoje proračune sa . Dužina svake strane mora biti jednaka korijenu zbira kvadrata dužina njenih projekcija na koordinatne ose. Ako označimo koordinate A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) i C(X₃,Y₃,Z₃), dužine njihovih stranica mogu se izraziti na sljedeći način: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Da biste pojednostavili proračune, uvedite pomoćnu varijablu - poluperimetar (P). Iz činjenice da je ovo polovina zbira dužina svih strana: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-) Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Izračunaj kvadrat(S) koristeći Heronovu formulu - uzmite korijen proizvoda poluperimetra i razliku između njega i dužine svake strane. Općenito, može se napisati na sljedeći način: S = √(P*(P-AB)*(P-BC)*(P-AC)) = √(P*(P-√((X₁-X₂)²) + ( Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²))*(P-√((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²))*(P-√( (X₁ -X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²)).

Za praktične proračune zgodno je koristiti specijalizirane kalkulatore. Ovo su skripte koje se nalaze na serverima nekih sajtova koje će izvršiti sve potrebne proračune na osnovu koordinata koje ste uneli u odgovarajući obrazac. Jedina takva usluga je da ne daje objašnjenja i opravdanja za svaki korak proračuna. Stoga, ako vas zanima samo konačni rezultat, a ne opći proračuni, idite, na primjer, na stranicu http://planetcalc.ru/218/.

U polja obrasca unesite svaku koordinatu svakog vrha trougao- oni su ovdje kao Ax, Ay, Az, itd. Ako je trokut određen dvodimenzionalnim koordinatama, upišite nulu u polja Az, Bz i Cz. U polju "Preciznost izračuna" postavite potreban broj decimalnih mjesta klikom na plus ili minus mišem. Nije potrebno pritisnuti narandžasto dugme „Izračunaj“ koje se nalazi ispod obrasca; Odgovor ćete pronaći pored natpisa „Oblast trougao" - nalazi se odmah ispod narandžastog dugmeta.

Izvori:

pronađite površinu trokuta sa vrhovima u tačkama

Ponekad možete nacrtati oko konveksnog poligona na takav način da vrhovi svih uglova leže na njemu. Takav krug u odnosu na poligon treba nazvati opisanim. Ona centar ne mora nužno biti unutar perimetra upisane figure, već koristeći svojstva opisanog krug, pronalaženje ove tačke obično nije teško.

Trebaće ti

Ravnilo, olovka, kutomjer ili kvadrat, šestar.

Uputstva

Ako je poligon oko kojeg trebate opisati krug nacrtan na papiru, pronaći centar a dovoljan je krug sa ravnalom, olovkom i kutomjerom ili kvadratom. Izmjerite dužinu bilo koje strane figure, odredite njenu sredinu i postavite pomoćnu tačku na ovo mjesto na crtežu. Koristeći kvadrat ili kutomjer, nacrtajte segment unutar poligona okomito na ovu stranu dok se ne siječe sa suprotnom stranom.

Uradite istu operaciju sa bilo kojom drugom stranom poligona. Presek dva konstruisana segmenta biće željena tačka. Ovo proizilazi iz glavnog svojstva opisanog krug- nju centar u konveksnom poligonu sa bilo kojom stranom uvijek leži u tački presjeka simetrala okomita povučenih na ove

Vrlo često, kada rješavate geometrijske probleme, morate izvoditi radnje s pomoćnim figurama. Na primjer, pronalaženje polumjera upisane ili opisane kružnice, itd. Ovaj članak će vam pokazati kako pronaći polumjer kružnice opisane trokutom. Ili, drugim riječima, radijus kruga u koji je trokut upisan.

Kako pronaći polumjer kružnice opisane oko trokuta - opća formula

Opšta formula je sljedeća: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), gdje je R polumjer opisane kružnice, p je obim trokuta podijeljen sa 2 (poluperimetar). a, b, c – stranice trougla.

Nađite poluprečnik kruga trougla ako je a = 3, b = 6, c = 7.

Dakle, na osnovu gornje formule, izračunavamo poluperimetar:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Zamjenjujemo vrijednosti u formulu i dobijamo:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Odgovor: R = 126/16√5

Kako pronaći polumjer kružnice koja opisuje jednakostranični trokut

Da biste pronašli polumjer kružnice opisane oko jednakostraničnog trougla, postoji prilično jednostavna formula: R = a/√3, gdje je a veličina njegove stranice.

Primjer: Stranica jednakostraničnog trougla je 5. Nađite polumjer opisane kružnice.

Kako su sve strane jednakostraničnog trougla jednake, da biste riješili problem, potrebno je samo unijeti njegovu vrijednost u formulu. Dobijamo: R = 5/√3.

Odgovor: R = 5/√3.

Kako pronaći poluprečnik kružnice koja opisuje pravougli trokut

Formula je sljedeća: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, gdje su a i b katete, a c hipotenuza. Ako zbrojite kvadrate kateta u pravokutnom trokutu, dobit ćete kvadrat hipotenuze. Kao što se može vidjeti iz formule, ovaj izraz je ispod korijena. Izračunavanjem korijena kvadrata hipotenuze dobijamo samu dužinu. Množenjem rezultujućeg izraza sa 1/2 na kraju dolazimo do izraza 1/2 × c = c/2.

Primjer: Izračunajte polumjer opisane kružnice ako su kraci trokuta 3 i 4. Zamijenite vrijednosti u formulu. Dobijamo: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

U ovom izrazu, 5 je dužina hipotenuze.

Odgovor: R = 2,5.

Kako pronaći polumjer kružnice koja opisuje jednakokraki trokut

Formula je sljedeća: R = a²/√(4a² – b²), gdje je a dužina bedra trougla, a b dužina osnove.

Primjer: Izračunajte polumjer kružnice ako je njen bok = 7, a baza = 8.

Rješenje: Zamijenite ove vrijednosti u formulu i dobijete: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).

R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Odgovor se može napisati direktno ovako.

Odgovor: R = 49/√132

Online resursi za izračunavanje radijusa kružnice

Može se vrlo lako zbuniti u svim ovim formulama. Stoga, ako je potrebno, možete koristiti online kalkulatore koji će vam pomoći u rješavanju problema s pronalaženjem radijusa. Princip rada ovakvih mini programa je vrlo jednostavan. Zamenite bočnu vrednost u odgovarajuće polje i dobićete gotov odgovor. Možete odabrati nekoliko opcija za zaokruživanje odgovora: na decimale, stotinke, hiljadinke itd.

Trokut se naziva upisanim ako svi njegovi vrhovi leže na kružnici. U ovom slučaju krug se zove opisano oko trougla. Udaljenost od njegovog centra do svakog vrha trokuta bit će ista i jednaka polumjeru ovog kruga. Svaki trougao može biti okružen krugom, ali samo jednim.

Središte opisane kružnice će ležati u tački preseka simetrala okomitih povučenih na svaku stranu trougla. Ako je kružnica opisana oko pravokutnog trokuta, tada će njegovo središte ležati na sredini hipotenuze. Za bilo koji trokut oko kojeg je opisan krug, primjenjuje se formula za površinu trokuta u smislu polumjera opisane kružnice:

u kojima su a, b, c stranice trougla, a R je polumjer opisane kružnice.

Primjer izračunavanja površine trokuta pomoću polumjera opisane kružnice:
Neka je zadan trokut sa stranicama a = 5 cm, c = 4 cm.
Imajući sve potrebne podatke, jednostavno zamjenjujemo vrijednosti u formulu:

Površina trokuta će biti 10 kvadratnih metara. cm

Vrlo često, prema uvjetima, možete pronaći datu površinu opisanog kruga, koja se mora koristiti za pronalaženje površine upisanog trokuta. Formula za površinu trokuta kroz površinu opisane kružnice nalazi se nakon izračunavanja radijusa. Može se izračunati na nekoliko načina. Prvo, razmotrite formulu za površinu kruga:
Transformacijom ove formule dobijamo da je radijus:
Koristeći ovu formulu, nalazimo da znajući površinu opisane kružnice možemo pronaći površinu trokuta na sljedeći način:

Poznavanje sve tri strane datog trougla može se koristiti za pronalaženje površine. Iz njega možete pronaći i polumjer opisane kružnice. Odnosno, ako su sve stranice trokuta date u uslovima i moramo pronaći površinu kroz poluprečnik opisane kružnice, prvo je moramo izračunati koristeći formulu:

Odnosno, znajući dužine svih strana trokuta, možemo pronaći površinu trokuta kroz poluprečnik opisane kružnice.

Primjer izračunavanja površine trokuta koristeći površinu opisane kružnice:
Dat je trokut oko kojeg je opisan krug površine 8 kvadratnih metara. cm Stranice trokuta su a = 4 cm, b = 3 cm, c = 5 cm.

Pokušajmo pronaći polumjer pomoću druge formule, koju smo izveli metodom pronalaženja

U savremenom mašinstvu koristi se veliki broj elemenata i rezervnih delova koji u svojoj strukturi imaju spoljašnje i unutrašnje krugove. Najupečatljiviji primjeri su kućišta ležajeva, dijelovi motora, sklopovi glavčine i još mnogo toga. U njihovoj proizvodnji koriste se ne samo uređaji visoke tehnologije, već i znanja iz geometrije, posebno informacije o kružnicama trokuta. U nastavku ćemo se detaljnije upoznati sa ovim znanjem.

Koji krug je upisan, a koji opisan?

Prije svega, zapamtite da je krug beskonačan skup tačaka na jednakoj udaljenosti od centra. Ako je unutar poligona moguće konstruirati kružnicu koja ima samo jednu zajedničku presječnu točku sa svakom stranom, onda će se zvati upisanim. Opisani krug (ne krug, to su različiti pojmovi) je geometrijski lokus tačaka takav da konstruisani lik sa datim poligonom ima zajedničke tačke samo na vrhovima poligona. Hajde da se upoznamo sa ova dva koncepta koristeći jasniji primer (vidi sliku 1.).

Slika 1. Upisane i opisane kružnice trougla

Na slici su konstruirane dvije figure velikog i malog promjera, čiji su centri G i I. Krug veće vrijednosti naziva se opisani krug Δ ABC, a mali, naprotiv, upisan u Δ ABC.

Za opisivanje okoline oko trougla potrebno je povucite okomitu liniju kroz sredinu svake strane(tj. pod uglom od 90°) je tačka preseka, ona igra ključnu ulogu. To će biti centar opisane kružnice. Prije nego što pronađete krug, njegovo središte u trokutu, potrebno je konstruirati svaki ugao, a zatim odabrati točku presjeka linija. On će zauzvrat biti centar upisanog susjedstva, a njegov radijus pod bilo kojim uvjetima bit će okomit na bilo koju od strana.

Na pitanje: "Koliko upisanih krugova može biti za poligon sa tri?" Odgovorimo odmah da se kružnica može upisati u bilo koji trokut, i to samo u jedan. Zato što postoji samo jedna tačka presjeka svih simetrala i jedna tačka presjeka okomica koje izlaze iz središta stranica.

Svojstvo kružnice kojoj pripadaju vrhovi trougla

Opisani krug, koji zavisi od dužine stranica u osnovi, ima svoja svojstva. Označimo svojstva opisanog kruga:

Da bismo jasnije razumjeli princip opisanog kruga, riješimo jednostavan problem. Pretpostavimo da nam je dat trougao Δ ABC, čije su stranice 10, 15 i 8,5 cm. Poluprečnik opisane kružnice (FB) je 7,9 cm površina trougla.

Slika 2. Pronalaženje polumjera kružnice koristeći omjer stranica i sinusa uglova

Rješenje: na osnovu prethodno navedene teoreme o sinusima, nalazimo vrijednost sinusa svakog ugla posebno. Po uslovu je poznato da je stranica AB 10 cm. Izračunajmo vrijednost C:

Koristeći vrijednosti Bradisove tablice, saznajemo da je mjera stepena ugla C 39°. Koristeći istu metodu, možemo pronaći preostale mjere uglova:

Kako znamo da je CAB = 33°, a ABC = 108°. Sada, znajući vrijednosti sinusa svakog od uglova i radijusa, pronađimo površinu zamjenom pronađenih vrijednosti:

Odgovor: Površina trokuta je 40,31 cm², a uglovi su 33°, 108° i 39°, respektivno.

Važno! Prilikom rješavanja problema ove vrste bilo bi korisno da uvijek imate Bradis tablice ili odgovarajuću aplikaciju na svom pametnom telefonu, jer ručni proces može potrajati. Takođe, da bismo uštedeli više vremena, nije potrebno konstruisati sve tri sredine okomice ili tri simetrale. Bilo koja treća od njih će se uvijek ukrštati u tački ukrštanja prva dva. A za pravoslavnu gradnju, treći je obično završen. Možda je ovo pogrešno u smislu algoritma, ali na Jedinstvenom državnom ispitu ili drugim ispitima štedi puno vremena.

Izračunavanje polumjera upisane kružnice

Sve tačke kruga su podjednako udaljene od njegovog centra na istoj udaljenosti. Dužina ovog segmenta (od i do) naziva se radijus. U zavisnosti od toga kakvo okruženje imamo, postoje dve vrste - unutrašnje i eksterno. Svaki od njih se izračunava pomoću sopstvene formule i direktno je povezan sa proračunom parametara kao što su:

kvadrat;
mjera stepena svakog ugla;
dužine stranica i perimetar.

Slika 3. Položaj upisane kružnice unutar trokuta

Možete izračunati dužinu udaljenosti od centra do tačke kontakta sa obe strane na sledeće načine: h kroz strane, strane i uglove(za jednakokraki trougao).

Korištenje poluperimetra

Poluperimetar je polovina zbira dužina svih strana. Ova metoda se smatra najpopularnijom i univerzalnom, jer bez obzira na vrstu trokuta koja je data prema stanju, ona je pogodna za sve. Procedura obračuna je sljedeća:

ako je dato "tačno"

Jedna od malih prednosti "idealnog" trougla je to upisana i opisana kružnica imaju centar u istoj tački. Ovo je zgodno kada se konstruišu figure. Međutim, u 80% slučajeva odgovor je „ružan“. Ovdje se misli na to da će vrlo rijetko radijus upisanog susjedstva biti cijeli, već suprotno. Za pojednostavljeni proračun koristite formulu za polumjer upisane kružnice u trokut:

Ako su stranice iste dužine

Jedna od podvrsta zadataka za državu. ispiti će biti pronalaženje poluprečnika upisane kružnice trougla čije su dvije stranice jednake jedna drugoj, a treća nije. U ovom slučaju preporučujemo korištenje ovog algoritma, koji će značajno uštedjeti vrijeme na traženju promjera upisanog područja. Polumjer upisane kružnice u trokut s jednakim "stranicama" izračunava se po formuli:

Pokazaćemo jasniju primenu ovih formula u sledećem problemu. Neka imamo trougao (Δ HJI), u koji je upisana okolina u tački K. Dužina stranice HJ = 16 cm, JI = 9,5 cm i stranice HI je 19 cm (slika 4). Pronađite poluprečnik upisane okoline, znajući stranice.

Slika 4. Određivanje vrijednosti poluprečnika upisane kružnice

Rješenje: da bismo pronašli poluprečnik upisane okoline, nalazimo poluperimetar:

Odavde, poznavajući mehanizam izračuna, saznajemo sljedeću vrijednost. Da biste to učinili, trebat će vam dužine svake strane (date prema uvjetu), kao i polovica perimetra, ispada:

Slijedi da je traženi polumjer 3,63 cm, prema uvjetu, sve strane su jednake, tada će željeni polumjer biti jednak:

Pod uslovom da je poligon jednakokračan (na primjer, i = h = 10 cm, j = 8 cm), prečnik unutrašnjeg kruga sa središtem u tački K bit će jednak:

Problem može sadržavati trokut sa uglom od 90°, u ovom slučaju nema potrebe za pamćenjem formule. Hipotenuza trougla će biti jednaka prečniku. To jasnije izgleda ovako:

Važno! Ako je zadatak pronaći unutrašnji radijus, ne preporučujemo izvođenje proračuna koristeći vrijednosti sinusa i kosinusa uglova, čija tablična vrijednost nije precizno poznata. Ako je nemoguće saznati dužinu na drugi način, nemojte pokušavati "izvući" vrijednost ispod korijena. U 40% zadataka, rezultirajuća vrijednost će biti transcendentalna (tj. beskonačna), a komisija možda neće uračunati odgovor (čak i ako je tačan) zbog njegove nepreciznosti ili netačnog oblika prezentacije. Obratite posebnu pažnju na to kako se formula za polumjer kružnice trokuta može modificirati ovisno o predloženim podacima. Takve „praznine“ vam omogućavaju da unaprijed „vidite“ scenario za rješavanje problema i odaberete najekonomičnije rješenje.

Polumjer i površina unutrašnjeg kruga

Da biste izračunali površinu trokuta upisanog u krug, koristite samo radijus i dužine stranica poligona:

Ako iskaz problema ne daje direktno vrijednost radijusa, već samo površinu, tada se formula naznačene površine pretvara u sljedeću:

Razmotrimo učinak posljednje formule koristeći konkretniji primjer. Pretpostavimo da nam je dat trougao u koji je upisano susjedstvo. Površina susjedstva je 4π, a stranice su 4, 5 i 6 cm, respektivno.

Koristeći gornji algoritam, izračunavamo površinu trokuta kroz polumjer upisane kružnice:

Zbog činjenice da se krug može upisati u bilo koji trokut, broj varijacija u pronalaženju površine značajno se povećava. One. Pronalaženje površine trokuta zahtijeva poznavanje dužine svake strane, kao i vrijednost radijusa.

Trougao upisan u krug geometrije 7 razreda

Pravokutni trouglovi upisani u krug

Zaključak

Iz ovih formula možete biti sigurni da složenost bilo kojeg problema koji koristi upisane i opisane krugove leži samo u dodatnim akcijama za pronalaženje traženih vrijednosti. Problemi ovog tipa zahtijevaju samo temeljno razumijevanje suštine formula, kao i racionalnost njihove primjene. Iz prakse rješavanja napominjemo da će se u budućnosti centar opisanog kruga pojavljivati u daljim temama geometrije, pa ga ne treba započinjati. U suprotnom, rješenje može biti odloženo nepotrebnim potezima i logičnim zaključcima.

Tema “Upisane i opisane kružnice u trouglovima” jedna je od najtežih u predmetu geometrije. Provodi vrlo malo vremena u nastavi.

Geometrijski zadaci na ovu temu uključeni su u drugi dio Jedinstvenog državnog ispita za gimnaziju. Za uspješan završetak ovih zadataka potrebno je dobro poznavanje osnovnih geometrijskih činjenica i određeno iskustvo u rješavanju geometrijskih problema.
Za svaki trougao postoji samo jedan opisani krug. Ovo je kružnica na kojoj leže sva tri vrha trougla sa datim parametrima. Pronalaženje njegovog polumjera može biti potrebno ne samo u lekciji geometrije. Dizajneri, rezači, mehaničari i predstavnici mnogih drugih profesija moraju se stalno baviti ovim. Da biste pronašli njegov polumjer, morate znati parametre trokuta i njegova svojstva. Središte opisane kružnice nalazi se u tački presjeka simetrala okomitog trougla.
Skrećem vam pažnju na sve formule za pronalaženje polumjera opisane kružnice, a ne samo trokuta. Formule za upisan krug se mogu vidjeti.

a, b. sa - strane trougla

α - suprotan ugaoa,
S-površina trougla,

p- polu-perimetar

Zatim da pronađemo radijus ( R) opisanog kruga koristeći formule: