Kako otvoriti zagrade u izrazima i jednačinama. Pravila matematike

Zagrade se koriste za označavanje redoslijeda u kojem se radnje izvode u numeričkim, literalnim i varijabilnim izrazima. Pogodno je preći sa izraza sa zagradama na identično jednak izraz bez zagrada. Ova tehnika se zove otvaranje zagrada.

Proširivanje zagrada znači uklanjanje zagrada iz izraza.

Još jedna stvar zaslužuje posebnu pažnju koja se tiče posebnosti rješenja snimanja pri otvaranju zagrada. Početni izraz možemo napisati u zagradama i rezultat koji se dobije nakon otvaranja zagrada kao jednakost. Na primjer, nakon proširenja zagrada umjesto izraza
3−(5−7) dobijamo izraz 3−5+7. Oba ova izraza možemo zapisati kao jednakost 3−(5−7)=3−5+7.

I još jedna važna stvar. U matematici, da bismo skratili oznake, uobičajeno je da se znak plus ne piše ako se prvi pojavljuje u izrazu ili u zagradi. Na primjer, ako dodamo dva pozitivna broja, na primjer, sedam i tri, onda ne pišemo +7+3, već jednostavno 7+3, uprkos činjenici da je sedam također pozitivan broj. Slično, ako vidite, na primjer, izraz (5+x) - znajte da ispred zagrade stoji plus, koji nije napisan, a ispred petice plus +(+5+x).

Pravilo otvaranja zagrada tokom sabiranja

Prilikom otvaranja zagrada, ako se ispred zagrada nalazi plus, onda se ovaj plus izostavlja zajedno sa zagradama.

Primjer. Otvorite zagrade u izrazu 2 + (7 + 3) Ispred zagrada stoji plus, što znači da ne mijenjamo predznake ispred brojeva u zagradama.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Pravilo za otvaranje zagrada pri oduzimanju

Ako se ispred zagrada nalazi minus, onda se ovaj minus izostavlja zajedno sa zagradama, ali izrazi koji su bili u zagradi mijenjaju predznak u suprotan. Odsustvo znaka ispred prvog člana u zagradi implicira znak +.

Primjer. Proširite zagrade u izrazu 2 − (7 + 3)

Ispred zagrada je minus, što znači da morate promijeniti znakove ispred brojeva u zagradama. U zagradi nema znaka ispred broja 7, to znači da je sedam pozitivan, smatra se da ispred njega stoji znak +.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Prilikom otvaranja zagrada uklanjamo iz primjera minus koji je bio ispred zagrada, a same zagrade 2 − (+ 7 + 3), a znakove koji su bili u zagradama mijenjamo u suprotne.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Proširivanje zagrada prilikom množenja

Ako se ispred zagrada nalazi znak množenja, onda se svaki broj unutar zagrada množi faktorom ispred zagrada. U ovom slučaju, množenje minusa sa minusom daje plus, a množenje minusa sa plusom, kao množenje plusa sa minusom, daje minus.

Dakle, zagrade u proizvodima su proširene u skladu sa distributivnim svojstvom množenja.

Primjer. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Kada se množi zagrada po zagrada, svaki član u prvoj zagradi se množi sa svakim članom u drugoj zagradi.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

Zapravo, nema potrebe pamtiti sva pravila, dovoljno je zapamtiti samo jedno, ovo: c(a−b)=ca−cb. Zašto? Jer ako zamijenite jedan umjesto c, dobićete pravilo (a−b)=a−b. A ako zamijenimo minus jedan, dobićemo pravilo −(a−b)=−a+b. Pa, ako zamijenite drugu zagradu umjesto c, možete dobiti posljednje pravilo.

Otvaranje zagrada prilikom dijeljenja

Ako se iza zagrada nalazi znak dijeljenja, tada se svaki broj unutar zagrada dijeli djeliteljem iza zagrada i obrnuto.

Primjer. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

Kako proširiti ugniježđene zagrade

Ako izraz sadrži ugniježđene zagrade, oni se proširuju redoslijedom, počevši od vanjskih ili unutarnjih.

U ovom slučaju, važno je da prilikom otvaranja jedne od zagrada ne dodirujete preostale zagrade, već ih jednostavno prepišete kako jesu.

Primjer. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Sada ćemo prijeći na otvaranje zagrada u izrazima u kojima se izraz u zagradama množi brojem ili izrazom. Formulirajmo pravilo za otvaranje zagrada kojima prethodi znak minus: zagrade zajedno sa znakom minus se izostavljaju, a znaci svih članova u zagradama zamjenjuju se njihovim suprotnostima.

Jedna vrsta transformacije izraza je proširenje zagrada. Numerički, literalni i varijabilni izrazi mogu se pisati pomoću zagrada, koje mogu označavati redoslijed radnji, sadržavati negativan broj itd. Pretpostavimo da u gore opisanim izrazima, umjesto brojeva i varijabli, mogu biti bilo koji izrazi.

I obratimo pažnju na još jednu tačku koja se tiče posebnosti pisanja rješenja pri otvaranju zagrada. U prethodnom pasusu bavili smo se onim što se naziva otvaranjem zagrada. Da biste to učinili, postoje pravila za otvaranje zagrada, koja ćemo sada pregledati. Ovo pravilo je diktirano činjenicom da se pozitivni brojevi obično pišu bez zagrada, u ovom slučaju zagrade nisu potrebne. Izraz (−3.7)−(−2)+4+(−9) se može napisati bez zagrada kao −3.7+2+4−9.

Konačno, treći dio pravila je jednostavno zbog posebnosti pisanja negativnih brojeva lijevo u izrazu (što smo spomenuli u dijelu o zagradama za pisanje negativnih brojeva). Možete naići na izraze sastavljene od broja, znakova minusa i nekoliko parova zagrada. Ako otvorite zagrade, prelazeći sa unutrašnjeg na eksterno, rješenje će biti sljedeće: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5 ))=−( 5)=−5.

Kako otvoriti zagrade?

Evo objašnjenja: −(−2 x) je +2 x, a pošto je ovaj izraz prvi, +2 x se može napisati kao 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 /x i −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Prvi dio napisanog pravila za otvaranje zagrada direktno slijedi iz pravila za množenje negativnih brojeva. Njegov drugi dio posljedica je pravila za množenje brojeva sa različitim predznacima. Prijeđimo na primjere otvaranja zagrada u proizvodima i količnika dva broja s različitim predznacima.

Početne zagrade: pravila, primjeri, rješenja.

Gore navedeno pravilo uzima u obzir cijeli lanac ovih radnji i značajno ubrzava proces otvaranja zagrada. Isto pravilo vam omogućava da otvorite zagrade u izrazima koji su proizvodi i parcijalnim izrazima sa predznakom minus koji nisu zbroji i razlike.

Pogledajmo primjere primjene ovog pravila. Dajemo odgovarajuće pravilo. Gore smo već naišli na izraze oblika −(a) i −(−a), koji se bez zagrada pišu kao −a, odnosno a. Na primjer, −(3)=3, i. Ovo su posebni slučajevi navedenog pravila. Pogledajmo sada primjere otvaranja zagrada kada sadrže zbrojeve ili razlike. Pokažimo primjere korištenja ovog pravila. Označimo izraz (b1+b2) sa b, nakon čega koristimo pravilo množenja zagrade izrazom iz prethodnog pasusa, imamo (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.

Indukcijom se ova izjava može proširiti na proizvoljan broj pojmova u svakoj zagradi. Ostaje da otvorimo zagrade u rezultirajućem izrazu, koristeći pravila iz prethodnih pasusa, na kraju dobijamo 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· 2·x·y3.

Pravilo u matematici je otvaranje zagrada ako postoje (+) i (-) ispred zagrada.

Ovaj izraz je proizvod tri faktora (2+4), 3 i (5+7·8). Morat ćete otvarati zagrade uzastopno. Sada koristimo pravilo za množenje zagrade brojem, imamo ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Stupnjevi, čije su osnove neki izrazi napisani u zagradama, sa prirodnim eksponentima mogu se smatrati proizvodom nekoliko zagrada.

Na primjer, transformirajmo izraz (a+b+c)2. Prvo to zapišemo u obliku proizvoda dvije zagrade (a+b+c)·(a+b+c), sada pomnožimo zagradu sa zagradom, dobićemo a·a+a·b+a ·c+b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Također ćemo reći da je za podizanje zbira i razlika dvaju brojeva na prirodni stepen preporučljivo koristiti Newtonovu binomnu formulu. Na primjer, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Ništa manje zgodno je prvo zamijeniti dijeljenje množenjem, a zatim koristiti odgovarajuće pravilo za otvaranje zagrada u proizvodu.

Ostaje razumjeti redoslijed otvaranja zagrada koristeći primjere. Uzmimo izraz (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Ove rezultate zamjenjujemo u originalni izraz: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . Ostaje samo da završimo otvaranje zagrada, kao rezultat imamo −5+3·2:4+6·7. To znači da je pri pomicanju s lijeve strane jednakosti na desnu došlo do otvaranja zagrada.

Imajte na umu da smo u sva tri primjera jednostavno uklonili zagrade. Prvo, dodajte 445 na 889. Ova radnja se može izvesti mentalno, ali nije lako. Otvorimo zagrade i vidimo da će izmijenjena procedura značajno pojednostaviti proračune.

Kako proširiti zagrade na drugi stepen

Ilustrirajući primjer i pravilo. Pogledajmo primjer: . Vrijednost izraza možete pronaći dodavanjem 2 i 5, a zatim uzimanjem rezultirajućeg broja sa suprotnim predznakom. Pravilo se ne mijenja ako u zagradama nisu dva, već tri ili više pojmova. Komentar. Znakovi su obrnuti samo ispred pojmova. Da bismo otvorili zagrade, u ovom slučaju moramo zapamtiti distributivno svojstvo.

Za pojedinačne brojeve u zagradama

Vaša greška nije u znakovima, već u pogrešnom rukovanju razlomcima? U 6. razredu smo učili o pozitivnim i negativnim brojevima. Kako ćemo riješiti primjere i jednačine?

Koliko je u zagradama? Šta možete reći o ovim izrazima? Naravno, rezultat prvog i drugog primjera je isti, što znači da između njih možemo staviti znak jednakosti: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Šta smo uradili sa zagradama?

Demonstracija slajda 6 sa pravilima za otvaranje zagrada. Dakle, pravila za otvaranje zagrada će nam pomoći da riješimo primjere i pojednostavimo izraze. Zatim se od učenika traži da rade u parovima: treba da koriste strelice da povežu izraz koji sadrži zagrade sa odgovarajućim izrazom bez zagrada.

Slajd 11 Jednom u Sunčanom gradu, Znayka i Dunno su se prepirali ko je od njih tačno rešio jednačinu. Zatim učenici samostalno rješavaju jednačinu koristeći pravila otvaranja zagrada. Rješavanje jednačina” Ciljevi časa: edukativni (učvršćivanje znanja na temu: „Početne zagrade.

Tema lekcije: „Otvaranje zagrada. U ovom slučaju, trebate pomnožiti svaki član iz prve zagrade sa svakim članom iz druge zagrade, a zatim dodati rezultate. Najprije se uzimaju prva dva faktora, zatvorena u još jednu zagradu, a unutar ovih zagrada otvaraju se zagrade po jednom od već poznatih pravila.

rawalan.freezeet.ru

Početne zagrade: pravila i primjeri (7. razred)

Glavna funkcija zagrada je promjena redoslijeda radnji prilikom izračunavanja vrijednosti numeričke izraze . Na primjer, u numeričkom izrazu \(5·3+7\) prvo će se izračunati množenje, a zatim sabiranje: \(5·3+7 =15+7=22\). Ali u izrazu \(5·(3+7)\) prvo će se izračunati zbrajanje u zagradama, a tek onda množenje: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Međutim, ako imamo posla sa algebarski izraz koji sadrži varijabla- na primjer, ovako: \(2(x-3)\) - tada je nemoguće izračunati vrijednost u zagradi, varijabla je na putu. Stoga se u ovom slučaju zagrade „otvaraju“ pomoću odgovarajućih pravila.

Pravila za otvaranje zagrada

Ako se ispred zagrade nalazi znak plus, tada se zagrada jednostavno uklanja, a izraz u njemu ostaje nepromijenjen. Drugim riječima:

Ovdje je potrebno pojasniti da je u matematici, radi skraćivanja zapisa, uobičajeno da se znak plus ne piše ako se prvi pojavljuje u izrazu. Na primjer, ako dodamo dva pozitivna broja, na primjer, sedam i tri, onda ne pišemo \(+7+3\), već jednostavno \(7+3\), uprkos činjenici da je sedam također pozitivan broj . Slično, ako vidite, na primjer, izraz \((5+x)\) - znajte to ispred zagrade je plus, koji nije napisan.

Primjer . Otvorite zagradu i navedite slične pojmove: \((x-11)+(2+3x)\).
Rješenje : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Ako se ispred zagrade nalazi znak minus, onda kada se zagrada ukloni, svaki član izraza unutar njega mijenja predznak u suprotan:

Ovdje je potrebno pojasniti da dok je a bio u zagradi, postojao je znak plus (samo ga nisu napisali), a nakon uklanjanja zagrade, ovaj plus se promijenio u minus.

Primjer : Pojednostavite izraz \(2x-(-7+x)\).
Rješenje : unutar zagrade postoje dva člana: \(-7\) i \(x\), a ispred zagrade je minus. To znači da će se predznaci promijeniti - i sedam će sada biti plus, a x će sada biti minus. Otvorite držač i predstavljamo slične pojmove .

Primjer. Otvorite zagradu i navedite slične pojmove \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Rješenje : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Ako se ispred zagrade nalazi faktor, tada se svaki član zagrade množi s njim, odnosno:

Primjer. Proširite zagrade \(5(3-x)\).
Rješenje : U zagradi imamo \(3\) i \(-x\), a ispred zagrade je petica. To znači da se svaki član zagrade množi sa \(5\) - podsjećam vas na to Znak množenja između broja i zagrade nije napisan u matematici kako bi se smanjila veličina unosa.

Primjer. Proširite zagrade \(-2(-3x+5)\).
Rješenje : Kao u prethodnom primjeru, \(-3x\) i \(5\) u zagradi se množe sa \(-2\).

Ostaje razmotriti posljednju situaciju.

Kada se množi zagrada po zagrada, svaki član prve zagrade se množi sa svakim članom druge zagrade:

Primjer. Proširite zagrade \((2-x)(3x-1)\).
Rješenje : Imamo proizvod zagrada i može se odmah otkriti koristeći gornju formulu. Ali da ne bismo bili zbunjeni, uradimo sve korak po korak.
Korak 1. Uklonite prvu zagradu i pomnožite svaki član sa drugom zagradom:

Korak 2. Proširite proizvode zagrada i faktora kao što je gore opisano:
- Prvo prvo...

Korak 3. Sada množimo i predstavljamo slične pojmove:

Nije potrebno tako detaljno opisivati ​​sve transformacije, možete ih odmah pomnožiti. Ali ako tek učite kako otvoriti zagrade, pisati detaljno, bit će manje šanse da pogriješite.

Napomena za cijeli odjeljak. U stvari, ne morate zapamtiti sva četiri pravila, samo trebate zapamtiti jedno, ovo: \(c(a-b)=ca-cb\) . Zašto? Jer ako zamijenite jedan umjesto c, dobićete pravilo \((a-b)=a-b\) . A ako zamijenimo minus jedan, dobićemo pravilo \(-(a-b)=-a+b\) . Pa, ako zamijenite drugu zagradu umjesto c, možete dobiti posljednje pravilo.

Zagrada unutar zagrade

Ponekad u praksi postoje problemi sa zagradama ugniježđenim unutar drugih zagrada. Evo primjera takvog zadatka: pojednostavite izraz \(7x+2(5-(3x+y))\).

Za uspješno rješavanje takvih zadataka potrebno vam je:
- pažljivo razumjeti ugniježđenje zagrada - u kojoj se nalazi;
— otvorite zagrade uzastopno, počevši, na primjer, od one unutrašnje.

Važno je prilikom otvaranja jedne od zagrada ne dirajte ostatak izraza, samo prepisujem kako jeste.
Pogledajmo gore napisan zadatak kao primjer.

Primjer. Otvorite zagrade i dajte slične pojmove \(7x+2(5-(3x+y))\).
Rješenje:

Započnimo zadatak otvaranjem unutrašnjeg nosača (onog unutar). Proširujući ga, bavimo se samo onim što se direktno odnosi na njega - ovo je sama zagrada i minus ispred nje (označeno zelenom bojom). Sve ostalo (nije istaknuto) prepisujemo na isti način kao što je bilo.

Rješavanje matematičkih zadataka online

Online kalkulator.
Pojednostavljivanje polinoma.
Množenje polinoma.

Pomoću ovog matematičkog programa možete pojednostaviti polinom.
Dok je program pokrenut:
- množe polinome
— sumira monome (daje slične)
- otvara zagrade
- podiže polinom na stepen

Program polinomskog pojednostavljenja ne samo da daje odgovor na problem, već daje i detaljno rješenje sa objašnjenjima, tj. prikazuje proces rješenja tako da možete provjeriti svoje znanje matematike i/ili algebre.

Ovaj program može biti od koristi učenicima srednjih škola u pripremi za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, kao i roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da svoj domaći zadatak iz matematike ili algebre uradite što je brže moguće? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjima.

Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku vaše mlađe braće ili sestara, dok se nivo obrazovanja u oblasti rješavanja problema povećava.

Jer Ima puno ljudi koji su voljni da riješe problem, vaš zahtjev je stavljen u red čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Molimo pričekajte sekundu.

Malo teorije.

Umnožak monoma i polinoma. Koncept polinoma

Među različitim izrazima koji se razmatraju u algebri, zbroji monoma zauzimaju važno mjesto. Evo primjera takvih izraza:

Zbir monoma naziva se polinom. Pojmovi u polinomu nazivaju se pojmovi polinoma. Monomi se takođe klasifikuju kao polinomi, smatrajući da je monom polinom koji se sastoji od jednog člana.

Predstavimo sve pojmove u obliku monoma standardnog oblika:

Predstavimo slične pojmove u rezultirajućem polinomu:

Rezultat je polinom čiji su svi članovi monomi standardnog oblika, a među njima nema sličnih. Takvi polinomi se nazivaju polinomi standardnog oblika.

Za stepen polinoma standardnog oblika preuzimaju najviša ovlašćenja svojih članova. Dakle, binom ima treći stepen, a trinom drugi.

Tipično, termini polinoma standardnog oblika koji sadrže jednu varijablu su raspoređeni u opadajućem redoslijedu eksponenata. na primjer:

Zbir nekoliko polinoma može se transformirati (pojednostaviti) u polinom standardnog oblika.

Ponekad se termini polinoma moraju podijeliti u grupe, stavljajući svaku grupu u zagrade. Budući da je zatvorene zagrade inverzna transformacija otvarajućih zagrada, lako je formulirati pravila za otvaranje zagrada:

Ako se ispred zagrada stavi znak „+“, tada se termini u zagradama pišu istim znakovima.

Ako se ispred zagrada stavi znak „-“, tada se termini u zagradama pišu sa suprotnim znacima.

Transformacija (pojednostavljenje) proizvoda monoma i polinoma

Koristeći distributivno svojstvo množenja, možete transformirati (pojednostaviti) proizvod monoma i polinoma u polinom. na primjer:

Proizvod monoma i polinoma identično je jednak zbiru proizvoda ovog monoma i svakog od članova polinoma.

Ovaj rezultat se obično formuliše kao pravilo.

Da biste pomnožili monom polinomom, morate taj monom pomnožiti sa svakim od članova polinoma.

Ovo pravilo smo već koristili nekoliko puta za množenje sa sumom.

Proizvod polinoma. Transformacija (pojednostavljenje) proizvoda dva polinoma

Općenito, proizvod dva polinoma je identično jednak zbiru proizvoda svakog člana jednog polinoma i svakog člana drugog polinoma.

Obično se koristi sljedeće pravilo.

Da pomnožite polinom polinomom, trebate pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog i dodati rezultirajuće proizvode.

Skraćene formule za množenje. Zbroj kvadrata, razlika i razlika kvadrata

Morate se baviti nekim izrazima u algebarskim transformacijama češće od drugih. Možda su najčešći izrazi u, odnosno kvadrat zbira, kvadrat razlike i razlika kvadrata. Primijetili ste da nazivi ovih izraza izgledaju nepotpuni, na primjer, ovo, naravno, nije samo kvadrat zbira, već kvadrat zbira a i b. Međutim, kvadrat zbira a i b po pravilu se ne pojavljuje često, umjesto slova a i b sadrži različite, ponekad prilično složene izraze.

Izrazi se mogu lako pretvoriti (pojednostaviti) u polinome standardnog oblika, u stvari, već ste naišli na takav zadatak prilikom množenja polinoma:

Korisno je zapamtiti rezultirajuće identitete i primijeniti ih bez srednjih proračuna. U tome pomažu kratke verbalne formulacije.

- kvadrat zbira jednak je zbroju kvadrata i dvostrukog proizvoda.

- kvadrat razlike je jednak zbiru kvadrata bez dvostrukog proizvoda.

- razlika kvadrata jednaka je umnošku razlike i zbroja.

Ova tri identiteta omogućavaju u transformacijama da se njihovi levi delovi zamene desnim i obrnuto – desni delovi levim. Najteže je vidjeti odgovarajuće izraze i razumjeti kako se u njima zamjenjuju varijable a i b. Pogledajmo nekoliko primjera korištenja skraćenih formula za množenje.

Knjige (udžbenici) Sažeci Jedinstvenog državnog ispita i Jedinstvenog državnog ispita online Igre, zagonetke Iscrtavanje grafova funkcija Pravopisni rječnik ruskog jezika Rječnik omladinskog slenga Katalog ruskih škola Katalog srednjih obrazovnih institucija Rusije Katalog ruskih univerziteta Katalog ruskog jezika univerziteti Lista zadataka Pronalaženje GCD i LCM Pojednostavljivanje polinoma (množenje polinoma) Dijeljenje polinoma polinomom sa stupcem Izračunavanje brojčanih razlomaka Rješavanje problema koji uključuju procente Kompleksni brojevi: zbir, razlika, proizvod i količnik Sistemi 2 linearne jednadžbe Rješavanje s dvije varijable kvadratna jednačina Izolovanje kvadrata binoma i faktoring kvadratnog trinoma Rješavanje nejednačina Rješavanje sistema nejednačina Grafikovanje kvadratne funkcije Grafikovanje razlomačke linearne funkcije Rješavanje aritmetičkih i geometrijskih progresija Rješavanje trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih jednačina, integrativnih jednačina, kalkulativnih granica Rješavanje trouglova Izračunavanje radnji sa vektorima Računanje radnji sa pravima i ravnima Površina geometrijskih figura Perimetar geometrijskih figura Zapremina geometrijskih tijela Površina geometrijskih tijela
Konstruktor saobraćajnih situacija
Vrijeme - vijesti - horoskop

www.mathsolution.ru

Proširene zagrade

Nastavljamo sa učenjem osnova algebre. U ovoj lekciji ćemo naučiti kako proširiti zagrade u izrazima. Proširivanje zagrada znači uklanjanje zagrada iz izraza.

Da biste otvorili zagrade, morate zapamtiti samo dva pravila. Redovnom vježbom možete otvoriti zagrade zatvorenih očiju, a ona pravila koja je trebalo naučiti napamet možete sigurno zaboraviti.

Prvo pravilo za otvaranje zagrada

Razmotrite sljedeći izraz:

Vrijednost ovog izraza je 2 . Otvorimo zagrade u ovom izrazu. Proširivanje zagrada znači da ih se riješite bez utjecaja na značenje izraza. To jest, nakon što se riješimo zagrada, vrijednost izraza 8+(−9+3) i dalje treba biti jednako dva.

Prvo pravilo za otvaranje zagrada je sljedeće:

Prilikom otvaranja zagrada, ako se ispred zagrada nalazi plus, onda se ovaj plus izostavlja zajedno sa zagradama.

Dakle, to vidimo u izrazu 8+(−9+3) Ispred zagrada je znak plus. Ovaj plus se mora izostaviti zajedno sa zagradama. Drugim riječima, zagrade će nestati zajedno sa plusom koji je stajao ispred njih. A ono što je bilo u zagradama biće napisano bez izmena:

8−9+3 . Ovaj izraz je jednak sa 2 , kao i prethodni izraz sa zagradama, bio je jednak 2 .

8+(−9+3) I 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Primjer 2. Proširite zagrade u izrazu 3 + (−1 − 4)

Ispred zagrada je plus, što znači da je ovaj plus izostavljen zajedno sa zagradama. Ono što je bilo u zagradama ostaće nepromenjeno:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Primjer 3. Proširite zagrade u izrazu 2 + (−1)

U ovom primjeru, otvaranje zagrada postalo je neka vrsta obrnute operacije zamjene oduzimanja sa sabiranjem. Kako ovo razumjeti?

U izrazu 2−1 dolazi do oduzimanja, ali se može zamijeniti sabiranjem. Tada dobijamo izraz 2+(−1) . Ali ako u izrazu 2+(−1) otvorite zagrade, dobijate original 2−1 .

Stoga se prvo pravilo za otvaranje zagrada može koristiti za pojednostavljenje izraza nakon nekih transformacija. Odnosno, riješite ga zagrada i učinite ga jednostavnijim.

Na primjer, pojednostavimo izraz 2a+a−5b+b .

Da bismo pojednostavili ovaj izraz, mogu se dati slični pojmovi. Podsjetimo da da biste smanjili slične pojmove, morate dodati koeficijente sličnih pojmova i rezultat pomnožiti zajedničkim slovnim dijelom:

Imam izraz 3a+(−4b). Uklonimo zagrade u ovom izrazu. Ispred zagrada je plus, tako da koristimo prvo pravilo za otvaranje zagrada, odnosno izostavljamo zagrade zajedno sa plusom koji se nalazi ispred ovih zagrada:

Dakle, izraz 2a+a−5b+b pojednostavljuje na 3a−4b .

Nakon što otvorite neke zagrade, možete naići na druge na putu. Na njih primjenjujemo ista pravila kao i na prve. Na primjer, proširimo zagrade u sljedećem izrazu:

Postoje dva mjesta na kojima morate otvoriti zagrade. U ovom slučaju, primjenjuje se prvo pravilo otvaranja zagrada, odnosno izostavljanje zagrada zajedno sa znakom plus koji prethodi ovim zagradama:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Primjer 3. Proširite zagrade u izrazu 6+(−3)+(−2)

Na oba mjesta gdje se nalaze zagrade prethodi im plus. Ovdje opet vrijedi prvo pravilo otvaranja zagrada:

Ponekad se prvi pojam u zagradi piše bez znaka. Na primjer, u izrazu 1+(2+3−4) prvi pojam u zagradi 2 napisano bez znaka. Postavlja se pitanje koji će se znak pojaviti ispred dva nakon što se izostave zagrade i plus ispred zagrada? Odgovor se nameće sam od sebe - biće plus ispred dva.

U stvari, čak i u zagradi postoji plus ispred dva, ali ga ne vidimo jer nije zapisano. Već smo rekli da kompletna notacija pozitivnih brojeva izgleda +1, +2, +3. No, po tradiciji, plusevi se ne zapisuju, zbog čega vidimo pozitivne brojke koje su nam poznate 1, 2, 3 .

Stoga, proširiti zagrade u izrazu 1+(2+3−4) , morate izostaviti zagrade kao i obično, zajedno sa znakom plus ispred ovih zagrada, ali prvi pojam koji je bio u zagradi napišite sa znakom plus:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Primjer 4. Proširite zagrade u izrazu −5 + (2 − 3)

Ispred zagrada je plus, tako da primjenjujemo prvo pravilo za otvaranje zagrada, odnosno izostavljamo zagrade zajedno sa plusom koji se nalazi ispred ovih zagrada. Ali prvi pojam, koji pišemo u zagradi sa znakom plus:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Primjer 5. Proširite zagrade u izrazu (−5)

Ispred zagrada je plus, ali nije zapisan jer prije njega nije bilo drugih brojeva ili izraza. Naš zadatak je ukloniti zagrade primjenom prvog pravila otvaranja zagrada, odnosno izostaviti zagrade uz ovaj plus (čak i ako je nevidljiv)

Primjer 6. Proširite zagrade u izrazu 2a + (−6a + b)

Ispred zagrada je plus, što znači da je ovaj plus izostavljen zajedno sa zagradama. Ono što je bilo u zagradama biće napisano nepromenjeno:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Primjer 7. Proširite zagrade u izrazu 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

U ovom izrazu postoje dva mjesta na kojima morate proširiti zagrade. U oba odeljka postoji plus ispred zagrada, što znači da je ovaj plus izostavljen zajedno sa zagradama. Ono što je bilo u zagradama biće napisano nepromenjeno:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

Drugo pravilo za otvaranje zagrada

Pogledajmo sada drugo pravilo za otvaranje zagrada. Koristi se kada se ispred zagrada nalazi minus.

Ako se ispred zagrada nalazi minus, onda se ovaj minus izostavlja zajedno sa zagradama, ali izrazi koji su bili u zagradi mijenjaju predznak u suprotan.

Na primjer, proširimo zagrade u sljedećem izrazu

Vidimo da se ispred zagrada nalazi minus. To znači da morate primijeniti drugo pravilo proširenja, odnosno izostaviti zagrade zajedno sa znakom minus ispred ovih zagrada. U ovom slučaju, izrazi koji su u zagradama promijenit će svoj predznak u suprotan:

Dobili smo izraz bez zagrada 5+2+3 . Ovaj izraz je jednak 10, kao što je prethodni izraz sa zagradama bio jednak 10.

Dakle, između izraza 5−(−2−3) I 5+2+3 možete staviti znak jednakosti, jer su jednaki istoj vrijednosti:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Primjer 2. Proširite zagrade u izrazu 6 − (−2 − 5)

Ispred zagrada je minus, tako da primjenjujemo drugo pravilo za otvaranje zagrada, odnosno izostavljamo zagrade zajedno sa minusom koji stoji ispred ovih zagrada. U ovom slučaju pišemo pojmove koji su bili u zagradama sa suprotnim predznacima:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Primjer 3. Proširite zagrade u izrazu 2 − (7 + 3)

Ispred zagrada je minus, pa primjenjujemo drugo pravilo za otvaranje zagrada:

Primjer 4. Proširite zagrade u izrazu −(−3 + 4)

Primjer 5. Proširite zagrade u izrazu −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Postoje dva mjesta na kojima morate otvoriti zagrade. U prvom slučaju potrebno je primijeniti drugo pravilo za otvaranje zagrada, a kada je u pitanju izraz +(−9−2) morate primijeniti prvo pravilo:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Primjer 6. Proširite zagrade u izrazu −(−a − 1)

Primjer 7. Proširite zagrade u izrazu −(4a + 3)

Primjer 8. Proširite zagrade u izrazu a − (4b + 3) + 15

Primjer 9. Proširite zagrade u izrazu 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Postoje dva mjesta na kojima morate otvoriti zagrade. U prvom slučaju potrebno je primijeniti prvo pravilo za otvaranje zagrada, a kada je u pitanju izraz −(3c+5) morate primijeniti drugo pravilo:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Primjer 10. Proširite zagrade u izrazu −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Postoje tri mjesta na kojima trebate otvoriti zagrade. Prvo morate primijeniti drugo pravilo za otvaranje zagrada, zatim prvo, pa opet drugo:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15

Mehanizam za otvaranje nosača

Pravila za otvaranje zagrada koja smo sada ispitali zasnivaju se na distributivnom zakonu množenja:

U stvari otvarajuće zagrade je postupak u kojem se zajednički faktor množi sa svakim članom u zagradi. Kao rezultat ovog množenja, zagrade nestaju. Na primjer, proširimo zagrade u izrazu 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Stoga, ako trebate pomnožiti broj izrazom u zagradama (ili pomnožiti izraz u zagradama brojem), trebate reći otvorimo zagrade.

Ali kako je distributivni zakon množenja povezan s pravilima za otvaranje zagrada koja smo ranije ispitali?

Činjenica je da se ispred bilo koje zagrade nalazi zajednički faktor. U primjeru 3×(4+5) zajednički faktor je 3 . I u primjeru a(b+c) zajednički faktor je varijabla a.

Ako ispred zagrada nema brojeva ili varijabli, tada je zajednički faktor 1 ili −1 , u zavisnosti od toga koji je znak ispred zagrada. Ako se ispred zagrada nalazi plus, onda je zajednički faktor 1 . Ako se ispred zagrada nalazi minus, tada je zajednički faktor −1 .

Na primjer, proširimo zagrade u izrazu −(3b−1). Ispred zagrada je znak minus, tako da morate koristiti drugo pravilo za otvaranje zagrada, odnosno izostaviti zagrade zajedno sa znakom minus ispred zagrada. I napišite izraz koji je u zagradama sa suprotnim predznacima:

Proširili smo zagrade koristeći pravilo za proširenje zagrada. Ali ove iste zagrade mogu se otvoriti korištenjem distributivnog zakona množenja. Da biste to učinili, prvo upišite ispred zagrada zajednički faktor 1, koji nije napisan:

Znak minus koji je ranije stajao ispred zagrada odnosio se na ovu jedinicu. Sada možete otvoriti zagrade koristeći distributivni zakon množenja. U tu svrhu zajednički faktor −1 potrebno je da pomnožite sa svakim članom u zagradama i dodate rezultate.

Radi praktičnosti zamjenjujemo razliku u zagradama iznosom:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Kao i prošli put smo dobili izraz −3b+1. Svi će se složiti da je ovaj put više vremena utrošeno na rješavanje ovako jednostavnog primjera. Stoga je mudrije koristiti gotova pravila za otvaranje zagrada, o kojima smo govorili u ovoj lekciji:

Ali ne škodi znati kako ova pravila funkcionišu.

U ovoj lekciji naučili smo još jednu identičnu transformaciju. Zajedno sa otvaranjem zagrada, stavljanjem opšteg iz zagrada i dovođenjem sličnih pojmova, možete malo proširiti raspon problema koje treba riješiti. na primjer:

Ovdje morate izvršiti dvije radnje - prvo otvoriti zagrade, a zatim donijeti slične pojmove. Dakle, redom:

1) Otvorite zagrade:

2) Predstavljamo slične termine:

U rezultirajućem izrazu −10b+(−1) možete proširiti zagrade:

Primjer 2. Otvorite zagrade i dodajte slične pojmove u sljedeći izraz:

1) Otvorimo zagrade:

2) Hajde da predstavimo slične pojmove. Ovaj put, radi uštede vremena i prostora, nećemo zapisivati ​​kako se koeficijenti množe zajedničkim slovnim dijelom

Primjer 3. Pojednostavite izraz 8m+3m i pronađite njegovu vrijednost na m=−4

1) Prvo, pojednostavimo izraz. Da pojednostavim izraz 8m+3m, možete iz njega izvaditi zajednički faktor m van zagrada:

2) Pronađite vrijednost izraza m(8+3) at m=−4. Da biste to učinili, u izrazu m(8+3) umjesto varijable m zameni broj −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

A+(b + c) se može napisati bez zagrada: a+(b + c)=a + b + c. Ova operacija se zove otvaranje zagrada.

Primjer 1. Otvorimo zagrade u izrazu a + (- b + c).

Rješenje. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.

Ako se ispred zagrada nalazi znak “+”, onda možete izostaviti zagrade i ovaj znak “+” uz zadržavanje znakova pojmova u zagradama. Ako je prvi pojam u zagradama napisan bez znaka, onda se mora napisati sa znakom “+”.

Primjer 2. Nađimo vrijednost izraza -2,87+ (2,87-7,639).

Rješenje. Otvarajući zagrade, dobijamo - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = - 7,639.

Da biste pronašli vrijednost izraza - (- 9 + 5), trebate sabrati brojevi-9 i 5 i pronađite broj suprotan rezultujućem zbroju: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

Ista vrijednost se može dobiti i na drugi način: prvo zapišite brojeve suprotne ovim pojmovima (tj. promijenite njihove predznake), a zatim dodajte: 9 + (- 5) = 4. Dakle, -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.

Da biste napisali zbir suprotan zbiru nekoliko članova, morate promijeniti predznake ovih članova.

To znači - (a + b) = - a - b.

Primjer 3. Nađimo vrijednost izraza 16 - (10 -18 + 12).

Rješenje. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

Da biste otvorili zagrade kojima prethodi znak “-”, trebate ovaj znak zamijeniti sa “+”, mijenjajući predznake svih pojmova u zagradama u suprotne, a zatim otvoriti zagrade.

Primjer 4. Nađimo vrijednost izraza 9,36-(9,36 - 5,48).

Rješenje. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) = = 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5 ,48.

Proširivanje zagrada i primjena komutativnih i asocijativnih svojstava dodatak omogućavaju vam da pojednostavite proračune.

Primjer 5. Nađimo vrijednost izraza (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.

Rješenje. Prvo, otvorimo zagrade, a zatim nađemo odvojeno zbir svih pozitivnih i posebno zbir svih negativnih brojeva i, na kraju, zbrojimo rezultate:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

Primjer 6. Nađimo vrijednost izraza

Rješenje. Prvo, zamislimo svaki član kao zbir njihovih cijelih i razlomaka, zatim otvorimo zagrade, zatim dodamo cijele brojeve i zasebno razlomak dijelove i na kraju zbrojite rezultate:

Kako otvoriti zagrade ispred kojih stoji znak “+”? Kako možete pronaći vrijednost izraza koji je suprotan zbroju nekoliko brojeva? Kako proširiti zagrade ispred kojih stoji znak "-"?

1218. Otvorite zagrade:

a) 3,4+(2,6+ 8,3); c) m+(n-k);

b) 4,57+(2,6 - 4,57); d) c+(-a + b).

1219. Pronađite značenje izraza:

1220. Otvorite zagrade:

a) 85+(7,8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 -17)+7,5; e) -a + (m-2,6); h) -(a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(- a-b); i) (m-n)-(p-k).

1221. Otvorite zagrade i pronađite značenje izraza:

1222. Pojednostavite izraz:

1223. Napiši iznos dva izraza i pojednostavi ga:

a) - 4 - m i m + 6,4; d) a+b i p - b
b) 1.1+a i -26-a; e) - m + n i -k - n;
c) a + 13 i -13 + b; e)m - n i n - m.

1224. Napiši razliku dva izraza i pojednostavi je:

1226. Koristite jednačinu da riješite problem:

a) Na jednoj polici su 42 knjige, a na drugoj 34. Sa druge police je uklonjeno nekoliko knjiga, a sa prve je uzeto onoliko knjiga koliko je ostalo na drugoj. Nakon toga je na prvoj polici ostalo 12 knjiga. Koliko je knjiga uklonjeno sa druge police?

b) U prvom razredu ima 42 učenika, u drugom 3 učenika manje nego u trećem. Koliko učenika ima u trećem razredu ako u ova tri razreda ima 125 učenika?

1227. Pronađite značenje izraza:

1228. Izračunaj usmeno:

1229. Pronađite najveću vrijednost izraza:

1230. Navedite 4 uzastopna cijela broja ako:

a) manji od njih je -12; c) manji od njih je n;
b) najveći od njih je -18; d) veći od njih je jednak k.

Glavna funkcija zagrada je promjena redoslijeda radnji prilikom izračunavanja vrijednosti. Na primjer, u numeričkom izrazu \(5·3+7\) prvo će se izračunati množenje, a zatim sabiranje: \(5·3+7 =15+7=22\). Ali u izrazu \(5·(3+7)\) prvo će se izračunati zbrajanje u zagradama, a tek onda množenje: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Primjer. Proširite zagradu: \(-(4m+3)\).
Rješenje : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Primjer. Otvorite zagradu i navedite slične pojmove \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Rješenje : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Primjer. Proširite zagrade \(5(3-x)\).
Rješenje : U zagradi imamo \(3\) i \(-x\), a ispred zagrade je petica. To znači da se svaki član zagrade množi sa \(5\) - podsjećam vas na to Znak množenja između broja i zagrade nije napisan u matematici kako bi se smanjila veličina unosa.

Primjer. Proširite zagrade \(-2(-3x+5)\).
Rješenje : Kao u prethodnom primjeru, \(-3x\) i \(5\) u zagradi se množe sa \(-2\).

Primjer. Pojednostavite izraz: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Rješenje : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Ostaje razmotriti posljednju situaciju.

Kada se zagrada množi zagradicom, svaki član prve zagrade se množi sa svakim članom druge zagrade:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Primjer. Proširite zagrade \((2-x)(3x-1)\).
Rješenje : Imamo proizvod zagrada i može se odmah proširiti koristeći gornju formulu. Ali da se ne bismo zbunili, uradimo sve korak po korak.
Korak 1. Uklonite prvu zagradu - pomnožite svaki njen član sa drugom zagradom:

Korak 2. Proširite proizvode zagrada i faktora kao što je gore opisano:
- Prvo prvo...

Onda drugi.

Korak 3. Sada množimo i predstavljamo slične pojmove:

Nije potrebno tako detaljno opisivati ​​sve transformacije, možete ih odmah pomnožiti. Ali ako tek učite kako otvoriti zagrade, pisati detaljno, bit će manje šanse da pogriješite.

Napomena za cijeli odjeljak. U stvari, ne morate zapamtiti sva četiri pravila, trebate zapamtiti samo jedno, ovo: \(c(a-b)=ca-cb\) . Zašto? Jer ako zamijenite jedan umjesto c, dobićete pravilo \((a-b)=a-b\) . A ako zamijenimo minus jedan, dobićemo pravilo \(-(a-b)=-a+b\) . Pa, ako zamijenite drugu zagradu umjesto c, možete dobiti posljednje pravilo.

Zagrada unutar zagrade

Ponekad u praksi postoje problemi sa zagradama ugniježđenim unutar drugih zagrada. Evo primjera takvog zadatka: pojednostavite izraz \(7x+2(5-(3x+y))\).

Za uspješno rješavanje takvih zadataka potrebno vam je:
- pažljivo razumjeti ugniježđenje zagrada - u kojoj se nalazi;
- otvorite zagrade uzastopno, počevši, na primjer, od one unutrašnje.

Važno je prilikom otvaranja jedne od zagrada ne dirajte ostatak izraza, samo prepisujem kako jeste.
Pogledajmo gore napisani zadatak kao primjer.

Primjer. Otvorite zagrade i navedite slične pojmove \(7x+2(5-(3x+y))\).
Rješenje:

Primjer. Otvorite zagrade i navedite slične pojmove \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Rješenje :

Proširivanje zagrada je osnovna vještina u matematici. Bez ove vještine nemoguće je imati ocjenu iznad C u razredima 8 i 9. Stoga vam preporučujem da dobro shvatite ovu temu.

Među različitim izrazima koji se razmatraju u algebri, zbroji monoma zauzimaju važno mjesto. Evo primjera takvih izraza:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Zbir monoma naziva se polinom. Članovi polinoma se nazivaju termini polinoma. Monomi se takođe klasifikuju kao polinomi, smatrajući da je monom polinom koji se sastoji od jednog člana.

Na primjer, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
može se pojednostaviti.

Predstavimo sve pojmove u obliku monoma standardnog oblika:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Predstavimo slične pojmove u rezultirajućem polinomu:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultat je polinom čiji su svi članovi monomi standardnog oblika, a među njima nema sličnih. Takvi polinomi se nazivaju polinomi standardnog oblika.

Za stepen polinoma standardnog oblika preuzimaju najviša ovlašćenja svojih članova. Dakle, binom \(12a^2b - 7b\) ima treći stepen, a trinom \(2b^2 -7b + 6\) drugi.

Tipično, termini polinoma standardnog oblika koji sadrže jednu varijablu su raspoređeni u opadajućem redoslijedu eksponenata. na primjer:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Zbir nekoliko polinoma može se transformirati (pojednostaviti) u polinom standardnog oblika.

Ponekad se termini polinoma moraju podijeliti u grupe, stavljajući svaku grupu u zagrade. Budući da je zatvorene zagrade inverzna transformacija otvarajućih zagrada, lako je formulirati pravila za otvaranje zagrada:

Ako se ispred zagrada stavi znak „+“, tada se termini u zagradama pišu istim znakovima.

Ako se ispred zagrada stavi znak „-“, tada se termini u zagradama pišu sa suprotnim znacima.

Transformacija (pojednostavljenje) proizvoda monoma i polinoma

Koristeći distributivno svojstvo množenja, možete transformirati (pojednostaviti) proizvod monoma i polinoma u polinom. na primjer:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Proizvod monoma i polinoma identično je jednak zbiru proizvoda ovog monoma i svakog od članova polinoma.

Ovaj rezultat se obično formuliše kao pravilo.

Da biste pomnožili monom polinomom, morate taj monom pomnožiti sa svakim od članova polinoma.

Ovo pravilo smo već koristili nekoliko puta za množenje sa sumom.

Proizvod polinoma. Transformacija (pojednostavljenje) proizvoda dva polinoma

Općenito, proizvod dva polinoma je identično jednak zbiru proizvoda svakog člana jednog polinoma i svakog člana drugog polinoma.

Obično se koristi sljedeće pravilo.

Da pomnožite polinom polinomom, trebate pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog i dodati rezultirajuće proizvode.

Skraćene formule za množenje. Zbroj kvadrata, razlika i razlika kvadrata

Morate se baviti nekim izrazima u algebarskim transformacijama češće od drugih. Možda su najčešći izrazi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) i \(a^2 - b^2 \), tj. kvadrat zbira, kvadrat razlika i razlika kvadrata. Primijetili ste da nazivi ovih izraza izgledaju nepotpuni, na primjer, \((a + b)^2 \) nije, naravno, samo kvadrat zbira, već kvadrat zbira a i b . Međutim, kvadrat zbira a i b po pravilu se ne pojavljuje često, umjesto slova a i b sadrži različite, ponekad prilično složene izraze.

Izrazi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) se mogu lako pretvoriti (pojednostaviti) u polinome standardnog oblika, u stvari, već ste naišli na takav zadatak prilikom množenja polinoma :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Korisno je zapamtiti rezultirajuće identitete i primijeniti ih bez srednjih proračuna. U tome pomažu kratke verbalne formulacije.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kvadrat zbira jednak je zbiru kvadrata i dvostrukog proizvoda.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadrat razlike je jednak zbiru kvadrata bez dvostrukog proizvoda.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - razlika kvadrata jednaka je proizvodu razlike i zbroja.

Ova tri identiteta omogućavaju u transformacijama da se njihovi levi delovi zamene desnim i obrnuto – desni delovi levim. Najteže je vidjeti odgovarajuće izraze i razumjeti kako se u njima zamjenjuju varijable a i b. Pogledajmo nekoliko primjera korištenja skraćenih formula za množenje.