Kao što znate, glavni zadatak klasične mehanike je odrediti položaj makro objekta u bilo kojem trenutku. Da bismo to učinili, sastavlja se sistem jednadžbi, čije nam rješenje omogućava da saznamo ovisnost vektora radijusa o vremenu t. U klasičnoj mehanici, stanje čestice dok se kreće u svakom trenutku je dato sa dvije veličine: radijus vektorom i impulsom. Dakle, klasični opis kretanja čestice vrijedi ako se ono javlja u području karakteristične veličine mnogo veće od de Broglieove valne dužine. Inače (na primjer, u blizini atomskog jezgra) treba uzeti u obzir valna svojstva mikročestica. Relacije nesigurnosti ukazuju na ograničenu primjenjivost klasičnog opisa mikro-objekata koji imaju valna svojstva.

Uzimajući u obzir prisustvo valnih svojstava u mikročestici, njeno stanje u kvantnoj mehanici se specificira pomoću određene funkcije koordinata i vremena (x, y, z, t) , pozvao talas ili - funkcija . U kvantnoj fizici uvedena je složena funkcija koja opisuje čisto stanje objekta, što se naziva valna funkcija. U najčešćem tumačenju, ova funkcija se odnosi na vjerovatnoću detekcije objekta u jednom od čistih stanja (kvadrat modula valne funkcije predstavlja gustoću vjerovatnoće).

Nakon što smo napustili opis kretanja čestica korištenjem trajektorija dobijenih iz zakona dinamike, a umjesto toga definirali talasnu funkciju, potrebno je uvesti jednačinu ekvivalentnu Newtonovim zakonima i dati recept za pronalaženje rješenja za određene fizičke probleme. Takva jednačina je Schrödingerova jednačina.

Teorija koja opisuje kretanje malih čestica uzimajući u obzir njihova valna svojstva naziva se kvantna , ili talasna mehanika. Mnoge odredbe ove teorije izgledaju čudne i neobične sa stanovišta ideja koje su se razvile u proučavanju klasične fizike. Uvijek treba imati na umu da je kriterij ispravnosti teorije, ma koliko to u početku izgledalo čudno, podudarnost njenih posljedica s eksperimentalnim podacima. Kvantna mehanika u svom polju (struktura i svojstva atoma, molekula i djelimično atomskih jezgara) savršeno je potvrđena iskustvom.

Talasna funkcija opisuje stanje čestice u svim točkama u prostoru iu bilo kojem trenutku u vremenu. Da bismo razumjeli fizičko značenje valne funkcije, okrenimo se eksperimentima s difrakcijom elektrona. (Eksperimenti Thomsona i Tartakovskog o prolasku elektrona kroz tanku metalnu foliju). Ispostavilo se da se jasni difrakcijski obrasci detektuju čak i ako su pojedinačni elektroni usmjereni na metu, tj. kada se svaki naredni elektron emituje nakon što prethodni stigne do ekrana. Nakon dovoljno dugog bombardiranja, slika na ekranu će tačno odgovarati onoj koja se dobija kada se veliki broj elektrona istovremeno usmeri na metu.

Iz ovoga možemo zaključiti da je kretanje bilo koje mikročestice pojedinačno, uključujući i lokaciju njene detekcije, podložno statističkim (vjerovatnim) zakonima, a kada se jedan elektron usmjeri na metu, tačka na ekranu u kojoj će biti zabilježeno je 100% sigurno unaprijed -Nemoguće je sa sigurnošću predvidjeti.

U Thomsonovim eksperimentima difrakcije, na fotografskoj ploči formiran je sistem tamnih koncentričnih prstenova. Sa sigurnošću se može reći da vjerovatnoća detekcije (udaranja) svakog emitovanog elektrona na različitim mjestima na fotografskoj ploči nije ista. U području tamnih koncentričnih prstenova ova vjerovatnoća je veća nego u drugim područjima ekrana. Ispostavilo se da je distribucija elektrona po cijelom ekranu ista kao distribucija intenziteta elektromagnetnog vala u sličnom eksperimentu difrakcije: gdje je intenzitet rendgenskog vala visok, u Thomsonovom eksperimentu se snimaju mnoge čestice, a tamo gdje je intenzitet nizak, čestice se gotovo ne pojavljuju.

Sa tačke gledišta talasa, prisustvo maksimalnog broja elektrona u nekim pravcima znači da ti pravci odgovaraju najvećem intenzitetu de Broglieovog talasa. Ovo je poslužilo kao osnova za statističku (vjerovatnu) interpretaciju de Broljevog vala. Talasna funkcija je upravo matematički izraz koji nam omogućava da opišemo širenje vala u prostoru. Konkretno, vjerovatnoća pronalaska čestice u datom području prostora je proporcionalna kvadratu amplitude talasa povezanog sa česticom.

Za jednodimenzionalno kretanje (na primjer, u smjeru ose Ox) vjerovatnoća dP otkrivanje čestice u procjepu između tačaka x I x + dx u određenom trenutku t jednako

dP = , (6.1)

gdje | (x,t)| 2 = (x,t) *(x,t) je kvadrat modula valne funkcije (simbol * označava kompleksnu konjugaciju).

Općenito, kada se čestica kreće u trodimenzionalnom prostoru, vjerovatnoća dP detekcija čestice u tački sa koordinatama (x,y,z) unutar beskonačno malog volumena dV je data sličnom jednačinom : dP =|(x,y,z,t)|2 dV. Born je bio prvi koji je dao probabilističko tumačenje talasne funkcije 1926.

Vjerovatnoća detekcije čestice u cijelom beskonačnom prostoru jednaka je jedan. To podrazumijeva uvjet za normalizaciju valne funkcije:

. (6.2)

Vrijednost je gustina vjerovatnoće , ili, što je ista stvar, raspodjela gustine koordinata čestica. U najjednostavnijem slučaju jednodimenzionalnog kretanja čestica duž ose OX prosječna vrijednost njegove koordinate izračunava se sljedećom relacijom:

<x(t)>= . (6.3)

Da bi valna funkcija bila objektivna karakteristika stanja mikročestice, ona mora zadovoljiti niz restriktivnih uslova. Funkcija Ψ, koja karakterizira vjerovatnoću detekcije mikročestice u elementu zapremine, mora biti konačna (vjerovatnoća ne može biti veća od jedan), jednoznačna (vjerovatnoća ne može biti dvosmislena vrijednost), kontinuirana (vjerovatnoća se ne može naglo promijeniti) i glatka (bez pregiba) po celom prostoru.

Talasna funkcija zadovoljava princip superpozicije: ako sistem može biti u različitim stanjima opisanim valnim funkcijama Ψ1, Ψ2, Ψ n, tada može biti u stanju opisanom linearnom kombinacijom ovih funkcija:

, (6.4)

Gdje Cn(n= 1, 2, 3) su proizvoljni, uopšteno govoreći, kompleksni brojevi.

Sabiranje valnih funkcija (amplituda vjerovatnoće određene kvadratom modula valnih funkcija) suštinski razlikuje kvantnu teoriju od klasične statističke teorije, u kojoj je dodavanje teorema vjerovatnoće važeće za nezavisne događaje.

Talasna funkcija Ψ je glavna karakteristika stanja mikroobjekata.

Na primjer, prosječna udaljenost<r> elektron jezgra izračunava se po formuli:

,

gdje se proračuni vrše kao u slučaju (6.3). Dakle, nemoguće je precizno predvidjeti u eksperimentima difrakcije gdje će određeni elektron biti snimljen na ekranu, čak i znajući njegovu valnu funkciju unaprijed. Može se samo pretpostaviti sa određenom vjerovatnoćom da će elektron biti fiksiran na određenom mjestu. To je razlika između ponašanja kvantnih objekata i klasičnih. U klasičnoj mehanici, pri opisivanju kretanja makrotela, sa 100% verovatnoćom unapred smo znali gde će se u prostoru u bilo kom trenutku nalaziti materijalna tačka (na primer, svemirska stanica).

De Broglie je koristio koncept faznih valova (materijski valovi ili de Broglieovi valovi) da vizualno protumači Borovo pravilo za kvantiziranje orbita elektrona u atomu u slučaju atoma s jednim elektronom. Ispitivao je fazni talas koji putuje oko jezgra po kružnoj orbiti elektrona. Ako cijeli broj ovih valova stane duž dužine orbite, tada će se val, obilazeći jezgro, svaki put vraćati u početnu tačku sa istom fazom i amplitudom. U tom slučaju, orbita postaje stacionarna i ne dolazi do zračenja. De Broglie je zapisao uslov za stacionarnu orbitu ili pravilo kvantizacije u obliku:

Gdje R- radijus kružne orbite, n- cijeli broj (glavni kvantni broj). Vjerovanje ovdje i s obzirom na to L=RP je ugaoni moment elektrona, dobijamo:

što se poklapa s pravilom kvantizacije orbita elektrona u atomu vodika prema Boru.

Potom je uslov (6.5) generalizovan na slučaj eliptičnih orbita, kada talasna dužina varira duž putanje elektrona. Međutim, u de Broglieovom rezonovanju pretpostavljalo se da se val ne širi u prostoru, već duž linije - duž stacionarne orbite elektrona. Ova aproksimacija se može koristiti u graničnom slučaju, kada je talasna dužina zanemarljiva u poređenju sa radijusom orbite elektrona.

> Talasna funkcija

Pročitajte o valna funkcija i teorije vjerovatnoće kvantne mehanike: suština Schrödingerove jednadžbe, stanje kvantne čestice, harmonijski oscilator, dijagram.

Govorimo o amplitudi vjerovatnoće u kvantnoj mehanici, koja opisuje kvantno stanje čestice i njeno ponašanje.

Cilj učenja

• Kombinujte talasnu funkciju i gustinu verovatnoće identifikacije čestice.

Glavne tačke

• |ψ| 2 (x) odgovara gustini vjerovatnoće identifikacije čestice na određenom mjestu i trenutku.
• Zakoni kvantne mehanike karakteriziraju evoluciju valne funkcije. Schrödingerova jednačina objašnjava njeno ime.
• Talasna funkcija mora zadovoljiti mnoga matematička ograničenja za računanje i fizičku interpretaciju.

Uslovi

• Schrödingerova jednačina je parcijalni diferencijal koji karakterizira promjenu stanja fizičkog sistema. Formulirao ga je Erwin Schrödinger 1925. godine.
• Harmonični oscilator je sistem na koji, kada se pomeri iz prvobitnog položaja, utiče sila F proporcionalna pomaku x.

U okviru kvantne mehanike, valna funkcija odražava amplitudu vjerovatnoće koja karakterizira kvantno stanje čestice i njeno ponašanje. Obično je vrijednost kompleksan broj. Najčešći simboli za talasnu funkciju su ψ (x) ili Ψ(x). Iako je ψ kompleksan broj, |ψ| 2 – realna i odgovara gustini vjerovatnoće pronalaska čestice na određenom mjestu i vremenu.

Ovdje su putanje harmonijskog oscilatora prikazane u klasičnom (A-B) i kvantnom (C-H) mehanika. Kvantna lopta ima talasnu funkciju prikazanu sa stvarnim dijelom plavom bojom, a imaginarnim dijelom crvenom. TrajektorijeC-F – primjeri stajaćih valova. Svaka takva frekvencija će biti proporcionalna mogućem nivou energije oscilatora

Zakoni kvantne mehanike evoluiraju tokom vremena. Talasna funkcija podsjeća na druge, kao što su valovi u vodi ili struna. Činjenica je da je Schrödingerova formula vrsta talasne jednačine u matematici. Ovo dovodi do dualnosti talasnih čestica.

Talasna funkcija mora biti u skladu sa sljedećim ograničenjima:

• uvek konačan.
• uvijek kontinuiran i kontinuirano diferenciran.
• zadovoljava odgovarajući uslov normalizacije da bi čestica postojala sa 100% sigurnošću.

Ako zahtjevi nisu zadovoljeni, tada se valna funkcija ne može tumačiti kao amplituda vjerovatnoće. Ako zanemarimo ove pozicije i koristimo talasnu funkciju da odredimo opažanja kvantnog sistema, nećemo dobiti konačne i definitivne vrednosti.

(1 ocjene, prosjek: 5,00 od 5)

Uopšte nije loš učenik Ranije je postojao mit da je Ajnštajn dobio loše ocene i da je skoro zaostajao. Ovu ideju posebno često koriste neki...

Svemirski brod se sprema da puca na asteroid Ne, ovo nije operacija uništavanja ili spašavanja Zemlje. Japanska sonda zaista planira više...

TALASNA FUNKCIJA, u KVANTNOJ MEHANICI, funkcija koja vam omogućava da pronađete vjerovatnoću da je kvantni sistem u nekom stanju s u trenutku t. Obično se piše: (s) ili (s, t). Talasna funkcija se koristi u SCHRODINGER-ovoj jednačini... Naučno-tehnički enciklopedijski rečnik

TALASNA FUNKCIJA Moderna enciklopedija

Talasna funkcija- TALASNA FUNKCIJA, u kvantnoj mehanici glavna veličina (u opštem slučaju složena), koja opisuje stanje sistema i omogućava da se pronađu vjerovatnoće i prosječne vrijednosti fizičkih veličina koje karakterišu ovaj sistem. Talasni modul kvadratni ... ... Ilustrovani enciklopedijski rječnik

TALASNA FUNKCIJA- (vektor stanja) u kvantnoj mehanici je glavna veličina koja opisuje stanje sistema i omogućava da se pronađu vjerovatnoće i prosječne vrijednosti fizičkih veličina koje ga karakteriziraju. Kvadrat modula valne funkcije jednak je vjerovatnoći datog ... ... Veliki enciklopedijski rječnik

TALASNA FUNKCIJA- u kvantnoj mehanici (amplituda vjerojatnosti, vektor stanja), veličina koja u potpunosti opisuje stanje mikro-objekta (elektrona, protona, atoma, molekula) i bilo kojeg kvanta općenito. sistema. Opis stanja mikroobjekta pomoću V.f. ima...... Fizička enciklopedija

valna funkcija- - [L.G. Englesko-ruski rječnik informacionih tehnologija. M.: Državno preduzeće TsNIIS, 2003.] Teme informacione tehnologije uopšte EN talasna funkcija ... Vodič za tehnički prevodilac

valna funkcija- (amplituda verovatnoće, vektor stanja), u kvantnoj mehanici glavna veličina koja opisuje stanje sistema i omogućava da se pronađu verovatnoće i prosečne vrednosti fizičkih veličina koje ga karakterišu. Kvadrat modula valne funkcije je ... ... Encyclopedic Dictionary

valna funkcija- banginė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. talasna funkcija vok. Wellenfunktion, f rus. valna funkcija, f; valna funkcija, f pranc. fonction d’onde, f … Fizikos terminų žodynas

valna funkcija- banginė funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydis, apibūdinantis mikrodalelių ar jų sistemų fizikinę būseną. atitikmenys: engl. valna funkcija rus. talasna funkcija... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

TALASNA FUNKCIJA- složena funkcija koja opisuje stanje kvantne mehanike. sistem i omogućava vam da pronađete vjerovatnoće i up. značenja fizičkih karakteristika koje karakteriše. količine Kvadratni modul V. f. jednaka je vjerovatnoći datog stanja, stoga V.f. pozvao takođe amplituda..... Prirodne nauke. Encyclopedic Dictionary

Knjige

• , B.K. Novosadov. Monografija je posvećena doslednom prikazu kvantne teorije molekularnih sistema, kao i rešenju talasnih jednačina u nerelativističkoj i relativističkoj kvantnoj mehanici molekula... Kupite za 855 UAH (samo Ukrajina)
• Metode matematičke fizike molekularnih sistema, Novosadov B.K.. Monografija je posvećena doslednom prikazu kvantne teorije molekularnih sistema, kao i rešenju talasnih jednačina u nerelativističkoj i relativističkoj kvantnoj mehanici molekula.…

24 Talasna funkcija i Schrödingerova jednadžba. Statičko značenje valne funkcije.

Jednačinu koja uzima u obzir talasna i korpuskularna svojstva čestice dobio je Schrödinger 1926. godine.

Schrödinger je povezao kretanje čestice sa složenom funkcijom koordinata i vremena, koja se naziva funkcijom, rješenje je Schrödingerove jednadžbe:

Gdje Laplace, ko može

zapiši: ;;

U je potencijalna energija čestice;

Gdje je funkcija koordinata i vremena.

U kvantnoj fizici nemoguće je tačno predvideti bilo koji događaj, već možemo govoriti samo o verovatnoći datog događaja, verovatnoća događaja određuje.

1) Vjerovatnoća pronalaženja mikročestice zapremine dV u trenutku T:

Povezane funkcije.

2) Gustoća vjerovatnoće pronalaženja čestice u jediničnoj zapremini:

3) Talasna funkcija mora zadovoljiti uvjet:

25 Schrödingerova jednadžba za stacionarna stanja. Uslovi nametnuti talasnoj funkciji. Normalizacija valne funkcije.

gdje se računaju 3 integrala po cijeloj zapremini u kojoj se čestica može nalaziti.

Ovaj uslov znači da je penetracija čestice pouzdan događaj sa vjerovatnoćom 1 Za neke praktične probleme, potencijalna energija čestice ne zavisi od vremena. U ovom slučaju, valna funkcija se može predstaviti kao proizvod

jer

onda zavisi samo od vremena podijelimo sa dobijamo: Lijeva strana jednakosti ovisi samo o vremenu, desna samo o koordinatama, ova jednakost vrijedi samo ako su obje strane = const, takva konstanta je ukupna energija čestice E.

Razmotrimo desnu stranu ove jednakosti:

, transformiramo:

- jednadžba za stacionarno stanje.

Razmotrimo lijevu stranu Schrödingerove jednadžbe: ;;

Odvojimo varijable i integrirajmo rezultirajuću jednačinu:

koristeći matematičke transformacije:

U ovom slučaju, vjerovatnoća pronalaska čestice može se odrediti:

Ili nakon transformacije:

– ova vjerovatnoća ne zavisi od vremena, ova jednačina koja karakteriše mikročestice naziva se stacionarnim stanjem čestice.

26 Čestica u jednodimenzionalnoj pravougaonoj potencijalnoj bušotini beskonačne dubine. Kvantizacija energije. Borov princip korespondencije.

Obično zahtijevaju da valna funkcija bude definirana i kontinuirana (beskonačno diferencibilna) u cijelom prostoru, te da bude jedinstvena. Jedna vrsta dvosmislenosti valnih funkcija je prihvatljiva - dvosmislenost znaka “+/”.

Takvo potencijalno polje odgovara beskonačno dubokoj potencijalnoj bušotini sa ravnim dnom. Primjer kretanja u potencijalnoj bušotini je kretanje elektrona u metalu. Ali da bi elektron napustio metal, mora se obaviti rad, koji odgovara potencijalnoj energiji u Schrödingerovoj jednačini.

Pod ovim uslovom, čestica ne prodire dalje od „rupe“, tj.

y(0)= y(l)=0 Unutar jame (0 svodi na jednačinu

ili Ova jednačina je diferencijalna jednačina i prema matematici njeno rješenje je gdje se može odrediti iz graničnih uslova.

n-glavni kvantni broj n=1,2,3…

Analiza ove jednačine pokazuje da energija u potencijalnoj bušotini ne može biti diskretna veličina.

stanje sa minimalnom energijom naziva se tlo, svi ostali su pobuđeni.

Hajde da razmotrimo jer Budući da je potencijalni bunar jednodimenzionalan, možemo to napisati, zamijenimo ga u izraz i dobijemo.

Pošto jednodimenzionalni potencijalni bunar ima ravno dno, onda

Pokažimo grafički

Slika pokazuje da vjerovatnoća da se mikročestica nalazi na različitim mjestima na segmentu nije ista kako se n povećava, povećava se vjerovatnoća pronalaženja čestice

Kvantizacija energije je jedan od ključnih principa neophodnih za razumevanje strukturne organizacije materije, tj.

postojanje stabilnih, ponavljajućih po svojim svojstvima, molekula, atoma i manjih strukturnih jedinica koje čine i materiju i zračenje.

Pravila kvantne mehanike se vrlo uspješno primjenjuju u opisu mikroskopskih objekata kao što su atomi i elementarne čestice. S druge strane, eksperimenti pokazuju da se različiti makroskopski sistemi (opruge, kondenzator, itd.) mogu prilično precizno opisati u skladu sa klasičnim teorijama, koristeći klasičnu mehaniku i klasičnu elektrodinamiku (iako postoje makroskopski sistemi koji pokazuju kvantno ponašanje, tj. na primjer, superfluidni tečni helijum ili supravodnici). Međutim, sasvim je razumno vjerovati da bi konačni zakoni fizike trebali biti neovisni o veličini fizičkih objekata koji se opisuju.

Ovo je preduvjet za Bohrov princip korespondencije, koji kaže da bi se klasična fizika trebala pojaviti kao aproksimacija kvantnoj fizici kako sistemi postaju veliki.

Uslovi pod kojima se kvantna i klasična mehanika poklapaju nazivaju se klasičnom granicom. Bohr je predložio grubi kriterij za klasičnu granicu: prijelaz se događa kada su kvantni brojevi koji opisuju sistem veliki, što znači da je ili sistem uzbuđen na velike kvantne brojeve, ili da je sistem opisan velikim skupom kvantnih brojeva, ili oboje .
Modernija formulacija kaže da klasična aproksimacija vrijedi za velike vrijednosti akcije

Talasna funkcija Talasna funkcija
Talasna funkcija

.

(ili vektor stanja) je složena funkcija koja opisuje stanje kvantnog mehaničkog sistema. Poznavanje toga omogućava vam da dobijete najpotpunije informacije o sistemu, što je u osnovi ostvarivo u mikrokosmosu. Dakle, uz njegovu pomoć možete izračunati sve mjerljive fizičke karakteristike sistema, vjerovatnoću da se on nađe na određenom mjestu u prostoru i njegovu evoluciju u vremenu. Talasna funkcija se može naći rješavanjem Schrödingerove valne jednačine.
Kvadratni modul valne funkcije pojedinačne čestice | ψ (,t)| 2 = ψ *(,t) ψ (,t) daje vjerovatnoću detekcije čestice u trenutku t u tački u prostoru opisanoj koordinatama, naime, | ψ (,t)| 2 dv ≡ | ψ (x, y, z, t)| 2 dxdydz je vjerovatnoća pronalaska čestice u području prostora zapremine dv = dxdydz oko tačke x, y, z. Slično, vjerovatnoća pronalaženja u trenutku t sistema A čestica sa koordinatama 1, 2,..., A u elementu volumena višedimenzionalnog prostora je data sa | ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t)| 2 dv 1 dv 2 ...dv A .
Talasna funkcija u potpunosti određuje sve fizičke karakteristike kvantnog sistema. Dakle, srednja posmatrana vrednost fizičke veličine F sistema data je izrazom

,

gdje je operator ove veličine i integracija se vrši na cijelom području multidimenzionalnog prostora.
Umjesto koordinata čestica x, y, z, njihovi momenti p x , p y , p z ili drugi skupovi fizičkih veličina mogu se odabrati kao nezavisne varijable valne funkcije. Ovaj izbor zavisi od reprezentacije (koordinata, impuls ili drugo).
Talasna funkcija ψ (,t) čestice ne uzima u obzir njene unutrašnje karakteristike i stupnjeve slobode, odnosno opisuje njeno kretanje kao cjeline besstrukturnog (tačkastog) objekta duž određene putanje (orbite) u prostoru. Ove unutrašnje karakteristike čestice mogu biti njen spin, spiralnost, izospin (za čestice koje su u jakoj interakciji), boja (za kvarkove i gluone) i neke druge. Unutrašnje karakteristike čestice određene su posebnom talasnom funkcijom njenog unutrašnjeg stanja φ. U ovom slučaju, ukupna valna funkcija čestice Ψ može se predstaviti kao proizvod funkcije orbitalnog kretanja ψ i unutrašnje funkcije φ:

pošto obično unutrašnje karakteristike čestice i njeni stepeni slobode, koji opisuju orbitalno kretanje, ne zavise jedno od drugog.
Kao primjer, ograničit ćemo se na slučaj kada je jedina unutrašnja karakteristika koju funkcija uzima u obzir spin čestice, a taj spin je jednak 1/2. Čestica sa takvim spinom može biti u jednom od dva stanja - sa projekcijom spina na osi z jednakom +1/2 (spin up) i sa projekcijom spina na osi z jednakom -1/2 (spin dolje). Ovaj dualitet je opisan spin funkcijom uzetom u obliku dvokomponentnog spinora:

Tada će valna funkcija Ψ +1/2 = χ +1/2 ψ opisivati ​​kretanje čestice sa spinom 1/2 usmjerenim prema gore duž putanje određene funkcijom ψ, a valna funkcija Ψ -1/2 = χ -1/2 ψ će opisati kretanje duž iste putanje iste čestice, ali sa spinom usmjerenim naniže.
U zaključku, napominjemo da su u kvantnoj mehanici moguća stanja koja se ne mogu opisati pomoću valne funkcije. Takva stanja se nazivaju mješovita i opisuju se u okviru kompleksnijeg pristupa korištenjem koncepta matrice gustoće. Stanja kvantnog sistema opisana talasnom funkcijom nazivaju se čistim.