Уход за ногами

Возведение алгебраической дроби в степень: правило, примеры. Возведение в степень, правила, примеры

При решении арифметических и алгебраических задач иногда требуется возвести дробь в квадрат . Проще всего это сделать, когда дробь десятичная – достаточно обычного калькулятора. Однако если дробь обыкновенная или смешанная, то при возведении такого числа в квадрат могут возникнуть некоторые затруднения.

Вам понадобится

калькулятор, компьютер, приложение Excel.

Инструкция

Чтобы возвести десятичную дробь в квадрат , возьмите инженерный , наберите на нем возводимую в квадрат дробь и нажмите на клавишу возведения во вторую степень. На большинстве калькуляторов эта кнопка обозначена как «х²». На стандартном калькуляторе Windows функция возведения в квадрат выглядит как «x^2». Например, квадрат десятичной дроби 3,14 будет равен: 3,14² = 9,8596.

Чтобы возвести в квадрат десятичную дробь на обычном (бухгалтерском) калькуляторе, умножьте это число само на себя. Кстати, в некоторых моделях калькуляторов предусмотрена возможность возведения числа в квадрат даже при отсутствии специальной кнопки. Поэтому предварительно ознакомьтесь с инструкцией к конкретному калькулятору. Иногда «хитрого» возведения в степень приведены на задней крышке или на калькулятора. Например, на многих калькуляторах для возведения числа в квадрат достаточно нажать кнопки «х» и «=».

Для возведения в квадрат обыкновенной дроби (состоящей из числителя и знаменателя), возведите в квадрат по отдельности числитель и знаменатель этой дроби. То есть воспользуйтесь следующим правилом:(ч / з)² = ч² / з², где ч – числитель дроби, з – знаменатель дроби.Пример: (3/4)² = 3²/4² = 9/16.

Если возводимая в квадрат дробь – смешанная (состоит из целой части и обыкновенной дроби), то предварительно приведите ее к обыкновенному виду. То есть примените следующую формулу:(ц ч/з)² = ((ц*з+ч) / з)² = (ц*з+ч)² / з², где ц – целая часть смешанной дроби.Пример: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.

Если в квадрат (не ) дроби приходится постоянно, то воспользуйтесь программой MS Excel. Для этого введите в одну из таблицы следующую формулу: =СТЕПЕНЬ(A2;2) где А2 – адрес ячейки, в которую будет вводиться возводимая в квадрат дробь .Чтобы сообщить программе, что с вводимым числом необходимо обращаться как дробь ю (т.е. не преобразовывать ее в десятичный вид), наберите перед дробь ю цифру «0» и знак «пробел». То есть для ввода, например, дроби 2/3 нужно ввести: «0 2/3» (и нажать Enter). При этом в строке ввода отобразится десятичное представление введенной дроби. Значение и представление дроби непосредственно в сохранится в исходном виде. Кроме того, при использовании математических функций, аргументами которых обыкновенные дроби, результат также будет представлен в виде обыкновенной дроби. Следовательно квадрат дроби 2/3 будет представлен как 4/9.

Тема сводится к тому, что нам необходимо производить умножение одинаковых дробей. Данная статья расскажет, какое необходимо использовать правило, чтобы верно возводить алгебраические дроби в натуральную степень.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Правило возведения алгебраической дроби в степень, его доказательство

Перед тем, как начать возводить в степень, необходимо углубить знания при помощи статьи про степень с натуральным показателем, где имеется произведение одинаковых множителей, которые находятся в основании степени, причем их количество определено показателем. К примеру, число 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

При возведении в степень чаще всего используем правило. Для этого в отдельности возводят в степень числитель и отдельно знаменатель. Рассмотрим на примере 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 . Правило применимо для возведения дроби в натуральную степень.

При возведении алгебраической дроби в натуральную степень получаем новую, где числитель имеет степень исходной дроби, а знаменатель – степень знаменателя. Это все имеет вид a b n = a n b n , где а и b являются произвольными многочленами, b является ненулевым, а n натуральным числом.

Доказательство данного правила записывается в виде дроби, которую необходимо возвести в степень, основываясь на самом определении с натуральным показателем. Тогда получаем умножение дробей вида a b n = a b · a b · . . . · a b = a · a · . . . · a b · b · . . . · b = a n b n

Примеры, решения

Правило возведения алгебраической дроби в степень производится последовательно: сначала числитель, потом знаменатель. Когда в числителе и знаменателе имеется многочлен, тогда само задание сведется к возведению заданного многочлена в степень. После чего будет указана новая дробь, которая равна исходной.

Пример 1

Произвести возведение дроби x 2 3 · y · z 3 в квадрат.

Решение

Необходимо зафиксировать степень x 2 3 · y · z 3 2 . По правилу возведения алгебраической дроби в степень получаем равенство вида x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 . Теперь необходимо произвести преобразование полученной дроби к виду алгебраической, выполняя возведение в степень. Тогда получим выражение вида

x 2 2 3 · y · z 3 2 = x 2 · 2 3 2 · y 2 · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6

Все случаи возведения в степень не предполагают подробного разъяснения, поэтому сам решение имеет краткую запись. То есть, получаем, что

x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6

Ответ: x 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6 .

Если числитель и знаменатель имеют многочлены, тогда необходимо возводить всю дробь в степень, после чего применять формулы сокращенного умножения для его упрощения.

Пример 2

Возвести дробь 2 · x - 1 x 2 + 3 · x · y - y в квадрат.

Решение

Из правила имеем, что

2 · x - 1 x 2 + 3 · x · y - y 2 = 2 · x - 1 2 x 2 + 3 · x · y - y 2

Чтобы преобразовать выражение, необходимо воспользоваться формулой квадрата суммы трех слагаемых в знаменателе, а в числителе – квадратом разности, что позволит упростить выражение. Получим:

2 · x - 1 2 x 2 + 3 · x · y - y 2 = = 2 · x 2 - 2 · 2 · x · 1 + 1 2 x 2 2 + 3 · x · y 2 + - y 2 + 2 · x 2 · 3 · x · y + 2 · x 2 · (- y) + 2 · 3 · x · y · - y = = 4 · x 2 - 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 · x 3 · y - 2 · x 2 · y - 6 · x · y 2

Ответ: 2 · x - 1 2 x 2 + 3 · x · y - y 2 = 4 · x 2 - 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 · x 3 · y - 2 · x 2 · y - 6 · x · y 2

Заметим, что при возведении в натуральную степень дробь, которую не можем сократить, получаем также несократимую дробь. Это не упрощает ее для дальнейшего решения. Когда заданная дробь может быть сокращена, тогда при возведении в степень получаем, что необходимо выполнение сокращения алгебраической дроби, во избежание выполнения сокращения после того, как возведем в степень.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Пришло время ознакомиться с возведением алгебраической дроби в степень . Это действие с алгебраическими дробями по смыслу степени сводится к умножению одинаковых дробей. В этой статье мы дадим соответствующее правило, и рассмотрим примеры возведения алгебраических дробей в натуральную степень.

Навигация по странице.

Правило возведение алгебраической дроби в степень, его доказательство

Прежде чем говорить о возведении в степень алгебраической дроби, не помешает вспомнить, что представляет собой произведение одинаковых множителей, стоящих в основании степени, а их количество определяется показателем. Например, 2 3 =2·2·2=8 .

А теперь вспомним правило возведения в степень обыкновенной дроби – для этого нужно отдельно возвести в указанную степень числитель, и отдельно – знаменатель. К примеру, . Указанное правило распространяется на возведение алгебраической дроби в натуральную степень.

Возведение алгебраической дроби в натуральную степень дает новую дробь, в числителе которой указанная степень числителя исходной дроби, а в знаменателе – степень знаменателя. В буквенном виде этому правилу соответствует равенство , где a и b – произвольные многочлены (в частных случаях одночлены или числа), причем b – ненулевой многочлен, а n – .

Доказательство озвученного правила возведения алгебраической дроби в степень основано на определении степени с натуральным показателем и на том, как мы определили умножение алгебраических дробей : .

Примеры, решения

Полученное в предыдущем пункте правило сводит возведение алгебраической дроби в степень к возведению в эту степень числителя и знаменателя исходной дроби. А так как числителем и знаменателем исходной алгебраической дроби являются многочлены (в частном случае одночлены или числа), то исходное задание сводится к возведению в степень многочленов . После выполнения этого действия будет получена новая алгебраическая дробь, тождественно равная указанной степени исходной алгебраической дроби.

Рассмотрим решения нескольких примеров.

Пример.

Возведите алгебраическую дробь в квадрат.

Решение.

Запишем степень . Теперь обращаемся к правилу возведения алгебраической дроби в степень, оно нам дает равенство . Осталось преобразовать полученную дробь к виду алгебраической дроби, выполнив возведение одночленов в степень . Так .

Обычно при возведении алгебраической дроби в степень ход решения не поясняют, а решение записывают кратко. Нашему примеру отвечает запись .

Ответ:

Когда в числителе и/или в знаменателе алгебраической дроби находятся многочлены, особенно двучлены, то при ее возведении в степень целесообразно использовать соответствующие формулы сокращенного умножения .

Пример.

Возведите алгебраическую дробь во вторую степень.

Решение.

По правилу возведения дроби в степень имеем .

Для преобразования полученного выражения в числителе воспользуемся формулой квадрата разности , а в знаменателе – формулой квадрата суммы трех слагаемых :

Ответ:

В заключение отметим, что если мы возводим в натуральную степень несократимую алгебраическую дробь, то в результате тоже получится несократимая дробь. Если же исходная дробь сократима, то перед возведением ее в степень целесообразно выполнить сокращение алгебраической дроби , чтобы не выполнять сокращение после возведения в степень.

Список литературы.

Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Возведение в степень – операция, тесно связанная с умножением, это операция – результат многократного умножения какого-либо числа на само себя. Изобразим формулой: a1 * a2 * … * an = an .

Например, а=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Вообще возведение в степень часто используется в различных формулах по математике и физике. Эта функция имеет более научное предназначение, чем четыре основные: Сложение , Вычитание , Умножение , Деление .

Возведение числа в степень

Возведение числа в степень – операция не сложная. Оно связано с умножением подобно связи умножения и сложения. Запись an – краткая запись n-ого количество чисел «а» умноженных друг на друга.

Рассмотри возведение в степень на самых простых примерах, переходя к сложным.

Например, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Четыре в квадрате (во второй степени) равно шестнадцати. Если вам не понятно умножение 4 * 4 , то читайте нашу стать об умножении .

Рассмотрим еще одни пример: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Пять в кубе (в третьей степени) равно ста двадцати пяти.

Еще один пример: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Девять в кубе равняется семи сотням двадцати девяти.

Формулы возведения в степень

Чтобы грамотно возводить в степень нужно помнить и знать формулы, указанные ниже. В этом нет ничего сверх естественного, главное понять суть и тогда они не только запомнятся, но и покажутся легкими.

Возведение одночлена в степень

Что из себя представляет одночлен? Это произведение чисел и переменных в любом количестве. Например, двух – одночлен. И вот именно о возведении в степень таких одночленов данная статья.

Пользуясь формулами возведения в степень вычислить возведение одночлена в степень будет не трудно.

Например, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6 ; Если возводить одночлен в степень, то в степень возводится каждая составная одночлена.

Возводя в степень переменную уже имеющую степень, то степени перемножаются. Например, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Возведение в отрицательную степень

Отрицательная степень – обратное число. Что такое обратное число? Любому числу Х обратным будет 1/X. То есть Х-1=1/X. Это и есть суть отрицательной степени.

Рассмотрим пример (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Почему так? Так как в степени имеется минус, то просто переносим в знаменатель данное выражение, а затем возводим в его в третью степень. Просто не так ли?

Возведение в дробную степень

Начнем рассмотрение вопрос на конкретном примере. 43/2. Что означает степень 3/2? 3 – числитель, означает возведение числа (в данном случае 4) в куб. Число 2 – знаменатель, это извлечение корня второй степени из числа (в данном случае 4).

Тогда получаем квадратный корень из 43 = 2^3 = 8 . Ответ: 8.

Итак, знаменатель дробной степени может быть, как 3, так и 4 и до бесконечности любым числом и это число определяет степень квадратного корня, извлекаемого из заданного числа. Конечно же, знаменатель не может быть равным нулю.

Возведение корня в степень

Если корень возводится в степень, равной степени самого корня, то ответом будет подкоренное выражение. Например, (√х)2 = х. И так в любом случае равенства степени корня и степени возведения корня.

Если (√x)^4. То (√x)^4=x^2. Чтобы проверить решение переведем выражение в выражение с дробной степенью. Так как корень квадратный, то знаменатель равен 2. А если корень возводится в четвертую степень, то числитель 4. Получаем 4/2=2. Ответ: x = 2.

В любом случае лучший вариант просто перевести выражение в выражение с дробной степенью. Если не будет сокращаться дробь, значит такой ответ и будет, при условии, что корень из заданного числа не выделяется.

Возведение в степень комплексного числа

Что такое комплексное число? Комплексное число – выражение, имеющее формулу a + b * i; a, b – действительные числа. i – число, которое при возведение в квадрат дает число -1.

Рассмотрим пример. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Запишитесь на курс "Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика", чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

Возведение в степень онлайн

С помощью нашего калькулятора, Вы сможете посчитать возведение числа в степень:

Возведение в степень 7 класс

Возведение в степень начинают проходить школьники только в седьмом классе.

Например, а=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8 .

Примеры для решения:

Возведение в степень презентация

Презентация по возведению в степень, рассчитанную на семиклассников. Презентация может разъяснить некоторые непонятные моменты, но, вероятно, таких моментов не будет благодаря нашей статье.

Итог

Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше - записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет - НЕ ментальная арифметика.

Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

Инструкция

Если в исходных дана в формате обыкновенной дроби, то операцию нужно производить в два шага. Последовательность их на полученном результате никак не скажется - начните, например, с извлечения из числа корня той степени, которая указана в знаменателе дроби. К примеру, чтобы возвести в степень ⅔ число 64 на этом шаге из него надо извлечь : 64^⅔ = (³√64)² = 4².

Возведите полученное на первом шаге значение в степень , равную числу, стоящему в числителе дроби. Результат этой операции и будет результатом возведения числа в дробную степень . Для примера из предыдущего шага полностью ход вычислений можно записать так: 64^⅔ = (³√64)² = 4² = 16.

Исходите из простоты расчетов при определении последовательности описанных выше операций извлечения корня и возведения в степень . Например, если бы требовалось в ту же самую степень ⅔ возвести число 8, то начинать с извлечения кубического корня из восьмерки было бы , так как результат был бы дробным . В этом случае лучше начать 8 в квадрат, а затем извлечь корень третьей степени из 64 и таким образом обойтись без дробных промежуточных значений: 8^⅔ = ³√(8²) = ³√64 = 4.

Если показатель степени в исходных данных приведен в формате десятичной дроби, то начните с преобразования его в обыкновенную дробь, а затем действуйте по описанному выше алгоритму. Например, для возведения числа в степень 0,75 трансформируйте этот показатель в обыкновенную дробь ¾, затем извлеките корень четвертой степени и возведите полученный результат в куб.

Используйте любой , если ход вычислений значения не имеет, а важен лишь результат. Это может быть и скрипт, встроенный в поисковик Google - с его помощью нужное значение даже проще, чем с использованием стандартного калькулятора ОС Windows. Например, для возведения числа 15 в степень ⅗ перейдите на главную страницу сайта и введите в поле поискового запроса 15^(3/5). Результат вычислений с точностью до 8 знаков Google отобразит даже без нажатия кнопки отправки запроса: 15^(3 / 5) = 5,07755639.

Источники:

как возводить в дробную степень

Степень числа разбирают в школе на уроках алгебры. В жизни такая операция выполняется редко. Например, при расчете площади квадрата или объёма куба используются степени, потому что длина, ширина, а для куба и высота – равные величины. В остальном возведение в степень чаще всего носит прикладной производственный характер.

Вам понадобится

Бумага, ручка, инженерный калькулятор, таблицы степеней, программные продукты (например, табличный редактор Excel).

Инструкция

При работе с отрицательным числом нужно быть аккуратным со знаками. Следует помнить, что четная степень (n) даст знак плюс, нечетная – знак .
Например
(-7)^2 = (-7)*(-7) = 49
(-7)^3 = (-7)*(-7)*(-7) = 343

Нулевая степень (n = 0) от любого числа всегда будет равна единице.
15^0 = 1
(-6)^0 = 1
(1/3)^0 = 1Если n = 1, число умножать само на себя не надо.
Будет
7^1 = 7
329^1 = 329

Если n = 2, тогда степень квадратом, если n = 3, степень называют кубом. Вычисление квадрата и куба из чисел первого десятка производить достаточно легко. Но с увеличением числа , возводимого в степень, и с увеличением самой степени, вычисления становятся трудоемкими. Для таких вычислении были разработаны специальные таблицы. Также существуют специальные инженерные и online калькуляторы, программные продукты. В качестве простейшего программного для операций со можно использовать табличный редактор Excel.

Источники:

http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg17.html

При решении некоторых технических задач бывает нужно посчитать корень третьей степени . Иногда это число еще называют кубическим корнем. Корнем третьей степени из данного числа называют такое число, куб (третья степень) которого равняется данному. То есть если y – корень третьей степени числа x, то должно выполняться условие: y?=x (икс равно игрек куб).

Вам понадобится

калькулятор или компьютер

Инструкция

Чтобы посчитать корень степени , воспользуйтесь калькулятором. Желательно, чтобы это был не обычный , а калькулятор, используемый для инженерных расчетов. Однако даже на таком вы не найдете специальную кнопку для извлечения корня третьей степени . Поэтому используйте функцию для возведения числа в степень. Извлечению корня третьей степени соответствует возведение в степень 1/3 (одна треть).

Для возведения числа в степень 1/3 наберите на клавиатуре калькулятора само число. После чего нажмите на клавишу «возведение в степень». Такая кнопка, в зависимости от типа калькулятора, может выглядеть как xy (у – в виде верхнего индекса). Так как в большинстве калькуляторов нет возможности работать с обычными (недесятичными) , то вместо числа 1/3 наберите его приблизительное значение: 0,33. Чтобы получить большую точность вычислений, необходимо увеличить количество «троек», например, набрать 0,33333333333333. Затем, нажмите кнопку «=».

Чтобы посчитать корень третьей степени на , воспользуйтесь стандартным калькулятором Windows. Порядок действий полностью аналогичен описанному в предыдущем пункте инструкции. Единственное - это кнопки возведения в степень. На «компьютерном» калькуляторе она выглядит как x^y.

Если корень третьей степени приходится систематически, то воспользуйтесь программой MS Excel. Чтобы посчитать корень третьей степени в «Екселе», введите в любую клетку знак «=», а затем, выберите «fx» - вставка функции. В появившемся окошке в списке «Выберите функцию» выберите строку «СТЕПЕНЬ». Нажмите кнопку «Ок». Во вновь появившемся окошке введите в строку «Число» значение числа, из которого нужно извлечь корень . В строку «Степень» введите число «1/3» и нажмите «Ок». В таблицы появится искомое значение кубического корня из исходного числа.

В технических расчетах и при решении многих задач иногда требуется корень , то есть найти такое число, куб которого равен исходному. Для подсчета значения кубического корня достаточно инженерного калькулятора. Однако даже на таком калькуляторе нет специальной клавиши для вычисления кубического корня. Но используя некоторые нехитрые приемы, можно обойтись и без такой кнопки.

Вам понадобится

инженерный калькулятор или компьютер

Инструкция

Для того чтобы найти кубический корень с помощью калькулятора, возьмите инженерный и наберите на нем исходное число. Затем, нажмите на кнопку возведения в степень. Теперь введите значение показателя . В данном случае он (теоретически) должен равняться 1/3. Но, так как использование обыкновенных дробей даже на инженерном калькуляторе затруднительно, то наберите округленное значение числа 1/3, то есть: 0,33. Затем нажмите на кнопку «=». На индикаторе калькулятора появится искомое значение. Чтобы получить более точное значение, набирайте не две тройки, а , например, 0,333333333333.

Чтобы посчитать кубический корень на компьютере, запустите программу «калькулятор». Если соответствующего значка нет на рабочем столе, проделайте следующее:
- нажмите кнопку «Пуск»;
- выберите пункт меню «Выполнить»;
- введите в появившемся окошке строку «calc».Если появившийся на рабочем столе калькулятор имеет обычный вид (напоминающий «бухгалтерский калькулятор»), то переведите его в режим выполнения расчетов. Для этого, выберите строку «Вид» и укажите пункт «Инженерный».Теперь введите то число, из которого нужно извлечь кубический корень. Затем нажмите на калькуляторе кнопку «x^y». Далее наберите , например, 0,33. Для получения более точного результата, можно набрать более значение показателя степени, например, 0,333333333333. Чтобы получить точный результат, введите показатель степени «1/3» в скобках. То есть нажмите последовательно клавиши «(1/3)».

Расчет в программе Excel. Запустите саму программу, нажмите кнопку «=» и выберите функцию «СТЕПЕНЬ». Затем введите то число, из которого требуется извлечь корень степени. После чего, в следующей появившегося окошка наберите дробь «1/3» и нажмите кнопку «Ок».

Видео по теме

Источники: