Виды равновесия. Равновесие

Равновесием называется такое состояние системы, при котором силы, действующие на систему, уравновешены между собой. Равновесие может быть устойчивым, неустойчивым или безразличным.

Понятие равновесия — одно из самых универсальных в естественных науках. Оно применимо к любой системе, будь то система планет, движущихся по стационарным орбитам вокруг звезды, или популяция тропических рыбок в лагуне атолла. Но проще всего понять концепцию равновесного состояния системы на примере механических систем. В механике считается, что система находится в равновесии, если все действующие на нее силы полностью уравновешены между собой, то есть гасят друг друга. Если вы читаете эту книгу, например, сидя в кресле, то вы как раз и находитесь в состоянии равновесия, поскольку сила земного притяжения, тянущая вас вниз, полностью компенсирована силой давления кресла на ваше тело, действующей снизу вверх. Вы не проваливаетесь и не взлетаете именно потому, что пребываете в состоянии равновесия.

Различают три типа равновесия, соответствующие трем физическим ситуациям.

Устойчивое равновесие

Именно его большинство людей обычно и понимают под «равновесием». Представьте себе шар на дне сферической чаши. В состоянии покоя он находится строго в центре чаши, где действие силы гравитационного притяжения Земли уравновешено силой реакции опоры, направленной строго вверх, и шар покоится там подобно тому, как вы покоитесь в своем кресле. Если сместить шар в сторону от центра, откатив его вбок и вверх в направлении края чаши, то, стоит его отпустить, как он тут же устремится обратно к самой глубокой точке в центре чаши — в направлении положения устойчивого равновесия.

Вы, сидя в кресле, находитесь в состоянии покоя благодаря тому, что система, состоящая из вашего тела и кресла, находится в состоянии устойчивого равновесия. Поэтому при изменении каких-то параметров этой системы — например, при увеличении вашего веса, если, предположим, вам на колени сел ребенок, — кресло, будучи материальным объектом, изменит свою конфигурацию таким образом, что сила реакции опоры возрастет, — и вы останетесь в положении устойчивого равновесия (самое большее, что может произойти, — подушка под вами промнется чуть глубже).

В природе имеется множество примеров устойчивого равновесия в различных системах (и не только механических). Рассмотрим, например, отношения хищник—жертва в экосистеме. Соотношение численностей замкнутых популяций хищников и их жертв достаточно быстро приходит в равновесное состояние — столько-то зайцев в лесу из года в год стабильно приходится на столько-то лис, условно говоря. Если по каким-либо причинам численность популяции жертв резко изменяется (из-за всплеска рождаемости зайцев, например), экологическое равновесие будет очень скоро восстановлено за счет быстрого прироста поголовья хищников, которые начнут истреблять зайцев ускоренными темпами, пока не приведут поголовье зайцев в норму и не начнут сами вымирать от голода, приводя в норму и собственное поголовье, в результате чего численности популяций и зайцев, и лис придут к норме, которая наблюдалась до всплеска рождаемости у зайцев. То есть в устойчивой экосистеме также действуют внутренние силы (хотя и не в физическом понимании этого слова), стремящиеся вернуть систему в состояние устойчивого равновесия в случае отклонения системы от него.

Аналогичные эффекты можно наблюдать и в экономических системах. Резкое падение цены товара приводит к всплеску спроса со стороны охотников за дешевизной, последующему сокращению товарных запасов и, как следствие, росту цены и падению спроса на товар — и так до тех пор, пока система не вернется в состояние устойчивого ценового равновесия спроса и предложения. (Естественно, в реальных системах, и в экологических, и в экономических, могут действовать внешние факторы, отклоняющие систему от равновесного состояния — например, сезонный отстрел лис и/или зайцев или государственное ценовое регулирование и/или квотирование потребления. Такое вмешательство приводит к смещению равновесия, аналогом которого в механике будет, например, деформация или наклон чаши.)

Неустойчивое равновесие

Не всякое равновесие, однако, является устойчивым. Представьте себе шар, балансирующий на лезвии ножа. Направленная строго вниз сила земного притяжения в этом случае, очевидно, также полностью уравновешена направленной вверх силой реакции опоры. Но стоит отклонить центр шара в сторону от точки покоя, приходящейся на линию лезвия хоть на долю миллиметра (а для этого достаточно мизерного силового воздействия), как равновесие будет мгновенно нарушено и сила земного притяжения начнет увлекать шар всё дальше от него.

Примером неустойчивого природного равновесия служит тепловой баланс Земли при смене периодов глобального потепления новыми ледниковыми периодами и наоборот (см. Циклы Миланковича). Среднегодовая температура поверхности нашей планеты определяется энергетическим балансом между суммарным солнечным излучением, достигающим поверхности, и суммарным тепловым излучением Земли в космическое пространство. Неустойчивым этот тепловой баланс становится следующим образом. В какую-то зиму выпадает больше снега, чем обычно. На следующее лето тепла не хватает, чтобы растопить излишки снега, и лето оказывается также холоднее обычного вследствие того, что из-за переизбытка снега поверхность Земли отражает обратно в космос большую долю солнечных лучей, чем прежде. Из-за этого следующая зима оказывается еще более снежной и холодной, чем предыдущая, а следующим за ней летом на поверхности остается еще больше снега и льда, отражающего солнечную энергию в космос... Нетрудно увидеть, что чем больше такая глобальная климатическая система отклоняется от исходной точки теплового равновесия, тем быстрее нарастают процессы, уводящие климат еще дальше от нее. В конечном итоге, на поверхности Земли в приполярных областях за долгие годы глобального похолодания образуются многокилометровые напластования ледников, которые неумолимо продвигаются в направлении всё более низких широт, принося с собой на планету очередной ледниковый период. Так что трудно себе представить более шаткое равновесие, чем глобально-климатическое.

Особого упоминания заслуживает разновидность неустойчивого равновесия, называющаяся метастабильным, или квазиустойчивым равновесием. Представьте себе шар в узкой и неглубокой канавке — например, на повернутом острием вверх лезвии фигурного конька. Незначительное — на миллиметр-другой — отклонение от точки равновесия приведет к возникновению сил, которые вернут шар в равновесное состояние в центре канавки. Однако уже чуть большей силы хватит для того, чтобы вывести шар за пределы зоны метастабильного равновесия, и он свалится с лезвия конька. Метастабильные системы, как правило, обладают свойством пребывать какое-то время в состоянии равновесия, после чего «срываются» из него в результате какой-либо флуктуации внешних воздействий и «сваливаются» в необратимый процесс, характерный для нестабильных систем.

Типичный пример квазиустойчивого равновесия наблюдается в атомах рабочего вещества некоторых типов лазерных установок. Электроны в атомах рабочего тела лазера занимают метастабильные атомные орбиты и остаются на них до пролета первого же светового кванта, который «сбивает» их с метастабильной орбиты на более низкую стабильную, испуская при этом новый квант света, когерентный пролетающему, который, в свою очередь, сбивает с метастабильной орбиты электрон следующего атома и т. д. В результате запускается лавинообразная реакция излучения когерентных фотонов, образующих лазерный луч, которая, собственно, и лежит в основе действия любого лазера.

Безразличное равновесие

Промежуточный случай между устойчивым и неустойчивым равновесием — так называемое безразличное равновесие, при котором любая точка системы является точкой равновесия, и отклонение системы от исходной точки покоя ничего не изменяет в раскладе сил внутри нее. Представьте себе шар на абсолютно гладком горизонтальном столе — куда бы вы его ни сместили, он останется в состоянии равновесия.

Всех сил, приложенных к телу относительно любой произвольно взятой оси вращения, также равна нулю.

В состоянии равновесия тело находится в покое (вектор скорости равен нулю) в выбранной системе отсчета либо движется равномерно прямолинейно или вращается без касательного ускорения.

Энциклопедичный YouTube

1 / 3

✪ Физика. Статика: Условия равновесия тела. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»

✪ УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ 10 класс Романов

✪ Урок 70. Виды равновесия. Условие равновесия тела при отсутствии вращения.

Субтитры

Определение через энергию системы

Так как энергия и силы связаны фундаментальными зависимостями , это определение эквивалентно первому. Однако определение через энергию может быть расширено для того, чтобы получить информацию об устойчивости положения равновесия.

Виды равновесия

Приведём пример для системы с одной степенью свободы . В этом случае достаточным условием положения равновесия будет являться наличие локального экстремума в исследуемой точке. Как известно, условием локального экстремума дифференцируемой функции является равенство нулю её первой производной . Чтобы определить, когда эта точка является минимумом или максимумом, необходимо проанализировать её вторую производную. Устойчивость положения равновесия характеризуется следующими вариантами:

• неустойчивое равновесие;
• устойчивое равновесие;
• безразличное равновесие.

В случае, когда вторая производная отрицательна, потенциальная энергия системы находится в состоянии локального максимума. Это означает, что положение равновесия неустойчиво . Если система будет смещена на небольшое расстояние, то она продолжит своё движение за счёт сил, действующих на систему. Т. е. при выведении тела из равновесия оно не возвращается на исходную позицию.

Устойчивое равновесие

Вторая производная > 0: потенциальная энергия в состоянии локального минимума, положение равновесия устойчиво (см. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия). Если систему сместить на небольшое расстояние, она вернётся назад в состояние равновесия. Равновесие устойчиво, если центр тяжести тела занимает наинизшее положение по сравнению со всеми возможными соседними положениями. При таком равновесии выведенное из равновесия тело возвращается на первоначальное место.

Безразличное равновесие

Вторая производная = 0: в этой области энергия не варьируется, а положение равновесия является безразличным . Если система будет смещена на небольшое расстояние, она останется в новом положении. Если отклонить или сдвинуть тело оно останется в равновесии.

• Виды устойчивости

Класс: 10

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока: Изучить состояние равновесия тел, познакомиться с различными видами равновесия; выяснить условия, при которых тело находится в равновесии.

Задачи урока:

• Учебные: Изучить два условия равновесия, виды равновесия (устойчивое, неустойчивое, безразличное). Выяснить, при каких условиях тела более устойчивы.
• Развивающие: Способствовать развитию познавательного интереса к физике. Развитие навыков сравнивать, обобщать, выделять главное, делать выводы.
• Воспитательные: Воспитывать внимание, умения высказывать свою точку зрения и отстаивать её, развивать коммуникативные способности учащихся.

Тип урока: урок изучения нового материала с компьютерной поддержкой.

Оборудование:

1. Диск «Работа и мощность» из «Электронных уроков и тестов.
2. Таблица «Условия равновесия».
3. Призма наклоняющаяся с отвесом.
4. Геометрические тела: цилиндр, куб, конус и т.д.
5. Компьютер, мултимедиапроектор, интерактивная доска или экран.
6. Презентация.

Ход урока

Сегодня на уроке мы узнаем, почему подъёмный кран не падает, почему игрушка «Ванька-встанька» всегда возвращается в исходное состояние, почему Пизанская башня не падает?

I. Повторение и актуализация знаний.

1. Сформулировать первый закон Ньютона. О каком состоянии говорится в законе?
2. На какой вопрос отвечает второй закон Ньютона? Формула и формулировка.
3. На какой вопрос отвечает третий закон Ньютона? Формула и формулировка.
4. Что называется равнодействующей силой? Как она находится?
5. Из диска «Движение и взаимодействие тел» выполнить задание № 9 «Равнодействующая сил с разными направлениями» (правило сложения векторов (2, 3 упражнения)).

II. Изучение нового материала.

1. Что называется равновесием?

Равновесие – это состояние покоя.

2. Условия равновесия. (слайд 2)

а) Когда тело находится в покое? Из какого закона это следует?

Первое условие равновесия: Тело находится в равновесии, если геометрическая сумма внешних сил, приложенных к телу, равна нулю. ∑F = 0

б) Пусть на доску действуют две равные силы, как показано на рисунке.

Будет ли она находиться в равновесии? (Нет, она будет поворачиваться)

В покое находится только центральная точка, а остальные движутся. Значит, чтобы тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы сумма всех сил, действующих на каждый элемент равнялась 0.

Второе условие равновесия: Сумма моментов сил, действующих по часовой стрелке, должна равняться сумме моментов сил, действующих против часовой стрелки.

∑ M по часовой = ∑ M против часовой

Момент силы: M = F L

L – плечо силы – кратчайшее расстояние от точки опоры до линии действия силы.

3. Центр тяжести тела и его нахождение. (слайд 4)

Центр тяжести тела – это точка, через которую проходит равнодействующая всех параллельных сил тяжести, действующих на отдельные элементы тела (при любом положении тела в пространстве).

Найти центр тяжести следующих фигур:

4. Виды равновесия.

а) (слайды 5–8)

Вывод: Равновесие устойчиво, если при малом отклонении от положения равновесия есть сила, стремящаяся вернуть его в это положение.

Устойчиво то положение, в котором его потенциальная энергия минимальна. (слайд 9)

б) Устойчивость тел, находящихся на точке опоры или на линии опоры. (слайды 10–17)

Вывод: Для устойчивости тела, находящегося на одной точке или линии опоры необходимо, чтобы центр тяжести находился ниже точки (линии) опоры.

в) Устойчивость тел, находящихся на плоской поверхности.

(слайд 18)

1) Поверхность опоры – это не всегда поверхность, которая соприкасается с телом (а та, которая ограниченна линиями, соединяющими ножки стола, треноги)

2) Разбор слайда из «Электронных уроков и тестов», диск «Работа и мощность», урок «Виды равновесия».

Рисунок 1.

1. Чем различаются табуретки? (Площадью опоры)
2. Какая из них более устойчивая? (С большей площадью)
3. Чем различаются табуретки? (Расположением центра тяжести)
4. Какая из них наиболее устойчива? (Укоторой центр тяжести ниже)
5. Почему? (Т.к. её можно отклонить на больший угол без опрокидывания)

3) Опыт с призмой отклоняющейся

1. Поставим на доску призму с отвесом и начнём её постепенно поднимать за один край. Что мы видим?
2. Пока линия отвеса пересекает поверхность, ограниченную опорой, равновесие сохраняется. Но как только вертикаль, проходящая через центр тяжести, начнёт выходить за границы поверхности опоры, этажерка опрокидывается.

Разбор слайдов 19–22 .

Выводы:

1. Устойчиво то тело, у которого площадь опоры больше.
2. Из двух тел одинаковой площади устойчиво то тело, у которого центр тяжести расположен ниже, т.к. его можно отклонить без опрокидывания на большой угол.

Разбор слайдов 23–25.

Какие корабли наиболее устойчивы? Почему? (У которых груз расположен в трюмах, а не на палубе)

Какие автомобили наиболее устойчивы? Почему? (Чтобы увеличить устойчивость машин на поворотах, полотно дороги наклоняют в сторону поворота.)

Выводы: Равновесие может быть устойчивым, неустойчивым, безразличным. Устойчивость тел тем больше, чем больше площадь опоры и ниже центр тяжести.

III. Применение знаний об устойчивости тел.

1. Каким специальностям наиболее необходимы знания о равновесии тел?
2. Проектировщикам и конструкторам различных сооружений (высотных зданий, мостов, телевизионных башен и т.д.)
3. Цирковым артистам.
4. Водителям и другим специалистам.

(слайды 28–30)

1. Почему «Ванька-встанька» возвращается в положение равновесия при любом наклоне игрушки?
2. Почему Пизанская башня стоит под наклоном и не падает?
3. Каким образом сохраняют равновесие велосипедисты и мотоциклисты?

Выводы из урока:

1. Существует три вида равновесия: устойчивое, неустойчивое, безразличное.
2. Устойчиво положение тела, в котором его потенциальная энергия минимальна.
3. Устойчивость тел на плоской поверхности тем больше, чем больше площадь опоры и ниже центр тяжести.

Домашнее задание : § 54– 56 (Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский)

Использованные источники и литература:

1. Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н.Сотский. Физика. 10 класс.
2. Диафильм «Устойчивость» 1976 г. (отсканирован мною на плёночном сканере).
3. Диск «Движение и взаимодействие тел» из «Электронных уроков и тестов».
4. Диск «Работа и мощность» из «Электронных уроков и тестов».

Раздел механики, в котором изучаются условия равновесия тел, называется статикой. Проще всего рассмотреть условия равновесия абсолютно твердого тела, т. е. такого тела, размеры и форму которого можно считать неизменными. Понятие абсолютно твердого тела является абстракцией, поскольку все реальные тела под влиянием приложенных к ним сил в той или иной степени деформируются, т. е. меняют свою форму и размеры. Величина деформаций зависит как от приложенных к телу сил, так и от свойств самого тела - его формы и свойств материала, из которого оно изготовлено. Во многих практически важных случаях деформации бывают малыми и использование представлений об абсолютно твердом теле является оправданным.

Модель абсолютно твердого тела. Однако не всегда малость деформаций является достаточным условием для того, чтобы тело можно было считать абсолютно твердым. Чтобы пояснить это, рассмотрим следующий пример. Доска, лежащая на двух опорах (рис. 140а), может рассматриваться как абсолютно твердое тело, несмотря на то, что она слегка прогибается под действием сил тяжести. Действительно, в этом случае условия механического равновесия позволяют определить силы реакции опор не учитывая деформации доски.

Но если та же доска лежит на тех же опорах (рис. 1406), то представление об абсолютно твердом теле является неприменимым. В самом деле, пусть крайние опоры находятся на одной горизонтали, а средняя - чуть ниже. Если доска абсолютно твердая, т. е. вообще не прогибается, то она совсем не давит на среднюю опору Если же доска прогибается, то она давит на среднюю опору, причем тем сильнее, чем больше деформация. Условия

равновесия абсолютно твердого тела в этом случае не позволяют определить силы реакции опор так как приводят к двум уравнениям для трех неизвестных величин.

Рис. 140. Силы реакции, действующие на доску, лежащую на двух (а) и на трех (б) опорах

Такие системы носят название статически неопределимых. Для их расчета необходимо учитывать упругие свойства тел.

Приведенный пример показывает, что применимость модели абсолютно твердого тела в статике определяется не столько свойствами самого тела, сколько условиями, в которых оно находится. Так, в рассмотренном примере даже тонкую соломинку можно считать абсолютно твердым телом, если она лежит на двух опорах. Но даже очень жесткую балку нельзя считать абсолютно твердым телом, если она лежит на трех опорах.

Условия равновесия. Условия равновесия абсолютно твердого тела представляют собой частный случай динамических уравнений, когда ускорение отсутствует, хотя исторически статика возникла из потребностей строительной техники почти на два тысячелетия раньше динамики. В инерциальной системе отсчета твердое тело находится в равновесии, если векторная сумма всех действующих на тело внешних сил и векторная сумма моментов этих сил равны нулю. При выполнении первого условия равно нулю ускорение центра масс тела. При выполнении второго условия отсутствует угловое ускорение вращения. Поэтому если в начальный момент тело покоилось, то оно будет оставаться в покое и дальше.

В дальнейшем мы ограничимся изучением сравнительно простых систем, в которых все действующие силы лежат в одной плоскости. В этом случае векторное условие

сводится к двум скалярным:

если расположить оси плоскости действия сил. Некоторые из входящих в условия равновесия (1) действующих на тело внешних сил могут быть заданы, т. е. их модули и направления известны. Что же касается сил реакции связей или опор, ограничивающих возможное перемещение тела, то они, как правило, заранее не заданы и сами подлежат определению. В отсутствие трения силы реакции перпендикулярны поверхности соприкосновения тел.

Рис. 141. К определению направления сил реакции

Силы реакции. Иногда возникают сомнения в определении направления силы реакции связи, как, например, на рис. 141, где изображен стержень, опирающийся в точке А о гладкую вогнутую поверхность чашки и в точке В на острый край чашки.

Для определения направления сил реакции в этом случае можно мысленно немного подвинуть стержень, не нарушая его контакта с чашкой. Сила реакции будет направлена перпендикулярно поверхности, по которой скользит точка контакта. Так, в точке А действующая на стержень сила реакции перпендикулярна поверхности чашки, а в точке В - перпендикулярна стержню.

Момент силы. Моментом М силы относительно некоторой точки

О называется векторное произведение радиуса-вектора проведенного из О в точку приложения силы, на вектор силы

Вектор М момента силы перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы

Уравнение моментов. Если на тело действует несколько сил, то второе, связанное с моментами сил условие равновесия записывается в виде

При этом точка О, из которой проводятся радиусы-векторы должна выбираться общей для всех действующих сил.

Для плоской системы сил векторы моментов всех сил направлены перпендикулярно плоскости, в которой лежат силы, если моменты рассматриваются относительно точки, лежащей в этой же плоскости. Поэтому векторное условие (4) для моментов сводится к одному скалярному: в положении равновесия алгебраическая сумма моментов всех внешних действующих сил равна нулю. Модуль момента силы относительно точки О равен произведению модуля

силы на расстояние от точки О до линии, вдоль которой действует сила При этом моменты, стремящиеся повернуть тело по часовой стрелке, берутся с одним знаком, против часовой стрелки - с противоположным. Выбор точки, относительно которой рассматриваются моменты сил, производится исключительно из соображений удобства: уравнение моментов будет тем проще, чем больше сил будут иметь равные нулю моменты.

Пример равновесия. Для иллюстрации применения условий равновесия абсолютно твердого тела рассмотрим следующий пример. Легкая лестница-стремянка состоит из двух одинаковых частей, шарнирно соединенных вверху и связанных веревкой у основания (рис. 142). Определим, какова сила натяжения веревки, с какими силами взаимодействуют половинки лестницы в шарнире и с какими силами они давят на пол, если на середине одной из них стоит человек весом Р.

Рассматриваемая система состоит из двух твердых тел - половинок лестницы, и условия равновесия можно применять как для системы в целом, так и для ее частей. Применяя условия равновесия ко всей системе в целом, можно найти силы реакции пола и (рис. 142). При отсутствии трения эти силы направлены вертикально вверх и условие равенства нулю векторной суммы внешних сил (1) принимает вид

Условие равновесия моментов внешних сил относительно точки А записывается следующим образом:

где - длина лестницы, угол, образованный лестницей с полом. Решая систему уравнений (5) и (6), находим

Рис. 142. Векторная сумма внешних сил и сумма моментов внешних сил в равновесии равна нулю

Разумеется, вместо уравнения моментов (6) относительно точки А можно было бы написать уравнение моментов относительно точки В (или любой другой точки). При этом получилась бы система уравнений, эквивалентная использованной системе (5) и (6).

Сила натяжения веревки и силы взаимодействия в шарнире для рассматриваемой физической системы являются внутренними и поэтому не могут быть определены из условий равновесия всей системы как целого. Для определения этих сил необходимо рассматривать условия равновесия отдельных частей системы. При этом

удачным выбором точки, относительно которой составляется уравнение моментов сил, можно добиться упрощения алгебраической системы уравнений. Так, например, в данной системе можно рассмотреть условие равновесия моментов сил, действующих на левую половинку лестницы, относительно точки С, в которой находится шарнир.

При таком выборе точки С силы, действующие в шарнире, не войдут в это условие, и мы сразу находим силу натяжения веревки Т:

откуда, учитывая, что получаем

Условие (7) означает, что равнодействующая сил Т и проходит через точку С, т. е. направлена вдоль лестницы. Поэтому равновесие этой половинки лестницы возможно, только если сила действующая на нее в шарнире, также направлена вдоль лестницы (рис. 143), а ее модуль равен модулю равнодействующей сил Т и

Рис. 143. Линии действия всех трех сил, действующих на левую половинку лестницы, проходят через одну точку

Абсолютное значение силы действующей в шарнире на другую половинку лестницы, на основании третьего закона Ньютона равно а ее направление противоположно направлению вектора Направление силы можно было бы определить непосредственно из рис. 143, учитывая, что при равновесии тела под действием трех сил линии, по которым действуют эти силы, пересекаются в одной точке. Действительно, рассмотрим точку пересечения линий действия двух из этих трех сил и составим уравнение моментов относительно этой точки. Моменты первых двух сил относительно этой точки равны нулю; значит, должен равняться нулю и момент третьей силы, что в соответствии с (3) возможно, только если линия ее действия также проходит через эту точку.

Золотое правило механики. Иногда задачу статики можно решить, вообще не рассматривая условий равновесия, а используя закон сохранения энергии применительно к механизмам без трения: ни один механизм не дает выигрыша в работе. Этот закон

называют золотым правилом механики. Для иллюстрации такого подхода рассмотрим следующий пример: тяжелый груз весом Р подвешен на невесомом шарнире с тремя звеньями (рис. 144). Какую силу натяжения должна выдержать нить, соединяющая точки А и В?

Рис. 144. К определению силы натяжения нити в трехзвенном шарнире, поддерживающем груз весом Р

Попробуем с помощью этого механизма поднимать груз Р. Отвязав нить в точке А, потянем ее вверх так, чтобы точка В медленно поднялась на расстояние Это расстояние ограничено тем, что сила натяжения нити Т должна оставаться неизменной в процессе перемещения. В данном случае, как будет видно из ответа, сила Т вообще не зависит от того, насколько сжат или растянут шарнир. Совершенная при этом работа . В результате груз Р поднимается на высоту которая, как ясно из геометрических соображений, равна Так как при отсутствии трения никаких потерь энергии не происходит, можно утверждать, что изменение потенциальной энергии груза, равное определяется совершенной при подъеме работой. Поэтому

Очевидно, что для шарнира, содержащего произвольное число одинаковых звеньев,

Нетрудно найти силу натяжения нити и в том случае, когда требуется учитывать вес самого шарнира совершаемую при подъеме работу следует приравнять сумме изменений потенциальных энергий груза и шарнира. Для шарнира из одинаковых звеньев центр масс его поднимается на Поэтому

Сформулированный принцип («золотое правило механики») применим и тогда, когда в процессе перемещений не происходит изменения потенциальной энергии, а механизм используется для преобразования силы. Редукторы, трансмиссии, вороты, системы рычагов и блоков - во всех таких системах преобразованную силу можно определить, приравнивая работы преобразованной и приложенной сил. Другими словами, при отсутствии трения отношение этих сил определяется только геометрией устройства.

Рассмотрим с этой точки зрения разобранный выше пример со стремянкой. Конечно, использовать стремянку в качестве подъемного механизма, т. е. поднимать человека, сближая половинки стремянки, вряд ли целесообразно. Однако это не может помешать нам применить описанный метод для нахождения силы натяжения веревки. Приравнивая работу, совершаемую при сближении частей стремянки, изменению потенциальной энергии человека на стремянке и связывая из геометрических соображений перемещение нижнего конца лестницы с изменением высоты груза (рис. 145), получаем, как и следовало ожидать, приведенный ранее результат:

Как уже отмечалось, перемещение следует выбрать таким, чтобы в процессе его можно было считать действующую силу постоянной. Легко убедиться, что в примере с шарниром это условие не накладывает ограничений на перемещение, так как сила натяжения нити не зависит от угла (рис. 144). Напротив, в задаче о стремянке перемещение следует выбирать малым, ибо сила натяжения веревки зависит от угла а.

Устойчивость равновесия. Равновесие бывает устойчивым, неустойчивым и безразличным. Равновесие устойчиво (рис. 146а), если при малых перемещениях тела из положения равновесия действующие силы стремятся вернуть его обратно, и неустойчиво (рис. 1466), если силы уводят его дальше от положения равновесия.

Рис. 145. Перемещения нижних концов лестницы и перемещение груза при сближении половинок стремянки

Рис. 146. Устойчивое (а), неустойчивое (б) и безразличное (в) равновесия

Если же при малых смещениях действующие на тело силы и их моменты по-прежнему уравновешиваются, то равновесие безразличное (рис. 146в). При безразличном равновесии соседние положения тела также являются равновесными.

Рассмотрим примеры исследования устойчивости равновесия.

1. Устойчивому равновесию соответствует минимум потенциальной энергии тела по отношению к ее значениям в соседних положениях тела. Этим свойством часто удобно пользоваться при отыскании положения равновесия и при исследовании характера равновесия.

Рис. 147. Устойчивость равновесия тела и положение центра масс

Вертикальная свободно стоящая колонна находится в устойчивом равновесии, поскольку при малых наклонах ее центр масс приподнимается. Так происходит до тех пор, пока вертикальная проекция центра масс не выйдет за пределы площади опоры, т. е. угол отклонения от вертикали не превысит некоторого максимального значения. Другими словами, область устойчивости простирается от минимума потенциальной энергии (при вертикальном положении) до ближайшего к нему максимума (рис. 147). Когда центр масс расположен точно над границей площади опоры, колонна также находится в равновесии, но неустойчивом. Горизонтально лежащей колонне соответствует гораздо более широкая область устойчивости.

2. Имеются два круглых карандаша с радиусами и Один из них расположен горизонтально, другой уравновешен на нем в горизонтальном положении так, что оси карандашей взаимно перпендикулярны (рис. 148а). При каком соотношении между радиусами равновесие устойчиво? На какой максимальный угол можно при этом отклонить от горизонтали верхний карандаш? Коэффициент трения карандашей друг о друга равен

На первый взгляд может показаться, что равновесие верхнего карандаша вообще неустойчиво, так как центр масс верхнего карандаша лежит выше оси, вокруг которой он может поворачиваться. Однако здесь положение оси вращения не остается неизменным, поэтому этот случай требует специального исследования. Поскольку верхний карандаш уравновешен в горизонтальном положении, центры масс карандашей лежат на этой вертикали (рис. ).

Отклоним верхний карандаш на некоторый угол от горизонтали. При отсутствии трения покоя он немедленно соскользнул бы вниз. Чтобы не думать пока о возможном соскальзывании, будем считать трение достаточно большим. При этом верхний карандаш «прокатывается» по нижнему без проскальзывания. Точка опоры из положения А перемещается в новое положение С, а та точка, которой верхний карандаш до отклонения опирался о нижний,

переходит в положение В. Поскольку проскальзывание отсутствует, длина дуги равна длине отрезка

Рис. 148. Верхний карандаш уравновешен в горизонтальном положении на нижнем карандаше (а); к исследованию устойчивости равновесия (б)

Центр масс верхнего карандаша переходит в положение . Если вертикаль, проведенная через проходит левее новой точки опоры С, то сила тяжести стремится вернуть верхний карандаш в положение равновесия.

Выразим это условие математически. Проведя вертикаль через точку В, видим, что должно выполняться условие

Так как то из условия (8) получаем

Поскольку сила тяжести будет стремиться возвратить верхний карандаш в положение равновесия только при Следовательно, устойчивое равновесие верхнего карандаша на нижнем возможно только тогда, когда его радиус меньше радиуса нижнего карандаша.

Роль трения. Для ответа на второй вопрос следует выяснить, какие причины ограничивают допустимый угол отклонения. Во-первых, при больших углах отклонения вертикаль, проведенная через центр масс верхнего карандаша, может пройти правее точки опоры С. Из условия (9) видно, что при заданном отношении радиусов карандашей максимальный угол отклонения

Всегда ли условий равновесия твердого тела достаточно для определения сил реакции?

Как практически можно определить направление сил реакции при отсутствии трения?

Как можно использовать золотое правило механики при анализе условий равновесия?

Если в шарнире, показанном на рис. 144, нитью соединить не точки А и В, а точки Л и С, то какой будет ее сила натяжения?

Как связана устойчивость равновесия системы с ее потенциальной энергией?

Какими условиями определяется максимальный угол отклонения тела, опирающегося на плоскость в трех точках, чтобы не была утрачена его устойчивость?

Равновесие механической системы — это состояние, при котором все точки механической системы находятся в покое по отношению к рассматриваемой системе отсчета. Если система отсчета инерциальна, равновесие называется абсолютным , если неинерциальна — относительным .

Для нахождения условий равновесия абсолютно твердого тела необходимо мысленно разбить его на большое число достаточно малых элементов, каждый из которых можно представить материальной точкой. Все эти элементы взаимодействуют между собой — эти силы взаимодействия называются внутренними . Помимо этого на ряд точек тела могут действовать внешние силы.

Согласно второму закону Ньютона , чтобы ускорение точки равнялось нулю (а ускорение покоящейся точки равно нулю), геометрическая сумма сил, действующих на эту точку, должна быть равна нулю. Если тело находится в покое, значит, все его точки (элементы) также находятся в покое. Следовательно, для любой точки тела можно записать:

где — геометрическая сумма всех внешних и внутренних сил, действующих на i -й элемент тела.

Уравнение означает, что для равновесия тела необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма всех сил, действующих на любой элемент этого тела, была равна нулю.

Из легко получить первое условие равновесия тела (системы тел). Для этого достаточно просуммировать уравнение по всем элементам тела:

.

Вторая сумма равна нулю согласно третьему закону Ньютона : векторная сумма всех внутренних сил системы равна нулю, т. к. любой внутренней силе соответствует сила, равная по модулю и противоположная по направлению.

Следовательно,

.

Первым условием равновесия твердого тела (системы тел) является равенство нулю геометрической суммы всех внешних сил, приложенных к телу.

Это условие является необходимым, но не достаточным. В этом легко убедиться, вспомнив о вращающем действии пары сил, геометрическая сумма которых тоже равна нулю.

Вторым условием равновесия твердого тела является равенство нулю суммы моментов всех внешних сил, действующих на тело, относительно любой оси.

Таким образом, условия равновесия твердого тела в случае произвольного числа внешних сил выглядят так:

.