Решение задач алгебраическим способом. Арифметический способ решения текстовых задач по математике

«…пока мы стараемся увязывать обучение математике с жизнью, нам будет трудно обойтись без текстовых задач – традиционного для отечественной методики средства обучения математике».

А.В.Шевкин

Умение решать текстовые задачи – один из основных показателей математического развития учащихся, глубины усвоения ими учебного материала, четкости в рассуждениях, понимания логических аспектов различных вопросов.

Текстовые задачи для большинства школьников – трудный, а поэтому нелюбимый учебный материал. Однако, в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как задачи способствуют развитию прежде всего логического мышления, пространственного воображения, практического применения математических знаний в деятельности человека.

В процессе решения задач учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики в решении реальных жизненных задач. Решение текстовых задач развивает логическую культуру, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.

Традиционная российская школа всегда уделяла особое внимание обучению детей решению текстовых задач. Исторически сложилось так, что достаточно долгое время математические знания из поколения в поколение передавались в виде текстовых задач с решениями. Значимость их заключалась еще в прикладном значении, так как по своему содержанию это были задачи практической направленности (расчеты банковские, торговые, земельные и др.). Образованным в России считался тот, кто умел решать эти типовые задачи, очень важные в повседневной жизни.

Необходимо отметить, что бучение решению практических задач давалось нелегко. Часто наблюдалось заучивание наизусть способа решения без осознанного понимания условия. Главное – определить тип задачи и найти правило для ее решения, понимание было не важно.

К середине XX века была разработана хорошая методика обучению решению задач. Но, к сожалению, часто наблюдалось со стороны преподавателей натаскивание учащихся на решение типовых задач, запоминание стандартных приемов. Но невозможно научиться решать задачи по заученной схеме.

В конце 60-х годов реформа школьного математического образования предполагала раннее введение уравнений с целью по-новому организовать обучение решению задач. Однако, роль алгебраического способа решения текстовых задач в 5-6 классах была преувеличена именно потому, что из школьной программы были удалены арифметические способы. И практика доказала, что без достаточной подготовки мышления учащихся решать задачи с помощью уравнений нецелесообразно. Ученик должен уметь рассуждать, представлять действия, которые происходят с предметами.

В 5-6 классах арифметическому способу решения текстовых задач необходимо уделять достаточно внимания и не торопиться переходить к алгебраическому способу – решению задач с помощью уравнения. Как только ученик научился алгебраическому способу, его практически невозможно вернуть к «решению по действиям». Составив уравнение, главное – правильно его решить, не допустить вычислительной ошибки. И совсем не нужно задумываться над тем, какие производятся арифметические действия по ходу решения, к чему они приводят. А если проследить по шагам решение уравнения, мы увидим те же действия, что в арифметическом способе. Только над этим вряд ли задумывается ученик.

Очень часто мы наблюдаем, что ребенок не готов к решению задачи алгебраическим способом, когда вводим абстрактную переменную и появляется фраза «пусть икс…». Откуда взялся этот «икс», какие слова надо рядом с ним написать – на данном этапе ученику непонятно. И происходит это потому, что необходимо учитывать возрастные особенности детей, у которых на этот момент развито наглядно-образное мышление. Абстрактные модели им пока не под силу

Что же мы понимаем под требованием – решить задачу. Это значит найти такую последовательность действий, которая в результате анализа условия приведет к ответу на поставленный в задаче вопрос. Чтобы прийти к ответу, нужно проделать серьезный путь, начиная с момента понимания текста, уметь выделять главное, «перевести» задачу на язык математики, заменяя слова «скорее», «медленнее» на «меньше» или «больше», составлять графическую модель или таблицу, облегчающие понимание условия задачи, сопоставлять величины, устанавливая логические отношения между данными по условию и искомыми. И дается это детям очень нелегко.

Важно отметить, что текст задач должен составляться таким образом, чтобы ребенок понимал и представлял, о чем идет речь. Зачастую, прежде чем приступить к решению задачи, затрачивается много времени на разбор условия, когда учащимся приходится объяснять, что такое чугунная болванка, чем она отличается от детали, а также железобетонная опора, станок-автомат, жилая площадь и т.д. Текст задачи должен соответствовать уровню его восприятия. Конечно же, текст задачи необходимо приблизить к реальной жизни, чтобы можно было увидеть практическое применение данной модели.

Приступая к решению задачи необходимо не только представить ситуацию, о которой идет речь, но и изобразить ее на рисунке, схеме, в виде таблицы. Невозможно качественно решить задачу без составления краткой записи условия. Именно схематичное составление условия позволяет при обсуждении решения выявить все действия, которые необходимо выполнить, чтобы ответить на вопрос задачи.

Рассмотрим некоторые примеры решения текстовых задач

Задачи на движение

Данный тип задач широко распространен в школьном курсе математики. В них рассматриваются разные виды движения: навстречу, в противоположных направлениях, в одном направлении (один догоняет другого).

Для понимания этих задач удобно изобразить схему. Но, если учащийся составляет таблицу, не нужно переубеждать его в том, что данный способ краткой записи условия не очень хорош. Мы по-разному воспринимаем информацию. Может, ребенок в таком отображении лучше «видит» задачу.

Пример 1. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух посёлков и встретились через 3 часа. Первый велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, а второй – 14 км/ч. На каком расстоянии находятся посёлки?

Составим схему к задаче, которая достаточно полно отражает условие (указаны направления движения, скорости велосипедистов, время в пути до встречи, ясен вопрос):

Рассмотрим два способа решения этой задачи:

1 способ:

Традиционно мы любим решать эти задачи, вводя понятие «скорость сближения», и находим ее как сумму (или разность) скоростей участников движения. При движении навстречу друг другу – скорости складываем:

1)12 + 14 = 26 (км/ч) – скорость сближения

Зная, что время движения одинаково, второе действие позволяет по формуле пути (S = vt ) рассчитать искомое расстояние и ответить на поставленный в задаче вопрос.

2) 26 3 = 78 (км)

Составим выражение:

3(12 + 14) = 78(км)

Ответ : 78 км.

Но не все дети понимают, что это за абстрактная величина – скорость сближения. Почему можно складывать, а в других случаях вычитать скорости двух различных участников движения, объединяя их общим названием. Если ваши ученики решают эту задачу другим способом, не старайтесь их перетянуть на свою сторону. Для кого-то еще не настало время это понять, а кому-то первый способ вообще никогда не будет доступным.

2 способ:

1)12 3 = 36 (км) – путь первого велосипедиста до встречи

2)14 3 = 42 (км) – путь второго велосипедиста до встречи

3)36 + 42 = 78 (км) – расстояние между посёлками

Составим выражение:

12 3 + 14 3 = 78 (км)

Ответ : 78 км.

Постепенно, когда ребенок научится понимать такие задачи, сравнивая числовые выражения, можно показать, что оба способа взаимосвязаны, а заодно вспомнить распределительное свойство умножения:

12 3 + 14 3 = 3(12 + 14) = 78

Пример 2. В двух пачках было 54 тетради. Когда из первой пачки убрали 10 тетрадей, а из второй - 14 тетрадей, то в обеих пачках стало тетрадей поровну. Сколько было тетрадей в каждой пачке первоначально?

Как можно отобразить условие?

1.Составить таблицу:

Убрали

Стало

1 пачка - ? 54 тет.

2 пачка – ?

10 тет.

14 тет.

поровну

2. Сделать рисунок

Забрали 14 шт.

Забрали 10 шт.

Поровну

Всего 54 шт.

Проанализируем решение задачи, обращая внимание на то, на какие вопросы мы даем ответы, выполняя каждое арифметическое действие:

1) Сколько всего тетрадей убрали из обеих пачек?

10 + 14 = 24 (шт.);

2) Сколько стало тетрадей в двух пачках?

– 24 = 30 (шт.);

3) Сколько стало в каждой пачке тетрадей?

30: 2 = 15 (шт.);

4) Сколько было тетрадей в первой пачке первоначально?

10 = 25 (шт.);

5) Сколько было тетрадей во второй пачке первоначально?

54 – 25 = 29 (шт.).

В 5 классе, вероятнее всего, ученик выберет именно такой способ решения задачи. А предложите ему решить эту задачу в 6 ил 7 классе. Возможно, ситуация изменится, и ученик будет решать ее с помощью уравнения. Выполняя те же действия, он не будет задумываться над многочисленными вопросами. Выбирая уравнение как средство решения задачи, очень быстро придет к тому же ответу.

Как же тогда будет выглядеть решение?

Пусть х тетрадей стало в каждой пачке после перекладывания,

тогда (х + 10) тетрадей было первоначально в первой пачке, а

(х + 14) тетрадей было первоначально во второй пачке.

Зная, что в двух пачках было 54 тетради, можно составить уравнение:

х + 10 + х + 14 = 54

В уравнении прослеживаются все те же действия, которые выполняются при арифметическом способе решения задачи.

х + х + (10 + 14) = 54; (1 действие арифметического способа)

2х = 54 – 24; (2 действие)

х = 30:2; (3 действие)

15 + 10 = 25 (шт.) (4 действие)

15 + 14 = 29 (шт.) (5 действие)

Ответ: 25 тетрадей, 29 тетрадей.

Но при этом никто не задает вопросов, что мы находим при выполнении каждого шага.

Своим ученикам я всегда показываю, что текст задач для 5-х или 9-х классов зачастую одинаков по смыслу. И практика показывает, что пятиклассники в состоянии разобраться с условием из задачника для 9 класса и даже составить уравнение. Решить такое уравнение, конечно же, пока не хватает знаний. Но при этом не каждому девятикласснику удается решить арифметическим способом задачу для 5 класса.

Школьники, обычно, выбирают алгебраический способ решения текстовых задач, к арифметическому они практически никогда не возвращаются. Они просто перестают видеть этот способ, увлекаясь введением переменных и составлением уравнений.

За что же мы ценим арифметический способ решения текстовых задач? Первое и главное за то, что при выполнении каждого арифметического действия учащийся задумывается над тем: «А что я нашел в результате?» Он представляет, о чем идет речь в задаче, так как каждое действие имеет наглядное и конкретное истолкование. В результате активно развивается логическое мышление. В процессе вычислений, измерений, поиска решения задач у ученика формируются познавательные универсальные учебные действия, формирование которых является важнейшей задачей современной системы основного общего образования.

Текстовые задачи изучаются в течение всего школьного курса математики. Но научить понимать задачи, анализировать условие, рассуждать и находить рациональные способы решения необходимо именно в 5-6 классах, пока уровень сложности их невелик, а сама задача является одной из самых важных категорий. На легком постигается сложное.

Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть, развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.

Арифметические способы решения текстовых задач позволяют строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть, формировать и развивать важные общеучебные умения и навыки.

Если ученик справляется с текстовыми задачами на уроках математики, то есть может проследить и пояснить логическую цепочку своего решения, дать характеристику всех величин, то он также успешно может решать задачи по физике и химии, он умеет сравнивать и анализировать, преобразовывать информацию на всех учебных предметах школьного курса.

Великий Д.Пойа сказал: “Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а, если хотите научиться решать задачи, то решайте их”. Если мы научим детей решать задачи - мы не только повысим интерес к самому предмету, окажем значительное влияние на формирование их математического мышления, что способствует успешному освоению новых знаний в других областях.

Решить математическую задачу - это значит найти такую последовательность общих положений математики, применяя которые к условиям задачи получаем то, что требуется найти - ответ.

Основными методами решения текстовых задач являются арифметический и алгебраический метод, а так же комбинированный.

Решить задачу арифметическим методом - значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над данными в задаче числами. Одну и туже задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений в процессе решения задачи.

Решить задачу алгебраическим методом - значит найти ответ на требование задачи путем составления и решения уравнения или системы уравнений.

Алгебраическим методом решают по следующей схеме:

1) выделяют величины, о которых идет речь в тексте задачи, и устанавливают зависимость между ними;

2) вводят переменные (обозначают буквами неизвестные величины);

3) с помощью введенных переменных и данных задачи составляют уравнение или систему уравнений;

4) решают полученное уравнение или систему;

5) проверяют найденные значения по условию задачи и записывают ответ.

Комбинированный метод решения включает как арифметический, так и алгебраический способы решения.

В начальной школе задачи делят по количеству действий при решении на простые и составные. Задачи, в которых для ответа на вопрос нужно выполнить только одно действие, называют простыми. Если для ответа на вопрос задачи нужно выполнить два и более действий, то такие задачи называют составными.

Составную задачу, тек же как и простую, можно решить, используя различные способы.

Задача. Рыбак поймал 10 рыб. Из них 3 леща, 4 окуня, остальные - щуки. Сколько щук поймал рыбак?

Практический способ .

Обозначим каждую рыбу кругом. Нарисуем 10 кругов и обозначим пойманных рыб.

Л Л Л О О О О

Для ответа на вопрос задачи можно не выполнять арифметические действия, так как количество пойманных щук соответствует не обозначенным кругам - их три.

Арифметический способ.

1) 3+4=7(р) - пойманные рыбы;

2) 10 - 7 = 3(р) - пойманные щуки.

Алгебраический способ.

Пусть х - пойманные щуки. Тогда количество всех рыб можно записать выражением: 3 + 4 + х. По условию задачи известно, что рыбак поймал всего 10 рыб. Значит: 3 + 4 + х = 10. Решив это уравнение, получим х = 3 и тем самым ответим на вопрос задачи.

Графический способ .

лещи окуни щуки

Этот способ, так же как и практический, позволят ответить на вопрос задачи, не выполняя арифметических действий.

В математике общепринято следующее деление процесса решения задач :

1) анализ текста задачи, схематическая запись задачи, исследование задачи;

2) поиск способа решения задачи и составление плана решения;

3) осуществление найденного плана;

4) анализ найденного решения задачи, проверка.

Методы поиска решения задачи можно назвать следующие:

1) Анализ: а) когда в рассуждениях двигаются от искомых к данным задачи; б) когда целое расчленяют на части;

2) Синтез: а) когда двигаются от данных задачи к искомым;
б) когда элементы объединяют в целое;

3) Переформулировка задачи (четко формулировать промежуточные задания, возникающие по ходу поиска решения);

4) Индуктивный метод решения задачи: на основе точного чертежа усмотреть свойства фигуры, сделать выводы и доказать их;

5) Применение аналогии (вспомнить аналогичную задачу);

6) Прогнозирование - предвидение тех результатов, к которым может привести поиск.

Рассмотрим более подробно процесс решения задачи :

Задача на движение. Лодка прошла по течению реки расстояние между двумя пристанями за 6 ч, а обратно - за 8ч. За сколько времени пройдет расстояние между пристанями плот, пущенный по течению реки?

Анализ задачи. В задаче речь идет о двух объектах: лодка и плот. Лодка имеет собственную скорость, а плот и река, по которой плывут лодка и плот, имеет определенную скорость течения. Именно поэтому лодка совершает путь по течению реки за меньшее время (6ч) , чем против течения (8ч). Но эти скорости в задаче не даны, так же как неизвестно и расстояние между пристанями. Однако требуется найти не эти неизвестные, а время, за которое плот проплывет это расстояние.

Схематическая запись:

Лодка 6 ч

плот лодка

8

Поиск способа решения задачи. Нужно найти время, за которое плот проплывет расстояние между пристанями А и В. Для того, чтобы найти это время, надо знать расстояние АВ и скорость течения реки. Оба они неизвестны, поэтому обозначим расстояние АВ буквой S (км), а скорость течения а км/ч. Чтобы связать эти неизвестные с данными задачи, нужно знать собственную скорость лодки. Она тоже неизвестна, положим, она равна V км/ч. Отсюда возникает план решения, заключающийся в том, чтобы составить систему уравнений относительно введенных неизвестных.

Осуществление решения задачи. Пусть расстояние равно S (км), скорость течения реки а км/ч, собственная скорость лодки V км/ч , а искомое время движения плота равно х ч.

Тогда скорость лодки по течению реки равна (V+а) км/ч. За 6ч лодка, идя с этой скоростью, прошла расстояние в S (км). Следовательно, 6(V + а ) = S (1). Против течения эта лодка идет со скоростью (V - а ) км/ч и данный путь она проходит за 8 ч , поэтому 8(V - а ) = S (2). Плот, плывя со скоростью течения реки а км/ч, проплыл расстояние S (км) за х ч, следовательно, ах = S (3).

Полученные уравнения образуют систему уравнений относительно неизвестных а, х, S, V. Так как требуется найти лишь х , то остальные неизвестные постараемся исключить.

Для этого из уравнений (1) и (2) найдем: V + а = , V - а = . Вычитая из первого уравнения второе, получим: 2а = - . Отсюда а = . Подставим найденное выражение в уравнение (3): х = . Откуда х= 48 .

Проверка решения. Мы нашли, что плот проплывет расстояние между пристанями за 48 ч. Следовательно, его скорость, равная скорости течения реки, равна . Скорость же лодки по течению реки равна км/ч, а против течения км/ч. Для того, чтобы убедиться в правильности решения, достаточно проверить, будут ли равны собственные скорости лодки, найденные двумя способами: + и
- . Произведя вычисления, получим верное равенство: = . Значит, задача решена правильно.

Ответ: плот проплывет расстояние между пристанями за 48 часов.

Анализ решения . Мы свели решение этой задачи к решению системы трех уравнений с четырьмя неизвестными. Однако найти надо было одно неизвестное. Поэтому возникает мысль, что данное решение не самое удачное, хотя и простое. Можно предложить другое решение.

Зная, что лодка проплыла расстояние АВ по течению реки за 6ч, а против - за 8ч, найдем, что в 1ч лодка, идя по течению реки проходит часть этого расстояния, а против течения . Тогда разность между ними - = есть удвоенная часть расстояния АВ, проплываемая плотом за 1ч. Значит. Плот за 1ч проплывет часть расстояния АВ, следовательно, все расстояние АВ он проплывет за 48 ч.

При таком решении нам не понадобилось составлять систему уравнений. Однако это решение сложнее приведенного выше (не всякий догадается найти разность скоростей лодки по течению и против течения реки).

Упражнения для самостоятельной работы

1. Турист, проплыв по течению реки на плоту 12 км, обратно возвратился на лодке, скорость которой в стоячей воде равна 5 км/ч, затратив на все путешествие 10 ч. Найдите скорость течения реки.

2. Одна мастерская должна сшить 810 костюмов, другая за этот же срок - 900 костюмов. Первая закончила выполнение заказов за 3 дня, а вторая за 6 дней до срока. Сколько костюмов в день шила каждая мастерская, если вторая шила в день на 4 костюма больше первой?

3. Два поезда выехали навстречу друг другу с двух станций, расстояние между которыми равно 400 км. Через 4 часа расстояние между ними сократилось до 40 км. Если бы один из поездов вышел на 1 час раньше другого, то их встреча произошла бы на середине пути. Определите скорости поездов.

4. На одном складе 500 т угля, а на другом - 600 т. Первый склад ежедневно отпускает 9 т, а второй - 11 т угля. Через сколько дней угля на складах станет поровну?

5. Вкладчик взял из сбербанка 25 % своих денег, а потом 64 000рублей. После чего осталось на счету 35 % всех денег. Какой был вклад?

6. Произведение двузначного числа и его суммы цифр равно 144. Найдите это число, если в нем вторая цифра больше первой на 2.

7. Решите следующие задачи арифметическим методом:

а) На путь по течению реки моторная лодка затратила 6 ч, а на обратный путь - 10 ч. Скорость лодки в стоячей воде 16 км/ч. Какова скорость течения реки?

в) Длина прямоугольного поля 1536 м, а ширина 625 м. Один тракторист может вспахать это поле за 16 дней, а другой за 12 дней. Какую площадь вспашут оба тракториста, работая в течении 5 дней?

Обучение решению текстовых задач играет важную роль в формировании математических знаний. Текстовые задачи дают большой простор для развития мышления учащихся. Обучение решению задач – это не только обучение технике получения правильных ответов в некоторых типичных ситуациях, сколько обучение творческому подходу к поиску решения, накопление опыта мыслительной деятельности и демонстрация учащимися возможностей математики в решении разнообразных задач. Однако при решении текстовых задач в 5-6 классах чаще всего используется уравнение. Но мышление пятиклассников еще не готово к формальным процедурам, выполняемым при решении уравнений. Арифметический способ решения задач имеют ряд преимуществ по сравнению с алгебраическим потому, что результат каждого шага по действиям нагляднее и конкретнее, не выходит за рамки опыта пятиклассников. Школьники лучше и быстрее решают задачи по действиям, чем с помощью уравнений. Детское мышление конкретно, и развивать его надо на конкретных предметах и величинах, затем постепенно переходить к оперированию абстрактными образами.

Работа над задачей предусматривает внимательное прочтение текста условия, вникания в смысл каждого слова. Приведу примеры задач, которые легко и просто можно решить арифметическим способом.

Задача 1. Для приготовления варенья на две части малины берут три части сахара. Сколько килограммов сахара нужно взять на 2 кг 600 г малины?

При решении задачи на “части” надо приучить наглядно представлять условие задачи, т.е. лучше опираться на рисунок.

1. 2600:2=1300 (г) - приходится на одну часть варенья;
2. 1300*3= 3900 (г) - сахара нужно взять.

Задача 2. На первой полке стояло в 3 раза больше книг, чем на второй. На двух полках вместе стояло 120 книг. Сколько книг стояло на каждой полке?

1) 1+3=4 (части) - приходится на все книги;

2) 120:4=30 (книг) - приходится на одну часть (книги на второй полке);

3) 30*3=90 (книг)- стояло на первой полке.

Задача 3. В клетке сидят фазаны и кролики. Всего в ней 27 голов и 74 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов в клетке.

Представим, что на крышку клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Тогда все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до нее. Тогда:

1. 27*2=54 (ноги) - будут стоять на полу;
2. 74-54=20 (ног) - будут наверху;
3. 20:2=10 (кроликов);
4. 27-10=17 (фазанов).

Задача 4. В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, а в кино – 21, а 5 человек не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько человек ходили и на экскурсию, и в кино?

Для анализа условия и выбора плана решения можно использовать “круги Эйлера”.

1. 30-5=25 (человек) – ходили или в кино, или на экскурсию,
2. 25-23=2 (человек) – ходили только в кино;
3. 21-2=19 (человек) – ходили и в кино, и на экскурсию.

Задача 5. Три утенка и четыре гусенка весят 2 кг 500 г, а четыре утенка и три гусенка весят 2кг 400г. Сколько весит один гусенок?

1. 2500+2400=2900 (г) – весят семь утят и семь гусят;
2. 4900:7=700 (г) – вес одного утенка и одного гусенка;
3. 700*3=2100 (г) – вес 3 утят и 3 гусят;
4. 2500-2100=400 (г) – вес гусенка.

Задача 6. Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких – по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 колец. Сколько было больших пирамид?

Представим, что со всех больших пирамид мы сняли по два кольца. Тогда:

1) 20*5=100 (колец) – осталось;

2) 128-100-28 (колец) – мы сняли;

3) 28:2=14 (больших пирамид).

Задача 7. Арбуз массой 20кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Определите массу арбуза.

Для удобства решение будет сопровождаться иллюстрацией прямоугольников.

При этом желательно рисовать прямоугольники “сухого вещества” равными, потому что масса “сухого вещества” в арбузе остается неизменной.

1) 20:100=0,2 (кг) – масса “сухого вещества”;

2) 0,2:2=0,1 (кг) – приходится на 1% усохшего арбуза;

3) 0,1*100=10 (кг) – масса арбуза.

Задача 8. Гости спросили: сколько лет исполнилось каждой из трех сестер? Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой из сестер?

1. 38-28=10 (лет) – Любе;
2. 23-10=13 (лет) – Наде;
3. 28-13=15 (лет) – Вере.

Арифметический способ решения текстовых задач учит ребенка действовать осознанно, логически правильно, потому что при решении таким способом усиливается внимание к вопросу “почему” и имеется большой развивающий потенциал. Это способствует развитию учащихся, формированию у них интереса к решению задач и к самой науке математике.

Чтобы сделать обучение посильным, увлекательным и поучительным, надо очень внимательно отнестись к выбору текстовых задач, рассматривать различные способы их решения, выбирая оптимальные из них, развивать логическое мышление, что в дальнейшем необходимо при решении геометрических задач.

Научиться решать задачи школьники смогут, лишь решая их. “Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а, если хотите научиться решать задачи, то решайте их”,- пишет Д.Пойа в книге “ Математическое открытие”.

Низкопоклонная Мария, Брянцева Людмила

Работа показывает способы решения текстовых задач.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 64 г. Волгограда

Городской конкурс учебно-исследовательских работ

« Я и Земля» им. В.И. Вернадского

(районный этап)

АРИФМЕТИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

Секция « Математика»

Выполнили: Брянцева Людмила,

Обучающаяся 9 А класса МОУ СОШ № 64,

Низкопоклонная Мария,

Обучающаяся 9 А класса МОУ СОШ № 64.

Руководитель: Носкова Ирина Анатольевна,

Учитель математики МОУ СОШ № 64

Волгоград 2014

Введение …………………………………………………………… 3

Глава 1. Нестандартные способы решения задач

1. Задачи по теме « Натуральные числа» ………………….. 5

1. . Задачи « на части и проценты» …………………………... 8
2. Задачи на движение……………………………………...... 11
3. Задачи на совместную работу…………………………… 14

Заключение ………………………………………………………. 16

Литература ………………………………………………………. 16

Введение.

Известно, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. Первоначально обучение математике велось по образцам. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определённое « правило». Таким образом, в давние времена обученным считался тот, кто умел решать задачи определённых типов, встречавшихся в практике (в торговых расчётах и пр.).

Одна из причин этого заключалась в том, что исторически долгое время целью обучения детей арифметике было освоение ими определённого набора вычислительных умений, связанных с практическими расчётами. При этом линия арифметики – линия числа – ещё не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи. В «Арифметике» Л.Ф. Магницкого, например, дроби рассматривались как именованные числа(не просто , а рубля, пуда и т.п.), а действия с дробями изучались в процессе решения задач. Эта традиция сохранялась довольно долго. Даже много позже встречались задачи с неправдоподобными числовыми данными, например: « Продано кг сахара по рубля за килограмм…», которые были вызваны к жизни не потребностями практики, а потребности обучения вычислениям.

Вторая причина повышенного внимания к использованию текстовых задач в России заключается в том, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приёмов рассуждений. Научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, поиском условий, из которых можно получить ответ на главный вопрос, проверкой полученного результата. Немаловажную роль играло также приучение школьников переводу текста на язык арифметических действий, уравнений, неравенств, графических образов.

Ещё один момент, который невозможно обойти, когда мы говорим о решении задач. Обучение и развитие во многом напоминает развитие человечества, поэтому использование старинных задач, разнообразных арифметических способов их решения позволяет идти в историческом контексте, что развивает творческий потенциал. Кроме того, разнообразные способы решения будят фантазию детей, позволяют организовать поиск решения каждый раз новым способом, что создаёт благоприятный эмоциональный фон для обучения.

Таким образом, актуальность данной работы можно обобщить в нескольких положениях:

Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С помощью их учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач;

Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык;

Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учётом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами, истолковывать результат каждого действия, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи;

Арифметические способы решения текстовых задач приучают к абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию эстетического чувства применительно к решению задачи и изучению математики, вызывая интерес к процессу поиска решения, а затем и к самому предмету;

Использование исторических задач и разнообразных старинных (арифметических) способов их решения не только обогащает опыт мыслительной деятельности, но и позволяет осваивать важный культурно-исторический пласт истории человечества, связанный с поиском решения задач. Это важный внутренний стимул к поиску решений задач и изучению математики.

Из всего вышесказанного, мы делаем следующие выводы:

предметом исследования является блок текстовых задач по математике 5-6 классов;

объектом исследования является арифметический способ решения задач.

целью исследования является рассмотрение достаточного количества текстовых задач школьного курса математики и применение к их решению арифметического способа решения;

задачами для реализации цели исследования являются разбор и решение текстовых задач по основным разделам курса « Натуральные числа», « Рациональные числа», «Пропорции и проценты», « Задачи на движение»;

методом исследования является практико - поисковый.

Глава 1. Нестандартные способы решения задач.

1. Задачи по теме « Натуральные числа ».

На данном этапе работы с числами арифметические способы решения задач имеют преимущество над алгебраическими уже потому, что результат каждого отдельного шага в решении по действиям имеет совершенно наглядное и конкретное истолкование, не выходящее за рамки жизненного опыта. Поэтому быстрее и лучше усваиваются различные приёмы рассуждений, опирающиеся на воображаемые действия с известными величинами, чем единый для задач с различной арифметической ситуацией способ решения, основанный на применении уравнения.

1. Задумали число, увеличили его на 45 и получили 66. Найдите задуманное число.

Для решения можно использовать схематичный рисунок, помогающий наглядно представить взаимосвязь операций сложения и вычитания. Особенно эффективной помощь рисунка окажется при большем числе действий с неизвестной величиной. Задумали число 21.

2. Летом у меня целые сутки было открыто окно. В первый час влетел 1 комар, во второй – 2 комара, в третий – 3 и т.д. Сколько комаров влетело за сутки?

Здесь используется метод разбивания всех слагаемых на пары (первое с последним; второе с предпоследним и т.д.), найти сумму каждой пары слагаемых и умножить на количество пар.

1 + 2 + 3 + … + 23 + 24 = (1 + 24) + (2 + 23) + …. + (12 + 13) = 25 · 12 = 300.

Влетело 300 комаров.

3. Гости спросили: сколько лет исполнилось каждой из сестёр? Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет; Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой сестре?

1. 38 – 28 = 10 (лет) – Любе;

2. 23 – 10 = 13 (лет) – Наде;

3.28 – 13 = 15 (лет) – Вере.

Любе 10 лет, Наде 13 лет, Вере 15 лет.

4. В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, в кино – 21 ,а 5 человек не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько человек ходили и на экскурсию, и в кино?

Рассмотрим решение задачи, на рисунке отражены этапы рассуждения.

1. 30 – 5 = 25(чел.) – ходили в кино, или на

Экскурсию;

1. 25 – 23 = 2 (чел.) – ходили только в кино;
2. 21 – 2 = 19 (чел.) – ходили и в кино, и на

Экскурсию.

19 человек ходили и в кино, и на экскурсию.

5. Некто имеет 24 купюры двух видов – по 100 и 500 рублей на сумму 4000 рублей. Сколько у него купюр по 500 рублей?

Поскольку полученная сумма, число «круглое», то следовательно, количество купюр по 100 рублей кратно 1000. Таким образом, количество купюр по 500 рублей тоже кратно 1000. Отсюда имеем – по 100 рублей 20 купюр; по 500 рублей – 4 купюры.

У некто 4 купюры по 500 рублей.

6. Дачник пришёл от своей дачи на станцию через 12 минут после отхода электрички. Если бы он на каждый километр тратил на 3 минуты меньше, то пришёл бы как раз к отходу электрички. Далеко ли от станции живёт дачник?

Тратя на каждый километр на 3 минуты меньше, дачник мог бы сэкономить 12 минут на расстоянии 12: 3 = 4 км.

Дачник живёт в 4 км от станции.

7. Родник в 24 минут даёт бочку воды. Сколько бочек воды даёт родник в сутки?

Поскольку надо обойти дроби, то не надо находить, какую часть бочки наполняют за 1 минуту. Узнаем, за сколько минут наполнится 5 бочек: за 24 · 5 = 120 минут, или 2 часа. Тогда за сутки наполнится в 24: 2 = 12 раз больше бочек, чем за 2 часа, то есть 5· 12 = 60 бочек.

Родник даёт в сутки 60 бочек.

8. На некотором участке меняют старые рельсы длиной 8м на новые длиной 12 м. Сколько потребуется новых рельсов вместо 240 старых?

На участке длиной 24 м вместо 3 старых рельсов положат 2 новых. Рельсы заменят на 240: 3 =80 таких участках, а положат на них 80 · 2 = 160 новых рельсов.

Потребуется 160 новых рельсов.

9. В булочной было 654 кг чёрного и белого хлеба. После того как продали 215 кг чёрного и 287 кг белого хлеба, того и другого сорта хлеба осталось поровну. Сколько килограммов чёрного и белого хлеба в отдельности было в булочной?

1) 215 + 287 = 502 (кг) – продали хлеба;

2) 654 – 502 = 152 (кг) – хлеба осталось продать;

3) 152: 2 = 76 (кг) белого (и чёрного) хлеба осталось продать;

4) 215 + 76 = 291 (кг) – чёрного хлеба было первоначально;

5) 287 + 76 = 363 (кг) – белого хлеба было первоначально.

291 кг чёрного хлеба было первоначально и 363 кг белого хлеба было первоначально.

1. Задачи « на части и проценты».

В результате работы с задачами данного раздела необходимо принимать подходящую величину за 1 часть, определять сколько таких частей приходится на другую величину, на их сумму (разность), затем получить ответ на вопрос задачи.

10. Первая бригада может выполнить задание за 20ч, а вторая – за 30ч. Сначала бригады выполнили при совместной работе ¾ задания, а остальная часть задания выполнила одна первая бригада. За сколько часов было выполнено задание?

Задачи на производительность труда менее понятны, чем задачи на движение. Поэтому здесь необходим детальный анализ каждого шага.

1)Если первая бригада работает одна, то она выполнит задание за 20ч – это означает, что каждый час она выполняет всего задания.

2)Аналогично рассуждая, получаем производительность труда для второй бригадой - всего задания.

3)Сначала, работая вместе, бригады выполнили всего задания. А сколько же времени они затратили? . То есть, за один час совместной работы обе бригады выполняют двенадцатую часть задания.

4)Тогда задания они выполнят за 9 часов, так как (по основному свойству дроби).

5)Осталось выполнить задания, но уже только первой бригаде, которая за 1 час выполняет всего задания. Стало быть первой бригаде надо работать 5 часов , чтобы довести дело до конца, так как .

6)Окончательно имеем, 5 + 9 = 14 часов.

За 14 часов будет выполнено задание.

11 . Объёмы ежегодной добычи из первой, второй, и третьей скважины относятся как 7: 5: 13. Планируется уменьшить годовую добычу нефти из первой скважины на 5% и из второй – на 6 % . На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объём добываемой за год нефти не изменился ?

Задачи на части и проценты ещё более трудоёмкая и непонятная область задач. Поэтому конкретнее всего нам их было понять на числовых примерах. Пример 1. Пусть годовая добыча нефти составляет 1000 баррелей. Тогда, зная, что эта добыча разбита на 25 частей (7+5+13=25, т.е. одна часть составляет 40 баррелей) имеем: первая вышка качает 280 баррелей, вторая – 200 баррелей, третья – 520 баррелей в год. При снижении добычи на 5% первая вышка теряет 14 баррелей (280·0,05 = 14), то есть её добыча составит 266 баррелей. При снижении добычи на 6% вторая вышка теряет 12 баррелей (200·0,06 = 12), то есть её добыча составит 188 баррелей.

Всего за год они вместе будут качать 454 баррелей нефти, тогда третьей вышке вместо 520 баррелей необходимо будет добывать 546 баррелей.

Пример 2. Пусть годовая добыча нефти составляет 1500 баррелей. Тогда, зная, что эта добыча разбита на 25 частей (7+5+13=25, т.е. одна часть составляет 60 баррелей) имеем: первая вышка качает 420 баррелей, вторая – 300 баррелей, третья – 780 баррелей в год. При снижении добычи на 5% первая вышка теряет 21 баррелей (420·0,05 = 21), то есть её добыча составит 399 баррелей. При снижении добычи на 6% вторая вышка теряет 18 баррелей (300·0,06 = 18), то есть её добыча составит 282 баррелей.

Всего за год они вместе будут качать 681 баррелей нефти, тогда третьей вышке вместо 780 баррелей необходимо будет добывать 819 баррелей.

Это на 5% больше прежней добычи, так как .

На 5% нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объём добываемой за год нефти не изменился.

Можно рассмотреть и другой вариант подобной задачи. Здесь мы вводим некоторую переменную, которая является лишь «символом» единиц объёма.

12. Объём ежегодной добычи нефти из первой, второй и третьей скважин относятся как 6:7:10. Планируется уменьшить годовую добычу нефти из первой скважины на 10% и из второй на 10%. На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объём добываемой нефти не изменился?

Пусть объёмы ежегодной добычи нефти из первой, второй и третьей скважин равны соответственно 6х, 7х, 10х некоторых единиц объёма.

1) 0,1 ·6х = 0,6х (единиц) – снижение добычи на первой скважине;

2)0,1 ·7х = 0,7х (единиц) – снижение добычи на второй скважине;

3)0,6х + 0,7х= 1,3х (единиц) – должно составить повышение объёма добычи нефти на третьей скважине;

На столько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины.

Годовую добычу нефти из третьей скважины нужно увеличить на 13%.

13. Купили 60 тетрадей – в клетку было в 2 раза больше, чем в линейку. Сколько частей приходится на тетради в линейку; на тетради в клетку; на все тетради? Сколько купили тетрадей в линейку? Сколько в клетку?

При решении задачи лучше опираться на схематический рисунок, легко воспроизводимый в тетради и дополняемый по ходу решения нужными записями. Пусть тетради в линейку составляют 1 часть, тогда тетради в клетку составляют 2 части.

1) 1 + 2 = 3(части) – приходится на все тетради;

2) 60: 3 = 20 (тетрадей) – приходится на 1 часть;

3) 20 · 2 = 40 (тетрадей) – тетради в клетку;

4) 60 – 40 = 20 (тетрадей) – в линейку.

Купили 20 тетрадей в линейку и 40 тетрадей в клетку.

14. В 1892 году некто думает провести в Петербурге столько минут, сколько часов проведёт в деревне. Сколько времени некто проведёт в Петербурге?

Так как 1час равен 60 минутам и число минут равно числу часов, то некто в деревне проведёт в 60 раз больше времени, чем в Петербурге (время на переезд здесь не учитывается). Если число дней, проведённых в Петербурге, составляет 1 часть, то число дней, проведённых в деревне, составляет 60 частей. Так как речь идёт о високосном годе, то на 1 часть приходится 366: (60 + 1) = 6 (дней).

Некто проведёт в Петербурге 6 дней.

15. Яблоки содержат 78% воды. Их немного подсушили, и теперь они содержат 45% воды. Сколько процентов своей массы яблоки потеряли при сушке?

Пусть х кг – масса яблок, тогда в ней содержится 0,78х кг воды и х – 0,78х = 0, 22х (кг) сухого вещества. После подсушки сухое вещество составляет 100 – 45 = 55(%) массы сухих яблок, поэтому масса сухих яблок равна 0,22х: 0,55 = 0,46х(кг).

Итак, яблоки при сушке потеряли х – 0,46х = 0,54х, то есть 54%.

При сушке яблоки потеряли 54% своей массы.

16. Трава содержит 82% воды. Её немного подсушили, и теперь она содержит 55% воды. Сколько своей массы трава потеряла при сушке?

При начальных условиях живая масса травы составляла 100% - 82% = 18%.

После сушке эта величина увеличилась до 45%, но при этом общая масса травы уменьшилась на 40 % (45: 18 ·10% = 40%).

40% своей массы трава потеряла при сушке.

1. Задачи на движение.

Эти задачи считаются традиционно трудными. Поэтому есть необходимость более детально разобрать арифметический способ решения такого типа задач.

17. Из пункта А в пункт В одновременно выезжают два велосипедиста. Скорость одного из них на 2 км/ч меньше другого. Велосипедист, который первый прибыл в В, сразу же повернул обратно и встретил другого велосипедиста через 1ч 30 мин. после выезда из А. На каком расстоянии от пункта В произошла встреча?

Эта задача также решается на примере предметных образов и ассоциаций.

После того как рассмотрен ряд примеров, и число - расстояние 1,5 км ни у кого не вызывает сомнений, необходимо обосновать его нахождение из данных представленной задачи. А, именно, 1.5 км – это разность в отставании 2 от 1велосипедиста пополам: за 1,5 ч второй отстанет от первого на 3 км, поскольку 1 возвращается, то оба велосипедиста сближаются друг с другом на половину разницы пройденного пути, то есть на 1,5 км. Отсюда вытекает ответ задачи и метод решения такого рода текстовых задач.

Встреча произошла на расстоянии 1,5 км от пункта В.

18. Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 вёрст. Сколько вёрст от Москвы до Твери?

1) 26 · 2 = 52 (версты) – на сколько второй поезд отстал от первого;

2) 39 – 26 = 13 (вёрст) – столько второй поезд отставал от первого за 1 час;

3) 52: 13 = 4 (ч) – столько времени был в пути первый поезд;

4) 39 · 4 = 156 (вёрст) – расстояние от Москвы до Твери.

От Москвы до Твери 156 вёрст.

1. Задачи на совместную работу.

19. Одна бригада может выполнить задание за 9 дней, а вторая – за 12 дней. Первая бригада работала над выполнением этого задания 3 дня, потом вторая бригада закончила работу. За сколько дней было выполнено задание?

1) 1: 9 = (задания) – выполнит первая бригада за один день;

2 ) · 3 = (задания) - выполнила первая бригада за три дня;

3) 1 - = (задания) – выполнила вторая бригада;

4) 1: 12 = (задания) – выполнит вторая бригада за один день;

5) 8 (дней) – работала вторая бригада;

6) 3 + 8 = 11 (дней) – затрачено на выполнение задания.

Задание было выполнено за 11 дней.

20. Лошадь съедает воз сена за месяц, коза – за два месяца, овца – за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

Пусть лошадь, коза и овца едят сено 6 месяцев. Тогда лошадь съест 6 возов, коза – 3 воза, овца – 2 воза. Всего 11 возов, значит, в месяц они воза, а один воз съедят за 1: = (месяца).

Лошадь, коза, овца съедят воз сена за месяца.

21. Четыре плотника хотят построить дом. Первый плотник может построить дом за 1 год, второй – за 2 года, третий – за 3 года, четвёртый - за 4 года. За сколько времени они построят дом при совместной работе?

За 12 лет каждый в отдельности плотник может построить: первый – 12 домов; второй – 6 домов; третий – 4 дома; четвёртый – 3 дома. Таким образом, за 12 лет они могут построить 25 домов. Следовательно, один двор, работая вместе, они сумеют построить за 175,2 дней.

Плотники смогут построить дом, работая вместе за 175, 2 дня.

Заключение.

В заключении следует сказать, что представленные в исследовании задачи лишь небольшой пример применения арифметических способов при решении текстовых задач. Надо сказать об одном важном моменте – выборе фабулы задач. Дело в том, что невозможно предусмотреть всех трудностей при решении задач. Но тем не менее, в момент первоначального усвоения приёма решения какого-либо типа задач их фабула должна быть как можно проще.

Приведённые образцы представляют особый случай, но они отражают направление – приближение школы к жизни.

Литература

1.Вилейтнер Г. Хрестоматия по истории математики. – Вып.I.Арифметика и алгебра/ перев. с нем. П.С. Юшкевича. – М.-Л.:1932.

2.Тоом А.Л. Текстовые задачи: приложения или умственные манипулятивы //Математика,2004.

3.Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики.М, 2006.