Как формулируются законы кирхгофа. Первое правило кирхгофа

Электрические цепи постоянного тока

Задание 1

Для заданной электрической схемы по заданным сопротивлениям и ЭДС (табл. 1.1) выполнить следующее:

1) составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа;

2) найти токи во всех ветвях цепи, пользуясь методом контурных токов;

3) проверить правильность расчета токов в ветвях электрической цепи с помощью баланса мощностей;

Применение законов Кирхгофа для расчета электрических цепей

Для анализа и расчета электрических цепей пользуются законами Кирхгофа, которые устанавливают соотношения между токами ветвей, сходящихся в узлах, и напряжениями элементов, входящих в контуры. Для определения токов и напряжений необходимо составить уравнения цепи с помощью первого и второго законов Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа, вытекающий из закона сохранения заряда:

алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

ΣI=0. (1.1)

Алгебраическое суммирование осуществляется с учетом направления токов: токи, входящие в узел, считаем положительными, а токи, выходящие из узла - отрицательными.

Второй закон Кирхгофа вытекает из закона сохранения энергии:

алгебраическая сумма падений напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре:

ΣIR=ΣE. (1.2)

Суммирование падений напряжений и ЭДС производится с учетом их направлений и выбранного направления обхода контура. Если направление ЭДС и падение напряжения совпадают с направлением обхода контура, то они входят в уравнение (1.2) со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус.

Метод анализа и расчета электрических цепей на основе первого и второго законов Кирхгофа выполняется в следующем порядке:

устанавливается число ветвей и узлов в расчетной цепи;

выбираются произвольно условно-положительные направления токов в ветвях и обозначаются на схеме;

выбираются произвольно положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа (целесообразно для всех контуров направления обхода выбирать одинаковыми);

составляется система из m уравнений по первому и второму законам Кирхгофа, где m - количество неизвестных токов, равное количеству ветвей.

По первому закону Кирхгофа можно составить (n-1) независимых уравнений, где n - количество узлов цепи. Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, т.е. контуров, отличающихся хотя бы одной новой ветвью, не вошедшей в предыдущие контуры.

Пример 1.1. В качестве примера составим систему уравнений для определения токов в электрической цепи, схема которой изображена на рисунке 1.1,а. Здесь известны сопротивления, величины и направления ЭДС.

Данная цепь имеет шесть ветвей (m=6) с неизвестными токами и четыре узла (n=4). Необходимо составить шесть уравнений. Выбираем произвольно положительные направления токов в ветвях и положительные направления обхода независимых контуров (по часовой стрелке) (рис, 1.1, б). Чтобы получить линейно независимые уравнения по первому закону Кирхгофа составим три уравнения (n-1=3), а остальные уравнения: m-(n-1)=3, по второму закону Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа:

- для узла 1 , (1.3)

Правила Кирхгофа (часто в литературе ошибочно называются Зако́нами Кирхго́фа ) - соотношения, которые выполняются между токами и напряжениями на участках любой электрической цепи . Правила Кирхгофа позволяют рассчитывать любые электрические цепи постоянного, переменного и квазистационарного тока . Имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения многих задач в теории электрических цепей и практических расчётов сложных электрических цепей. Применение правил Кирхгофа к линейной электрической цепи позволяет получить систему линейных уравнений относительно токов или напряжений, и соответственно, найти значения токов на всех ветвях цепи и все межузловые напряжения.

Название «Правила» корректнее потому, что эти правила не являются фундаментальными законами природы, а вытекают из фундаментальных законов сохранения заряда и безвихревости электростатического поля (третье уравнение Максвелла при неизменном магнитном поле). Эти правила не следует путать с ещё двумя законами Кирхгофа в химии и физике .

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Для формулировки правил Кирхгофа вводятся понятия узел , ветвь и контур электрической цепи . Ветвью называют участок электрической цепи с одним и тем же током, например, на рис. отрезок, обозначенный R 1 , I 1 есть ветвь. Узлом называют точку соединения трех и более ветвей (на рис. обозначены жирными точками). Контур - замкнутый путь, проходящий через несколько ветвей и узлов разветвлённой электрической цепи. Термин замкнутый путь означает, что, начав с некоторого узла цепи и однократно пройдя по нескольким ветвям и узлам, можно вернуться в исходный узел . Ветви и узлы, проходимые при таком обходе, принято называть принадлежащими данному контуру. При этом нужно иметь в виду, что ветвь и узел могут принадлежать одновременно нескольким контурам.

  В терминах данных определений правила Кирхгофа формулируются следующим образом.

  Первое правило

  Первое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в каждом узле любой цепи, равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла - отрицательным: Алгебраическая сумма токов, направленных к узлу, равна сумме направленных от узла.

  ∑ j = 1 n I j = 0. {\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{n}I_{j}=0.}

  Иными словами, сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает. Это правило следует из фундаментального закона сохранения заряда .

  Второе правило

  Второе правило Кирхгофа (правило напряжений Кирхгофа) гласит, что алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС , входящих в этот контур. Если в контуре нет источников ЭДС (идеализированных генераторов напряжения), то суммарное падение напряжений равно нулю:

  Для постоянных напряжений ∑ k = 1 n E k = ∑ k = 1 m U k = ∑ k = 1 m R k I k ; {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}E_{k}=\sum _{k=1}^{m}U_{k}=\sum _{k=1}^{m}R_{k}I_{k};} для переменных напряжений ∑ k = 1 n e k = ∑ k = 1 m u k = ∑ k = 1 m R k i k + ∑ k = 1 m u L k + ∑ k = 1 m u C k . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}e_{k}=\sum _{k=1}^{m}u_{k}=\sum _{k=1}^{m}R_{k}i_{k}+\sum _{k=1}^{m}u_{L\,k}+\sum _{k=1}^{m}u_{C\,k}.}

  Это правило вытекает из 3-го уравнения Максвелла, в частном случае стационарного магнитного поля.

  Иными словами, при полном обходе контура потенциал, изменяясь, возвращается к исходному значению. Частным случаем второго правила для цепи, состоящей из одного контура, является закон Ома для этой цепи. При составлении уравнения напряжений для контура нужно выбрать положительное направление обхода контура. При этом падение напряжения на ветви считают положительным, если направление обхода данной ветви совпадает с ранее выбранным направлением тока ветви, и отрицательным - в противном случае (см. далее).

  Правила Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных линеаризованных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.

  Особенности составления уравнений для расчёта токов и напряжений

  Если цепь содержит p {\displaystyle p} узлов, то она описывается p − 1 {\displaystyle p-1} уравнениями токов. Это правило может применяться и для других физических явлений (к примеру, система трубопроводов жидкости или газа с насосами), где выполняется закон сохранения частиц среды и потока этих частиц.

  Если цепь содержит m {\displaystyle m} ветвей, из которых содержат источники тока ветви в количестве m i {\displaystyle m_{i}} , то она описывается m − m i − (p − 1) {\displaystyle m-m_{i}-(p-1)} уравнениями напряжений.

  Пример

  Количество узлов: 3.

  P − 1 = 2 {\displaystyle p-1=2}

  Количество ветвей (в замкнутых контурах): 4. Количество ветвей, содержащих источник тока: 0.

  M − m i − (p − 1) = 2 {\displaystyle m-m_{i}-(p-1)=2}

  Количество контуров: 2.

  Для приведённой на рисунке цепи, в соответствии с первым правилом, выполняются следующие соотношения:

  { I 1 − I 2 − I 6 = 0 I 2 − I 4 − I 3 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}I_{1}-I_{2}-I_{6}=0\\I_{2}-I_{4}-I_{3}=0\end{cases}}}

  Обратите внимание, что для каждого узла должно быть выбрано положительное направление, например, здесь токи, втекающие в узел, считаются положительными, а вытекающие - отрицательными.

  
  

  Для правильно формулировки законов Кирхгофа в электротехнику ввели термины узел, ветвь и контур электрической цепи. Ветвью называют абсолютно любой двухполюсник, имеющейся в цепь, например, на рисунке ниже участок схемы, с сопротивление R1, есть ветвь, также как и R2, но только другая ветвь. Узлом стали называть точку соединения трех и более ветвей. Контур замкнутая электрическая цепь состоящая из ветвей. Термин замкнутая электрическая цепь, говорит о том, что начав с некоторого узла цепи и однократно пройдя по нескольким ветвям и узлам, можно оказаться в исходном узле. Ветви и узлы, попадающие в этот цикл, принято считать принадлежащими данному контуру. При этом требуется четко понимать, что ветвь и узел могут относиться одновременно к нескольким контурам.

  Первый закон Кирхгофа

  В электрических цепях, состоящих из последовательно соединенных источников и приемников энергии, соотношения между током, ЭДС и сопротивлением всей цепи или, между напряжением и сопротивлением на каком-то отдельном участке цепи описываются . Но очень часто в схемах, токи, от какой-либо точки, идут по совершенно разным путям. Точки, где сходятся несколько различных проводников, напомню, называются узлами , а участки цепи, соединяющие два соседних узла, ветвями .

  В замкнутой цепи не могут скапливаться электрические заряды так, как это вызывает изменение потенциалов точек цепи. Поэтому электрические заряды следующие к какому-либо узлу в единицу времени, всегда равны зарядам, уходящим от этого узла за ту же единицу времени

  Разветвлённая цепь . В узле А цепь делиться на четыре ветви, которые соединяются в узле В Обозначим токи в неразветвленной части цепи - I , а в ветвях соответственно I1, I2, I3, I4 .

  У этих токов в соответствии с правилом последовательного соединения резисторов, будет следующее соотношение

  На основании этого сформулируем первый закон Кирхгофа: сумма токов, подходящих к узловой точке электрической цепи, всегда равна сумме токов, уходящих из этого узла .

  

  

  E 1 - Е 2 = U R1 + U R2 или E 1 = Е 2 + U R1 + U R2

  Таким образом, если в электрической цепи имеются два источника энергии, эдс которых совпадают по направлению, то эдс всей цепи равна сумме эдс этих источников

  Если в электрическую цепь включено два источника эдс противоположных направлений, то общая эдс цепи равна разности эдс этих отдельных источников

  При последовательном включении в электрическую цепь нескольких источников энергии с различным направлением, общая эдс равна сумме эдс всех отдельных источников. Складывая эдс одного направления, считают их со знаком плюс, а эдс противоположного направления - со знаком минус.

  Рассмотрим чуть более сложную схему, имеющую несколько контуров

  

  Для контура ABEF можно записать выражение

  E 1 = U R1 + U R2 ,

  для контура ACDF формулу можно записать так

  E 1 -Е 2 = U R1 + U R3

  Обходя контур BCDE, видим, что Е2 имеет направление (против часовой стрелки), что и UR3:

  Е 2 + U R3 = U R2

  Как мы видим в цепи с одним контуром, второй з-н Кирхгофа является частным случаем закона Ома.

  Обучающий видеофильм для закрепления полученных знаний по теме Законы Кирхгофа
  

  Законы Кирхгофа. Расчет цепи

  Метод узловых потенциалов

  За неизвестные в этом способе берутся потенциалы узлов φ k . Если мы определим потенциалы всех узлов цепи, то затем сможем легко вычислить ток в любой ветви между узлами «k» и «n» из обобщенного закона Ома:

  Заземлим, допустим, узел φ 0 , положив φ 0 = 0, и вычислим потенциалы узлов φ 1 , φ 2 и φ 3 . Расставим произвольно стрелки токов i k в ветвях (k= 1, 2, …,6) и запишем получившиеся уравнения Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3:

  (2)

  Теперь выразим эти токи из формулы (1) с учетом правила знаков:

  (3)

  Подставив найденные отсюда токи i 1 , i 2 ,…, i 6 в (2), увидим систему трех уравнений относительно неизвестных потенциалов φ 1 , φ 2 и φ 3 :

  

  Вычислив из этой системы потенциалы узлов φ 1 , φ 2 и φ 3 и подставив их в систему (3), рассчитаем все токи i 1 , i 2 , …, i 6 с их знаками относительно выбранных на схеме выше.

  Ранее были рассмотрены законы Ома для участка цепи и замкнутой цепи с одним источников э.д.с.

  Сложная электрическая цепь, содержащая несколько источников э.д.с. и замкнутых контуров, не может быть рассчитана только с использованием законов Ома. Рассчитать и проанализировать сложную цепь можно с помощью двух законов Кирхгофа (сам Кирхгоф и некоторые современные специалисты называют эти законы «правилами», поскольку они являются следствием закона сохранения энергии применительно к электрическим цепям).

  Для понимания формулировок и использования этих законов необходимо напомнить основные термины, относящиеся к электрическим цепям.

  Электрическая цепь – это совокупность элементов, создающих пути для протекания электрических токов . Основными элементами электрической цепи являютсяисточники электроэнергии , преобразующие механическую, химическую и другие виды энергии в электрическую, иприемники , преобразующие электрическую энергию в другие виды: тепловую (резисторы), механическую (электродвигатели), химическую (зарядка аккумуляторов) и др. Кроме источников и приемников, элементами электрической цепи являются соединительные провода, электроизмерительные приборы, коммутирующие (переключающие) устройства, аппаратура защиты, автоматики и др.

  Электрический узел – это часть электрической цепи, в которой сходится не менее трех ветвей (токов).

  Ветвь –участок цепи между двумя узлами, на всем протяжении которого ток один и тот же.

  Контур –замкнутая часть схемы, которая представляет собой неразветвленную цепь, если отключить все не входящие в нее ветви.

  Первый закон Кирхгофа

  На рисунке 5 показан электрический узел, в котором сходятся n= 5 ветвей с токами, часть из которых направлены к узлу, а часть – от него.

  Первый закон Кирхгофа в первой редакции читается следующим образом:алгебраическая сумма токов в узле равна нулю , то есть

  Вуравнении (8) токи, направленные к узлу, подставляют обычно со знаком «+», а от узла – со знаком «» (можно и наоборот).

  Применительно к узлу, показанному на рисунке 5, равенство (8) записывается в свернутом виде:

  

  или в развернутом:

  Если перенести в последнем равенстве отрицательные токи в правую часть, то получим:

  .

  Из равенства (9) вытекает вторая редакция первого закона Кирхгофа :

  Сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из узла .

  Справедливость первого закона Кирхгофа можно подтвердить рассуждением «от противного». Если предположить, что в узел в каждый момент времени притекает больше зарядов, чем вытекает (или наоборот), то электрические потенциалы узлов все время будут изменяться, а, следовательно, будет изменяться и распределение токов в элементах схемы, что практически не наблюдается и противоречит здравому смыслу.

  Второй закон Кирхгофа

  На рисунке 6 показана часть сложной электрической цепи в виде замкнутого контура, состоящего из m= 5 ветвей и содержащегоn= 3 источников э.д.с.

  Второй закон Кирхгофа читается следующим образом:в замкнутом электрическом контуре алгебраическая сумма напряжений равна нулю (первая редакция) .

  В этой формулировке следует различать напряжение как падение напряжения , создаваемое током I k k-той ветви в сопротивлении R k этой ветви, и напряжение источника ЭДС , которое равно величине этой ЭДС, но направлено (как разность электрических потенциалов внутри источника) от положительного зажима к отрицательному, то есть встречно с направлением ЭДС.

  В показанном на рисунке 6 контуре токи ветвей создают падения напряжения I k R k , которые при заданном направлении обхода берутся со знаком «+», если направление токаI k совпадает с направлением обхода, и со знаком «», если направление тока встречно с направлением обхода. Что касается напряжений (разностей потенциалов) на зажимах источников ЭДС Е k , то необходимо учитывать, что потенциал на положительном зажиме источника выше, чем на входном, а величина этихнапряжений (а непадений напряжений !) равна по абсолютному значению соответствующей э.д.с. Е k . С учетом этогонапряжение источника берется со знаком «», если направление э.д.с. совпадает с направлением обхода, и со знаком «+», если направление обхода направлено встречно с направлением э.д.с.

  

  Применительно к контуру (рис. 6), согласно приведенной выше формулировке второго закона Кирхгофа, можно записать:

  Перенесем напряжения источников э.д.с. в правую часть равенства (10):

  В правой части равенства (10а) оказалась алгебраическая сумма э.д.с., а не напряжений источников . В результате получается вторая редакция второго закона Кирхгофа: в замкнутом контуре алгебраическая сумма э.д.с. равна алгебраической сумме падений напряжения в ветвях, образующих этот замкнутый контур, то есть :

  

  Применительно к контуру (рс. 6) равенство (11) примет вид

  

  В такой формулировке, где напряжения источников заменены на э.д.с. источников, при обходе контура э.д.с. берется со знаком «+», если она совпадает с направлением обхода, и со знаком «-», если она действует встречно (как это следует из равенства (10а)).

  Вторая формулировка закона Кирхгофа (10а) и (11) получила наибольшее применение на практике по сравнению с первой (10).

  При решении задачи нахождения силы токов в участках сложной цепи постоянного тока при известных сопротивлениях участков цепи и заданных электродвижущих силах (ЭДС) часто применяют правила Кирхгофа. Всего их два. Правила Кирхгофа не являются самостоятельными законами. Они всего лишь следствия закона сохранения заряда (первое правило) и закона Ома (второе правило). При любой сложности цепи можно провести все расчеты параметров сети, применяя закон Ома и закон сохранения заряда. Правила Кирхгофа используют для того, чтобы упростить процедуру написания системы линейных уравнений, в которые входят искомые токи.

  Формулировка первого правила Кирхгофа

  Для формулировки первого правила Кирхгофа определим, что считается узлом цепи. Узел разветвленной цепи -это точка цепи, в которой сходятся три или больше проводников с токами.

  Для верной записи формулы первого правила Кирхгофа необходимо принимать во внимание направления течения токов. Следует помнить, что токи, входящие в узел и токи, выходящие из него, записываются в уравнения с разными знаками. Если в задаче направления токов не заданы, то их выбирают произвольно. Если в ходе решения задачи выясняется, что полученный ток имеет знак минус, то это означает, что истинное направление тока является противоположным. При решении задачи, следует решить, какие токи считать положительными, например, выходящие из узла, и тогда все токи в этой задаче записывать в соответствующих уравнениях со знаком плюс.

  Математическая запись первого правила Кирхгофа:

  Формула (1) значит, что сумма токов с учетом знаков в каждом узле цепи постоянного тока равна нулю.

  Обычно для наглядности и простоты при составлении уравнений на схемах указывают направления течения, выбирая их произвольно.

  Первое правило Кирхгофа иначе называют правилом узлов.

  Это правило следствие закона сохранения электрического заряда. Сумма токов (с учетом их знаков), которая сходится в узле — это заряд, проходящий через данный узел в единицу времени. Если токи в узле не зависят от времени, то их сумма должна быть равна нулю, в противном случае, потенциал узла будет изменяться со временем, соответственно токи будут переменными. Если ток в цепи постоянный, то в цепи не может быть точек, которые бы накапливали заряд. Иначе токи будут изменяться во времени.

  Используя только одно первое правило Кирхгофа не получится составить полную систему независимых уравнений, которых было бы достаточно для решения задачи нахождения всех сил токов, которые текут во всех сопротивлениях цепи при известных ЭДС и сопротивлениях. Для написания дополнительных уравнений используют второе правило Кирхгофа.

  Примеры решения задач

  ПРИМЕР 1

  Задание	На основании первого правила Кирхгофа составьте уравнение для сил токов, текущих в узле А (рис.1).
  Решение	Примем за положительные токи, входящие в узел. Такими токами в точке А будут: Из узла А выходят токи: В соответствии с принятым нами правилом токи (1.2) входят в формулу первого правила Кирхгофа со знаками минус. Уравнение для токов в узле А имеет вид:
  Ответ

  ПРИМЕР 2

  Задание	Используя первое правило Кирхгофа составьте уравнение токов для узла О (рис.2).
  Решение	Положительными токами примем токи, которые входят в узел. В узел О входит только ток: