Хаос - это порядок, который нужно расшифровать.

Жозе Сарамаго, «Двойник»

«Грядущим поколениям ХХ век будет памятен лишь благодаря созданию теорий относительности, квантовой механики и хаоса... теория относительности разделалась с иллюзиями Ньютона об абсолютном пространстве-времени, квантовая механика развеяла мечту о детерминизме физических событий, и, наконец, хаос развенчал Лапласову фантазию о полной предопределенности развития систем» . Эти слова известного американского историка и популяризатора науки Джеймса Глейка отражают огромную важность вопроса, который лишь вкратце освещается в статье, предлагаемой вниманию читателя. Наш мир возник из хаоса. Однако если бы хаос не подчинялся своим собственным законам, если бы в нем не было особой логики, он ничего не смог бы породить.

Новое - это хорошо забытое старое

Позволю себе еще одну цитату из Глейка:

Мысль о внутреннем подобии, о том, что великое может быть вложено в малое, издавна ласкает человеческую душу... По представлениям Лейбница, капля воды содержит в себе весь блистающий разноцветьем мир, где искрятся водяные брызги и живут другие неизведанные вселенные. «Увидеть мир в песчинке» - призывал Блейк, и некоторые ученые пытались следовать его завету. Первые исследователи семенной жидкости склонны были видеть в каждом сперматозоиде своего рода гомункулуса, т. е. крошечного, но уже полностью сформировавшегося человечка.

Ретроспективу подобных воззрений можно обратить гораздо дальше в глубь истории. Один из основных принципов магии - неотъемлемой ступени развития любого общества - состоит в постулате: часть подобна целому. Он проявлялся в таких действиях, как захоронение черепа животного вместо всего животного, модели колесницы вместо самой колесницы и т. д. Сохраняя череп предка, родственники считали, что он продолжает жить рядом с ними и принимать участие в их делах.

Еще древнегреческий философ Анаксагор рассматривал первичные элементы мироздания как частицы, подобные другим частицам целого и самому целому, «бесконечные и по множеству, и по малости». Аристотель характеризовал элементы Анаксагора прилагательным «подобочастные» .

А наш современник, американский кибернетик Рон Эглэш, исследуя культуру африканских племен и южноамериканских индейцев, сделал открытие: с древних времен некоторые из них использовали фрактальные принципы построения в орнаментах, узорах, наносимых на одежду и предметы быта, в украшениях, ритуальных обрядах и даже в архитектуре. Так, структура деревень некоторых африканских племен представляет собой круг, в котором находятся маленькие круги - дома, внутри которых еще более мелкие круги - дома духов. У иных племен вместо кругов элементами архитектуры служат другие фигуры, но они также повторяются в разных масштабах, подчиненных единой структуре. Причем эти принципы построения не были простым подражанием природе, но согласовывались с бытующим мировоззрением и социальной организацией .

Наша цивилизация, казалось бы, ушла далеко от первобытного существования. Однако мы продолжаем жить в том же мире, нас по-прежнему окружает природа, живущая по своим законам, несмотря на все попытки человека приспособить ее к своим нуждам. Да и сам человек (не будем забывать об этом) остается частью этой природы.

Герт Эйленбергер, немецкий физик, занявшийся изучением нелинейности, как-то заметил:

Почему силуэт согнувшегося под напором штормового ветра обнаженного дерева на фоне мрачного зимнего неба воспринимается как прекрасный, а очертания современного многофункционального здания, несмотря на все усилия архитектора, вовсе не кажутся такими? Сдается мне, что... наше чувство прекрасного «подпитывается» гармоничным сочетанием упорядоченности и беспорядка, которое можно наблюдать в естественных явлениях: облаках, деревьях, горных цепях или кристаллах снежинок. Все такие контуры суть динамические процессы, застывшие в физических формах, и для них типична комбинация устойчивости и хаотичности.

У истоков теории хаоса

Что мы понимаем под хаосом ? Невозможность предсказать поведение системы, беспорядочные скачки в разных направлениях, которые никогда не превратятся в упорядоченную последовательность.

Первым исследователем хаоса считается французский математик, физик и философ Анри Пуанкаре. Еще в конце XIX в. при изучении поведения системы с тремя телами, взаимодействующими гравитационно, он заметил, что могут быть непериодические орбиты, которые постоянно и не удаляются от конкретной точки, и не приближаются к ней.

Традиционные методы геометрии, широко используемые в естественных науках, основаны на аппроксимации структуры исследуемого объекта геометрическими фигурами, например линиями, плоскостями, сферами, метрическая и топологическая размерности которых равны между собой. В большинстве случаев свойства исследуемого объекта и его взаимодействие с окружающей средой описываются интегральными термодинамическими характеристиками, что приводит к утрате значительной части информации о системе и к замене ее на более или менее адекватную модель. Чаще всего подобное упрощение вполне оправдано, однако известны многочисленные ситуации, когда применение топологически неадекватных моделей недопустимо. Пример такого несоответствия привел в своей кандидатской диссертации (теперь уже доктор химических наук) Владимир Константинович Иванов: оно обнаруживается при измерении площади развитой (например, пористой) поверхности твердых тел с помощью сорбционных методов, регистрирующих изотермы адсорбции. Оказалось, что величина площади зависит от линейного размера молекул-«измерителей» не квадратично, чего следовало бы ожидать из простейших геометрических соображений, а с показателем степени, иногда вплотную приближающемся к трем .

Прогнозирование погоды - одна из проблем, над которой человечество бьется с древних времен. Существует известный анекдот на эту тему, где прогноз погоды передается по цепочке от шамана - оленеводу, затем геологу, потом редактору радиопередачи, и наконец круг замыкается, поскольку выясняется, что шаман узнал прогноз по радио. Описание такой сложной системы, как погода, со множеством переменных, невозможно свести к простым моделям. С данной задачи началось использование компьютеров для моделирования нелинейных динамических систем. Один из основоположников теории хаоса, американский метеоролог и математик Эдвард Нортон Лоренц много лет отдал проблеме прогнозирования погоды. Еще в 60-х годах прошлого века, пытаясь понять причины ненадежности прогнозов погоды, он показал, что состояние сложной динамической системы может сильно зависеть от начальных условий: незначительное изменение одного из многих параметров способно кардинально изменить ожидаемый результат. Лоренц назвал эту зависимость эффектом бабочки: «Сегодняшнее трепетание крыльев мотылька в Пекине через месяц может вызвать ураган в Нью-Йорке» . Ему принесла известность работа, посвященная общему круговороту атмосферы. Исследуя описывающую процесс систему уравнений с тремя переменными, Лоренц графически отобразил результаты своего анализа: линии графика представляют собой координаты точек, определяемых решениями в пространстве этих переменных (рис. 1). Полученная двойная спираль, названная аттрактор Лоренца (или «странный аттрактор»), выглядела как нечто бесконечно запутанное, но всегда расположенное в определенных границах и никогда не повторяющееся. Движение в аттракторе абстрактно (переменными могут быть скорость, плотность, температура и др.), и тем не менее оно передает особенности реальных физических явлений, таких как движение водяного колеса, конвекция в замкнутой петле, излучение одномодового лазера, диссипативные гармонические колебания (параметры которых играют роль соответствующих переменных).

Из тысяч публикаций, составивших специальную литературу по проблеме хаоса, вряд ли какая-либо цитировалась чаще, чем написанная Лоренцем в 1963 г. статья «Детерминистский непериодический поток» . Хотя благодаря компьютерному моделированию уже во времена этой работы предсказание погоды из «искусства превратилось в науку», долгосрочные прогнозы по-прежнему оставались недостоверными и ненадежными. Причина этого заключалась в том самом эффекте бабочки.

В тех же 60-х годах математик Стивен Смэйл из Калифорнийского университета собрал в Беркли исследовательскую группу из молодых единомышленников. Ранее он был удостоен медали Филдса за выдающиеся исследования в области топологии. Смэйл занимался изучением динамических систем, в частности нелинейных хаотических осцилляторов. Для воспроизведения всей неупорядоченности осциллятора ван дер Поля в фазовом пространстве он создал структуру, известную под названием «подкова» - пример динамической системы, имеющей хаотическую динамику.

«Подкова» (рис. 2) - точный и зримый образ сильной зависимости от начальных условий: никогда не угадаешь, где окажется начальная точка после нескольких итераций. Этот пример послужил толчком к изобретению русским математиком, специалистом по теории динамических систем и дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и топологии Дмитрием Викторовичем Аносовым «диффеоморфизмов Аносова» . Позже из этих двух работ выросла теория гиперболических динамических систем. Прошло десятилетие, прежде чем результаты работы Смэйла удостоились внимания представителей других дисциплин. «Когда это все же случилось, физики поняли, что Смэйл повернул целый раздел математики лицом к реальному миру» .

В 1972 г. математик из Мэрилендского университета Джеймс Йорк прочитал вышеупомянутую статью Лоренца, которая поразила его. Йорк увидел в статье живую физическую модель и посчитал своей святой обязанностью донести до физиков то, чего они не разглядели в работах Лоренца и Смэйла. Он направил копию статьи Лоренца Смэйлу. Тот изумился, обнаружив, что безвестный метеоролог (Лоренц) десятью годами раньше обнаружил ту неупорядоченность, которую он сам посчитал однажды математически невероятной, и разослал копии всем своим коллегам.

Биолог Роберт Мэй, друг Йорка, занимался изучением изменений численности популяций животных. Мэй шел по стопам Пьера Ферхлюста, который еще в 1845 г. обратил внимание на непредсказуемость изменения численности животных и пришел к выводу, что коэффициент прироста популяции - величина непостоянная. Иными словами, процесс оказывается нелинейным. Мэй пытался уловить, что случается с популяцией в момент приближения колебаний коэффициента роста к некоторой критической точке (точке бифуркации). Варьируя значения этого нелинейного параметра, он обнаружил, что возможны коренные перемены в самой сущности системы: увеличение параметра означало возрастание степени нелинейности, что, в свою очередь, изменяло не только количественные, но и качественные характеристики результата. Подобная операция влияла как на конечное значение численности популяции, находившейся в равновесии, так и на ее способность вообще достигнуть последнего. При определенных условиях периодичность уступала место хаосу, колебаниям, которые никогда не затухали.

Йорк математически проанализировал описанные явления в своей работе, доказав, что в любой одномерной системе происходит следующее: если появляется регулярный цикл с тремя волнами (плавными подъемами и спадами значений какого-либо параметра), то в дальнейшем система начнет демонстрировать как правильные циклы любой другой продолжительности, так и полностью хаотичные. (Как выяснилось через несколько лет после опубликования статьи на международной конференции в восточном Берлине, советский (украинский) математик Александр Николаевич Шарковский несколько опередил Йорка в своих исследованиях ). Йорк написал статью для известного научного издания «Американский математический ежемесячник» . Однако Йорк достиг большего, чем просто математический результат: он продемонстрировал физикам, что хаос вездесущ, стабилен и структурирован. Он дал повод поверить в то, что сложные системы, традиционно описывающиеся трудными для решения дифференциальными уравнениями, могут быть представлены с помощью наглядных графиков.

Мэй пытался привлечь внимание биологов к тому, что популяции животных переживают не одни лишь упорядоченные циклы. На пути к хаосу возникает целый каскад удвоения периодов. Именно в точках бифуркации некоторое увеличение плодовитости особей могло привести, например, к смене четырехгодичного цикла популяции непарного шелкопряда восьмигодичным. Американец Митчел Фейгенбаум решил начать с подсчета точных значений параметра, порождавших такие изменения. Его расчеты показывали, что не имело значения, какова начальная популяция, - она все равно неуклонно приближалась к аттрактору. Затем, с первым удвоением периодов, аттрактор, подобно делящейся клетке, раздваивался. Потом происходило следующее умножение периодов, и каждая точка аттрактора вновь начинала делиться. Число - инвариант, полученный Фейгенбаумом, - позволило ему предугадывать, когда именно это произойдет. Ученый обнаружил, что может прогнозировать этот эффект для сложнейшего аттрактора - в двух, четырех, восьми точках... Говоря языком экологии, он мог прогнозировать действительную численность, которая достигается в популяциях во время ежегодных колебаний. Так Фейгенбаум открыл в 1976 г. «каскад удвоения периода», опираясь на работу Мэя и свои исследования турбулентности. Его теория отражала естественный закон, который относится ко всем системам, испытывающим переход от упорядоченного состояния к хаосу. Йорк, Мэй и Файгенбаум первыми на Западе в полной мере осознали важность удвоения периодов и сумели передать эту идею всему научному сообществу. Мэй заявлял, что хаос необходимо преподавать.

Советские математики и физики продвигались в своих исследованиях независимо от зарубежных коллег. Начало изучению хаоса положили работы А. Н. Колмогорова 50-х годов. Но и идеи зарубежных коллег не оставались без их внимания. Пионерами теории хаоса считаются советские математики Андрей Николаевич Колмогоров и Владимир Игоревич Арнольд и немецкий математик Юрген Мозер, построившие теорию хаоса, называемую КАМ (теория Колмогорова - Арнольда - Мозера). Другой наш выдающийся соотечественник, блестящий физик и математик Яков Григорьевич Синай, применил в термодинамике соображения, аналогичные «подкове Смейла». Едва в 70-х годах с работой Лоренца познакомились западные физики, как она приобрела известность и в СССР. В 1975 г., когда Йорк и Мэй еще прилагали немалые усилия к тому, чтобы добиться внимания коллег, Синай и его товарищи организовали в Горьком исследовательскую группу для изучения этой проблемы.

В прошлом веке, когда узкая специализация и разобщение между различными дисциплинами стали в науке нормой, математики, физики, биологи, химики, физиологи, экономисты бились над схожими задачами, не слыша друг друга. Идеи, требующие изменения привычного мировоззрения, всегда с трудом пробивают себе путь. Однако постепенно стало ясно, что такие вещи, как изменение популяций животных, колебания цен на рынке, перемена погоды, распределение небесных тел по размерам и многое, многое другое, - подчиняются одним закономерностям. «Осознание этого факта заставило менеджеров пересмотреть отношение к страховке, астрономов - под другим углом зрения взглянуть на Солнечную систему, политиков - изменить мнение о причинах вооруженных конфликтов» .

К середине 80-х годов ситуация сильно изменилась. Идеи фрактальной геометрии объединили ученых, озадаченных собственными наблюдениями и не знавшими, как их интерпретировать. Для исследователей хаоса математика стала экспериментальной наукой, компьютеры заменили собой лаборатории. Графические изображения приобрели первостепенную важность. Новая наука дала миру особый язык, новые понятия: фазовый портрет, аттрактор, бифуркация, сечение фазового пространства, фрактал...

Бенуа Мандельброт, опираясь на идеи и работы предшественников и современников, показал, что такими сложными процессами, как рост дерева, образование облаков, вариации экономических характеристик или численности популяций животных управляют сходные, по сути, законы природы. Это определенные закономерности, по которым живет хаос. С точки зрения природной самоорганизации они намного проще, чем искусственные формы, привычные цивилизованному человеку. Сложными их можно признать лишь в контексте евклидовой геометрии, поскольку фракталы определяются посредством задания алгоритма, и, следовательно, могут быть описаны с помощью небольшого объема информации.

Фрактальная геометрия природы

Давайте попробуем разобраться, что же такое фрактал и «с чем его едят». А съесть некоторые из них действительно можно, как, например, типичного представителя, показанного на фотографии.

Слово фрактал происходит от латинского fractus - дробленый, сломанный, разбитый на куски. Под фракталом подразумевается математическое множество, обладающее свойством самоподобия, т. е. масштабной инвариантности.

Термин «фрактал» был придуман Мандельбротом в 1975 г. и получил широкую популярность с выходом в 1977 г. его книги «Фрактальная геометрия природы» . «Дайте чудовищу какое-нибудь уютное, домашнее имя, и вы удивитесь, насколько легче будет его приручить!» - говорил Мандельброт. Это стремление сделать исследуемые объекты (математические множества) близкими и понятными привело к рождению новых математических терминов, таких как пыль , творог , сыворотка , наглядно демонстрирующих их глубинную связь с природными процессами.

Математическое понятие фрактала выделяет объекты, обладающие структурами различных масштабов, как больших, так и малых, и, таким образом, отражает иерархический принцип организации. Конечно, различные ветви дерева, например, не могут быть точно совмещены друг с другом, но их можно считать подобными в статистическом смысле. Точно так же формы облаков, очертания гор, линия морского берега, рисунок пламени, сосудистая система, овраги, молния, рассматриваемые при различных масштабах, выглядят подобными. Хотя эта идеализация и может оказаться упрощением действительности, она существенно увеличивает глубину математического описания природы.

Понятие «природный фрактал» Мандельброт ввел для обозначения естественных структур, которые могут быть описаны с помощью фрактальных множеств. Эти природные объекты включают в себя элемент случайности. Созданная Мандельбротом теория позволяет количественно и качественно описывать все те формы, которые ранее назывались спутанными, волнистыми, шероховатыми и т. д.

Динамические процессы, о которых шла речь выше, так называемые процессы с обратной связью, возникают в различных физических и математических задачах. Все они имеют одно общее - конкуренцию нескольких центров (получивших имя «аттракторы») за доминирование на плоскости. То состояние, в котором система оказалась после некоторого числа итераций, зависит от ее «места старта». Поэтому каждому аттрактору соответствует некоторая область начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемое конечное состояние. Таким образом, фазовое пространство системы (абстрактное пространство параметров, ассоциированных с конкретной динамической системой, точки в котором однозначно характеризуют все возможные ее состояния) разбивается на области притяжения аттракторов. Налицо своеобразный возврат к динамике Аристотеля, согласно которой каждое тело стремится к предназначенному ему месту . Простые границы между «сопредельными территориями» в результате такого соперничества возникают редко. Именно в этой пограничной области и происходит переход от одной формы существования к другой: от порядка к хаосу. Общий вид выражения для динамического закона очень прост: х n+1 → f х n C . Вся сложность состоит в нелинейной зависимости между начальным значением и результатом. Если начать итерационный процесс указанного вида с некоторого произвольного значения \(x_0 \), то результатом его будет последовательность \(x_1 \), \(x_2 \), ..., которая либо будет сходиться к некоторому предельному значению \(X \), стремясь к состоянию покоя, либо придет к некоторому циклу значений, которые будут повторяться вновь и вновь, либо будет все время вести себя беспорядочно и непредсказуемо . Именно такие процессы исследовали еще во время Первой мировой войны французские математики Гастон Жюлиа и Пьер Фато.

Изучая множества, открытые ими, Мандельброт в 1979 г. пришел к изображению на комплексной плоскости образа, который является, как будет ясно из дальнейшего, своего рода оглавлением целого класса форм, именующегося множествами Жюлиа. Множество Жюлиа - это множество точек, возникающее в результате итерирования квадратичного преобразования: х n → х n−1 2 + C , динамика в окрестности которых неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения. Каждое последовательное значение \(x \) получается из предыдущего; комплексное число \(C \) называется управляющим параметром . Поведение последовательности чисел зависит от параметра \(C \) и начальной точки \(x_0 \). Если зафиксировать \(C \) и изменять \(x_0 \) в поле комплексных чисел, мы получим множество Жюлиа. Если же зафиксировать \(x_0 \) = 0 и изменять \(C \), получим множество Мандельброта (\(M \)). Оно подсказывает нам, какого вида множества Жюлиа следует ожидать при конкретном выборе \(C \). Каждое комплексное число \(C \) либо принадлежит области \(M \) (черной на рис. 3), либо нет. \(C \) принадлежит \(M \) тогда и только тогда, когда «критическая точка» \(x_0 \) = 0 не стремится к бесконечности. Множество \(M \) состоит из всех точек \(C \), которые ассоциируются со связными множествами Жюлиа, если же точка \(C \) лежит вне множества \(M \), ассоциированное с ней множество Жюлиа несвязно. Граница множества \(M \) определяет момент математического фазового перехода для множеств Жюлиа х n → х n−1 2 + C . Когда параметр \(C \) покидает \(M \), множества Жюлиа теряют свою связность, образно говоря, взрываются и превращаются в пыль. Качественный скачок, происходящий на границе \(M \), влияет и на примыкающую к границе область. Сложную динамическую структуру пограничной области можно приближенно показать, окрашивая (условно) в разные цвета зоны с одинаковым временем «убегания в бесконечность начальной точки \(x_0 \) = 0». Те значения \(C \) (один оттенок), при которых критической точке требуется данное число итераций, чтобы оказаться вне круга радиусом \(N \), заполняют промежуток между двумя линиями. По мере приближения к границе \(M \) необходимое число итераций увеличивается. Точка все большее время вынуждена блуждать извилистыми путями вблизи множества Жюлиа. Множество Мандельброта воплощает в себе процесс перехода от порядка к хаосу.

Интересно проследить путь, которым Мандельброт шел к своим открытиям. Бенуа родился в Варшаве в 1924 г., в 1936 семья эмигрировала в Париж. Окончив Политехническую школу, а затем и университет в Париже, Мандельброт переехал в США, где отучился еще и в Калифорнийском технологическом институте. В 1958 г. он устроился в научно-исследовательский центр IBM в Йорктауне. Несмотря на чисто прикладную деятельность компании, занимаемая должность позволяла ему вести исследования в самых разных областях. Работая в области экономики, молодой специалист занялся изучением статистики цен на хлопок за большой период времени (более 100 лет). Анализируя симметрию длительных и кратковременных колебаний цен, он заметил, что эти колебания в течение дня казались случайными и непредсказуемыми, однако последовательность таких изменений не зависела от масштаба. Для решения этой задачи он впервые использовал свои разработки будущей фрактальной теории и графическое отображение исследуемых процессов.

Интересуясь самыми разными областями науки, Мандельброт обратился к математической лингвистике, затем наступил черед теории игр. Он также предложил собственный подход к экономике, указав на упорядоченность масштабов в распространении малых и больших городов. Изучая малоизвестную работу английского ученого Льюиса Ричардсона, вышедшую после смерти автора, Мандельброт столкнулся с феноменом береговой линии. В статье «Какова длина береговой линии Великобритании?» он подробно исследует этот вопрос, над которым мало кто задумывался до него, и приходит к неожиданным выводам: длина береговой линии равна... бесконечности! Чем точнее вы стараетесь ее измерить, тем большим получается ее значение!

Для описания подобных явлений Мандельброту пришло в голову отталкиваться от идеи размерности. Фрактальная размерность объекта служит количественной характеристикой одной из его особенностей, а именно - заполнения им пространства.

Определение понятия фрактальной размерности восходит к работе Феликса Хаусдорфа, опубликованной в 1919 г., и было окончательно сформулировано Абрамом Самойловичем Безиковичем. Фрактальная размерность - мера детализации, изломанности, неровности фрактального объекта. В евклидовом пространстве топологическая размерность всегда определяется целым числом (размерность точки - 0, линии - 1, плоскости - 2, объемного тела - 3). Если проследить, например, проекцию на плоскость движения броуновской частицы, которая вроде бы должна состоять из отрезков прямой, т. е. иметь размерность 1, очень скоро окажется, что след ее заполняет почти всю плоскость. Но размерность плоскости - 2. Расхождение между этими величинами и дает нам право отнести данную «кривую» к фракталам, а ее промежуточную (дробную) размерность называть фрактальной. Если рассмотреть хаотическое движение частицы в объеме, фрактальная размерность траектории окажется больше 2, но меньше 3. Артерии человека, например, имеют фрактальную размерность примерно 2,7. Упомянутые в начале статьи результаты Иванова, относящиеся к измерению площади пор силикагеля, которые не могут быть истолкованы в рамках обычных евклидовых представлений, при использовании теории фракталов находят разумное объяснение .

Итак, с математической точки зрения, фракталом называется множество, для которого размерность Хаусдорфа - Безиковича строго больше его топологической размерности и может быть (а чаще всего и является) дробной.

Необходимо особо подчеркнуть, что фрактальная размерность объекта не описывает его форму, и объекты, имеющие одинаковую размерность, но порожденные различными механизмами образования, зачастую совершенно не похожи друг на друга. Физические фракталы обладают скорее статистическим самоподобием.

Дробное измерение позволяет вычислять характеристики, которые не могут быть четко определены иным путем: степени неровности, прерывистости, шероховатости или неустойчивости какого-либо объекта. Например, извилистая береговая линия, несмотря на неизмеримость ее длины, обладает присущей только ей шероховатостью. Мандельброт указал пути расчета дробных измерений объектов окружающей действительности. Создавая свою геометрию, он выдвинул закон о неупорядоченных формах, которые встречаются в природе. Закон гласил: степень нестабильности постоянна при различных масштабах.

Особую разновидность фракталов составляют временные фракталы . В 1962 г. Мандельброт столкнулся с задачей по устранению шумов в телефонных линиях, которые вызвали проблемы для компьютерных модемов. Качество передачи сигнала зависит от вероятности возникновения ошибок. Инженеры бились над проблемой уменьшения шумов, придумывая головоломные и дорогостоящие приемы, но не получали впечатляющих результатов. Опираясь на работу основателя теории множеств Георга Кантора, Мандельброт показал, что возникновения шумов - порождения хаоса - невозможно избежать в принципе, поэтому предложенные способы борьбы с ними не принесут результата. В поисках закономерности возникновения шумов он получает «канторову пыль» - фрактальную последовательность событий. Интересно, что тем же закономерностям подчиняется распределение звезд в Галактике:

«Вещество», однородно распределенное вдоль инициатора (единичный отрезок временной оси), подвергается воздействию центробежного вихря, который «сметает» его к крайним третям интервала... Створаживанием можно называть любой каскад неустойчивых состояний, приводящий в итоге к сгущению вещества, а термин творог может определять объем, внутри которого некая физическая характеристика становится - в результате створаживания - чрезвычайно концентрированной.

Хаотические явления, такие как турбулентность атмосферы, подвижность земной коры и т. д., демонстрируют сходное поведение в различных временных масштабах подобно тому, как объекты, обладающие инвариантностью к масштабу, обнаруживают сходные структурные закономерности в различных пространственных масштабах.

В качестве примера приведем несколько характерных ситуаций, где полезно использовать представления о фрактальной структуре. Профессор Колумбийского университета Кристофер Шольц специализировался на изучении формы и строения твердого вещества Земли, он изучал землетрясения. В 1978 г. он прочитал книгу Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность» и попытался применить теорию к описанию, классификации и измерению геофизических объектов. Шольц выяснил, что фрактальная геометрия снабдила науку эффективным методом описания специфичного бугристого ландшафта Земли. Фрактальное измерение ландшафтов планеты открывает двери к постижению ее важнейших характеристик. Металлурги обнаружили то же самое на другом масштабном уровне - применительно к поверхностям различных типов стали. В частности, фрактальное измерение поверхности металла зачастую позволяет судить о его прочности. Огромное количество фрактальных объектов продуцирует явление кристаллизации. Самый распространенный тип фракталов, возникающих при росте кристаллов, - дендриты, они чрезвычайно широко распространены в живой природе. Ансамбли наночастиц часто демонстрируют реализацию «пыли Леви». Эти ансамбли в сочетании с абсорбированным растворителем образуют прозрачные компакты - стекла Леви, потенциально важные материалы фотоники .

Поскольку фракталы выражаются не в первичных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур, понятно, что такая область математики стала развиваться семимильными шагами вместе с появлением и развитием мощных компьютеров. Хаос, в свою очередь, вызвал к жизни новые компьютерные технологии, специальную графическую технику, которая способна воспроизводить удивительные структуры невероятной сложности, порождаемые теми или иными видами беспорядка. В век Интернета и персональных компьютеров то, что представляло значительную сложность во времена Мандельброта, стало легко доступным любому желающему. Но самым важным в его теории стало, разумеется, не создание красивых картинок, а вывод, что данный математический аппарат пригоден для описания сложных природных явлений и процессов, которые раньше не рассматривались в науке вообще. Репертуар алгоритмических элементов неисчерпаем.

Овладев языком фракталов, можно описать форму облака так же четко и просто, как архитектор описывает здание с помощью чертежей, в которых применяется язык традиционной геометрии. <...> Прошло всего несколько десятилетий с тех пор, как Бенуа Мандельброт заявил: «Геометрия природы фрактальна!», на сегодняшний день мы уже можем предположить намного больше, а именно что фрактальность - это первоочередной принцип построения всех без исключения природных объектов.

В заключение позвольте представить вашему вниманию набор фотографий, иллюстрирующих этот вывод, и фракталов, построенных с помощью компьютерной программы Fractal Explorer . А проблеме использования фракталов в физике кристаллов будет посвящена наша следующая статья.

Post Scriptum

С 1994 по 2013 г. в пяти томах вышел уникальный труд отечественных ученых «Атлас временных вариаций природных антропогенных и социальных процессов» - не имеющий аналогов источник материалов, который включает в себя данные мониторинга космоса, биосферы, литосферы, атмосферы, гидросферы, социальной и техногенной сфер и сферы, связанной со здоровьем и качеством жизни человека. В тексте подробно приводятся данные и результаты их обработки, сопоставляются особенности динамики временных рядов и их фрагментов. Унифицированное представление результатов дает возможность получить сопоставимые результаты для выявления общих и индивидуальных черт динамики процессов и причинно-следственных связей между ними. На экспериментальном материале показано, что процессы в разных сферах, во-первых, схожи, а во-вторых, в большей или меньшей степени связаны друг с другом.

Итак, атлас обобщил результаты междисциплинарных исследований и представил сравнительный анализ совершенно различных данных в широчайшем диапазоне времени и пространства. Книга показывает, что «протекающие в земных сферах процессы обусловлены большим числом взаимодействующих факторов, которые в разных областях (и в разное время) вызывают разную реакцию», что говорит о «необходимости комплексного подхода к анализу геодинамических, космических, социальных, экономических и медицинских наблюдений». Остается выразить надежду на то, что эти фундаментальные по значимости работы будут продолжены.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Авторы:
Бекбулатова Алина,
Гетьманова Софья

Руководители:
Могутова Татьяна Михайловна,
Дерюшкина Оксана Валерьевна

Введение .

Теоретическая часть проекта:

• История развития фрактальной геометрии.
• Понятие фрактала.
• Виды фракталов:

а) геометрические фракталы, примеры геометрических фракталов;
б) алгебраические фракталы, примеры алгебраических фракталов;
в) стохастические фракталы, примеры.

• Природные фракталы.
• Практическое применение фракталов:
• в литературе;
• в телекоммуникации;
• в медицине;
• в архитектуре;
• в дизайне;
• в экономике;
• в играх, кино, музыке
• в естественных науках
• в физике;
• в биологии
• фракталы для домохозяек
• современные картины – фрактальная графика.
• Фрактальная графика.
• Роль фрактальной геометрии в жизни – гимн фракталам!

Практическая часть работы над проектом

• Создание научной работы «Путешествие в мир фракталов»
• Размещение в сети Интернет.
• Участие в олимпиадах, конкурсах.
• Создание собственных фракталов.
• Создание брошюры «Удивительный мир фракталов»
• Проведение фестиваля «Удивительный мир фракталов.

Введение

Геометрию часто называют холодной и сухой. Одна из причин заключается в ее неспособности описать все то, что окружает нас: форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы - не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. С огромной для нас радостью мы узнали, что в современном мире существует новая геометрия – геометрия фракталов.

Открытие фракталов произвело революцию не только в геометрии, но и в физике, химии, биологии, во всех областях нашей жизни.

Актуальность проекта:

• Роль фракталов в современном мире достаточно велика
• Убедительных аргументов в пользу актуальности изучения фракталов является широта области их применения

Гипотеза исследования:

Фрактальная геометрия – современная, очень интересная область человеческого познания. Появление фрактальной геометрии есть свидетельство продолжающейся эволюции человека и расширения его способов познания мира.

Цель проекта:

Изучить теорию фракталов для создания научной работы «Удивительный мир фракталов» и разработки и реализации на компьютере алгоритмов рисования фракталов на плоскости.

Задачи проекта:

• Познакомиться с историей возникновения и развития фрактальной геометрии;
• Изучить виды фракталов, их применение в современном мире.
• Выполнить программы создания фракталов на языках программирования Pascal и Logo
• Создать научную работу о фракталах, опубликовать ее в сети Интернет.
• Создать брошюру «Удивительный мир фракталов»
• Провести фестиваль «Удивительный мир фракталов» с целью ознакомления с результатами нашей работы учащихся школы.

Над проектом мы работали в течении 4 месяцев.

Основные этапы нашей работы:

• Сбор необходимой информации: использование сети Интернет, книг, публикаций по данной теме. (2 недели)
• Сортировка информации по темам: систематизация и определение порядка написания работы. Работа заняла 2 недели.
• Составление текстовой работы: написание текста, частичное оформление систематизированной информации. Заняло один месяц.
• Создание презентации: сжатие систематизированных сведений, определение структуры презентации, её создание и оформление и проходило в течении месяца.
• Изучение программы создания фракталов и создание собственных фракталов на языках программирования Pascal и Logo (до сегодняшнего дня)

Теоретическая часть проекта

Мы изучили историю создания фрактальной геометрии.

Интерес к фрактальным объектам возродился в середине 70-х годов 20 века.

Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature". В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Так что же такое фрактал?

Фрактал - геометрическая фигура, составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.

Небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале. Сегодня под словом «фрактал» чаще всего принято подразумевать графическое изображение структуры, которое в более крупном масштабе подобно себе.

Фракталы делятся на геометрические, геометрические и стохастические.

Геометрические фракталы по-другому называют классическими. Они являются самыми наглядными, так как обладают так называемой жесткой самоподобностью, не изменяющейся при изменении масштаба. Это значит, что, независимо от того, насколько вы приближаете фрактал, вы видите всё тот же узор.

Приведем самые известные примеры геометрических фракталов.

Снежинка Коха.

Изобретена в 1904 годнемецким математиком Хельге фон Кохом.

Для её построения берется единичный отрезок, делится на три равные части и среднее звено заменяется равносторонним треугольником без этого звена. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся отрезков. В результате бесконечного повторения данной процедуры получается фрактальная кривая.

Пятиугольник Дюрера.

Фрактал выглядит как связка пятиугольников, сжатых вместе. Фактически он образован при использовании пятиугольника в качестве инициатора и равнобедренных треугольников, отношение большей стороны к меньшей в которых в точности равно так называемой золотой пропорции Эти треугольники вырезаются из середины каждого пятиугольника, в результате чего получается фигура, похожая на 5 маленьких пятиугольников, приклеенных к одному большому.

Салфетка Серпинского.

В 1915 году польский математик Вацлав Серпинский придумал занимательный объект.

Для его построения берётся сплошной равносторонний треугольник. На первом шаге из центра удаляется перевернутый равносторонний треугольник. На втором шаге удаляется три перевернутых треугольника из трёх оставшихся треугольников и т.д.

Кривая Дракона.

Изобретена итальянским математиком Джузеппе Пеано.

Ковер Серпинского.

Берется квадрат, разбивается на девять равных квадратов, средний из которых выбрасывается, а с остальными повторяется та же операция до бесконечности.

Второй вид фракталов – алгебраические фракталы.

Свое название они получили за то, что их строят на основе алгебраических формул. В результате математической обработки данной формулы на экран выводится точка определенного цвета. Результатом оказывается странная фигура, в которой прямые линии переходят в кривые, появляются эффекты самоподобия на различных масштабных уровнях. Практически каждая точка на экране компьютера как отдельный фрактал.

Примеры самых известных алгебраических фракталов.

Множество Мандельброта .

Множества Мандельброта наиболее распространенный среди алгебраических фракталов. Его можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями.

Множество Жулиа .

Множество Жулиа было изобретено французским математиком Гастоном Жулиа. Не менее известный алгебраический фрактал.

Бассейны Ньютона.

Стохастические фракталы.

Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастичными. Термин "стохастичность" происходит от греческого слова, обозначающего "предположение".

При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Эти фракталы используются при моделировании рельефов местности и поверхности морей, процесса электролиза. Эта группа фракталов получила широкое распространение благодаря работам Майкла Барнсли из технологического института штата Джорджия.
Типичный представитель данного класса фракталов "Плазма".

Наиболее понятны для нас так называемые природные фракталы.

«Великая книга Природы написана на языке геометрии» (Галилео Галилей).

Природные фракталы .

• В живой природе:
• Морские звезды и ежи
• Цветы и растения (брокколи , капуста)
• Кроны деревьев и листья растений
• Плоды (ананас)
• Кровеносная система и бронхи людей и животных
• В неживой природе:
• Границы географических объектов (стран, областей, городов)
• Морозные узоры на оконных стёклах
• Сталактиты , сталагмиты , геликтиты .

Почти все природные образования: кроны деревьев, облака, горы, береговые линии имеют фрактальную структуру.
Что это значит?

Если посмотреть на фрактальный объект в целом, затем на его часть в увеличенном масштабе, потом на часть этой части, то нетрудно увидеть, что они выглядят одинаково.

Морские фракталы.

Осьминог – морское придонное животное из отряда головоногих.

Фрактальное строение имеют его тела и присоски на всех восьми щупальцах этого животного.

Еще одни типичнейшим представителем фрактального подводного мира является коралл.

В природе известно свыше 3500 разновидностей кораллов.

Зеленый фрактал – листья папоротника.

Листья папоротника имеют форму фрактальной фигуры - они самоподобны.

Лук – фрактал, который заставляет плакать. Конечно, фрактал он незамысловатый: обычные окружности разного диаметра, можно даже сказать примитивный фрактал.

Ярким примером фрактала в природе является «Романеску », она же «романская брокколи» или «цветная коралловая капуста».

Цветная капуста - типичный фрактал.

Рассмотрим строение цветной капусты.

Если разрезать один из цветков, очевидно, что в руках остаётся всё та же цветная капуста, только меньшего размера. Можно продолжать резать снова и снова, даже под микроскопом - однако все, что мы получим - это крошечные копии цветной капусты.

Матрешка - игрушка-сувенир - типичный фрактал. Принцип фрактальности очевиден, когда все фигурки деревянной игрушки выстроены в ряд, а не вложены друг в друга.

Человек – это фрактал.

Рождается ребенок, растет, и этот процесс сопровождается принципом «самоподобия», фрактальностью.

Широка область применения фракталов.

Фракталы в литературе

Среди литературных произведений есть такие, которые обладают текстуальной, структурной или фрактальной природой. В литературных фракталах бесконечно повторяются элементы текста:

У попа была собака,
он ее любил.
Она съела кусок мяса,
он ее убил.
В землю закопал,
Надпись написал:
У попа была собака…

«Вот дом.
Который построил Джек.
А вот пшеница.

В доме,
Который построил Джек
А вот весёлая птица-синица,
Которая ловко ворует пшеницу,
Которая в тёмном чулане хранится
В доме,
Который построил Джек…».

Фракталы в телекоммуникации .

Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.

Фракталы в медицине .

В данное время фракталы находят широкое применение в медицине. Сам по себе человеческий организм состоит из множества фрактальных структур: кровеносная система, мышцы, бронхи, бронхиальные пути в легких, артерии.

Теория фракталов применятся для анализа электрокардиограмм.

Оценка величины и ритмов фрактальной размерности позволяют на более ранней стадии и с большей точностью и информативностью судить о нарушениях гомеостазиса и развитии конкретных заболеваний сердца.

Рентгеновские снимки, обработанные с помощью фрактальных алгоритмов, дают более качественную картинку, а соответственно и более качественную диагностику!!

Еще одна область активного применения фракталов – гастроэнтерология.

Новый метод исследования в медицине, электрогастроэнтерография - метод исследования, позволяющий оценить биоэлектрическую активность желудка, двенадцатиперстной кишки и других отделов ЖКТ.

Фракталы в архитектуре.

Фрактальный принцип развития природных и геометрических объектов проникает вглубь архитектуры и как образ внешнего решения объекта, и как внутренний принцип архитектурного формообразования.

Дизайнеры со всего мира начали использовать в своих работах замечательные фрактальные структуры, только недавно описанные видными математиками.

Использование фракталов поставило практически все направления современного дизайна на новый уровень.

Привнесение фрактальных структур увеличило во многих случаях как визуальную, так и функциональную составляющие дизайна.

Дизайнер Такеси Миякава в детстве мечтал стать математиком.

Иначе как объяснить этот предмет мебели: тумбочка Fractal 23 содержит 23 ящика самых разных размеров и пропорций, которые как-то ухитряются уживаться между собой внутри кубического корпуса, заполняя почти всё доступное им пространства.

Фракталы в экономике.

Последнее время фракталы стали популярны у экономистов для анализа курса фондовых бирж, валютных и торговых рынков.
Фракталы появляются на рынке достаточно часто.

Фракталы в играх.

Сегодня в очень многих играх (пожалуй самый яркий пример Minecraft), где присутствуют разного рода природные ландшафты, так или иначе используются фрактальные алгоритмы. Создано большое количество программ для генерации ландшафтов и пейзажей, основанных на фрактальных алгоритмах.

Фракталы в кино .

В кино для создания различных фантастических пейзажей используется фрактальный алгоритм. Фрактальная геометрия позволяет художникам по спецэфффектам без труда создавать такие объекты как облака, дым, пламя, звёздное небо и т.д. Что уж тогда говорить о фрактальной анимации, это действительное потрясающее зрелище.

Электронная музыка .

Зрелищность фрактальной анимации с успехом используют виджеи. Особенно часто такие видеоинсталляции используются на концертах исполнителей электронной музыки.

Естественные науки .

Очень часто фракталы применяются в геологии и геофизике. Не секрет что побережья островов и континентов имеют некоторую фрактальную размерность, зная которую можно очень точно вычислить длины побережий.

Исследование разломной тектоники и сейсмичности порой тоже исследуется с помощью фрактальных алгоритмов.

Геофизика использует фракталы и фрактальный анализ для исследования аномалий магнитного поля, для изучения распространение волн и колебаний в упругих средах, для исследования климата и многих других вещей.

Фракталы в физике .

В физике фракталы применяются очень широко. В физике твёрдых тел фрактальные алгоритмы позволяют точно описывать и предсказывать свойства твёрдых, пористых, губчатых тел, аэрогелей. Это помогает в создании новых материалов с необычными и полезными свойствами.
Пример твёрдого тела - кристаллы.

Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы.

Переход к фрактальному представлению облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных систем.
При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.

Фракталы в биологии .

В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.

Фракталы для домохозяек.

Легкоперенести теорию фракталов в домашние условия, в том числе и на кухню.

Результатом применения может быть что угодно: фрактальные сережки, фрактальное вкусное печень и многое другое. Нужно подключить только знания и смекалку!

Широко используются в современном мире фрактальная графика. Пользуются популярностью картины - результат фрактальной графики.

И это не случайно. Полюбуйтесь красотой фрактальной графики!

Практическая часть проекта

• Создали научную работу «Путешествие в мир фракталов»
• Изучили программы создания фракталов на языках программирования Pascal и Logo
• Создали собственные фракталы.
• Сделали своими руками «Салфетку Серпинского» и «Ковер Серпинского»
• Сделали «Фрактальные сережки»
• Создали цикл картин «Чудеса фрактальной графики»
• Опубликовали работу «Путешествие в мир фракталов « в сети Интернет.
• Приняли участие с работой « Путешествие в мир фракталов» в VII Всероссийской олимпиаде школьников и студентов «Наука 2.0» по учебному предмету «Математика». Заняли первое место.
• Приняли участие с работой «Путешествие в мир фракталов» во Всероссийском конкурсе «Великие открытия и изобретения». Заняли первое место.
• Приняли участие с работой «Путешествие в мир фракталов» в VIII Всероссийской олимпиаде школьников и студентов «Я – исследователь» по учебному предмету Математика. Заняли первое место.
• Создали презентацию « Удивительный мир фракталов»
• Создали брошюры «Применение фракталов» и «Фракталы вокруг нас»
• Провели фестиваль «Удивительный мир фракталов» для учащихся 8-11 классов»

Итак, можно с полной уверенностью сказать об огромном практическом применении фракталов и фрактальных алгоритмов на сегодняшний день.

Спектр областей, где применяются фракталы, очень обширен и разнообразен.

И наверняка, в ближайшем будущем, фракталы, фрактальная геометрия, станут близки и понятны каждому из нас. Мы не сможем обходиться без них в нашей жизни!

Будем надеяться, что появление фрактальной геометрии есть свидетельство продолжающейся эволюции человека и расширения его способов познания и осознания мира. Возможно, наши дети будут также легко и осмысленно оперировать понятиями фракталов и нелинейной динамики, как мы оперируем понятиями классической физики, эвклидовой геометрии.

Результаты работы над проектом

• Познакомились с историей возникновения и развития фрактальной геометрии;
• Изучили виды фракталов, их применение в современном мире.
• Создали собственные фракталы на языках программирования Pascal и Logo
• Создали научную работу о фракталах.
• Создали брошюры «Фракталы вокруг нас» и «Применение фракталов»
• Провели фестиваль «Удивительный мир фракталов» для учащихся 8-11 классов.

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature". В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.
Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.
Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому".

Существует большое число математических объектов называемых фракталами (треугольник Серпинского, снежинка Коха, кривая Пеано, множество Мандельброта и лоренцевы аттракторы). Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и образования реального мира: горы, облака, турбулентные (вихревые) течения, корни, ветви и листья деревьев, кровеносные сосуды, что далеко не соответствует простым геометрическим фигурам. Впервые о фрактальной природе нашего мира заговорил Бенуа Мандельброт в своей основополагающей работе "Фрактальная геометрия природы" .
Термин фрактал введен Бенуа Мандельбротом в 1977 году в его фундаментальной работе "Фракталы, Форма, Хаос и Размерность" . Согласно Мандельброту, слово фрактал происходит от латинских слов fractus - дробный и frangere - ломать, что отражает суть фрактала, как "изломанного", нерегулярного множества.

Классификация фракталов.

Для того, чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации. Существует три класса фракталов.

1. Геометрические фракталы.

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал.

Рассмотрим на примере один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Коха.

Построение триадной кривой Коха.

Возьмем прямолинейный отрезок длины 1. Назовем его затравкой . Разобьем затравку на три равные части длиной в 1/3, отбросим среднюю часть и заменим ее ломаной из двух звеньев длиной 1/3.

Мы получим ломаную, состоящую из 4 звеньев с общей длиной 4/3 , - так называем первое поколение .

Для того чтобы перейти к следующему поколению кривой Коха, надо у каждого звена отбросить и заменить среднюю часть. Соответственно длина второго поколения будет 16/9, третьего - 64/27. если продолжить этот процесс до бесконечности, то в результате получится триадная кривая Коха.

Рассмотрим теперь св-ва триадной кривой Коха и выясним, почему же фракталы называли «монстрами».

Во-первых, эта кривая не имеет длины - как мы убедились, с числом поколений ее длина стремится к бесконечности.

Во-вторых, к этой кривой невозможно построить касательную - каждая ее точка является точкой перегиба, в которой производная не существует, - эта кривая не гладкая.

Длина и гладкость - фундаментальные св-ва кривых, которые изучаются как евклидовой геометрией, так и геометрией Лобачевского, Римана. К триадной кривой Коха традиционные методы геометрического анализа оказались неприменимы, поэтому кривая Коха оказалась чудовищем - «монстром» среди гладких обитателей традиционных геометрий.

Построение "дракона" Хартера-Хейтуэя.

Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно сказать, что при такой замене происходит смещение середины звена. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться. На рисунке представлены несколько первых поколений и 11-е поколение кривой, построенной по вышеописанному принципу. Кривая, при n стремящемуся к бесконечности, называется драконом Хартера-Хейтуэя.
В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности объекта).

2.Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.
Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Множество Мандельброта.

В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта. Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении: Z = Z[i] * Z[i] + C , где Zi и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки с прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например 200-500) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых Z[i] оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если Z[i] остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет).

3.Стохастические фракталы

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе хаотически менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.
Существуют и другие классификации фракталов, например деление фракталов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).

О применении фракталов

Прежде всего, фракталы - область удивительного математического искусства, когда с помощью простейших формул и алгоритмов получаются картины необычайной красоты и сложности! В контурах построенных изображений нередко угадываются листья, деревья и цветы.

Одни из наиболее мощных приложений фракталов лежат в компьютерной графике. Во-первых, это фрактальное сжатие изображений, и во-вторых построение ландшафтов, деревьев, растений и генерирование фрактальных текстур. Современная физика и механика только-только начинают изучать поведение фрактальных объектов. И, конечно же, фракталы применяются непосредственно в самой математике.
Достоинства алгоритмов фрактального сжатия изображений - очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки. Фрактально упакованные картинки можно масштабировать без появления пикселизации. Но процесс сжатия занимает продолжительное время и иногда длится часами. Алгоритм фрактальной упаковки с потерей качества позволяет задать степень сжатия, аналогично формату jpeg. В основе алгоритма лежит поиск больших кусков изображения подобных некоторым маленьким кусочкам. И в выходной файл записывается только какой кусочек какому подобен. При сжатии обычно используют квадратную сетку (кусочки - квадраты), что приводит к небольшой угловатости при восстановлении картинки, шестиугольная сетка лишена такого недостатка.
Компанией Iterated разработан новый формат изображений "Sting", сочетающий в себе фрактальное и «волновое» (такое как в формате jpeg) сжатие без потерь. Новый формат позволяет создавать изображения с возможностью последующего высококачественного масштабирования, причем объем графических файлов составляет 15-20% от объема несжатых изображений.
Склонность фракталов походить на горы, цветы и деревья эксплуатируется некоторыми графическими редакторами, например фрактальные облака из 3D studio MAX, фрактальные горы в World Builder. Фрактальные деревья, горы и целые пейзажи задаются простыми формулами, легко программируются и не распадаются на отдельные треугольники и кубики при приближении.
Нельзя обойти стороной и применения фракталов в самой математике. В теории множеств множество Кантора доказывает существование совершенных нигде не плотных множеств, в теории меры самоаффинная функция "Канторова лестница" является хорошим примером функции распределения сингулярной меры.
В механике и физике фракталы используются благодаря уникальному свойству повторять очертания многих объектов природы. Фракталы позволяют приближать деревья, горные поверхности и трещины с более высокой точностью, чем приближения наборами отрезков или многоугольников (при том же объеме хранимых данных). Фрактальные модели, как и природные объекты, обладают "шероховатостью", и свойство это сохраняется при сколь угодно большом увеличении модели. Наличие на фракталах равномерной меры, позволяет применять интегрирование, теорию потенциала, использовать их вместо стандартных объектов в уже исследованных уравнениях.
При фрактальном подходе хаос перестает быть синимом беспорядка и обретает тонкую структуру. Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров - тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму.

О построении фракталов

Метод последовательных приближений

Глядя на эту картинку, нетрудно понять, как можно построить самоподобный фрактал (в данном случае пирамиду Серпинского). Нужно взять обычную пирамиду (тетраэдр), затем вырезать ее середину (октаэдр), в результате чего у нас получается четыре маленьких пирамидки. С каждой из них мы проделываем ту же самую операцию и т.д. Это несколько наивное, но наглядное объяснение.

Рассмотрим суть метода более строго. Пусть имеется некоторая IFS-система, т.е. система сжимающих отображений S ={S 1 ,...,S m } S i:R n ->R n (например, для нашей пирамидки отображения имеют вид S i (x)=1/2*x+o i , где o i - вершины тетраэдра, i=1,..,4). Затем выбираем некоторое компактное множество A 1 в R n (в нашем случае выбираем тетраэдр). И определяем по индукции последовательность множеств A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Известно, что множества A k с ростом k, всё лучше приближают искомый аттрактор системы S .

Заметим, что каждая из этих итераций является аттрактором рекуррентной системы итерированных функций (английский термин Digraph IFS , RIFS и также Graph-directed IFS ) и поэтому их легко построить с помощью нашей программы.

Построение по точкам или вероятностный метод

Это наиболее лёгкий для реализации на компьютере метод. Для простоты рассмотрим случай плоского самоаффинного множества. Итак, пусть {S

} - некоторая система аффинных сжатий. Отображения S

представимые в виде: S

Фиксированная матрица размера 2x2 и o

Двумерный вектор столбец.

• Возьмем неподвижную точку первого отображения S 1 в качестве начальной точки:
  x:= o1;
  Здесь мы пользуемся тем, что все неподвижные точки сжатий S 1 ,..,S m принадлежат фракталу. В качестве начальной точки можно выбрать произвольную точку и порожденная ею последовательность точек стянется к фракталу, но тогда на экране появятся несколько лишних точек.
• Отметим текущую точку x=(x 1 ,x 2) на экране:
  putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
• Выберем случайным образом число j от 1 до m и пересчитаем координаты точки x:
  j:=Random(m)+1;
  x:=S j (x);
• Переходим на шаг 2, либо, если сделали достаточно большое число итераций, то останавливаемся.

Примечание. Если коэффициенты сжатия отображений S i разные, то фрактал будет заполняться точками неравномерно. В случае, если отображения S i являются подобиями, этого можно избежать небольшим усложнением алгоритма. Для этого на 3-ем шаге алгоритма число j от 1 до m надо выбирать с вероятностями p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , где r i обозначают коэффициенты сжатия отображений S i , а число s (называемое размерностью подобия) находится из уравнения r 1 s +...+r m s =1. Решение этого уравнения можно найти, например, методом Ньютона.

О фракталах и их алгоритмах

Фрактал происходит от латинского прилагательного "fractus", и в переводе означает состоящий из фрагментов, а соответствующий латинский глагол "frangere" означает разбивать, то есть создавать неправильные фрагменты. Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Термин был предложен Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature» - «Фрактальная геометрия природы». В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф).

Коррективы

Позволю себе внести некоторые коррективы в алгоритмы предложенные в книге Х.-О. Пайтгена и П.Х.Рихтера "Красота фракталов" М. 1993 сугубо для искоренения опечаток иоблегчения понимания процессов поскольку после их изучения многое осталось для меня загадкой. К сожалению эти "понятные" и "простые" алгоритмы ведут качующий образ жизни.

В основе построения фракталов лежит некая нелинейная функция комплексного процесса с обратной связью z=> z 2 +c поскольку z и с -комплексные числа, то z=x+iy, c=p+iq необходимо разложить его на х и у чтобы перейти в более реальную для простого человека плоскость:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Плоскость, состоящая из всех пар (x,y), может рассматриваться, как при фиксированных значениях р и q , так и при динамических. В первом случае перебирая по закону все точки (х,у) плоскости и окрашивая их в зависимости от количества повторений функции необходимых для выхода из итерационного процесса или не окрашивая (черный цвет) при привышении допустимого максимума повторений мы получим отображение множества Жюлиа. Если, напротив, определить начальнуюя пару значений (x,y) и проследить ее колористическую судьбу при динамически изменяющихся значениях параметров p и q, то получаим изображения, называемые множествами Мандельброта.

К вопросу об алгоритмах раскраски фракталов.

Обычно тело множества представляют в виде черного поля, хотя очевидно, что черный цвет может быть заменен на любой другой, но это тоже мало интересный результат. Получить изображение множества раскрашенного во все цвета - задача которая не может решаться при помощи циклических операций т.к. количество итерации формирующих тело множества равно максимально возможному и всегда одно и тоже. Раскрасить множество в разные цвета возможно применив в качестве номера цвета результат проверки условия выхода из цикла (z_magnitude) или подобный ему, но с другими математическими действиями.

Применение "фрактального микроскопа"

для демонстрации пограничных явлений.

Аттракторы - центры ведущие борьбу за доминирование на плоскости. Между аттракторами возникает граница представляющая витееватый узор. Увеличивая масштаб рассмотрения в пределах границ множества можно получать нетривиальные узоры отражаюшие состояние детерминированного хаоса - обычного явления в мире природы.

Исследуемые географами объекты образуют систему с весьма сложно организованными границами, в связи с чем их проведение становится не простой практической задачей. Природные комплексы имеют ядра типичности выступающие в качестве аттракторов теряющих силу влияния на территорию по мере ее удаления.

Используя фрактальный микроскоп для множеств Мандельброта и Жюлиа можно сформировать представление о пограничных процессах и явлениях, одинаково сложных не зависимо от масштаба рассмотрения и таким образом подготовить восприятие специалиста к встрече с динамичным и на первый взгляд хаотичным в пространстве и времени природным объектом, к пониманию фрактальной геометрии природы. Многоцветие красок и фрактальная музыка определенно оставят глубокий след в сознании учащихся.

Фракталам посвящены тысячи публикаций и огромные ресурсы интернет, однако для многих специалистов далеких от информатики данный термин представляется абсолютно новым. Фракталы, как объекты представляющие интерес для специалистов различных отраслей знания, должны получить надлежащее место в курсе информатики.

Примеры

РЕШЕТКА СЕРПИНСКОГО

Это один из фракталов, с которыми экспериментировал Мандельброт, когда разрабатывал концепции фрактальных размерностей и итераций. Треугольники, сформированные соединением средних точек большего треугольника вырезаны из главного треугольника, образовывая треугольник, с большим количеством дырочек. В этом случае инициатор - большой треугольник а шаблон - операция вырезания треугольников, подобных большему. Так же можно получить и трехмерную версию треугольника, используя обыкновенный тетраэдр и вырезая маленькие тетраэдры. Размерность такого фрактала ln3/ln2 = 1.584962501. Чтобы получить ковер Серпинского , возьмем квадрат, разделим его на девять квадратов, а средний вырежем. То же сделаем и с остальными, меньшими квадратами. В конце концов образуется плоская фрактальная сетка, не имеющая площади, но с бесконечными связями. В своей пространственной форме, губка Серпинского преобразуется в систему сквозных форм, в которой каждый сквозной элемент постоянно заменяется себе подобным. Эта структура очень похожа на разрез костной ткани. Когда-нибудь такие повторяющиеся структуры станут элементом строительных конструкций. Их статика и динамика, считает Мандельброт, заслуживает пристального изучения.

КРИВАЯ КОХА

Кривая Коха один из самых типичных детерминированных фракталов. Она была изобретена в девятнадцатом веке немецким математиком по имени Хельге фон Кох, который, изучая работы Георга Контора и Карла Вейерштрассе, натолкнулся на описания некоторых странных кривых с необычным поведением. Инициатор - прямая линия. Генератор - равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова. В своем исследовании, Мандельброт много экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры такие как Острова Коха, Кресты Коха, Снежинки Коха и даже трехмерные представления кривой Коха, используя тетраэдр и прибавляя меньшие по размерам тетраэдры к каждой его грани. Кривая Коха имеет размерность ln4/ln3 = 1.261859507.

ФРАКТАЛ МАНДЕЛЬБРОТА

Это НЕ множество Мандельброта, которое можно достаточно часто видеть. Множество Мандельброта основано на нелинейных уравнениях и является комплексным фракталом. Это тоже вариант кривой Коха несмотря на то, что этот объект не похож на нее. Инициатор и генератор так же отличны от использованных для создания фракталов, основанных на принципе кривой Коха, но идея остается той же. Вместо того, чтобы присоединять равносторонние треугольники к отрезку кривой, квадраты присоединяются к квадрату. Благодаря тому, что этот фрактал занимает точно половину отведенного пространства при каждой итерации, он имеет простую фрактальную размерность 3/2 = 1.5.

Сложные фракталы

Фактически, если вы увеличите маленькую область любого сложного фрактала а затем проделаете то же самое с маленькой областью этой области, то эти два увеличения будут значительно отличаться друг от друга. Два изображения будут очень похожи в деталях, но они не будут полностью идентичными.

Рис 1. Приближение множества Мандельброта

Сравните, например приведенные здесь картинки множества Мандельброта, одна из которых получена при увеличении некоторой области другой. Как видно, они абсолютно не являются идентичными, хотя на обоих мы видим черный круг, от которого в разные стороны идут пылающие щупальца. Эти элементы повторяются бесконечно долго во множестве Мандельброта в уменьшающейся пропорции.

Детерминистские фракталы являются линейными, тогда как сложные фракталы таковыми не являются. Будучи нелинейными, эти фракталы генерируются тем, что Мандельброт назвал нелинейными алгебраическими уравнениями. Хороший пример - это процесс Zn+1=ZnІ + C, что является уравнением, используемым для построения множества Мандельброта и Жулии второй степени. Решение этих математических уравнений вовлекает комплексные и мнимые числа. Когда уравнение интерпретируется графически на комплексной плоскости, результатом оказывается странная фигура, в которой прямые линии переходят в кривые, появляются хотя и не без деформаций, эффекты самоподобия на различных масштабных уровнях. При этом вся картина в целом является непредсказуемой и очень хаотичной.

Как можно увидеть, смотря на картинки, сложные фракталы действительно очень сложны и их невозможно создать без помощи компьютера. Для получения красочных результатов этот компьютер должен обладать мощным математическим сопроцессором и монитором с высоким разрешением. В отличии от детерминистских фракталов, сложные фракталы не вычисляются за 5-10 итераций. Практически каждая точка на экране компьютера как отдельный фрактал. Во время математической обработки, каждая точка рассматривается как отдельный рисунок. Каждой точке соответствует определенное значение. Уравнение встраивается, применительно к каждой точке и производится, к примеру 1000 итераций. Для получения сравнительно неискаженного изображения за приемлемый для домашних компьютеров промежуток времени, для одной точки возможно проводить 250 итерации.

Большинство фракталов, которые мы видим сегодня, красиво раскрашены. Возможно фрактальные изображения получили такое большое эстетическое значение именно благодаря своим цветовым схемам. После того, как уравнение посчитано, компьютер анализирует результаты. Если результаты остаются стабильными, или колеблются вокруг определенного значения, точка обычно принимает черный цвет. Если значение на том или ином шаге стремится к бесконечности, точку закрашивают в другой цвет, может быть в синий или красный. Во время этого процесса, компьютер назначает цвета для всех скоростей движения.

Обычно, быстро движущиеся точки закрашивают в красный цвет, тогда как более медленные в желтый и так далее. Темные точки, вероятно, самые стабильные.

Сложные фракталы отличаются от детерминистских в том смысле, что они бесконечно сложные, но, при этом, могут быть сгенерированы очень простой формулой. Детерминистским фракталам не нужны формулы или уравнения. Просто возьмите чертежную бумагу и вы можете построить решето Серпинского до 3 или 4 итерации без каких-либо затруднений. Попробуйте сделать это с множеством Жулиа! Легче пойти мерить длину береговой линии Англии!

МНОЖЕСТВО МАНДЕЛЬБРОТА

Рис 2. Множество Мандельброта

Множества Мандельброта и Жулиа, вероятно, два наиболее распространенных среди сложных фракталов. Их можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Множество Мандельброта, которое было построено Бенуа Мандельбротом, наверное первая ассоциация, возникающая у людей, когда они слышат слово фрактал. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями, генерируется простой формулой Zn+1=Zna+C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число.

Множество Мандельброта, которое чаще всего можно увидеть - это множество Мандельброта 2й степени, то есть а=2. Тот факт, что множество Мандельброта не только Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, показатель в формуле которого может быть любым положительным числом ввел в заблуждение многих. На этой странице вы видите пример множества Мандельброта для различных значений показателя а.
Рис 3. Появление пузырьков при a=3.5

Также популярен процесс Z=Z*tg(Z+C). Благодаря включению функции тангенса, получается множество Мандельброта, окруженное областью, напоминающей яблоко. При использовании функции косинуса, получаются эффекты воздушных пузырьков. Короче говоря, существует бесконечное количество способов настройки множества Мандельброта для получения различных красивых картинок.

МНОЖЕСТВО ЖУЛИА

Удивительно, но множества Жулиа образуются по той же самой формуле, что и множество Мандельброта. Множество Жулиа было изобретено французским математиком Гастоном Жулиа, по имени которого и было названо множество. Первый вопрос, возникающий после визуального знакомства с множествами Мандельброта и Жулиа это "если оба фрактала сгенерированы по одной формуле, почему они такие разные?" Сначала посмотрите на картинки множества Жулиа. Достаточно странно, но существуют разные типы множеств Жулиа. При рисовании фрактала с использованием различных начальных точек (чтобы начать процесс итераций), генерируются различные изображения. Это применимо только ко множеству Жулиа.

Рис 4. Множество Жулиа

Хотя это нельзя увидеть на картинке, фрактал Мандельброта - это, на самом деле, множество фракталов Жулиа, соединенных вместе. Каждая точка (или координата) множества Мандельброта соответствует фракталу Жулиа. Множества Жулиа можно сгенерировать используя эти точки в качестве начальных значений в уравнении Z=ZІ+C. Но это не значит, что если выбрать точку на фрактале Мандельброта и увеличить ее, можно получить фрактал Жулиа. Эти две точки идентичны, но только в математическом смысле. Если взять эту точку и просчитать ее по данной формуле, можно получить фрактал Жулиа, соответствующий определенной точке фрактала Мандельброта.

Когда я не всё понимаю в прочитанном, я особо не расстраиваюсь. Если тема мне позднее не встретится, значит она не особа важна (по крайней мере, для меня). Если же тема встретится повторно, в третий раз, у меня появятся новые шансы лучше в ней разобраться. К числу таких тем относятся и фракталы. Впервые я узнал о них из книги Нассима Талеба , а затем подробнее из книги Бенуа Мандельброта . Сегодня по запросу «фрактал» на сайте можно получить 20 заметок.

Часть I. ПУТЕШЕСТВИЕ К ИСТОКАМ

НАЗВАТЬ ЗНАЧИТ УЗНАТЬ. Ещё в начале XX века Анри Пуанкаре заметил: «Удивляешься силе, которую может иметь одно слово. Вот объект, о котором ничего нельзя было сказать, пока он не был окрещён. Достаточно было дать ему имя, чтобы произошло чудо» (см. также ). Так и случилось, когда в 1975 году французский математик польского происхождения Бенуа Мандельброт собрал Слово. Из латинских слов frangere (ломать) и fractus (разрывный, дискретный, дробный) сложился фрактал. Мандельброт искусно продвигал и пропагандировал фрактал как бренд с опорой на эмоциональную привлекательность и рациональную полезность. Он издает несколько монографий, в том числе, Фрактальная геометрия природы (1982).

ФРАКТАЛЫ В ПРИРОДЕ И ИСКУССТВЕ. Мандельброт обозначил контуры фрактальной геометрии, отличной от Евклидовой. Отличие не относилось к аксиоме о параллельности, как в геометриях Лобачевского или Римана. Отличие заключалось в отказе от принятого Евклидом по умолчанию требования гладкости. Некоторым объектам присущи шероховатость, пористость или раздробленность, причём многие из них обладают указанными свойствами «в одинаковой степени в любом масштабе». В природе нет недостатка в подобных формах: подсолнух и брокколи, морские раковины, папоротник, снежинки, горные расселины, береговые линии, фьорды, сталагмиты и сталактиты, молнии.

Люди внимательные и наблюдательные издавна замечали, что некоторые формы демонстрируют повторяющуюся структуру при рассмотрении их «вблизи или издалека». Приближаясь к таким объектам, мы замечаем, что изменяются лишь незначительные детали, но форма в целом остаётся почти неизменной. Исходя из этого, фрактал проще всего определить, как геометрическую форму, содержащую в себе повторяющиеся элементы в любом масштабе.

МИФЫ И МИСТИФИКАЦИИ. Открытый Мандельбротом новый пласт форм стал золотой жилой для дизайнеров, архитекторов, инженеров. Несчётное число фракталов строится по одним и тем же принципам многократного повторения. Отсюда фрактал проще всего определить, как геометрическую форму, которая содержит в себе повторяющиеся элементы в любом масштабе. Эта геометрическая форма локально неизменна (инвариантна), масштабно самоподобна и целостна в своей ограниченности истинная сингулярность, сложность которой раскрывается по мере приближения, а на удалении сама тривиальность.

ДЬЯВОЛЬСКАЯ ЛЕСТНИЦА. Для передачи данных между компьютерами используются чрезвычайно сильные электрические сигналы. Такой сигнал дискретен. Помехи или шумы случайно возникают в электрических сетях вследствие многих причин и приводят к потере данных при передаче информации между компьютерами. Исключить влияние шумов на передачу данных в начале шестидесятых годов прошлого века было поручено группе инженеров IBM, в работе которой принимал участие Мандельброт.

Грубый анализ показал наличие периодов, во время которых не регистрировалось ни одной ошибки. Выделив периоды длительностью в час, инженеры заметили, что между ними периоды прохождения сигнала без ошибок также прерывисты здесь возникают более короткие паузы длительностью около двадцати минут. Таким образом, передача данных без ошибок характеризуется пакетами данных разной длины и паузами в шумах, в течение которых сигнал передаётся без ошибок. В пакетах более высокого ранга как бы встроены пакеты более низкого. Подобное описание предполагает существование такого понятия, как относительное расположение пакетов низшего ранга в пакете более высокого ранга. Опыт показал, что распределение вероятностей этих относительных расположении пакетов не зависит от их ранга. Такая инвариантность говорит о самоподобии процесса искажения данных под действием электрических шумов. Сама процедура вырезания свободных от ошибок пауз в сигнале при передаче данных не могла прийти в голову инженерам-электрикам по той причине, что для них такое было внове.

Но Мандельброт, изучавший чистую математику, хорошо знал множество Кантора, описанное ещё в 1883 году и представляющее собой пыль из точек, полученных согласно строгому алгоритму. Суть алгоритма построения «пыли Кантора» сводится к следующему. Возьмите отрезок прямой. Удалите из него серединную треть отрезка, сохранив две концевых. Теперь повторим ту же операцию с концевыми отрезками и так далее. Мандельброт обнаружил, что именно такова геометрия пакетов и пауз при передаче сигналов между компьютерами. Ошибка накапливается. Её накопление можно моделировать так. На первом шаге всем точкам из интервала присвоим значение 1/2, на втором шаге из интервала значение 1/4, значение 3/4 точкам из интервала и т.д. Пошаговое суммирование этих величин позволяет построить так называемую «дьявольскую лестницу» (рис. 1). Мерой «пыли Кантора» является иррациональное число, равное 0,618…, известное как «золотое сечение» или «Божественная пропорция».

Часть II. ФРАКТАЛЫ СУТЬ ДЕЛА

УЛЫБКА БЕЗ КОТА: ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ. Размерность – одно из фундаментальных понятий, выходящее далеко за пределы математики. Евклид в первой книге «Начал» определил основные понятия геометрии точка, линия, плоскость. Основанное на этих определениях понятие трёхмерного евклидова пространства оставалось неизменным почти две с половиной тысячи лет. Многочисленные заигрывания с пространствами четырёх, пяти и более измерений ничего по существу не прибавляют, но сталкиваются с тем, что представить их человеческое воображение не может. С открытием фрактальной геометрии в представлениях о размерности произошёл радикальный переворот. Размерностей появилось великое множество и среди них не только целые, но и дробные, и даже иррациональные. И эти размерности доступны для наглядного и чувственного представления. В самом деле, мы легко представляем сыр с дырками модель среды, размерность которой больше двух, но не дотягивает до трёх из-за сырных дырок, понижающей размерность сырной массы.

Чтобы понять дробную или фрактальную размерность, обратимся к парадоксу Ричардсона, который утверждал, что длина изрезанной береговой линии Британии бесконечна! Луис Фрай Ричардсон задался вопросом о влиянии масштаба измерения на величину измеряемой длины береговой линии Британии. При переходе от масштаба контурных карт к масштабу «береговых камешков» он приходил к странному и неожиданному выводу: длина береговой линии неограниченно возрастает, причём это возрастание не имеет предела. Гладкие изогнутые линии так себя не ведут. Эмпирические данные Ричардсона, полученные на картах всё более крупных масштабов, свидетельствовали о степенном росте длины береговой линии при уменьшении шага измерения:

В этой простой формуле Ричардсона L есть измеренная длина побережья, ε – величина шага измерения, а β ≈ 3/2 – найденная им степень роста длины побережья с уменьшением шага измерения. В отличие от длины окружности, длина береговой линии Великобритании возрастает, не имея 55 предела. Она бесконечна! Приходиться смириться с тем, что кривые изломанные, негладкие не имеют предельной длины.

Однако исследования Ричардсона наводили на мысль, что они имеют некоторую характерную меру степень роста длины с уменьшением масштаба измерения. Оказалось, что именно эта величина мистическим образом идентифицирует ломаную линию как отпечаток пальцев личность человека. Мандельброт интерпретировал береговую линию как фрактальный объект – объект, размерность которого совпадает с показателем степени β.

Например, размерности прибрежных пограничных кривых для западного побережья Норвегии – 1,52; для Великобритании – 1,25; для Германии – 1,15; для Австралии – 1,13; для сравнительно гладкого побережья Южной Африки – 1,02 и, наконец, для идеально гладкой окружности – 1,0.

Взглянув на фрагмент фрактала, вы не сможете сказать, какова его размерность. И причина не в геометрической сложности фрагмента фрагмент может быть очень простым, но в том, что фрактальная размерность отражает не только форму фрагмента, но и формат трансформации фрагмента в процессе построения фрактала. Фрактальная размерность как бы отстранена от формы. И благодаря этому величина фрактальной размерности остаётся инвариантной она одинакова для любого фрагмента фрактала при любом масштабе обзора. Её нельзя «ухватить пальцами», но можно рассчитать.

ФРАКТАЛЬНЫЙ ПОВТОР. Повтор можно моделировать с помощью нелинейных уравнений. Линейные уравнения характеризуются однозначным соответствием переменных: каждому значению х соответствует одно и только одно значение у и наоборот. Например, уравнение х + у = 1 линейно. Поведение линейных функций полностью детерминировано, однозначно определено начальными условиями. Поведение нелинейных функций не столь однозначно, ведь два разных начальных условия могут привести к одному результату. На этом основании итерация повторение операции проявляется в двух различных форматах. Она может иметь характер линейной референции, когда на каждом шаге вычислений идёт возврат к начальному условию. Это своего рода «итерация по шаблону». Серийное производство на конвейере есть «итерация по шаблону». Итерация в формате линейной референции не зависит от промежуточных состояний эволюции системы. Здесь каждая новая итерация стартует «от печки». Совсем иное дело, когда итерация имеет формат рекурсии, т. е. результат предыдущего шага итерации становится начальным условием для следующего.

Рекурсию можно проиллюстрировать рядом Фибоначчи, представленным в форме последовательности Жирара:

u n +2 = u n +1 + u n

Результат – числа Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

В этом примере совершенно очевидно, что функция применяется сама к себе, не отсылая к начальному значению. Она как бы скользит по ряду Фибоначчи, и каждый результат предыдущей итерации становится начальным значением для следующей. Именно такое повторение реализуется при построении фрактальных форм.

Покажем, как фрактальный повтор реализуется в алгоритмах построения «салфетки Серпинского» (методом вырезания и методом CIF).

Метод вырезания. Берём равносторонний треугольник со стороной r . На первом шаге вырезаем в центре него перевёрнутый вершиной вниз равносторонний треугольник с длиной стороны r 1 = r 0 /2. В результате этого шага у нас получаются три равносторонних треугольника с длинами сторон r 1 = r 0 /2, располагающиеся в вершинах исходного треугольника (рис. 2).

На втором шаге в каждом из трёх образовавшихся треугольников вырезаем перевёрнутые вписанные треугольники с длиной стороны r 2 = r 1 /2 = r 0 /4. Результат – 9 треугольников с длиной стороны r 2 = r 0 /4. В результате форма «салфетки Серпинского» постепенно становится всё более и более определённой. Фиксация происходит на каждом шаге. Все предыдущие фиксации как бы «стираются».

Метод SIF, или Метод систем итерированных функций Барнсли. Дано: равносторонний треугольник с координатами углов А (0,0), В (1,0), С (1/2, √3/2). Z 0 – произвольная точка внутри этого треугольника (рис. 3). Берем игральную кость, на гранях которой имеется по две буквы А, В и С.

Шаг 1. Бросаем кость. Вероятность выпадения каждой буквы составляет 2/6 = 1/3.

• Если выпала буква А строим отрезок z 0 –A, на середине которого ставим точку z 1
• Если выпала буква В строим отрезок z 0 –B, на середине которого ставим точку z 1
• Если выпала буква С строим отрезок z 0 –C, на середине которого ставим точку z 1

Шаг 2. Бросаем кость ещё раз.

• Если выпала буква А строим отрезок z 1 –A, на середине которого ставим точку z 2
• Если выпала буква В строим отрезок z 1 –B, на середине которого ставим точку z 2
• Если выпала буква С строим отрезок z 1 –C, на середине которого ставим точку z 2

Повторяя операцию много раз, мы получим точки z 3 , z 4 , …, z n . Особенность каждой из них в том, что точка находится точно на полпути от предыдущей до произвольно выбранной вершины. Теперь, если отбросить начальные точки, например, от z 0 до z 100 , то остальные при достаточно большом их количестве образуют структуру «салфетки Серпинского». Чем больше точек, чем больше итераций, тем явственнее является наблюдателю фрактал Серпинского. И это при том, что процесс идет, казалось бы, случайным путём (благодаря игральной кости). «Салфетка Серпинского» представляет собой своего рода аттрактор процесса, то есть фигуру, к которой стремятся все траектории, построенные в этом процессе при достаточно большом количестве итераций. Фиксация образа при этом представляет собой кумулятивный, накопительный процесс. Каждая отдельная точка, быть может, никогда и не совпадёт с точкой фрактала Серпинского, но каждая следующая точка этого организованного «по случаю» процесса притягивается ближе и ближе к точкам «салфетки Серпинского».

ПЕТЛЯ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ. Основоположник кибернетики Норберт Винер для описания петли обратной связи в качестве примера привёл рулевого на лодке. Рулевой должен придерживаться заданного курса и постоянно проводит оценку того, насколько лодка его придерживается. Если рулевой видит, что лодка отклоняется, он поворотом руля возвращает её на заданный курс. Через некоторое время он снова производит оценку и опять корректирует направление движения при помощи руля. Таким образом, навигация осуществляется при помощи итераций, повтора и последовательного приближения движения лодки к заданному курсу.

Типовая схема петли обратной связи показана на рис. 4 Она сводится к изменению переменного параметрах (направление лодки) и контролируемого параметра С (курс лодки).

Рассмотрим отображение «сдвиг Бернулли». Пусть в качестве начального состояния выбрано некоторое число, принадлежащее интервалу от 0 до 1. Запишем это число в двоичной системе счисления:

х 0 = 0,01011010001010011001010…

Теперь один шаг эволюции во времени состоит в том, что последовательность нулей и единиц сдвигается влево на одну позицию, и цифра, оказавшаяся по левую сторону от запятой, отбрасывается:

х 1 = 0,1011010001010011001010…

х 2 = 0,011010001010011001010 …

х 3 = 0,11010001010011001010 …

Заметим, что если исходные числа х 0 рациональные, то в процессе итерации значения х n выходят на периодическую орбиту. Например, для начального числа 11/24 в процессе итерации получим ряд значений:

11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …

Если исходные значения x 0 иррациональны, отображение никогда не выйдет на периодический режим. В интервале исходных значений x 0 ∈ содержится бесконечно много точек рациональных и бесконечно много точек иррациональных. Таким образом, плотность периодических орбит равна плотности орбит, которые никогда не выходят на периодический режим. В любой окрестности рационального значения x 0 найдётся иррациональное значение исходного параметра х’ 0 При таком положении дел неизбежно возникает тонкая чувствительность к начальным условиям. Это является характерным признаком того, что система находиться в состоянии динамического хаоса.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПЕТЛИ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ. Реверс является необходимым условием и следствием всякого бокового взгляда, самого себя застигающего врасплох. Иконой реверсивной петли может служить лента Мёбиуса, при которой нижняя её сторона с каждым кругом переходит в верхнюю, внутреннее становится внешним и наоборот. Накопление различий в процессе реверса сначала уводит образ от исходного, а затем к нему возвращает. В логике реверсивную петлю иллюстрирует парадокс Эпименида: «все критяне – лжецы». Но ведь и сам Эпименид критянин.

СТРАННАЯ ПЕТЛЯ. Динамическая суть феномена странной петли сводится к тому, что образ, трансформируясь и все больше отличаясь от исходного, в процессе многочисленных деформаций возвращается к исходному образу, но никогда не повторяет его в точности. Описывая этот феномен, Хофштадтер в книге вводит термин «странная петля». Он приходит к выводу, что и Эшер, и Бах, и Гёдель обнаружили или, точнее, использовали странные петли в своих работах и творчестве в изобразительном искусстве, музыке и математике соответственно. Эшер в «Метаморфозах» открыл для себя странную связность различных планов реальности. Формы одной из художественных перспектив пластично преобразуются в формы другой художественной перспективы (рис. 5).

Рис. 5. Мауриц Эшер. Рисующие руки. 1948

Подобная странность причудливым образом проявилась в музыке. Один из канонов «Музыкального приношения» Баха (Canon per Tonos - Тональный канон) сконструирован таким образом, что его кажущийся финал неожиданно плавно переходит в начало, но со сдвигом тональности. Эти последовательные модуляции уводят слушателя всё выше и выше от начальной тональности. Однако, чудесным образом, после шести модуляций мы почти возвращаемся. Все голоса теперь звучат ровно на октаву выше, чем в начале. Странность в том только, что поднимаясь по уровням некой иерархии, мы неожиданно обнаруживаем себя почти на том же месте, откуда начали свой путь – возвращение без повтора .

Курт Гёдель открыл странные петли в одной из самых древних и освоенных областей математики – в теории чисел. Теорема Гёделя впервые увидела свет как Теорема VI в его статье 1931 года «О формально неразрешимых суждениях» в «Principle Mathematica». Теорема утверждает следующее: все непротиворечивые аксиоматические формулировки теории чисел содержат неразрешимые суждения. Суждения теории чисел не говорят ничего про суждения теории чисел; они не более как суждения теории чисел. Здесь есть петля, но нет странности. Странная петля спрятана в доказательстве.

СТРАННЫЙ АТТРАКТОР. Аттрактор (от англ. attract притягивать) точка или замкнутая линия, притягивающая к себе все возможные траектории поведения системы. Аттрактор устойчив, то есть в долгосрочной перспективе единственная возможная модель поведения аттрактор, всё другое временно. Аттрактор пространственно-временной объект, охватывающий весь процесс, не являясь ни его причиной, ни следствием. Он формируется лишь системами с ограниченным числом степеней свободы. Аттракторы могут представлять собой точку, круг, тор и фрактал. В последнем случае аттрактор называется «странным» (рис. 6).

Точечный аттрактор описывает любое устойчивое состояние системы. В фазовом пространстве он представляет собой точку, вокруг которой формируются локальные траектории «узла», «фокуса» или «седла». Так ведёт себя маятник: при любой начальной скорости и любом начальном положении по истечении достаточного времени под действием трения маятник останавливается приходит в состояние устойчивого равновесия. Круговой (циклический) аттрактор – это движение взад-вперёд, подобно идеальному маятнику (без трения), по кругу.

Странные аттракторы (strange attractors) кажутся странными только со стороны, но термин «странный аттрактор» распространился сразу после появления в 1971 году статьи Давида Рюэля и голландца Флориса Такенса «Природа турбулентности» (см. также ). Рюэль и Такенс задались вопросом, обладает ли какой-либо аттрактор подходящим набором характеристик: устойчивостью, ограниченным числом степеней свободы и непериодичностью. С геометрической точки зрения вопрос казался чистой головоломкой. Какой вид должна иметь бесконечно протяжённая траектория, изображаемая в ограниченном пространстве, чтобы никогда не повторять и не пересекать саму себя? Чтобы воспроизвести каждый ритм, орбита должна являть собой бесконечно длинную линию на ограниченной площади другими словами, быть самозаглатывающей (рис. 7).

К 1971 году в научной литературе уже имелся один набросок такого аттрактора. Эдуард Лоренц сделал его приложением к своей статье о детерминистском хаосе, вышедшей в 1963 году. Этот аттрактор был устойчивым, непериодическим, имел малое число степеней свободы и никогда не пересекал сам себя. Если бы подобное случилось, и он возвратился в точку, которую уже миновал, движение в дальнейшем повторялось бы, образуя тороидальный аттрактор, но такого не происходило.

Странность аттрактора заключается, как считал Рюэль, в трёх неэквивалентных, но на практике существующих вместе признаках:

• фракталъности (вложенность, подобие, согласованность);
• детерминированности (зависимость от начальных условий);
• сингулярности (конечное число определяющих параметров).

Часть III. МНИМАЯ ЛЁГКОСТЬ ФРАКТАЛЬНЫХ ФОРМ

МНИМЫЕ ЧИСЛА, ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ И ВЕРОЯТНОСТЬ. Фрактальная геометрия покоится на теории мнимых чисел, динамических фазовых портретах и теории вероятностей. Теория мнимых чисел допускает, что существует квадратный корень из минус единицы. Джероламо Кардано в своём труде «Великое искусство» («Ars Magna», 1545) представил общее решение кубического уравнения z 3 + pz + q = 0. Кардано использует мнимые числа как средство технического формализма для выражения корней уравнения. Он замечает странность, которую иллюстрирует простым уравнением х 3 = 15х + 4. Это уравнение имеет одно очевидное решение: х = 4. Однако обобщающая формула даёт странный результат. Он содержит корень из отрицательного числа:

Рафаэль Бомбелли в своей книге по алгебре («L’Algebra», 1560) указал на то, что = 2 ± i, и это сразу позволило ему получить вещественный корень х = 4. В подобных случаях, когда комплексные числа сопряжены, получается вещественный корень, а комплексные числа служат техническим подспорьем в процессе получения решения кубического уравнения.

Ньютон считал, что решения, содержащие корень из минус единицы, следует считать «не имеющими физического смысла» и отбрасывать. В XVII–XVIII веках формировалось понимание того, что нечто воображаемое, духовное, мнимое не менее реально, чем всё действительное, вместе взятое. Мы даже можем назвать точную дату 10 ноября 1619 года, когда Декарт сформулировал манифест нового мышления «cogito ergo sum». С этого момента мысль есть абсолютная и несомненная реальность: «если я мыслю, то, значит, я существую»! Точнее мысль теперь воспринимается как реальность. Идея Декарта об ортогональной системе координат, благодаря мнимым числам, обретает свою завершённость. Теперь появилась возможность наполнять эти воображаемые числа смыслами.

В XIX веке трудами Эйлера, Аргана, Коши, Гамильтона разрабатывается арифметический аппарат работы с комплексными числами. Любое комплексное число может быть представлено как сумма X+iY, где X и Y – привычные нам вещественные числа, а i мнимая единица (по сути это √–1). Каждому комплексному числу соответствует точка с координатами {X, Y} на так называемой комплексной плоскости.

Второе важное понятие – фазовый портрет динамической системы сформировалось в XX веке. После того, как Эйнштейн показал, что по отношению к свету всё движется с одинаковой скоростью, идея о возможности выразить динамическое поведение системы в формате застывших геометрических линий так называемом фазовом портрете динамической системы обрела ясный физический смысл.

Проиллюстрируем её на примере маятника. Первые опыты с маятником Жан Фуко проводил в 1851 году в погребе, потом в Парижской обсерватории, потом под куполом Пантеона. Наконец, в 1855 году маятник Фуко был подвешен под куполом парижской церкви Сен-Мартен-де-Шан. Длина каната маятника Фуко 67 м, вес гири 28 кг. С огромного расстояния маятник выглядит как точка. Точка всегда неподвижна. Приближаясь, мы различим систему с тремя типовыми траекториями: гармонический осциллятор (sinϕ ≈ ϕ), маятник (колебания взад-вперёд), пропеллер (вращение).

Там, где локальный наблюдатель видит одну из трёх возможных конфигураций движения шара, отстранённый от процесса аналитик может предположить, что шар совершает одно из трёх типовых движений. Это можноизобразить на одном плане. Необходимо условиться, что мы переместим «шар на нити» в абстрактное фазовое пространство, имеющее столько координат, сколько степеней свободы имеет рассматриваемая система. В этом случае мы говорим о двух степенях свободы скорость v и угол наклона нити с шаром к вертикали ϕ. В координатах ϕ и v траектория гармонического осциллятора представляет собой систему концентрических окружностей, по мере увеличения угла ϕ эти окружности становятся овальными, а при ϕ = ± π теряется замыкание овала. Это означает, что маятник перешёл в режим пропеллера: v = const (рис. 8).

Рис. 8. Маятник: а) траектория в фазовом пространстве идеального маятника; б) траектория в фазовом пространстве маятника, качающегося с затуханием; в) фазовый портрет

В фазовом пространстве может не быть длин, длительностей, движений. Здесь любое действие пред-дано, но не всякое действительно. От геометрии остаётся только топология, вместо мер параметры, вместо размеров размерности. Здесь любая динамическая система имеет свой уникальный отпечаток фазовый портрет. И среди них встречаются фазовые портреты довольно странные: будучи сложными, они определены одним-единственным параметром; будучи соизмеримыми, они несоразмерны; будучи непрерывными, они дискретны. Такие странные фазовые портреты характерны для систем с фрактальной конфигурацией аттракторов. Дискретность центров притяжения (аттракторов) создаёт эффект кванта действия, эффект разрыва или скачка при том, что траектории сохраняют непрерывность и производят единую связанную форму странный аттрактор.

КЛАССИФИКАЦИЯ ФРАКТАЛОВ. Фрактал имеет три ипостаси: формальную, операциональную и символическую, которые ортогональны друг другу. И это значит, что одна и та же форма фрактала может быть получена посредством разных алгоритмов, а одно и то же число фрактальная размерность может появиться у совершенно разных по форме фракталов. С учетом этих замечаний классифицируем фракталы по символическому, формальному и операциональному признакам:

• в символическом плане характерная для фрактала размерность может быть целой или дробной;
• по формальному признаку фракталы могут быть связные, как лист или облако, и несвязные, как пыль;
• по операциональному признаку фракталы могут быть разделены на регулярные и стохастические.

Регулярные фракталы строятся по строго определённому алгоритму. Процесс построения при этом обратим. Вы можете повторить все операции в обратном порядке, стирая любой созданный в процессе детерминированного алгоритма образ, точка за точкой. Детерминированный алгоритм может быть линейным или нелинейным.

Стохастические фракталы, подобные в стохастическом смысле, возникают, когда в алгоритме их построения, в процессе итераций какие-либо параметры изменяются случайным образом. Термин «стохастичность» восходит к греческому слову stochasis – догадка, предположение. Стохастический процесс – процесс, характер изменения которого точно предсказать невозможно. Фракталы производятся по капризу природы (поверхности разлома горных пород, облака, турбулентные потоки, пена, гели, контуры частиц сажи, изменения биржевых цен и уровня рек и прочие), лишены геометрического подобия, но упорно воспроизводят в каждом фрагменте статистические свойства целого в среднем. Компьютер позволяет генерировать последовательности псевдослучайных чисел и сразу моделировать стохастические алгоритмы и формы.

ЛИНЕЙНЫЕ ФРАКТАЛЫ. Линейные фракталы названы так по той причине, что все они строятся по определённому линейному алгоритму. Эти фракталы самоподобны, не искажаются при любом изменении масштаба и не дифференцируемы в любой своей точке. Для построения таких фракталов достаточно задать основу и фрагмент. Эти элементы будут многократно повторяться с уменьшением масштаба до бесконечности.

Пыль Кантора. В XIX веке немецкий математик Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (1845–1918) предложил математическому сообществу странное множество чисел в интервале от 0 до 1. Множество содержало бесконечное число элементов в указанном промежутке и притом имело нулевую размерность. Пущенная наугад стрела вряд ли поразила бы хоть один элемент этого множества.

Для начала необходимо выбрать отрезок единичной длины (первый шаг: n = 0), затем разделим его на три части и изымем среднюю треть (n = 1). Далее будем поступать точно так же с каждым из образовавшихся отрезков. В результате бесконечного количества повторений операции получаем искомое множество «пыль Кантора». Теперь между разрывным и бесконечно делимым не существует противопоставления «пыль Кантора» представляет собой и то, и другое (см. рис. 1). «Пыль Кантора» – фрактал. Его фрактальная размерность равна 0,6304…

Один из двухмерных аналогов одномерого множества Кантора был описан польским математиком Вацлавом Серпинским. Его называют «канторов ковёр» или чаще «ковёр Серпинского». Он строго самоподобен. Мы можем рассчитать его фрактальную размерность как ln8/lnЗ = 1,89… (рис. 9).

ЛИНИИ, ЗАПОЛНЯЮЩИЕ ПЛОСКОСТЬ. Рассмотрим целое семейство регулярных фракталов, которые представляют собой кривые, способные заполнить плоскость. Ещё Лейбниц утверждал: «Если предположить, что некто ставит на бумаге множество точек по воле случая, <… > я говорю, что можно выявить постоянную и целостную, подчиняющуюся определённому правилу геометрическую линию, которая пройдёт через все точки». Это утверждение Лейбница противоречило Евклидову пониманию размерности, как наименьшего количества параметров, при помощи которых однозначно определяется положение точки в пространстве. За неимением строгого доказательства эти идеи Лейбница оставались на периферии математической мысли.

Кривая Пеано. Но вот в 1890 году математик из Италии Джузеппе Пеано сконструировал линию, которая полностью покрывает плоскую поверхность, проходя через все её точки. Построение «кривой Пеано» показано на рис. 10.

При том, что топологическая размерность кривой Пеано равна единице, её фрактальная размерность равна d = ln(1/9)/ln(1/3) = 2. В рамках фрактальной геометрии парадокс разрешился самым естественным образом. Линией, как паутиной, можно покрыть плоскость. При этом устанавливается однозначное соответствие: каждой точке линии соответствует точка на плоскости. Но это соответствие не взаимно-однозначное, ведь каждой точке на плоскости соответствует одна или более точек на линии.

Кривая Гильберта. Годом позже, в 1891 году появилась статья немецкого математика Дэвида Гильберта (1862–1943), в которой он представил кривую, покрывающую плоскость без пересечений и касаний. Построение «кривой Гильберта» показано на рис. 11.

Кривая Гильберта стала первым примером FASS-кривых (spaceFilling, selfAvoiding, Simple and selfSimilar заполняющих пространство само избегающих, простых и самоподобных линий). Фрактальная размерность линии Гилберта, как и кривой Пеано, равна двум.

Лента Минковского. Герман Минковский, близкий друг Гильберта со студенческих времён, построил кривую, которая не покрывает всю плоскость, но формирует нечто наподобие ленты. При построении «ленты Минковского» на каждом шаге каждый отрезок заменяется на ломаную линию, состоящую из 8 отрезков. На следующем этапе с каждым новым отрезком операция повторяется в масштабе 1:4. Фрактальная размерность ленты Минковского d = ln(l/8)/ln(1/4) = 1,5.

НЕЛИНЕЙНЫЕ ФРАКТАЛЫ. Простейшим нелинейным отображением комплексной плоскости на себя является рассмотренное в первой части отображение Жюлиа z g z 2 + С. Оно представляет собой расчёт по замкнутому циклу, в котором результат предыдущего цикла умножается сам на себя с приплюсовыванием к нему некоей константы, т. е. представляет собой квадратичную петлю обратной связи (рис. 13).

В процессе итераций при фиксированной величине константы С, в зависимости от произвольной начальной точки Z 0 , точка Z n при n -> ∞ может быть или конечной, или бесконечной. Всё зависит от положения Z 0 относительно начала отсчёта z = 0. Если расчётная величина конечна, то она включается в множество Жюлиа; если уходит на бесконечность, то отсекается от множества Жюлиа.

Форма, которая получается после применения отображения Жюлиа к точкам некоторой поверхности, однозначно определяется параметром С. При малых С – это несложные связные петли, при больших С – это кластеры несвязных, но строго упорядоченных точек. По большому счёту, все формы Жюлиа могут быть разбиты на два больших семейства – связных и несвязных отображений. Первые напоминают «снежинку Коха», вторые «пыль Кантора».

Разнообразие форм Жюлиа обескуражило математиков, когда они впервые смогли наблюдать эти формы на мониторах компьютеров. Попытки ранжировать это многообразие носили весьма условный характер и свелись к тому, что за основу классификации отображений Жюлиа было взято множество Мандельброта, границы которого, как оказалось, асимптотически подобны отображениям Жюлиа.

При С = 0 повторение отображения Жюлиа даёт последовательность чисел z 0 , z 0 2 , z 0 4 , z 0 8 , z 0 16 … В итоге возможны три варианта:

• при |z 0 | < 1 в процессе итераций числа z n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
• при |z 0 | > 1 в ходе итераций числа z n по модулю увеличиваются, стремясь к бесконечности. В этом случае аттрактором является бесконечно удалённая точка, и такие значения мы исключаем из множества Жюлиа;
• при |z 0 | = 1 все точки последовательности продолжают оставаться на этой единичной окружности. В этом случае аттрактором является окружность.

Таким образом, при С = 0 граница между притягивающими и отталкивающими исходными точками есть круг. В этом случае отображение имеет две неподвижные точки: z = 0 и z = 1. Первая из них является притягивающей, так как производная квадратичной функции в нуле есть 0, а вторая отталкивающей, так как производная квадратичной функции при значении параметра единица равна двум.

Рассмотрим ситуацию, когда постоянная С является действительным числом, т.е. мы как бы перемещаемся по оси множества Мандельброта (рис. 14). При С = –0,75 происходит самопересечение границы множества Жюлиа и появляется второй аттрактор. Фрактал в этой точке носит имя фрактала Сан-Марко, данное ему Мандельбротом в честь известного венецианского собора. Глядя на рисунок, нетрудно понять, почему Мандельброту пришла идея назвать фрактал именно в честь этого строения: сходство потрясающее.

Рис. 14. Изменение формы множества Жюлиа при уменьшении действительной величины С от 0 до –1

Уменьшая далее С до –1,25, мы получим новую типовую форму с четырьмя неподвижными точками, которые сохраняются до значений С < 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).

Рис. 15. Появление новых форм множества Жюлиа при уменьшении действительной величины С < –1

Итак, даже оставаясь на оси фрактала Мандельброта (постоянная С действительное число), мы «захватили» в поле внимания и некоторым образом ранжировали довольно большое разнообразие форм Жюлиа от окружности до пыли. Теперь рассмотрим знаковые области фрактала Мандельброта и соответствующие им формы фракталов Жюлиа. Прежде всего, опишем фрактал Мандельброта в терминах «кардиоид», «почек» и «луковок» (рис. 16).

Главная кардиоида и примыкающий к ней круг формируют основную форму фрактала Мандельброта. К ним примыкает бесконечное число её же копий, которые принято называть почками. Каждая из этих почек облеплена бесконечно большим количеством меньших почек, похожих одна на другую. Две самые большие почки сверху и снизу от основной кардиоиды назвали луковками.

Исследовавшие типовой фрактал этого множества (С = –0,12 + 0,74i) француз Адриен Дауди и американец Билл Хаббард назвали его «фракталом кролика» (рис. 17).

При переходе границы фрактала Мандельброта фракталы Жюлиа всегда теряют связность и превращаются в пыль, которую принято называть «пылью Фату» в честь Пьера Фату, доказавшего, что для определённых значений С бесконечно удалённая точка притягивает всю комплексную плоскость, кроме очень тонкого множества, подобного пыли (рис. 18).

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ. Есть существенное отличие между строго самоподобной кривой фон Коха и, например, побережьем Норвегии. Последняя, не являясь строго самоподобной, проявляет подобие в статистическом смысле. Обе кривые при этом изломаны настолько, что ни к одной из их точек вы не сможете провести касательную, или, иными словами, не сможете её дифференцировать. Такие кривые своего рода «монстры» среди нормальных евклидовых линий. Первым, кто построил непрерывную функцию, не имеющую касательной ни в одной своей точке, был Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс. Его работа была представлена Королевской Прусской Академии 18 июля 1872 года и опубликована в 1875 году. Функции, описанные Вейерштрассом, выглядят подобно шумам (рис. 19).

Посмотрите на графики биржевых бюллетеней, сводку колебаний температуры или давления воздуха и обнаружите некую регулярную изрезанность. Причём при увеличений масштаба характер изрезанности сохраняется. И это отсылает нас к фрактальной геометрии.

Броуновское движение – один из самых известных примеров стохастического процесса. В 1926 году Жан Перрен получил Нобелевскую премию за исследование характера броуновского движения. Именно он обратил внимание на самоподобие и недифференцируемость броуновской траектории.

Недавно я узнала о таких интереснейших объектах математического мира как фракталы. Но существуют они не только в математики. Они окружают нас повсюду. Фракталы бывают природные. О том, что такое фракталы, о видах фракталов, о примерах этих объектов и их применении я и расскажу в этой статье. Для начала кратко расскажу, что такое фрактал.

Фракта́л (лат. fractus - дроблёный, сломанный, разбитый) - это сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре в целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической. Для примера я вставлю картинку с изображением четырех разных фракталов.

Расскажу немного об истории фракталов. Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово «фрактал» было введено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта The Fractal Geometry of Nature. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Примеров фракталов можно привести массу, потому что, как и говорила, они окружают нас повсюду. По-моему, даже вся наша Вселенная — это один огромный фрактал. Ведь все в ней, от строения атома до строения самой Вселенной, в точности повторяет друг друга. Но есть, конечно, и более конкретные примеры фракталов из разных областей. Фракталы, к примеру, присутствуют в комплексной динамике. Там они естественным образом появляются при изучении нелинейных динамических систем . Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функцией комплекса переменных на плоскости. Одними из самых известных фракталов такого вида являются множество Жюлиа, множество Мандельброта и бассейны Ньютона. Ниже по порядку на картинки изображены каждый из вышеперечисленных фракталов.

Еще одним примером фракталов являются фрактальные кривые. Объяснить, как строиться фрактал лучше всего именно на примере фрактальных кривых. Одной из таких кривых является, так называемая, Снежинка Коха. Существует простая процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. Ниже показана Снежинка (или кривая) Коха.

Фрактальных кривых так же существует огромное множество. Самые известные из них — это, уже упомянутая, Снежинка Коха, а также кривая Леви, кривая Минковского, ломанная Дракона, кривая Пиано и дерево Пифагора. Изображение данных фракталов и их историю, я думаю, при желании вы легко сможете найти в Википедии.

Третьим примером или видом фракталов являются стохастические фракталы. К таким фракталам можно отнести траекторию броуновского движения на плоскости и в пространстве, эволюции Шрамма-Лёвнера, различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр.

Существуют так же чисто математические фракталы. Это, например, канторово множество, губка Менгера, Треугольник Серпинского и другие.

Но самые, пожалуй, интересные фракталы — это природные. Природные фракталы — это такие объекты в природе, которые обладают фрактальными свойствами. И тут уже список большой. Я не буду перечислять все, потому что, наверное, всех и не перечислить, но о некоторых расскажу. Вот, к примеру, в живой природе к таким фракталам относятся наша кровеносная система и легкие. А еще кроны и листья деревьев. Так же сюда можно отнести морских звезд, морских ежей, кораллы, морские раковины, некоторые растения, такие как капуста или брокколи. Ниже наглядно показаны несколько таких природных фракталов из живой природы.

Если же рассматривать неживую природу, то там интересных примеров гораздо больше, нежели в живой. Молнии, снежинки, облака, всем известные, узоры на окнах в морозные дни, кристаллики, горные хребты — все это является примерами природных фракталов из неживой природы.

Примеры и виды фракталы мы рассмотрели. Что же касается применения фракталов, то они применяются в самых разных областях знаний. В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать ее при вычислении протяженности береговой линии. Так же фракталы активно используются в радиотехнике, в информатике и компьютерных технологиях, телекоммуникациях и даже экономике. Ну и, конечно же, фрактальное видение, активно используется в современном искусстве и архитектуре. Вот один из примеров фрактальных картин:

И так, на этом я думаю завершить свой рассказ о таком необычном математическом явлении как фрактал. Сегодня мы узнали о том, что такое фрактал, как он появился, о видах и о примерах фракталов. А так же я рассказала о их применении и продемонстрировала некоторые из фракталов наглядно. Надеюсь, вам понравилась эта небольшая экскурсия в мир удивительных и завораживающих фрактальных объектов.